О применении интегрального метода Фурье к исследованию турбулентной тепло-солевой конвекции со сплошным пространственным спектром

Задача анализа турбулентных течений — одна из фундаментальных проблем механики [20, 33, 37, 39, 51, 55, 57, 61]. Понимание законов турбулентного движения, равно как и постижение механизмов перехода из ламинарных режимов в турбулентные, позволит не только расширить наши представления о природе вещей, но и кардинально увеличить возможности науки в решении большого ряда прикладных проблем (сопротивление среды движущимся неподвижным телам, расчет климата, и т. д.). Поэтому исследованиями в этой области занимались и занимаются многие известные механики, физики и математики, для решения задач строятся аэродинамические трубы и суперкомпьютеры, выпускаются тысячи статей и монографий. На данный момент можно считать общепризнанным, что значительную (и наиболее интересную) часть проблем, связанных с турбулентными движениями, невозможно решить на базе линейной теории устойчивости [1, 2, 21, 39, 58], и приходится рассматривать нелинейную теорию на базе полных уравнений Навье-Стокса [46]. В связи с этим, необходимо отметить значительное число подходов, начиная с классического подхода Ландау [33], основанного на малости амплитуды волнового возмущения, и последующего разложения в ряд по этой амплитуде, а также другие направления нелинейной теории, основные из которых приведены в работах [3, 22, 25, 40, 44, 48, 56, 59].

Если выделить из общего списка задач задачу конвективной неустойчивости [16, 20, 36], то нельзя обойти вниманием теоретические исследования, посвященные стохастическому характеру течения [10, 20, 23, 63, 64], численное моделирование [8, 16, 17, 27] и экспериментальные данные [49, 65] на эту тему, что представляет значительный вклад в общий вопрос о природе турбулентности [12−15, 18, 33, 35, 36,.

38, 42, 46, 57, 60]. Новые взгляды на процессы возникновения стохас-тичности имеют фундаментальное значение и затрагивают практически все области естествознанияв знаменитой планетарной модели атома, которая была рассмотрена в классической постановке, были обнаружены стохастические движения и сплошной пространственный спектр [19]- обнаружены стохастические явления в химии и биологии.

В отличие от классической задачи тепловой конвекции, рассмотренная в работе задача тепло-солевой конвекции оказалась более удобной для численного расчета, т.к. наличие дополнительного параметра (соли) обеспечило с одной стороны большее разнообразие и сложность возникающих структур, а с другой обеспечило возникновение развитых турбулентных режимов при сравнительно небольших значениях безразмерных числах Рэлея. Это значительно упростило проведение расчетов и последующий анализ результатов.

Явления, вызванные такого рода конвективными процессами, наблюдаются в различных растворах, океане, атмосфере, при образовании кристаллов [7, 20, 49] и часто сопровождаются так называемыми ступенчатыми («слоистыми») распределениями температуры, плотности, концентрации. Хорошо исследованы линейные механизмы неустойчивости, созданы полуэмпирические подходы и даны качественные объяснения ряду фактов, но вместе с тем, количественная теория, описывающая подобные явления, на данный момент не развита [7, 20,41,49].

Использованное в работе приближение Буссинеска было подробно исследовано, в частности в [16, 17, 36], в том числе дополнительно анализировались примененные в работе граничные условия. В работе [62] рассматривалась зависимость характеристик тепло-солевой конвекции от параметров течения, но задача рассматривалась в ограниченной области, из-за чего оказалось неучтенным взаимодействие между конвективными ячейками. Однако, как показано в главе 3, количественные значения искомых характеристик для этой задачи значительно отличаются от конвекции в бесконечном канале.

В работе [24] было выполнено примененное в диссертации интегральное представление искомых функций и исследован вопрос «выживания» разночастотных пространственных возмущений, однако при численной реализации интегральное представление было изменено на известное разложение в ряды Фурье, а вопрос о полном пространственном спектре конвективного течения изначально не входил в проблематику этих работ.

В 80-х годах развитие вычислительной техники позволило провести исследования временных спектров течения для рассматриваемого класса задач, см., например, работы [13, 14]- была доказана непрерывность временного спектра турбулентных течений. Тем не менее, применительно к пространственным координатам этот вопрос почти не рассматривался. Данная работа посвящена рассмотрению задачи тепло-солевой конвекции в турбулентном режиме. Для решения этой задачи разработан численный метод, основанный на представлении искомых функций в виде интеграла Фурье, в отличие от распространенного разложения в ряды. Показано, что применение интеграла Фурье оправдано (т.е. дает эффект больший, чем потери, вызванные усложнением его реализации) лишь для течений в турбулентных режимах, а для ламинарных течений естественным служит представление в виде рядов Фурье, что, по всей видимости, связано с физической природой процесса.

На основании проведенных расчетов были получены пространственные характеристики течения, в том числе его пространственная спектральная плотность, что позволило сделать выводы о характерном размере конвективных ячеек, их взаимном влиянии друг на друга и взаимодействии разномасштабных пространственных структур. Кроме того, были исследованы временные характеристики течения, получены характерные времена жизни конвективных структур и ряд других параметров.

Отдельно изучены изменения параметров течения при увеличении его турбулентности. Выявлено, в частности, как именно меняется при этом пространственная структура конвекции.

Диссертация состоит из 3 глав (9 параграфов).

В § 1 рассматривается полная система уравнений двумерной тепло-солевой конвекции в приближении Буссинеска, выписываются граничные условия, и проводится обезразмеривание уравнений.

В § 2 рассматривается задача устойчивости течения в линейном приближении, рассматриваются два различных типа конвективной неустойчивости, в том числе один, существующий только в тепло-солевой конвекции, также получено точное решение рассматриваемых нелинейных уравнений, к сожалению, не удовлетворяющему заданным граничным условиям.

§ 3 посвящен описанию метода интегрального преобразования Фурье и иным аспектам численного расчета системы уравнений задачи.

В § 4 рассматривается задача распространения начального локального возмущения в бесконечном канале.

§ 5 содержит качественный анализ конвекции в ламинарных и стохастических режимах, рассматривается вопрос применимости предложенного метода к расчету тепло-солевой конвекции в этих режимах.

В § 6 исследуется зависимость типа и статистических характеристик течения от длины канала, приводятся примеры рассчитываемых течений.

В § 7 изложены формальное определение и формулы вычисления мгновенной пространственной спектральной плотности течения, а также алгоритм осреднения этих данных по времени. Результаты использования этой методики содержатся в § 8.

В § 8 изучена зависимость пространственных и временных параметров течения от его надкритичности, в частности, получены сведения об изменении пространственной структуры конвекции, изучена зависимость пространственных и временных параметров течения от его турбулентности, в частности, получены сведения об изменении пространственной структуры конвекции.

§ 9 посвящен исследованию временных параметров течения, проведено сопоставление с качественными оценками § 5.

Заключение

содержит выводы о результатах, полученных в работе.

Постановка задачи и аналитические исследования.

§ 1. Постановка задачи.

Рассматривается в приближении Буссинеска [20] задача тепло-солевой конвекции в горизонтальном слое с заданным на границе перепадом температуры и солености. При этом предполагается (см. также [62]), что соленость имеет малую концентрацию и ее пространственно-временные характеристики описываются диффузионными соотношениями, а не полной системой уравнений для двухфазной смеси.

Некоторые оценки, связанные с использованием приближения Буссинеска при решении близких проблем и, в частности, анализ некоторых получаемых при этом решений, содержатся, например, в работах [16, 20].

Рассматриваемая задача решается в декартовой системе координат Охг, ось г которой направлена вертикально вверх. Исходная система уравнений включает в себя: а. уравнение неразрывности: ди дм?

—ь— = 0 дх дг.

1.1.а).

Ъ. двумерное уравнение Навъе-Стокса в приближении Буссинеска:

Ди) =.

J{w) =.

1 дР.

Ро дх дР.

Ро дх.

— у, А и g{JЗS-aT) + v^w.

1.1 -Ъ).

1.1.С) с. уравнение теплопроводности:

3(Т) =ктЛТ с1. уравнение диффузии соли: е. уравнение состояния: р (Р, ТЯ)=ро [ 1 — а (ТТо) о) ] В этих соотношениях д д д = — + и—-м>—.

7/ дх дг л з2 а2 А = —г+ ¦ ох дг2 '.

Тп .Б.

О >^0 т0+т рис. 1.1 и им' - горизонтальные и вертикальные компоненты скорости теченияР — давлениеТ — температура;

— соленостьg — ускорение свободного паденияV- коэффициент кинематической вязкостикг — коэффициент температуропроводностик$ - коэффициент солевой диффузииро — плотность среды при температуре То и солености Боа и ?3 — коэффициенты уравнения состояния.

Граничные условия по вертикальной координате г соответствуют жестким свободным от касательных напряжений границам, на которых поддерживается постоянная температура и соленость (см. рис 1.1), т. е. принимается, что:

Выбор граничных условий по г основывался на следующих соображениях:

1. Граничные условия такого типа позволяли производить расчеты течения при значительно меньшем использовании ресурсов ЭВМ. Поэтому их достаточно часто применяли в аналогичных задачах, в частности [10,11,24].

2. Конкретный вид граничных условий оказывает влияние лишь на слой жидкости вблизи самих границ, в то время как основное течение жидкости определяется действующими объемными процессами: изменение плотности элементарных объемов жидкости вследствие тепло — и солеобмена и, как следствие, их всплытие/погружение под действием силы тяжести. В частности, в работе [11] было показано, что условие твердых границ (и=м=0 при г=0, сГ) оказывает лишь незначительное стабилизирующее влияние на течение, несколько увеличивая критические числа Ш, Яб.

По горизонтальной координате х рассматривались два типа граничных условий: бесконечный канал, в этом случае рассматривалась задача «расползания» начального локализованного возмущенияпри г = Т=То, 5=8о, ди/дх = 0, м? = 0 при г = 0: Т=Т0+ Т, 5, ди/дх = 0, м> = 0.

1.2.а) (1.2.Ь) канал заданной длины (различной в различных расчетах) с условием периодичности на границах.

Исходная задача (1.1) решается в безразмерных переменных х', г', Г, 5″, и', ж', Р',? , которые вводятся при помощи следующих соотношений [46,47]: х ос/(И^ г'= 2/с1,.

Т' = (Т-Т0 — Т (1-~/с1)) / Т, 5″ = (Б^о — 5 (1-гМ)) /8, и' = ис!/кт, м/ = с1/кт, tkт/d2,.

Р' = Р ¿-/(ро укт).

1.3).

В дальнейшем штрихи в обозначениях этих безразмерных переменных опускаются, а дифференцирование, где это возможно, обозначается нижним индексом (например, ди/дх =их).

Тогда в новых переменных (1.3) система (1.1) записывается в виде (где штрихи в обозначениях (1.3) опущены): их + = О 1.

Рг 1.

Рг.

3(Т) = ЛТ+ ы Ш) = САБ + м>

Л^и) = -Рх + Аи.

J{w) = -Рг + Д/ • Г — Л* • 5 + Аи;

1.4.а) (1.4.Ь).

1.4.с).

1.4.с1) (1.4.е) т д д д.

7 —-1-и—1- м>—.

Ы дх дг д д2 д2.

Из этих соотношений видно, что решение рассматриваемой задачи и характер течения зависят от четырех безразмерных параметров (чисел) системы {Рг, С, Ш, Кя}, которые определяются следующим образом:

Рг = у/ кт — число ПрандтляШ = gaf с?/(укт) — тепловое число РэлеяЯя = gjЗS (£/(укт) — солевое число Рэлея;

7 = к$/кт, а также (в случае ограниченного канала) геометрического параметра /) — отношения длины канала к его ширине.

Уравнение (1.4.а) позволяет обычным образом ввести функцию тока у/, связанную следующими соотношениями с компонентами скорости: и = у/-, м? = - у/х.

Применяя далее к уравнениям (1.4.Ь), (1.4.с) операцию взятия ротора можно исключить из них переменную Р. В результате получим:

1/Рг 3(Л у/) = А2 у/ - Ш Тх + Ду.

1.5.а).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Данная диссертация посвящена исследованию пространственной структуры двумерной тепло-солевой конвекции при различных степенях надкритичности с использованием интегральных методов. Получены следующие результаты:

1. Впервые проведено систематическое исследование пространственной структуры стохастических течений. И показано, что в этих режимах (в отличие от ламинарных) отсутствует выделенный масштаб по пространственным переменным, пространственная структура течения значительно меняется по времени.

2. Установлено большое влияние длины конвективной области на тип и численные характеристики течения. В частности, обнаружена такая область параметров течения, в которой при увеличении длины ячейки происходит сначала переход от турбулентного режима конвекции к стационарному, сопровождающийся двукратным ростом теплои солепередачи через конвективную область, а при дальнейшем увеличении длины канала — обратный переход к турбулентному режиму, с соответствующим понижением теплои солепередачи.

3. Исследована эффективность применения интегрального метода к расчету тепло-солевой конвекции в различных режимах. Показано, что для расчета установившихся ламинарных режимов его использование менее эффективно, чем использование метода, основанного на разложении искомых величин в ряды Фурье. При расчете турбулентных конвективных течений, наоборот, более эффективным оказывается применение интегрального представления, что, по-видимому, связано с физической и математической природой течения.

4. Впервые исследовано изменение пространственной структуры и пространственного спектра турбулентной конвекции при увеличении надкритичности течения, в частности, показано возрастание при этом роли длинноволновых движений. Исследованы временные характеристики течения, получены данные о потоках тепла и соли через границы, их временные спектры и ковариации, в частности, найдены характерные временные частоты течения (3−5 в безразмерных переменных).

5. Создан эффективный комплекс программ, позволяющий исследовать с помощью интегрального метода Фурье турбулентные конвективные течения в широкой области параметров, проводить визуализацию таких течений, анализировать пространственные и временные характеристики (в том числе и спектральные плотности) и др.