Методы декомпозиции для решения трехмерных задач движения жидкости в пористых средах

С развитием компьютерной техники [8] появилась возможность использования многопроцессорных вычислительных систем для решения сложных математических задач. К таким задачам относятся, в частности, задачи фильтрации жидкости в нефтяных и водоносных пластах вскрытых системой скважин. При численном решении этих задач одной из основных трудностей является решение систем алгебраических уравнений большой размерности, что обусловлено трехмерностью объекта и необходимостью сгущения сетки в прискважинных зонах. Размерности сгущающихся сеток при этом часто достигают размерности грубой сетки. Одним из быстро развивающихся методов решения таких задач являются методы декомпозиции, то есть разделение задачи на части, которые могут быть параллельно решены на нескольких процессорах. С помощью декомпозиции можно сократить общее время счета задачи, и более эффективно использовать доступную оперативную память. Основным подходом в создании таких алгоритмов являются методы декомпозиции области: метод подструктур, методы Шварца, поэлементная декомпозиция, много фронтальная декомпозиция и т. д. [32, 46, 50, 53−56, 58, 62, 73, 74, 76].

В основе метода подструктур [73] лежит идея независимого расчета отдельных подобластей и последующего учета их взаимодействия. В этом методе исходная область разбивается на подобласти, имеющие лишь общую границу. Метод подструктур является прямым методом. В каждой из подобластей общее решение записывается в виде суперпозиции двух решений. Первое определяется из решения системы уравнений, соответствующей каждой из подобластей с нулевыми граничными условиями с учетом заданных источников внутри подобласти, второе определяется исходя из суперпозиции и зависит от вектора граничных значений, полученного из системы уравнений с так называемой матрицей граничных значений (или дополнение Шура) [48]. Матрица граничных значений имеет меньшее число обусловленности, чем матрица исходной системы уравнений, однако, число обусловленности может быть достаточно большим, чтобы решить систему за приемлемое время.

Одними из наиболее популярных методов разделения области с перекрывающимися областями являются методы Шварца (итерационные методы подструктур). Альтернирующий метод Шварца известен в вычислительном математике уже многие годы [21, 34, 36, 37]. Он всегда рассматривался, прежде всего, как метод, позволяющий сводить решение исходной задачи в области со сложной формой границы к последовательности задач в подобластях, форма которых достаточно простая. В настоящее время разработаны достаточно эффективные алгоритмы численного решения ряда задач математической физики именно для случая простых областей. С учетом этого обстоятельства в последние годы осуществляется поиск модификаций методов Шварца, обладающих более высокой скоростью сходимости по сравнению с их классическим вариантом [7, 13, 16, 19, 21, 57]. Если рассматривать область решения D как объединение двух перекрывающихся подобластей D, D2, и решать систему дифференциальных уравнений в частных производных.

Lu = f в D, u = g на Г = 5D, то каждая итерация альтернирующего метода Шварца состоит в последовательном решении подзадач для и,.

Lu" =f в D, и" = g на dD, Г, и- = и" 4 на Г,.

И для и2.

Lu2 = f в D2, и2=§ наШ2Г2, и2 = и" на Г2. где Г- - часть границы dDi принадлежащей области Dj? i Ф j.

Для многих задач возникает ситуация, когда строятся сетки отдельно для каждой подобласти, и в зоне пересечения сетки не совпадают. Для таких случаев используется мультипликативный метод Шварца [55]. При решении системы линейных уравнений Au = f мультипликативный метод Шварца записывается в виде un+, u =un +.

О О f — Au"),.

Un+I = un+U2 +.

О 0 ^ 0 f — Au).

В этих методах каждый итерационный шаг состоит из последовательного вычисления функции и в подобластях, что не позволяет распараллеливать задачу при решении на многопроцессорных машинах. Аддитивный метод Шварца [34] может рассматриваться как параллельная версия мультипликативного метода Шварца и записывается в виде un+1 = и" + (В, + В2)(f — Au"), где В, =RjrA~1Ri, R- - оператор проекции во внутренние узлы подобласти D-.

В данном методе системы уравнений для подобластей решаются независимо, поэтому могут решаться параллельно. Аддитивный метод Шварца может рассматриваться как обобщение блочного метода Якоби, а мультипликативный — блочного метода Гаусса-Зейделя.

Другим методом декомпозиции области является поэлементная декомпозиция [18]. Одним из главных достоинств итерационных методов в сочетании с методом конечных элементов является то, что можно не строить глобальную матрицу системы уравнений в явном виде. Глобальная матрица может быть записана в блочно-диагональном виде. Такую матрицу можно хранить отдельно на каждом процессоре, вводя матрицу связности, которая отражает зависимость между элементами и узлами для всей области в целом. В работе [72] показано как реализуется скалярное произведение, а также вычисление произведения глобальной матрицы на вектор, участвующих в итерационных методах, без построения глобальной матрицы. Данный метод является методом поэлементной декомпозиции и эффективно реализуется на параллельных машинах с распределенной памятью [72].

Многофронтальный метод впервые был введен в [61] и фактически является модификацией метода Гаусса решения системы. В этом методе факторизация матрицы проводится как последовательность факторизаций и исключений подматриц, называемых фронтальными. Достоинства многофронтального метода заключаются в следующем:

1) меньшие затраты времени решения и памяти в случае, когда матрица коэффициентов имеет ленточный характер,.

2) произвольность способа нумерации узлов,.

3) возможность производить локально сгущение сетки без перенумерации,.

4) в отличие от других прямых методов многофронтальный метод перспективен для распараллеливания.

В первых исследованиях по методам разделения области на подобласти, имеющих лишь общую границу, была отмечена необходимость введения в итерационный процесс, лежащий в основе метода, некоторых параметров. Эти параметры необходимо было выбирать так, чтобы процесс сходился. Различные подходы по выбору оптимальных значений этих параметров предложены В. Э. Канцельсоном, В. В. Меньшиковым [16], Л. Б. Цвиком [40]. Параметры итерационного процесса выбирались на основе одношаговой минимизации квадратичного функционала. В работах М. Е. Дмитриенко, Л. А. Оганесяна [13], В. Г. Осмоловского, В. Я. Ривкинда, A.M. Мацокина [33] рассматривались стационарные итерационные методы разделения области в применении к дифференциальным уравнениям и их разностным аналогам. В работах В. И. Лебедева, В. И. Агошкова [1] исследованы эффективные нестационарные итерационные алгоритмы разделения области с переменными параметрами, найдены оптимальные наборы этих параметров. В. И. Лебедевым, В. И. Агошковым введен специальный класс операторов — операторов ПуанкареСтеклова, изучен ряд свойств этих операторов. На их основе разработана общая методология конструирования и исследования метода разделения области. В. В. Смеловым и В. И. Агошковым методы разделения области изучались в применении к задачам теории переноса излучения. Исследованием данных методов в нестационарных задачах посвящены работы Ю. А. Кузнецова [19], Г. И. Марчука, С. Н. Булеева, В. И. Агошкова и др. [1, 21, 31].

К прямым методам разделения области на подобласти, имеющим лишь общую границу, также можно отнести balancing domain decomposition method (BDD) и balancing domain decomposition by constraints (BDDC) [47, 65−70]. BDD, BDCC — это итерационные методы для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной, положительно определенной матрицей, построенной методом конечных элементов. В двойственных методах, таких как finite element tearing and interconnect (FETI) [43, 45, 51, 52], непрерывность решений вдоль границ соседних подобластей достигается за счет введения лагранжевых множителей [43]. Метод FETI-DP является сочетанием прямых и двойственных методов. Данный метод был предложен Charbel Farhat [51, 52], а впервые математический анализ был проведен Mandel J. и Tezaur R.

В данной работе предлагаются новые алгоритмы решения различных задач фильтрации жидкости в пласте с гидродинамически несовершенными скважинами, основанные на методах декомпозиции области. В каждой из задач выделяются прискважинные подобласти, имеющие между собой нулевое пересечение. Весь пласт, как односвязная область, покрывается грубой сеткой. От узлов грубой сетки, расположенных на граничной поверхности прискважинных подобластей, строятся сетки, сгущающиеся к интервалам вскрытия скважин. Грубая сетка вне сгущающихся участков и сетки, сгущающиеся к интервалам вскрытия скважин, образуют основную сетку. Для решения линейной задачи напорной фильтрации жидкости предлагается метод декомпозиции области, основанный на согласовании независимых решений систем уравнений на сгущающихся участках сетки за счёт введения дополнительных грубых сеток. Предложенный метод также используется при решении задач с нелинейным законом фильтрации, в задачах напорно-безнапорной фильтрации, двухфазных и трехфазных течений. Постановки задач взяты из [3, 4, 17, 31, 35]. Для определения поля насыщенности предлагается метод декомпозиции области, основанный на согласовании независимых решений уравнений на сгущающихся участках сетки за счет введения элементов явной и неявной схем.

Задачи, описанные в разделах 1 — 3, аппроксимируются методом конечных элементов [9, 14, 38, 39], а в разделах 4, 5 — методом контрольных объемов [59, 66, 71, 75]. Системы линейных алгебраических уравнений, полученные в результате аппроксимации исходных дифференциальных уравнений, можно решать прямыми или итерационными методами. На практике при большом числе переменных обычно используются итерационные методы. Одним из эффективных методов решения систем является метод сопряженных градиентов с различными предобуславливателями [60]. Скорость сходимости метода сопряженных градиентов можно увеличить за счет выбора предобуславливающей матрицы. Однако, построение эффективной предобуславливающей матрицы ведет, как правило, к большему расходу оперативной памяти [60]. В [60] при решении линейных и нелинейных задач фильтрации проводится сравнение метода сопряженных градиентов с тремя различными предобуславливающими матрицами, построенными методом неполного разложения Холесского, модифицированным методом неполного разложения Холесского и полиномиальным методом. В [64] для построения предобуславливающей матрицы используются диагональное масштабирование, неполное разложение Холесского, неполная факторизация, модифицированная неполная факторизация. В данной работе для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей использовался метод сопряженных градиентов с предобуславливающей матрицей, построенной неполным разложением Холесского. В задачах по определению поля насыщенности матрица системы уравнений несимметричная, для решения таких систем использовался метод Зейделя [5].

Цели диссертационной работы:

— разработка методов декомпозиции области для численного решения трехмерных задач фильтрации жидкости в областях сложной геометрии;

— построение алгоритмов, основанных на методах декомпозиции области, и их реализация на многопроцессорных вычислительных системах;

— численное тестирование алгоритмов с использованием различного числа процессоров при решении прикладных задач.

Структура и краткое содержание работы.

В первом разделе описан новый метод декомпозиции области для решения сеточных систем алгебраических уравнений со сгущающимися, участками сетки. Рассматривалась трехмерная задача напорной фильтрации жидкости, подчиняющейся линейному закону Дарси. Метод основан на независимом решении систем алгебраических уравнений для сгущающихся участков сетки в подобластях и новом типе согласования этих решений с решением на грубой сетке. Новый тип согласования заключается в представлении решения в подобластях сгущения в виде суммы двух решений. Первое решение на исходной сетке, второе — на введенной дополнительной грубой сетке. Алгоритм построен таким образом, что при итерационном процессе решение на дополнительных грубых сетках стремится к нулю, и решение полученной системы сходится к решению исходной системы алгебраических уравнений.

В п. 1.1 дается постановка задачи. Пласт считается напорным, ограниченным, фильтрационное, течение стационарным, однофазным, подчиняющимся линейному закону Дарси. Требуется определить поле напора h из дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости с заданными граничными условиями первого и второго рода. Пласт вскрыт гидродинамически несовершенными скважинами.

В п. 1.2 строится разбиение области решения задачи на подобласти. Весь пласт, как односвязная область, покрывается грубой сеткой. От узлов грубой сетки, расположенных на граничной поверхности прискважинных подобластей, строятся сетки, сгущающиеся к интервалам вскрытия скважин. Грубая сетка вне сгущающихся участков и сетки, сгущающиеся к интервалам вскрытия скважин, образуют общую сетку Q, в узлах которой требуется определить сеточную функцию hn. Грубая сетка вне сгущающихся участков является основной грубой сеткой, а грубые сетки сок на сгущающихся участках считаются дополнительными грубыми сетками. Область решения рассматривается как многосвязная область, поверхности интервалов вскрытия скважин являются внутренними границами области. Для каждой прискважинной зоны решение h представляется в виде суммы двух решений: одно h2k определено в узлах сгущающегося участка сетки, другое h3k — в узлах дополнительной грубой сетки, к — номер сгущающегося участка.

В п. 1.3 описывается схема метода решения задачи, основанного на декомпозиции области. Для описания схемы используются сеточные шаблоны и балансовые уравнения для общих узлов грубой и сгущающейся сеток.

В п. 1.4 строится алгоритм решения задачи в общем случае на основе предлагаемого метода декомпозиции области. Даются постановки задач для h, h2k, h3k, где h, — решение на основной грубой сетке, h2k — решения на сгущающихся участках, h3k — решения на дополнительных грубых сетках. Решения h, h2k и h3k при известных граничных значениях hr, hr, hr на границах раздела ук прискважинных подобластей и внескважинной области независимо определяются из соответствующих систем уравнений. При выполнении условий на границах раздела относительно напоров hri = hr t + hr и относительно нормальных составляющих скоростей фильтрации Япш +Я2кп +Чзкп = О Д3151 определения решений h, h2k, h3k достаточно задания граничных значений hrji. При значениях = 0 система уравнений эквивалентна исходной системе уравнений. Для решения этих систем уравнений строится итерационный процесс. На каждой итерации граничные значения h^ сносятся на граничные значения h^. В результате h^ с ростом i стремятся к нулю, и i-oe приближение напора определяется решением h) во внескважинной области и решениями h'2k в прискважинных подобластях.

Рассматривается критерий прерывания решений задач для h2k и совместного решения задач для hj, h!, k, основанный на поведении дисбаланса расходов жидкости в узлах границ раздела ук.

В п. 1.5 приводятся результаты численных экспериментов. Для аппроксимации алгебраических уравнений использовался метод Галеркина, для решения сеточной системы алгебраических уравнений использовался метод сопряженных градиентов с предобуславливателем, для построения которого использовался метод неполного разложения Холесского. Рассматривался пятислойный пласт с различными толщинами слоев и коэффициентами фильтрации. Пласт считался непроницаемым за исключением кровли, на которой задавалось граничное условие 2-го рода, и противоположных участков боковой поверхности пятого слоя с граничными условиями 1-го рода. Рассматривалось два типа решений: решение системы без декомпозиции области (один процессор) и решение с декомпозицией области (различное число процессоров). Показана эффективность алгоритма при решении задач с большим числом сгущающихся участков сетки по сравнению с решением без декомпозиции области. Алгоритм апробирован на многопроцессорной вычислительной системе МВС-1000 с различным числом процессоров и гидродинамически несовершенных скважин.

Во втором разделе рассматривается решение трехмерной задачи напорной фильтрации жидкости, подчиняющейся нелинейному закону Форхгеймера. Трудность решения такой задачи заключается в том, что область выполнения нелинейного закона неизвестна и должна определяться в процессе решения.

В п. 2.1 дается постановка задачи. Пласт считается напорным, ограниченным, фильтрационное течение стационарным, однофазным. В случае, когда значение числа Рейнольдса Re больше критического значения Re^, закон Дарси нарушается, и фильтрационное течение описывается двучленным нелинейным законом Форхгеймера grad h = -(А + Bv) v, где А=1/К, Ккоэффициент фильтрации, v — модуль вектора скорости фильтрации v, Вконстанта пористой среды. Для вычисления чисел Рейнольдса используется формула Ф. И. Котяхова, Г. Ф. Требина Re (v) = 4-V2K-v-p/(m1,5 • jll), где k = K-|li/(p-g), jli — коэффициент вязкости, р — плотность, g — ускорение свободного падения, m — пористость.

В п. 2.2 строится итерационный алгоритм решения поставленной задачи без декомпозиции области. На i-ой итерации решается задача фильтрации, где область применения нелинейного закона фильтрации берется с предыдущего шага (G1″ 1). После решения область G’k определяется теми конечными элементами, на которых числа Рейнольдса Re (v) больше критического значения Re^. Итерационный процесс останавливается в случае выполнения условия G'" 1 = Gk и достижения заданной точности.

В п. 2.3 строится итерационный алгоритм решения задачи, основанный на методе декомпозиции области, изложенном в п. 1.4. В каждой прискважинной подобласти решение представляется в виде суммы двух решений. Одно решение определено на сгущающейся сетке, другое — на дополнительной грубой сетке. Независимо решаются системы уравнений для сгущающихся участков сетки, затем совместно решается система уравнений для основной и дополнительных грубых сеток. При решении задач на сгущающихся участках определяются подобласти Gk по алгоритму, описанному в п. 2.2. На дополнительных грубых сетках используется линейный закон фильтрации.

В п. 2.4 приводятся результаты численных экспериментов. Рассматривался пятислойный пласт с различными толщинами слоев и коэффициентами фильтрации. Пласт считался непроницаемым за исключением кровли, на которой задавалось граничное условие 2-го рода, и противоположных участков боковой поверхности пятого слоя с граничными условиями 1-го рода. Коэффициент В выбирался таким образом, чтобы на границе перехода от линейного закона к нелинейному скорости, вычисленные с использованием законов Дарси и Форхгеймера, были близки. Результаты численных экспериментов приводятся в случаях, когда эти скорости отличались не более, чем на Av (%)=l%, 0.1%, 0.01%. Алгоритм апробирован на многопроцессорной вычислительной системе МВС-1000 при решении задач стационарной фильтрации в трехмерном неоднородном пласте с различным числом процессоров и гидродинамически несовершенных скважин.

В третьем разделе рассматривается задача фильтрации жидкости, в которой фильтрационное течение считается стационарным, однофазным, напорно-безнапорным. В задачах напорно-безнапорной фильтрации область решения, определяемая депрессионными поверхностями, неизвестна и находится в процессе решения. Применяется алгоритм решения задачи с декомпозицией области, подобный описанному в п. 1.4.

В п. 3.1 дается постановка задачи. Задача решается в области G с D. Область D представляет собой пласт, ограниченный кровлей, подошвой, боковыми поверхностями и поверхностями интервалов вскрытия скважин V^. На участках Г, и Г2 границы области D задаются граничные условия первого и второго рода. Область решения G определяется в процессе решения с учетом депрессионных поверхностей в прискважинных зонах. Участки граничных условий первого и второго рода ГС1, ГС2 определяются положением верхней границы Гнб области G, при этом Гс с Г02, Г11б = Гн + Гб, где h > z на Гн Hh = z наГ6.

В п. 3.2 строится итерационный метод для решения задачи напорно-безнапорной фильтрации жидкости, основанный на методе декомпозиции области аналогичном, изложенному в п. 1.4. Для получения начальных значений решается задача на грубой сетке в предположении, что пласт является напорным. В каждой прискважинной подобласти решение представляется в виде суммы двух решений. Одно решение определено на сгущающейся сетке, другое — на дополнительной грубой сетке. Независимо решаются системы уравнений для сгущающихся участков сетки, затем совместно решается система уравнений для основной и дополнительных грубых сеток. При решении уравнений для сгущающихся участков сетки в прискважинных областях определяются участки верхней поверхности, на которой h < z, уточняются координаты z депрессионной поверхности из условия z = h, и все сетки перестраиваются от депрессионной поверхности. На дополнительных грубых сетках режим фильтрации считается напорным.

В п. 3.3 приводятся результаты численных экспериментов. Рассматривался пятислойный пласт с различными толщинами слоев и коэффициентами фильтрации. Алгоритм апробирован на многопроцессорной вычислительной системе МКВС-Е112 с различным числом процессоров и скважин. Результаты расчетов показали, что с возрастанием числа сгущающихся участков сетки увеличивается разница во времени решения задачи по алгоритму без декомпозиции области и по предложенному алгоритму с декомпозицией области.

В четвертом разделе рассматривается задача двухфазной фильтрации жидкости. При решении задач двухфазной фильтрации на каждом временном шаге приходится определять поля давления и насыщенности. Для решения сеточных систем уравнений по давлению и насыщенности предлагается два различных метода декомпозиции области: первый метод — для решения сеточных уравнений по давлению, второй — для решения сеточных уравнений по насыщенности. Декомпозиция сеточной системы уравнений для давления описана в п. 1.4. Для решения уравнения по насыщенности предлагается новый метод декомпозиции области. Декомпозиция явных схем не представляет трудностей, но из-за наличия ячеек, соизмеримых по размеру с диаметром скважин, требуется маленький шаг по времени, что приводит к большим вычислительным затратам. Декомпозиция неявных схем требует использования предиктор-корректор процедуры. В предлагаемом методе декомпозиции области на каждом временном шаге сеточные уравнения по насыщенности для сгущающихся участков решаются независимо по неявной схеме. Согласование полученных решений с решением на грубой сетке достигается за счет сочетания элементов явной и неявной схем в определении насыщенности крупных ячеек, окружающих сгущающиеся участки.

В п. 4.1 описывается схема метода решения уравнения насыщенности, основанного на декомпозиции области. Процесс построения алгоритма для определения насыщенностей на n-ом временном шаге состоит из следующих этапов:

1) Вычисляются по явной схеме фазовые расходы, выходящие из ячеек грубой сетки, окружающих ячейки сгущающихся участков прискважинных зон.

2) Определяются насыщенности по неявной схеме для ячеек сгущающихся участков, при этом фазовые расходы, входящие в прискважинные зоны, являются граничными условиями при решении указанных систем.

3) Вычисляются по неявной схеме фазовые расходы, выходящие из ячеек сгущающихся сеток в грубые ячейки.

4) Подправляются насыщенности для ячеек грубой сетки.

В данном алгоритме насыщенности для ячеек сгущающихся участков вычисляются независимо по неявным схемам. Ячейки грубой сетки делятся на две группы. Для ячеек, окруженных грубыми ячейками, насыщенности вычисляются по явным схемам, для ячеек, примыкающих к ячейкам сгущающихся участков, насыщенности вычисляются с использованием элементов явной и неявной схем.

В п. 4.2 дается постановка задачи и строится алгоритм решения задачи двухфазной фильтрации. Рассматривается двухфазная изотермическая фильтрация нефти и воды, подчиняющаяся линейному закону Дарси. Считается, что нефть и вода несжимаемы. Гравитационные и капиллярные силы не учитываются. На внешней поверхности пласта для определения поля давления задаются граничные условия 1-го или 2-го рода. На участках внешней поверхности в суммарном потоке жидкости, поступающей в пласт, задаются доли фазовых компонентов. В начальный момент времени задаются распределения давления и насыщенностей. На скважинах задаются забойные давления.

В п. 4.3 приводятся результаты численных экспериментов. Аппроксимация систем уравнений проводится методом контрольных объемов. Рассматривался десятислойный пласт с различными толщинами слоев и абсолютными проницаемостями. Кровля пласта считалась непроницаемой, на боковых поверхностях, подошве пласта и скважинах задавались давления. Относительные фазовые проницаемости брались линейными функциями от насыщенностей. Приводятся сравнительные результаты решения в случае, когда задача решалась на одном процессоре без декомпозиции области и с декомпозицией области по предложенному алгоритму. Задача решалась с различным числом процессоров, при этом рассматривались следующие случаи:

1) использовался только метод с декомпозицией области по давлению;

2) использовался только метод с декомпозицией области по насыщенности;

3) использовались оба метода декомпозиции области.

Алгоритмы тестировались при решении модельных задач двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости с различным числом скважин со сгущающимися сетками в прискважинных зонах на многопроцессорной вычислительной системе МКВС-Е112.

В пятом разделе рассматривается задача трехфазной фильтрации жидкости. Предложенные методы декомпозиции для определения поля давлений и насыщенностей применяются в случае трехфазной фильтрации. Рассматривается фильтрация нефти, воды и газа в пласте с различным числом гидродинамически несовершенных скважин.

В п. 5.1 даётся постановка задачи. Рассматривается трехфазная изотермическая фильтрация нефти, воды и газа, подчиняющаяся линейному закону Дарси. Считается, что нефть и вода несжимаемы, и отсутствует массообмен между нефтяной и газовой фазами. Гравитационные и капиллярные силы не учитываются. В начальный момент времени считаются известными распределения давления и насыщенностей в пласте. На внешней поверхности пласта задаются граничные условия 1-го или 2-го рода для давления и известные доли фазовых компонентов на участках внешней поверхности, через которые поступают флюиды. На скважинах задаются забойные давления.

В п. 5.2. строится алгоритм решения задачи для определения поля давления и насыщенности в пласте, основанный на методах декомпозиции области изложенных ранее. Один метод — для решения сеточных уравнений по давлению, другой — для решения сеточных уравнений по насыщенности.

В п. 5.3 приводятся результаты численных экспериментов. Рассматривался десятислойный пласт с различными толщинами слоев и абсолютными проницаемостями. Кровля пласта считалась непроницаемой, на боковых поверхностях, подошве пласта и на скважинах задавалось давление. Относительные фазовые проницаемости брались линейными функциями от насыщенностей. Как и в разделе 4, рассматривалось решение задачи с различным числом процессоров в следующих случаях: использовался только метод с декомпозицией области по давлениюиспользовался только метод с декомпозицией области по насыщенностииспользовались оба метода декомпозиции области.

Алгоритмы тестировались при решении модельных задач трехфазной фильтрации жидкости с различным числом процессоров и сгущающихся участков сетки на многопроцессорной вычислительной системе МКВС-Е112. Показана эффективность алгоритма при решении задач с большим числом сгущающихся участков сетки.

В заключении приводятся основные результаты и делаются выводы.

Апробация.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

— на XI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2001, Москва-Истра, 2001);

— на IV научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан (Казань, 2001);

— на VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002) — на конференции «Современные проблемы гидрогеологии и гидромеханики» (Санкт-Петербург, 2002);

— на Всероссийской конференции «Высокопроизводительные вычисления и технологии (ВВТ-2003)"(Ижевск, 2003);

— на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004);

— на международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2006);

— на итоговых научных конференциях КазНЦ РАН;

— на семинарах Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Основное содержание диссертации изложено в работах [11, 12, 22−30, 41].

Работа выполнена в группе математического моделирования гидрогеологических процессов института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук. Постановка задач, выбор направлений и методов исследований принадлежит научному руководителю.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю канд.-физ.мат. наук Петру Алексеевичу Мазурову за предложенную тему исследований, постоянное внимание и поддержку при выполнении работы, а также сотрудникам группы математического моделирования Габидуллиной А. Н., Елесину А. В., Кадыровой А.Ш.

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах» .

Положения, выносимые на защиту:

1 Разработка новых методов декомпозиции области для решения задач фильтрации жидкости в трехмерных пластах вскрытых системой скважин, требующих сгущения сетки в прискважинных зонах.

2. Построение и реализация алгоритмов, основанных на предложенных методах декомпозиции области, для численного решения задач напорной однофазной фильтрации, подчиняющейся линейному закону Дарси и нелинейному закону Форхгеймера, напорно-безнапорной однофазной фильтрации, двухфазной и трехфазной фильтрации на многопроцессорных машинах.

3. Численное тестирование алгоритмов с использованием различного числа процессоров и сгущающихся участков сетки.

5.4. Выводы.

Разработан алгоритм для решения задачи трехфазной фильтрации жидкости в трехмерных пластах, основанный на предложенных ранее методах декомпозиции области для решения уравнений по давлению и насыщенности. Декомпозиция системы уравнений для давления основана на независимом решении уравнений для сгущающихся участков и согласовании этих решений с решением на грубой сетке за счет введения дополнительных грубых сеток. Декомпозиция сеточной системы уравнений для насыщенностей основана на независимом решении уравнений на сгущающихся участках по неявным схемам. Согласование этих решений с решением на грубой сетке достигается с использованием элементов явной и неявной схем.

Алгоритм тестировался с различным числом сгущающихся участков сетки и различным числом процессоров на многопроцессорной вычислительной системе МКВС-Е112. Показана эффективность предложенного алгоритма при решении задач с большим числом сгущающихся участков сетки по сравнению с алгоритмом без декомпозиции области.

Заключение

.

Разработаны два метода декомпозиции области для решения трехмерных задач фильтрации жидкости в нефтяных и водоносных пластах, вскрытых системой скважин, требующих сгущения сетки в прискважинных зонах. Первый метод — для определения поля давлений, второй — для определения поля насыщенностей. Декомпозиция сеточных систем уравнений по давлению и насыщенности основана на независимом решении уравнений на сгущающихся участках и новом типе согласования этих решений с решением на грубой сетке. Согласование для уравнений по давлению достигается за счет введения дополнительных грубых сеток на сгущающихся участках. Согласование для уравнений по насыщенности достигается за счет сочетания элементов явной и неявной схем.

На основе методов декомпозиции построены алгоритмы для численного решения задач: а) напорной однофазной фильтрации, подчиняющейся линейному закону Дарси и нелинейному закону Форхгеймераб) напорно-безнапорной фильтрациив) двухфазной и трехфазной фильтрации.

Алгоритмы тестировались на многопроцессорных вычислительных системах МВС-1000 и МКВС-Е112 с различным числом процессоров и с1ущающихся участков сетки.

Показана эффективность построенных алгоритмов с декомпозицией области в сравнении с алгоритмами без декомпозиции.