Исследование волновых процессов сжатия и разрежения в некоторых задачах ядерной физики и теории гравитации

Исследование волновых процессов, протекающих в сжимаемых сплошных средах, всегда было интересной и важной проблемой. Хорошо изучены движения в таких моделях среды, как идеальный совершенный газ, упругое твердое тело. В настоящее время большой интерес вызывает изучение движений в более сложных моделях, которые появляются при исследовании методами механики сплошных сред проблем, возникающих в различных областях теоретической физики.

Среди этих моделей важным классом является класс моделей, в которых может появиться неустойчивость движения, если параметры, описывающие состояние среды, достигают экстремальных значений [i]. Примерами неустойчивых движений могут служить: разрушение твердого деформируемого тела при напряжении, превышающем предел прочностифазовый переход из возникшего в процессе движения метастабильного состояния, когда плотность и температура среды находятся вблизи точки фазового перехода. Актуальность исследования волновых процессов при критических параметрах фазового перехода обусловлена, в частности, потребностями атомной энергетики. В аварийных ситуациях важно знать структуру и скорости волн разрежения, распространяющихся в веществе, находящемся в околокритическом состоянии в контуре при его аварийном разрыве [2] .

Развитие техники ускорителей многозарядных ионов дало возможность осуществлять ядерные реакции, в которых взаимодействуют достаточно тяжелые ядра. Применение для теоретического описания таких реакций известных в ядерной физике методов вызывает значительные трудности. Поскольку число участвующих в реакции частиц (нуклонов) оказывается весьма большим (^ 300), представляется возможным в данном случае рассматривать ядерную материю, как сплошную среду. В связи с этим актуальна задача построения модели взаимодействия тяжелых ядер с высокими энергиями, основанной на методах механики сплошной среды, а также задача об уточнении уравнения состояния ядерной материи при высоких темепратуре и плотности.

В настоящее время довольно интенсивно разрабатываются такие проблемы в астрофизике и космологии, как проблема коллапса массивных тел и эволюции Вселенной на ранней стадии её развития. При анализе этих проблем необходимо учитывать процессы поглощения и выделения энергии, связанные с рождением частиц, взаимодействием гравитационного поля с электромагнитным полем и другими механизмами. Исследование движения среды при этх условиях, с учётом её давления, также является важной задачей.

Остановимся более подробно на этих проблемах.

Волновые процессы в неидеальных газах экспериментально исследовались на ударных трубах [2−7]. Бшга обнаружено, что если как начальное, так и конечное состояния газа (азота [з ], фреона [2]) находятся вблизи точки фазового перехода, то ширина фронта волны разрежения не увеличивается, а крутизна его не уменьшается в процессе распространения волны, и такая волна интерпретировалась как ударная волна разрежения.

В работах [8 — Ю] исследовалось явление откола при подрыве заряда на поверхности железных и стальных пластин. Результаты этих экспериментов также дают основания для предположения о существовании ударных волн разрежения, связанных с полиморфным превращением в железе и стали. Отметим, что особенности типа ударных волн сжатия и разрежения также могут появиться при изучении движений плазмы [п] и процессов распространения радиоволн в нелинейных линиях [l2] .

Существование ударных волн разрежения в газе, если состояние его находится вблизи термодинамической критической точки, было теоретически впервые предсказано в [13] (см, также [м]). В работах [15 — 19] ударные волны разрежения рассматривались формально.

Для теоретического описания течений, в которых среда может находиться в критическом состоянии и могут происходить фазовые переходы, в качестве уравнения, замыкающего систему уравнений механики сплошной среды, берут различные полуэмпирические или модельные уравнения состояния, в частности, уравнение ван дер Ваальса. Это существенно осложняет решение задач о движении среды, поскольку могут появиться области с аномальными термодинамическими свойствами. Аномальность свойств среды понимается в смысле работы [20], где было сформулировано понятие «нормального «газа, которое обобщает понятие совершенного газа (газа, удовлетворяющего уравнению состояния Клапейрона).

В работе [2l] численно рассчитана задача о распаде произвольного разрыва в газе ван дер Ваальса, начальное состояние которого находится вблизи |фитической термодинамической точки. Было показано, что с течением времени фронт волны сжатия размывается, а ширина фронта волны разрежения не увеличивается, если возмущенное состояние также находится в области аномальных термодинамических свойств. Если же возмущенное состояние находится вне этой области, то передняя часть фронта волны разрежения остается крутой, а задняя часть, которой соответствует область нормальных термодинамических свойств — размывается со временем. В работах [22 — 28] качественно исследовались особенности течений газов с различными полуэмпирическими уравнениями состояния. Было показано, что характер течения качественно различен при различных знаках «фундаментальной производной «уравнения состояния Г =¦ pW {(F'fi/3 р2»)^,/- (в такой форме она была введена в [29]). В случае Г<0, что соответствует аномальным термодинамическим свойствам газа, получена и исследована система соотношений на поверхности разрыва, которая является ударной волной разрежения.

Во всех перечисленных работах рассматривались лишь одномерные плоские течения, поскольку это существенно упрощает задачу и позволяет сосредоточить внимание на особенностях течений, которые проявляются в том случае, когда термодинамические свойства среды становятся аномальными.

Модельным уравнением состояния, которое качественно достаточно хорошо описывает фазовый переход «жидкость-пар «является уравнение ван дер Ваальса. Оно описывает также и метастабильные состояния пересыщенного пара и перегретой жидкости, термодинамические свойства которых аномальны. Как известно [30 — 32^, это уравнение получается в предположении, что потенциальная энергия взаимодействия молекул определенным образом зависит от расстояния между молекулами. Она положительна на малых расстояниях (что соответствует отталкиванию) и отрицательна на больших (что соответствует притяжению молекул). Наличие потенциала притяжения качественно приводит к тому, что система молекул стремится к образованию связанного состояния. Если притяжение достаточно сильное, то система будет находиться в связанном состоянии, которое не требует для своего удержания внешней оболочки [31]. Мы будем рассматривать движение среды в случае, когда возможно образование такого связанного состояния, поэтому будем пренебрегать той частью потенциала взаимодействия между молекулами, которое описывает отталкивание. Это соответствует пренебрежению коволюмом в уравнении ван дер Ваальса. В этом случае уравнение состояния, записанное в переменных «плотность-энтропия «будет иметь вид, изображенный на рис. I. Таким уравнением состояния можно пользоваться и при решении некоторых задач о волновых движениях в твердых телах, например, задач о движении под действием больших ударных нагрузок, когда тензор напряжений в твердом теле можно считать изотропным [I, 36, 37] .

В Главе I диссертации рассматриваются одномерные плоские волны разрежения в среде, уравнение состояния которой имеет участок с аномальными термодинамическими свойствами. Основное внимание уделяется возможному образованию областей, в которых среда находится в связанном состоянии, и вычислению параметров среды в этом состоянии. Исходной системой уравнений служит система уравнений, описывающая движения идеальной сжимаемой сплошной среды — система дифференциальных уравнений газовой динамики, включающая уравнение неразрывности и уравнение баланса импульса, которая шесте с указанным уравнением состояния и условием постоянства энтропии является замкнутой.

В § I.I построено такое решение уравнений газовой динамики, которое интерпретируется, как решение, описывающее деление одной капли сплошной среды, (области, в которой среда находится в связанном состоянии) находящейся при избыточном давлении, на две капли и последующий разлет этих капель с постоянной скоростью. Показано, что полученное решение удовлетворяет всем условиям, необходимым для такой интерпретации.

Показано, что такая интерпретация невозможна, если используется уравнение состояния идеального газа, но становится возможной, если уравнение состояния имеет участок с аномальными термодинамическими свойствами.

В § 1.2 исследована задача о разлете в вакуум первоначально покоившейся, ограниченной с одной стороны массы среды. В этом случае, как известно [29, 33 — 36] решением уравнений газовой динамики служит римановская волна разрежения. Из-за того, что уравнение состояния имеет участок с аномальными термодинамическими свойствами, это решение оказывается негладким. Лагранжева частица среды сначала разгоняется, а начиная с некоторого момента движется с постоянной скоростью. В предположении, что в процессе разрежения могут образовываться капли среды, находящиеся в связанном состоянии, получена оценка массы лидирующей капли, а также её скорость. Эта скорость оказывается постоянной — капля движется по инерции. Показано, что разлет с образованием капель возможен лишь в том случае, когда начальное давление в газе превышает некоторую пороговую величину. Получена оценка для этой величины давления.

В § 1.3 рассмотрена задача о разлете среды, с одной стороны граничащей с вакуумом, а с другой стороны ограниченной жесткой стенкой (или задача о симметричном разлете в вакуум, тогда роль стенки выполняет плоскость симметрии). С учетом решения, полученного в § 1.2, методом характеристик построено приближенное решение за отраженной от стенки волной. Из анализа этого решения следует, что часть среды, примыкающая к стенке, остается в покое во все время разлета. Получена оценка массы этой части.

Используемое в Главе I уравнение состояния можно применить для аппроксимации уравнения состояния ящерной материи, если энергия возбуждения меньше порога мезонообразования. В связи с появлением возможности осуществлять ящерные реакции, в которых как ядро-мишень, так и налетающее ядро являются весьма тяжелыми, с атомными номерами ксенон,.

Z =54) возникла необходимость теоретического описания таких реакций. Поскольку энергия сталкивающихся ядер велика, равновесная испарительная модель оказывается неприменимой. Модификация этой модели — модель предравновесной эмиссии [43] удовлетворительно описывает реакцию только при энергии налетающего ядра, не превышающей ^ 30 Мэв/нуклон. Рас-счеты всех двухчастичных взаимодействий по каскадноиспари-тельной модели [44 J сталкиваются со значительными трудностями в силу большого числа нуклонов, участвующих в реакции (^300). В работе [45] впервые появилось высказывание о возможности коллективных движений в ядре типа ударных волн, основанное на рассмотрении ядерной сжимаемости, исходя из уравнения состояния ядерной материи [46]. При этом скорость звука оказывается, в зависимости от выбора эмпирических коэффициентов в уравнении состояния, равной 0Д4с или 0,19с (с — скорость света), а бомбардирующий ион, движущийся со скоростью звука, должен иметь энергию, соответственно, 7,5 или 16 Мэв/нуклон, что вполне достигается на современных ускорителях, для не слишком тяжелых ионов.

Оценка условий применимости газодинамического подхода к описанию столкновений атомных ядер основываются на сопоставлении длины свободного пробега в ядерном веществе с характерными размерами образующейся системы [47]. При увеличении энергии соударения плотность увеличивается и, следовательно, длина свободного пробега уменьшается, так что при соударении достаточно тяжелых ядер с большими энергиями длина свободного пробега становится много меньше размеров системы.

В работах [48 — 5l] исследовалось взаимодействие тяжелого ядра с налетающим легким, при скорости соударения, превышающей скорость звука. Были обнаружены особенности в угловых распределениях вылетевших частиц, которые интерпретировались, как преимущественный вылет частиц в направлении, перпендикулярном фронту маховской ударной волны, возбужденной легкой частицей. Однако, в аналогичных экспериментах [52] описанные особенности не наблюдались. В работе [53J указывалось, что при достигнутых энергиях экспериментально измеренные угловые распределения продуктов реакции от столкновения легкой частицы с тяжелой достаточно хорошо описываются каскадно-испарительной моделью.

В задачах о взаимодействии двух одинаковых или близких по массе ядер наибольший интерес представляют энергетические спектры вылетевших частиц. При высоких энергиях соударения форма спектра в высокоэнергетической области отклоняется от предсказаний статистических моделей — выход частиц с высокой энергией оказывается аномально большим. В работах [54 — 5б], где рассматривалась задача разлета продуктов реакции применительно к случаю столкновения двух ультрарелятивистских частиц, было показано, что внутренняя энергия частиц, ранее равномерно распределенная, за счет нестационарности процесса перераспределяется таким образом, что частицы, вылетевшие с периферии системы первыми, уносят с собой почти всю энергию. Сопоставление результатов этих работ с отмеченной выше особенностью энергетического спектра наводит на мысль о связи этой особенности с проявлением нестационарности распада образующейся системы.

Наиболее вероятным каналом реакции при взаимодействии двух тяжелых ядер является реакция через образование составной системы, которая является неустойчивой и распадается. Стадия образования составной системы рассматривалась в [48, 57], на основе термодинамических соотношений. В работах [47, 58, 59] эта стадия моделировалась соударением двух деформируемых шаров, взаимно проникающих друг в друга с образованием ударной волны. В [60] численно решалась система уравнений для плоской ударной волны, с уравнением состояния Бракнера, в [б1, 62] выведены релятивистские уравнения для ударной волны с учетом ТГ — конденсации, в [63] получены и исследованы релятивистские уравнения для ударной волны, с политропной зависимостью давления от плотности.

В § 2.1 диссертации процесс образования составной системы также моделируется процессом прохождения плоской ударной волны по сталкивающимся ядрам, причём для простоты было взято уравнение состояния идеального газа. Это позволило написать простые аналитические зависимости плотности и скорости звука в составной системе от энергии соударения. Несмотря на такое существенное упрощение, эти зависимости хорошо согласуются с аналогичными зависимостями работы [60] .

Разлет составной системы рассматривался в работах [47, 57]: в работе [47] в акустическом приближении (при условии постоянства скорости звука) — в работе [57] было получено решение для уравнения состояния идеального газа и построен энергетический спектр на основе этого решения. В § 2.2 диссертации получено решение для более общего уравнения состояния, которым можно аппроксимировать уравнение состояния Бракнера с большей точностью.

В § 2.3 на основе решения, полученного в § 2.2 построен энергетический спектр вылетевших из составной системы частиц. При этом были сделаны два следующих предположения: все эти частицы имеют одинаковую массу (массу нуклона) — энергия их сводится к кинетической энергии. Полученный спектр даёт ещё больший выход частиц с энергией, близкой к максимальной, чем спектр работы [57] и оказывается довольно чувствительным к значениям параметров, входящих в уравнение состояния. Поэтому экспериментальное изучение спектров вылетевших частиц должно помочь при уточнении уравнения состояния ядерной материи при высоких температуре и плотности.

При исследовании релятивистских течений сплошной среды в собственном гравитационном поле применительно к проблеме коллапса массивных тел и эволюции Вселенной на ранней стадии её развития необходимо учитывать такие процессы, как взаимодействие электромагнитного поля с гравитационным полем [66- 68, 72], распространение ударных волн в релятивистском газе [б9, 70], эволюция разрывов гравитационного поля [7l], рождение частиц в нестационарном гравитационном поле [72, 73 — 76 ]. Однако, в точной постановке подобные задачи оказываются очень сложными и не поддаются решению. Поэтому в некоторых случаях можно приближенно учесть эти процессы, вводя в уравнения движения среды источники энергии, а также подбирая соответствующее уравнение состояния среды. Например, может оказаться необходимым учитывать космологическую постоянную [73 — 79]. Если при этом рассматривается материя с гидродинамическим тензором энергии-импульса, то учёт космологической постоянной может привести к уравнению состояния, для которого эффективное давление отрицательно [79] .

В связи со сказанным представляет интерес рассматривать движение среды, когда в ней присутствуют источники энергии.

В этом случае в уравнениях, описывающих релятивистские течения в общей теории относительности, появляется плотность некоторой 4-х силы. Однако в работе [75] было предложено вводить источники энергии иным способом. Как известно, тензор энергии-импульса получается варьированием некоторой скалярной величины, характеризующей среду. Если среда изотропна, то этой величиной является давление. В случае присутствия в среде источников энергии было предложено варьировать не давление, а некоторую функцию его. (Этот подход, как было показано в [75], соответствует однородному распределению источников,). Тогда компоненты плотности 4-х силы выражаются через эту функцию. Кроме того, необходимо задать закон изменения плотности энтропии. Тогда система уравнений для релятивистских течений газа будет замкнутой. В работах [75,7б] эта система исследовалась применительно к проблеме космологического расширения. Было найдено однородное изотропное решение. Введенные произвольные функции (зависимость лагранжиана материи от давления и закон изменения энтропии) были выбраны таким образом, чтобы скорость расширения Метагалактики зависила от времени по определенному заданному закону.

В настоящее время в космологии рассматриваются в основном однородные изотропные модели, в частности, модели Фридмана. Представляет интерес обобщение этих моделей и в связи с этим нахождение неоднородных решений в центральной сферически-симметричной системе отсчета. Исходная система уравнений является достаточно сложной и решение её затруднительно. В работе [80 ] было предложено преобразование независимых переменных в случае, когда тензор энергии-импульса гидродинамический и движение адиабатично. В результате применения этого преобразования система уравнений расщепляется и позволяет определить параметры среды (скорость, давление и плотность энергии) как функции этих новых переменных, после чего метрические коэффициенты, а также связь старых и новых переменных находятся квадратурами. (Похожие преобразования применялись в работах [81 — 83]). В § 3.1 диссертации такое преобразование обобщено на случай неизэнтропического течения, с источниками энергии.

В ряде работ [80, 84, 85] получены и исследовались автомодельные движения газа в собственном гравитационном поле. В § 3.1 показано, что полученная система уравнений также допускает автомодельные решения. В § 3.2 найден ряд точных автомодельных решений для уравнения состояния р = К£, где К — произвольная постоянная. Найдены также соответствующие законы изменения плотности энтропии. Более подробно разобраны наиболее интересные случаи К= i/З — ультрарелятивистского и К — 1 — предельно жесткого уравнений состояния [86] .

Для исследования полученных решений и нахождения закона движения частиц среды необходимо перейти от центральной системы отсчета к лагранжевой сопутствующей. В работах [87 — 90 ] получены соотношения, связывающие метрики центральной и сопутствующей систем отсчета. В построенных специальных независимых переменных эти соотношения принимают особенно простой вид. В § 3.3 диссертации получены метрики в лагранжевой системе отсчета для всех найденных решений, а также определены и исследованы траектории на плоскости F} t лагран-жевых частиц среды.

Полученные решения могут быть использованы в качестве тестов, при рассчете на ЭВМ неизэнтропических течении среды в собственном гравитационном поле, в том случае, когда задаются конкретные источники энергии. Автомодельные решения можно использовать для определения асимптотического поведения среды на больших расстояниях от центра симметрии в задачах типа задачи о сильном взрыве [38, 39]. Найденные решения достаточно просты, все неизвестные функции определены в аналитическом виде, что облегчает их использование.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Исследованы свойства волн разрежения в идеальной среде, уравнение состояния которой содержит участок, обладающий аномальными термодинамическими свойствами. а) Рассмотрен процесс деления одной капли сжимаемой сплошной среды на две. Показано, что при моделировании этого процесса при помощи решений уравнений газовой динамики необходимо пользоваться уравнением состояния, термодинамические свойства которого аномальны. б) Получена оценка массы и скорости лидирующей капли среды в задаче о разлете в вакуум полубесконечной среды. в) Для этой же задачи получена оценка снизу начального давления, при котором возможен процесс разлета среды с образованием капель. г) Качественно исследовано решение задачи о разлете среды, ограниченной с одной стороны жесткой стенкой. Доказано, что во всё время разлета часть среды, примыкающая к стенке, остается в покое. Получена оценка снизу для массы этой части.

2. Построена газодинамическая модель взаимодействия двух близких по массе тяжелых ядер, соударяющихся с большой энергией. а) Исследованы аналитические зависимости параметров образующейся при соударении составной системы от энергии соударения. Показано, что несмотря на то, что при выводе этих зависимостей использовалось весьма упрощенное уравнение состояния, они довольно хорошо согласуются с аналогичными зависимостями, полученными численным рассчетом с использованием уравнения состояния Бракнера. б) Получено решение, описывающее разлет возбужденной составной ядерной системы с использованием уравнения состояния, моделирующего уравнение Бракнера. в) На основе полученного решения построен энергетический спектр вылетевших нуклонов. Показано, что спектр дает значительный выход частиц с энергией, близкой к максимальной и оказывается довольно чувствительным к занчениям параметров, входящих в уравнение состояния.

3. Исследованы центрально-симметричные релятивистские течения среды в собственном гравитационном поле в присутствии источников энергии. а) На случай неадиабатических течений обобщено преобразование, позволяющее расщепить систему уравнений на две системы, одна из которых определяет параметры среды, а вторая — позволяет определить гравитационное поле. б) Получено и исследовано несколько новых точных автомодельных решений. Определены и исследованы траектории на плоскости t*, «t лагранжевых частиц среды.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю проф. К. П. Станюковичу, а также докт. ф-м.н. В. Н. Мельникову и канд. ф-м.н. В. М. Николаенко за многочисленные и плодотворные дискуссии.