Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка
Однако в конце XIX века попытки исследовать типично неголоном-ные задачи привычными методами голономной механики (К.Нейман, Э. Кричини, Г. Схоутен, Л. Больцман и т. д.) привели к ряду знаменитых ошибок, привлекших пристальное внимание ведущих ученых того времени и сыгравших решающую роль в становлении неголономной механики. Наиболее известна в этом отношении работа Э. Линделёфа, предлагавшего для… Читать ещё >
Содержание
Актуальность работы и ее цель. Неголономная механика — это важнейший раздел аналитической механики, и одним из направлений ее развития является изучение движения систем со связями высокого порядка. Здесь разработано большое количество форм записи уравнений движения (PI. Нильсен, И. Ценов, До Шань, Мэй Фунсян, H.H. Поляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков и др.) и выдвинут ряд вариационных принципов (Манжерона— Делеану, обобщенный принцип Гаусса). Помимо специальной литературы эти вопросы обсуждаются и в монографиях по неголономной механике (напр., В. В. Добронравова, 1970 г., Г. Гамеля, 1949 г., H.H. Поляхова, С. А. Зегжды, М. П. Юшкова, 1985 г., С. А. Зегжды, Ш. Х. Солтаханова, М. П. Юшкова, 2005, 2009 гг.). При создании теории движения систем со связями высокого порядка была сформулирована смешанная задача динамики, когда движение системы должно подчиняться дополнительной системе дифференциальных уравнений порядка п ^ 3. С позиций неголономной механики эту дополнительную систему можно рассматривать как связи высокого порядка, но фактически она является программой движения, осуществление которой выполняется созданием управляющих сил, определяемых как реакции этих связей высокого порядка (поэтому их лучше называть программными связями). Тем самым формулируется новый класс задач управления.
В работе приведены примеры реальных механических систем, движение которых находится как решение смешанных задач механики. Основная же цель работы состоит не только в дальнейшей разработке теории смешанной задачи механики, но и в распространении ее для решения таких практически важных задач управления, как перемещение механических систем за заданное время из одного состояния в другое заданное состояние. Тем самым выбранную тему исследования можно считать актуальной.
Научная новизна. Разработан общий подход к решению смешанной задачи динамики, которая заключается в отыскании дополнительных обобщенных сил, обеспечивающих выполнение программных связей, заданных в виде системы дифференциальных уравнений порядка п ^ 3- составлена совместная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат и неизвестных реакций связей- впервые приведены и исследованы два примера реальных механических систем из области космонавтики при нелинейной неголономной связи второго порядка и при линейной неголономной связи третьего порядка- введено понятие управляющей силы при связях высокого порядка- найдены условия, при которых управление движением при связях любого порядка осуществляется в соответствии с принципом Гаусса- дана новая трактовка обобщенного принципа Гаусса, и он применен для нахождения управляющей силы при гашении колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы и с распределенными параметрами- указанный подход может быть использован и для нахождения управляющей силы, обеспечивающей перемещение механической системы из заданного состояния в новое состояние в течение заданного промежутка времени. Тем самым, в научный оборот вводится новый класс задач управления, причем предложенными методами решен ряд реальных механических задач, имеющих практическое значение.
Помимо этого, доказана эквивалентность основных форм уравнений движения неголономных систем уравнениям Маджи, решено большое количество неголономных задач, в пространственном случае исследовано наведение на цель по методу погони как неголономная задача, показана необходимость введения системы управления для реализации нелинейной неголономной связи в задаче Аппеля—Гамеля и доказано, что введение такой связи подменяет в задаче диск шаром, предложена методика составления уточненных уравнений движения сложных механических систем на основе применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленных задач классических методов аналитической механики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории упругости и дифференциальной геометрии. Результаты, относящиеся к решению конкретных задач, согласуются с выводами других авторов и с экспериментальными данными.
Теоретическое и практическое значение. Разработанная теория решения смешанных задач механики, отражающих фактически новый класс задач управления, может быть применена для новых решений практически важных задач по нахождению управляющей силы, переводящей в заданный промежуток времени механическую систему из имеющегося состояния в любое другое заданное состояние, в частности, при наличии устойчивого положения равновесия эта задача превращается в задачу о гашения колебаний. Помимо этого, полученные результаты могут быть использованы при исследовании движения автомобиля и колесных мобильных роботов, при изучении переходных процессов в системах с гидродинамическими передачами, при рассмотрении работы машинных агрегатов с вариаторами, для решения смешанных задач динамики, например, для обеспечения плавного перевода спутника с одной круговой орбиты на другую.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 9—ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), на всероссийских и международных конференциях по механике «Поляховские чтения» на базе Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1997 г., 2000 г., 2003 г., 2006 г., 2009 г.), на всероссийской и международной научно—практических конференциях
Окуневские чтения" на базе Балтийского государственного технического университета «Военмех» (Санкт-Петербург, 1997 г., 2000 г.), на всероссийской научной конференции «Интеграция науки, образования и производства — решающий фактор возрождения экономики и социальной сферы в посткризисный период» на базе Комплексного научно—исследовательного института РАН (Грозный, 2000 г.), на международном научном симпозиуме «Пуанкаре и проблемы нелинейной механики» на базе Балтийского государственного технического университета «Военмех» (Санкт—Петербург, 2004 г.), на 9-ом международном семинаре им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» на базе Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (Москва, 2006 г.), на международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ—2007» (Санкт-Петербург, 2007 г.), на международных конференциях «Магдебургские дни машиностроения» (Германия, Магдебург, 2003 г., 2005 г., 2007 г., 2009 г.), на «Второй научной конференции по динамике, вибрациям и контролю» (Китай, Пекин, 2006 г.), на «Втором научном конгрессе по механике» (Сербия, Субботица, 2009 г.), на научных семинарах (Франция, Париж, Институт шоссе и мостов, 2005 г., Италия, Салерно, Университет Салерно, 2007 г.).
Неоднократно результаты диссертации докладывались и обсуждались на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт—Петербургского государственного университета (2005г., 2006 г., 2007 г., 2009 г., 2010 г.), на заседаниях секции теоретической механики им. H.H. Поляхова при Санкт— Петербургском Доме ученых РАН (2005 г., 2006 г., 2008 г., 2010 г.), а также на научном семинаре в Институте проблем механики РАН (руководитель академик РАН Ф. Л. Черноусько, Москва, 2006 г),
Объем, структура и краткое содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения и списка литературы, насчитывающего 368 наименований. Число иллюстраций равно 44. Общий объем работы 237 страниц.
Во введении излагаются основные этапы развития неголономной механики, отмечается возможность применения ее методов для решения конкретных технических задач, прослеживается связь неголономной механики и теории управления, подчеркивается целесообразность использования понятия касательного пространства для векторного представления уравнения движения механической системы произвольной структуры, обсуждается возникновение обобщенного принципа Гаусса, подчеркивается роль связей высокого порядка для создания нового класса задач управления, указывается возможность применения обобщенного принципа Гаусса к задачам гашения колебаний механических систем.
В главе I рассматривается движение системы материальных точек, стесненное неголономными связями, с помощью введения понятия изображающей точки по Герцу. Поясняется векторная структура реакции неголономных связей, предложенная H.H. Поляховым. Векторная форма используется и при выводе уравнений Маджи и уравнений Лагранжа второго рода с множителями. Доказывается эквивалентность основных форм уравнений движения неголономных систем уравнениям Маджи. Приводится решение большого количества задач с помощью различных видов дифференциальных уравнений движения неголономных систем. Из уравнений Маджи получен принцип Суслова—Журдена, и, в свою очередь, из этого же принципа выведены уравнения Маджи и уравнения Лагранжа второго рода с множителями. С помощью принципа Суслова—Журдена получены уравнения движения редуктора Новоселова.
В главеИ вводится касательное пространство к многообразию всех положений механической системы, которые она может иметь в данный момент времени. В результате уравнения Лагранжа второго рода свободной системы удается записать в виде одного векторного уравнения, при этом обобщенные силы оказываются ковариантными компонентами вектора активной силы, действующей на систему. При наложении на движение системы голо-номных, неголономных связей и линейных относительно обобщенных ускорений связей касательное пространство удается разбить на прямую сумму двух подпространств «А»" и «L». В К—пространстве уравнения связей полностью определяют соответствующую компоненту WK вектора ускорения системы W, а в другом при идеальных связях компонента R^ реакции связей R оказывается равной нулю. Вектор R^ находится как известная функция времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей системы. Приводится геометрическая интерпретация влияния связей на формирование компонент вектора ускорения системы. Векторному уравнению движения несвободной механической системы в зависимости от вида связей сопоставляются дифференциальные вариационные принципы Даламбера—Лагранжа, Суслова— Журдена, Гаусса. Обсуждается взаимосвязь и единство этих принципов.
В главе III рассматривается возможность применения аппарата него-лономной механики для решения некоторых задач управления. Изложение опирается, прежде всего, на работы А. Бегена, П. Аппеля, Г. Гамеля, В. И. Киргетова, H.H. Поляхова, С. А. Зегжды, М. П. Юшкова. Теория управления движением механической системы с неголономными связями, зависящими от параметров, применена для решения двух задач на управляемое движение. В случае преследования цели по методу погони различными методами неголономной механики, в том числе и с помощью линейных преобразований сил, изложена плоская и решена пространственная задачи. Исследуется проблема Аппеля—Гамеля о движении с нелинейной неголономной связью, дается техническая реализация предельного случая, показано, что замена предельным переходом линейных связей нелинейной неголономной связью подменяет изучение движения диска с острой кромкой изучением движения шара. Поясняется, что подобная нелинейная неголономная связь может быть реализована только с помощью введения специальной системы управления, обеспечивающей ее выполнение.
В главе IV на базе расширения теории движения классических неголо-номных систем, изложенной в главах I и II, на случай неголономных связей высокого порядка формулируется смешанная задача механики (обобщенная задача П.Л. Чебышёва). Под такой задачей понимается нахождение решения системы дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющего дополнительной системе дифференциальных уравнений, содержащей линейно производные от координат выше второго порядка. Эта дополнительная система дифференциальных уравнений рассматривается как набор идеальных неголономных связей высокого порядка (они фактически являются программными связями), реакция которых обеспечивает их выполнение. Вводятся понятие управляющей силы, выполняющей условия программных связей, и понятие идеального управления. Обобщенные реакции связей отыскиваются как неизвестные функции времени, относительно них и обобщенных координат строится совместная система дифференциальных уравнений. Исследуется связь смешанной задачи механики и вариационных принципов Гаусса и Манжерона—Делеану. Смешанные задачи механики образуют новый класс задач управления. Впервые формулируются два реальных механических примера с нелинейной неголономной связью второго порядка и с линейной связью третьего порядка. Примеры относятся к области космонавтики и отражают движение искусственного спутника Земли с постоянным по величине ускорением и плавный перелет спутника с одной круговой орбиты на другую.
В главе V излагается обобщенный принцип Гаусса (принцип Поляхова— Зегжды—Юшкова) и дается его новая трактовка. Данный принцип применяется для дополнительного исследования движения спутника с постоянным по модулю ускорением как системы, подчиненной линейной неголономной связи третьего порядка. Управление движением тележки с маятниками с помощью применения принципа максимума Понтрягина формулируется как смешанная задача механики. Для решения этой же задачи предлагается применять обобщенный принцип Гаусса. Оказывается, что при первом пути решения задачи управление строится в виде суммы гармоник с собственными частотами системы. Такое решение раскачивает систему, стремясь вызвать в ней резонанс. При использовании же обобщенного принципа Гаусса управление находится в виде полинома, обеспечивающего плавное движение системы за заданный промежуток времени из одного состояния в другое. При малом времени перемещения результаты, полученные обоими методами, практически совпадают, а при длительном движении в системе успевают в первом случае развиться интенсивные колебания, а при втором подходе колебания остаются незначительными.
Помимо этого, в данной главе обобщенный принцип Гаусса применяется для гашения поперечных колебаний вертикального стержня, основание которого перемещается горизонтально на заданное расстояние в течение заданного промежутка времени. Управлением является ускорение основания. Существенно, что постановка задачи при использовании обобщенного принципа Гаусса позволяет формулировать обобщенную постановку краевой задачи, при которой в момент остановки основания требуется обращение в нуль не только скорости, но и ускорения. Найдены границы изменения безразмерного параметра, при которых достаточно гасить либо две первых формы колебаний, либо лишь основную форму колебаний, либо вообще не требуется гасить колебания стержня.
Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Возникновение неголономной механики. Как известно, неголоном-ная механика возникла из необходимости решать задами о перекатывании твердых тел без проскальзывания. Следует отметить, что еще до возникновения неголономной механики классики механики (И. Ньютон, Л. Эйлер, И. Бернулли, Я. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж, С. Пуассон и др.) решали подобные задачи с помощью основных теорем механики.
Однако в конце XIX века попытки исследовать типично неголоном-ные задачи привычными методами голономной механики (К.Нейман [324], Э. Кричини [267], Г. Схоутен [343], Л. Больцман [253] и т. д.) привели к ряду знаменитых ошибок, привлекших пристальное внимание ведущих ученых того времени и сыгравших решающую роль в становлении неголономной механики. Наиболее известна в этом отношении работа Э. Линделёфа [311], предлагавшего для изучения перекатывания тела, ограниченного поверхностью вращения, под действием консервативных сил, зависящих от координат точки касания тела, вместо общих теорем динамики, используемых в монографии С. Пуассона [337], исходить из принципа Гамильтона или из уравнений Лагранжа второго рода, которые можно из него получить. Написав два уравнения неголономных связей, он использует их при составлении кинетической энергии и ошибочно считает, что этим полностью учтена неголономность задачи, а поэтому можно составлять уравнения Лагранжа второго рода. Естественно, что полученная таким образом система дифференциальных уравнений оказалась проще истинной и могла быть решена в квадратурах. Ошибка Э. Линделёфа базировалась на предположении о том, что реакция идеальной неголономной связи имеет такую же структуру, как и реакция идеальной голономной связи. Однако идеальные голономные и неголономные связи имеют принципиально различные векторы реакций связей, о чем подробнее будет указано ниже.
Внешне изящное, но неверное решение Э. Линделёфа настолько понравилось П. Аппелю, что он в качестве примера на применение уравнений Лагранжа второго рода поместил его в § 452 своего первого издания учебника по теоретической механике [247]. Во втором издании 1898 г., ссылаясь на исследования Ж. Адамара [282] и А. Фиркандта [358], он пишет: «. результаты Линделёфа ошибочны. Я указал на эту ошибку Линделёфу в 1898 г. и сделал исправление в следующих изданиях моего «Traite» «.
Приятно отметить, что допущенную Э. Линделёфом существенную ошибку первым, уже в год опубликования работы Э. Линделёфа, заметил.
С.А. Чаплыгин, о чем уведомил автора, а 25 октября 1895 г. сделал об этом доклад на заседании отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. С. А. Чаплыгин отмечает, что в своей работе «. на первых же страницах. Линделёф допустил важную ошибку, вследствие которой найденные им уравнения оказались проще истинных, чем и объясняется весь кажущийся успех автора». В этом же докладе С. А. Чаплыгин впервые приводит свои уравнения движения неголономных систем. Через два года он нашел правильное решение задачи Линделёфа и опубликовал свои результаты в статье [222].
Как самостоятельный раздел механики Ньютона неголономная механика оформилась в работе Г. Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи» [288]. Именно ему принадлежат термины голономные и неголономные системы.
Уравнения неголономной механики. Выяснилось, что идеальные голономные и неголономные связи имеют принципиально различные векторы реакций связей, поэтому вместо уравнений Лагранжа второго рода при изучении движения неголономных систем следует пользоваться уравнениями Лагранжа с множителями. Одними из первых правильные уравнения движения при наложении неголономных связей предложили М. Феррерс [279] и Е. Раус [341]. М. Феррерс рассматривал случай, когда неголономные связи представлены в виде выражений производных от декартовых координат как линейные функции от обобщенных скоростей, а уравнения Е. Рауса содержали множители Лагранжа, причем для линейных связей он ввел форму, которая в настоящее время в литературе обычно называется уравнениями Лаграноюа второго рода с множителями [45].
Первые уравнения без множителей Лагранжа в неголономной механике ввел С. А. Чаплыгин в упоминавшихся выше докладе и статье [222]. Эти уравнения были получены при некоторых ограничениях, но выполнявшихся для большинства реальных механических задач, изучавшихся в то время. Такие системы стали называться системами Чаплыгина.
Фактически одновременно с С. А. Чаплыгиным общие уравнения для систем с любыми идеальными линейными неголономными связями получил и Г. Маджи [313]. Уравнения Маджи являлись линейными комбинациями уравнений Лагранжа второго рода. К сожалению, эти уравнения долгое время не были замечены современниками. Именно это обстоятельство побудило Маджи опубликовать заметку [314], в которой он показал, что уравнения Воль-терра и Аппеля могут быть получены из уравнений, предложенных им еще в 1896 г. в его книге по механике.
Позже А. Пшеборский [338] распространил уравнения Маджи на нелинейные неголономные связи. Отметим, что из уравнений Маджи могут быть получены все основные формы уравнений движения, обсуждаемые ниже.
Работа С. А. Чаплыгина привлекла большое внимание многих выдающихся ученых своего времени. Были предложены различные формы уравнений движения неголономных систем без множителей Лагранжа. Это уравнения В. Вольтерра [359], Л. Вольцмана [254], П. В. Воронца [27], Г. Гамеля [284] и др. Установленные ими различные виды уравнений движения неголономных систем составлены в квазикоординатах и имеют общую структуру уравнений Лагранжа второго рода с корректирующими аддитивными членами неголономности. Уравнения, полученные П. В. Воронцом, Л. Больцманом, Г. Гамелем, весьма похожи по внешнему виду и выводились почти одновременно. Этим объясняется тот факт, что в современной научной литературе у различных авторов они имеют разные наименования. Предлагались и иные формы уравнений движения, например, уравнения П. Аппеля [248], Ж. Куанжеля [340], И. Ценова [354], И. Схоутена [344], Н. Н. Пбляхова [166, 167].
Новое направление в получении уравнений движения дала статья А. Пуанкаре [336]. Как пишет В. В. Румянцев [192, с. 3], «замечательная идея Пуанкаре представлять уравнения движения голономных механических систем с помощью некоторой транзитивной группы Ли бесконечно малых преобразований была развита Четаевым [230, 231, 265] па случай нестационарных связей и зависимых переменных, когда группа преобразований интран-зитивна. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре к виду канонических уравнений и разработал теорию интегрирования этих уравнений». Теория Пуанкаре-Четаева работами Л. М. Мархашова, В. В. Румянцева, Фама Гуе-на [131, 132, 191, 192, 194, 211, 212, 213] была распространена и на него-лономные линейные системы. В 1998 г. В. В. Румянцев [194] расширил уравнения Пуанкаре-Четаева и для нелинейных неголономных связей, поэтому эти уравнения следует называть уравнениями Пуанкаре-Четаева-Румянце-ва. Как отмечает В. В. Румянцев [193], эти уравнения являются общими уравнениями неголономной механики, из них могут быть выведены все остальные виды уравнений движения. В работе [66] дается геометрическая интерпретация уравнений Пуанкаре-Четаева-Румянцева.
Многие исследователи для вывода уравнений движения неголономных систем использовали принцип Даламбера-Лагранжа, справедливый для голономных систем, доопределив понятие возможных перемещений при наложении неголономных связей. Дж.У. Гиббс [281] и П. Аппель [247] для этого случая вводили возможные перемещения по правилам, фактически отождествлявшим их с возможными скоростями, что является вполне естественным. Но именно с понятием возможных скоростей связал соответствующий принцип неголономной механики Ф. Журден [296, 297]. Отметим, что практически этот же иринцип, но с несколько видоизмененной терминологией сформулировал и Г. К. Суслов [201]. В связи с этим вариационный дифференциальный принцип для неголономных систем справедливо называть принципом Суслова-Журдена [171].
Параллельно с получением уравнений движения (и для вывода уравнений движения) изучался вопрос и о дифференциальных вариационных принципах неголономной механики. Применение в неголономной механике одновременно принципов и Даламбера-Лагранжа, и Журдена, и Гаусса ставило вопрос о взаимосвязи дифференциальных вариационных принципов механики. Уже в начале XX века этому вопросу уделялось внимание (например, статья Р. Лейтингера [305]), однако всестороннее изучение этой проблемы было начато работой Н. Г. Четаева [229] и завершено исследованиями В. В. Румянцева [186, 187]. Этому направлению и в настоящее время уделяется большое внимание [104, 262, 349].
Н.Г. Четаев в той же статье [229] вводит важнейшее понятие для неголономной механики — возможные перемещения системы при наличии нелинейных неголономных связей (связи типа Четаева). Аналогичную аксиому идеальности неголономных связей вводил и А. Пшеборекий [338] при распространении уравнений Маджи на случай нелинейных неголономных связей. Отдавая должное соответствующим рассуждениям П. Аппеля, B.C. Новоселов такие условия называет условиями Аппеля-Четаева и для соответствующих возможных перемещений вводит термин «Л-перемещений» [157]. Дж. Папаставридис называет данные условия определением Маурера-Аппеля-Четаева-Гамеля возможных перемещений при наличии нелинейных неголономных связей [331, 332]. Эти условия являются основным аппаратом исследований в неголономной механике.
И в настоящее время большое внимание уделяется созданию новых форм уравнений движения неголономных систем и расширению имеющихся видов уравнений на более широкий класс связей (см., например, статьи A.PI. Ван-дер-Шафта и Б. М. Машке [356], Дж. Папаставридиса [330]). Здесь можно обратить внимание на новую форму уравнений неголономной (и голономной) механики, предлагаемую Я. В. Татариновым [207], охватывающую известные записи уравнений движения, причем большинство слагаемых находится с помощью формальной скобки Пуассона. В работе Ф. Удвадиа и Р. Калабы [355] при определении реакций связей, представленных в виде линейных неголономных связей второго порядка, используется матричное исчисление. Разбиение уравнениями связей всего пространства на два ортогональных подпространства автоматически при этом осуществляется за счет использования обобщенной инверсии Мура (Мора) и Пенроуза, предложенной еще в 1920 г. [323, 334]. По мнению авторов «уравнения движения, полученные в этой статье, являются, по-видимому, самыми простыми и всеобъемлющими из выве-деных до сих пор». Много внимания уделяется созданию компьютерно ориентированных методов, опирающихся на использование матричных форм записи уравнений движения. Среди этих работ, в первую очередь, можно выделить статьи В. В. Величенко [19], М. Борри, К. Богассо, П. Мантегацца [256], Ю. Г. Мартыненко [127].
Отметим, что заметный резонанс, особенно в западной литературе, получили уравнения Кейна [300], с их помощью решен целый ряд задач неголономной механики. Однако, многочисленными исследованиями [255, 271,.
322, 345j показана прямая связь уравнений Кейна с уравнениями Маджи и Гиббса-Аппеля.
Некоторые проблемы неголономной механики. Выше отмечалось, что первой трудностью, с которой столкнулась иеголономная механика, была необходимость выяснения формирования вектора реакции пеголоночных связей.
Как известно, при наложении идеальных голономных связей fo (t, q)= 0, q = (q., qa), x = (0.1) их реакция направлена по нормали к поверхности fo{t, q) = 0, х = 1, к, и выражается вектором f) fx dqT где ет, т = l, s, являются векторами взаимного базиса введенной криволинейной системы координат. Интересно, что выражения обобщенных реакций А*, х— 1, к, как функций времени и обобщенных координат и скоростей.
Ах = А «(i, q, q), x = Tjc, (0.2) были получены в начале ХХ-го столетия Г. К. Сусловым [202] и A.M. Ляпуновым [118].
Вектор реакции идеальных неголономных связей fii. t, q, q) = o, (о.з).
H.H. Поляхов предложил представлять в виде [167, 168] я fx.
Введенный здесь вектор л fx д-, r = i, s, естественно назвать вектором Поляхова, он является обобщенным оператором Гамильтона, так как если после дифференцирования голономных связей (0.1) по времени их условно представить в виде неголономных связей (0.3), то их операторы Поляхова совпадут с операторами Гамильтона для связей (0.1).
Длительное время не удавалось получить выражения типа (0.2) для неголономных связей. Впервые с использованием понятия изображающей точки по Герцу для изучения несвободного движения системы материальных точек выражения множителей Лагранжа как функций времени и обобщенных координат и скоростей А^ = А&bdquo-{t, q, q), я = 1, к, при наложении идеальных нелинейных неголономных связей были получены H.H. Поляховым,.
С.А.Зегждой, М. П. Юшковым в 1981 г. [169]. В 1985 г. эти результаты были повторены в учебнике для университетов «Теоретическая механика» [173] этих же авторов. Помимо этого, было показано, что уравнениями связей (0.3) все пространство разбивается на прямую сумму двух подпространств К (размерности к) и L (размерности I = s — к), причем в первом из них составляющая ускорения системы полностью задается уравнениями неголономных связей, а во втором при идеальных связях уравнение движения имеет вид второго закона Ньютона для свободного движения системы в подпространстве L.
К сожалению, эта русскоязычная литература не была замечена за границей, и позже в разной редакции эти результаты были повторены в США (J.Storch, S. Gates, 1989 г. [352]), в России (В.В. Величенко, 1991 г. [19]- Ю.Ф., Голубев, 1999 г. [39]), в Италии (М. Borri, С. Botasso, P. Mantegazza, 1992 г. [256]), в Польше (W. Blajer, 1992 г. [252]), в Швеции (H.Essen, 1992 г. [277]).
Указанные выше результаты были распространены на случай движения произвольной механической системы, стесненной идеальными линейными неголономными связями до второго порядка включительно (об этом подробнее см. ниже).
О трудностях создания формулировки вариационного принципа механики, эквивалентного получаемым уравнениям движения неголономных систем, говорилось в предыдущем пункте. Попытка распространить идеологию движения голономных систем на движение неголономных систем и, тем самым, желание воспользоваться принципом Даламбера-Лагранжа привели к необходимости наложить на возможные перемещения 5q°, а = l,.s, условия Четаева (Маурера-Аппеля-Четаева-Гамеля):
В этом случае привычный принцип Даламбера-Лагранжа переходит в обобщенный принцип Даламбера-Лагранжа справедливый для неголономных систем. Именно с помощью принципа (0.5) распространял, например, А. Пшеборский [338] уравнения Маджи на случай идеальных неголономных нелинейных связей. Однако, если следовать Г. К. Суслову и П. Журдену и в неголономных связях (0.3) вариировать при фиксированных времени и обобщенных координатах лишь обобщенные скорости 6'с[а, а = 1, в, то вместо постулируемых соотношений (0.4) придем к строгим математическим условиям на вариации обобщенных скоростей:
0.4).
СГ — 1, S ,.
0.5).
Я fx.
-?-5'qa = 0, х=1,к, а = 1, з. f) Aa 4 '.
0.6).
В этом случае обобщенный принцип Даламбера-Лагранжа (0.5) переходит в принцип Суслова-Журдена (0.7):
Сравнение формул (0.4)-(0.7) поясняет единство и взаимосвязь принципов Даламбера-Лагранжа и Суслова-Журдена.
Большое внимание в неголономной механике уделялось вопросам реализации неголономных связей (исследования A.B. Карапетяна, К. Каратеодори, В. В. Козлова, И. В. Новожилова, В. В. Калинина, H.A. Фуфаева и др. [77, 97, 145, 216, 261]). Особенно большой интерес вызывал пример Аппеля-Гамеля [249, 250, 286], рассматриваемый с точки зрения возможности создания механическим путем нелинейной неголономной связи. К обсуждению этого примера часто возвращаются и современные исследователи. Некорректность предельного перехода, проведенного П. Аппелем и Г. Гамелем, пояснена Ю. И. Неймарком и H.A. Фуфаевым [140]. Переход к нелинейной связи, использованный Аппелем-Гамелем, фактически сводит задачу о качении диска к исследованию движения шара. Таким образом, в классической неголономной механике считается, что при движении твердых тел без проскальзывания и при наличии острых краев могут осуществляться лишь линейные неголо-номные связи. Новый подход по учету взаимодействия тела с поверхностью дают работы В. Ф. Журавлева [56, 57].
Наряду с изучением движения неголономных систем с переменными массами, с неудерживающими связями, с неидеальными связями много внимания уделялось и уделяется исследованию устойчивости и стабилизации движений неголономных систем (напр., работы В. И. Калёновой, В. М. Морозова, М. А. Салминой [74], A.B.Карапетяна [76−82, 196], В. В. Козлова [94, 95], A.C. Кулешова [107, 301], А. П. Маркеева [124], Ю. И. Неймарка и H.A. Фуфаева [141, 142], М. Паскаль [163], В. В. Румянцева [181−184, 189−190, 196], Лилона Кая [310], А. Нордмарка и X. Эссена [327], Жу Хайпина и Мэя Фунсяна [367], П. Хагедорна [283] и др). Весьма интересными здесь являются исследования по устойчивости вращения кельтских камней, необычную особенность вращения которых впервые подметил Г. Т. Уолкер еще в 1895 г. [362].
При изучении движения тел без проскальзывания по неподвижным поверхностям авторы уделяли много внимания интегрированию системы дифференциальных уравнений. Но особенно большое количество работ, посвященных математическим вопросам интегрируемости уравнений движения неголономных систем, появилось, начиная с конца 70-ых годов ХХ-го столетия. Здесь можно упомянуть работы A.A. Афонина, A.B. Борисова, A.A. Бурова, А. П. Веселова, Л. Е. Веселовой, A.B. Карапетяна, A.A. Килина, В. В. Козлова, С. Н. Колесникова, A.C. Кулешова, И. С. Мамаева, А. П. Маркеева, Н. К. Мощука, Ю. Н. Федорова, В. А. Ярощук и др. Среди этих исследований, в свою очередь, выделяются работы В. В. Козлова [93] и А. П. Маркеева [122, 123]. Своеобразной энциклопедией этого научного направления является сборник работ [12], в котором удачно собраны опубликованные ранее и специально написанные статьи, посвященные исследованию динамики качения тел.
Применение в начале XX столетия тензорных методов в механике неголономных систем привело к появлению новой области геометрии — неголономной геометрии. На развитие этого направления были направлены работы В. В. Вагнера, Г. Вранчеану, А. Вундхейлера, З. Горака, А. М. Лопшица, П. К. Рашевского, Дж. Синджа, И. Схоутена, В. Чжоу. Математические аспекты неголономной механики исследовались в работах В.PI. Арнольда, A.M. Вершнка, А. П. Веселова, Л. Е. Веселовон, В. Я. Гершковича, В. В. Козлова, М. Леона, Л. М. Мархашова, A.PI. Нейштадта, H.H. Петрова, П. Р. Родригеса, Д. М. Синцова, С. Смейла, Л. Д. Фаддеева, Д. П. Шевалье и др. Особое значение для их понимания имеют монографии В. PI. Арнольда [3], А. Д. Брюно [13], Б. А. Дубровина, С. П. Новикова,.
A.Т.Фоменко [52], К. Трусделла [353].
Новым направлением в исследовании движения неголономных систем является использование современных компьютеров. С их помощью удалось выявить, например, возможность возникновения в неголономных системах хаоса и аттракторов [12], удачное компьютерное моделирование движения кельтского камня приведено в работе И. И. Косенко и М. С. Ставровской [102].
Применение теории движения неголономных систем к решению технических задач. Теория движения неголономных систем успешно применялась и применяется при решении различных технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла (М. Бурле, М. Буссинеск, Е. Д. Дикарев, С. Б. Дикарева, Е. Карвалло, A.M. Летов, PI.PI. Метелицын,.
B.К.Пойда, H.A. Фуфаев [165, 258, 263]), в различных машинах с вариаторами скорости (PI.И. Артоболевский, PI.PI. Вульфсон, Я. Л. Геронимус, В. А. Зиновьев, A.PI. Кухтенко, A.B. Мальцев, B.C. Новоселов, Б. А. Пронин, PI.PI. Тартаковский [5, 28, 35, 108, 119, 149, 177]), в теории движения электромеханических систем (A.B. Гапонов, В. А. Диевский, О. Енге, Г. Килау, А. Ю. Львович, П. Майсер, Ю. Г. Мартыненко, Ф. Ф. Родюков, PI. Штайген-бергер [32, 33, 44, 116, 117, 125, 276, 316, 351]) и в целом ряде других областей техники (например, обкатка ротора по жесткому подшипнику [41]). В последние годы проводились исследования, посвященные движению спортсмена на скейтборде и снейкборде (Ю.Г. Р1сполов, Б. А. Смольников [291], А. С. Кулешов [106]). Особенно успешно эта теория применяется для создания теории движения автомобиля (А.Б. Бячков, Н. Е. Жуковский, П. С. Линейкин, Л. Г. Лобас, Ю. Р1.Неймарк, В. К. Пойда, H.A. Фуфаев, Е. А. Чудаков, Ю. С. Шевердин, М. П. Юшков [55, 60, 113, 114, 142, 165, 233, 238]) и теории взаимодействия колеса и дороги (В.Г. Виль-ке, В. Гоздек, М. И. Есипов, А. Ю. Ишлинский, М. В. Келдыш, И. В. Новожилов, П. Рокар, H.A. Фуфаев [23, 24, 84, 144]). В свою очередь, сложное неголономное взаимодействие шины с дорогой М. А. Левин и H.A. Фуфаев описали феноменологической моделью качения деформируемого колеса [60, 110]. Эта модель позволяет определять силу и момент, действующие при движении автомобиля на колесо со стороны дороги. При таком подходе движение системы описывается обычными уравнениями Лагранжа второго рода. Именно таким путем составляли Е. В. Абрарова, А. А. Буров, С. Я. Степанов, Д. П. Шевалье уравнения движения для исследования устойчивости стационарных движений сложной автомобильной системы, состоящей из тягача-полуприцепа со сцепкой [1].
Теория неголономных систем применяется и при решении ряда задач робототехники. В частности, здесь в настоящее время активно изучаются вопросы динамики и управления мобильными колесными роботами (см., напр., работы А.PI. Кобрина, Ю. Г. Мартыненко, А. В. Ленского, Д. Е. Охоцимского, [128, 129]).
Использование понятия касательного пространства для изучения движения неголономных систем. Для расширения результатов статьи [169] можно ввести касательное пространство к многообразию всех положений системы, которые она может иметь в данный момент времени. Тогда удается записать уравнения Лагранжа второго рода свободной механической систем с s степенями свободы в виде одного векторного уравнения. Основной и взаимный базисы используемой криволинейной системы координат удается построить на основе инвариантности длины вектора возможного перемещения системы и величины элементарной возможной работы. В результате в этом касательном пространстве можно ввести понятие вектора ускорения W механической системы произвольной структуры и вектора активной силы Y, ковариантными компонентами которой являются обобщенные силы Qa, а = l, s. Само же векторное уравнение движения свободной механической системы имеет вид второго закона Ньютона.
MW = Y.
Рассматривается наложение на движение системы линейных неголономных связей второго порядка.
U Ъ 9. Ф = 9,0)4° + 4ох (*> <7, Ч) = 0, (() 8) к = 1, k, I = s — к.
С помощью дифференцирования по времени голономные и неголономные связи (0.1) и (0.3) можно так же записать в виде (0.8). Уравнение движения такой несвободной системы примет вид.
MW = Y + R, где R — вектор рекции связей (0.8).
Важно, что составляющая ускорения Wh в подпространстве К оказывается полностью определенной математическим заданием связей (0.8), а обеспечивающая выполнение этих связей составляющая реакции связей RA находится из уравнения.
MWK = YK + Ra' .
Тем самым оказывается, что на вектор W/, уравнения связей (0.8) непосредственно влиять не могут, поэтому возможно только косвенное воздействие связей на эту составляющую ускорения через вектор R^. В частности, уравнения связей могут выполняться и при R^ = 0, в этом случае связи называются идеальными. Таким образом, влияние идеальных связей на ускорение W полностью определяется их аналитическими представлениями. Таким образом, при идеальных связях (0.8) в касательном пространстве выделяется подпространство L, в котором механическая система не принуждается уравнениями связей иметь ускорение W/, отличное от ускорения, задаваемого законом Ньютона.
MWL = Yl .
Для неидеальных связей отдельно от задания математических законов (0.8) должен задаваться закон формирования вектора Rz,. Например, при изучении голономных связей, выполненных физически в виде некоторых шероховатых поверхностей, при движении по этим поверхностям в подпространстве L со стороны связей будут действовать силы трения Кулона.
Вычисляя частный дифференциал S" при фиксированных t, if, (f от выражении (0.8), получаем е1+*. S" w = е1+>< ¦ O" WL = О, и = TJc.
Из приведенных формул и из выражения RA = А^£1+>< следует, что RA • 6″ W = 0. Если связи идеальные, то.
Ra = R = MW — Y, поэтому.
MW — Y) • 8″ W = 0. (0.9).
Отсюда.
6″ (W — Y/M)2 = 0. (0.10).
Формулы (0.9) и (0.10) выражают принцип Гаусса.
Если следуя H.H. Поляхову [168] и В. В. Румянцеву [187] ввести возможное перемещение системы по формуле.
У = у ?" W = ~ O" WL, где г — бесконечно малый промежуток времени, введенный в рассмотрение Гауссом, то принцип Гаусса (0.9) можно переписать в виде обобщенного принципа Даламбера-Лагранжа:
MWY)-5y = 0, (0.11).
В случае неголономных связей первого порядка В. В. Румянцев [187] трактует возможное перемещение как вектор
6у = TS’V.
0.12).
В этом случае принцип (0.10) можно рассматривать и как принцип Суслова-Журдена.
Использование формул (0.9)-(0.12) позволяет пояснить единство и взаимосвязь дифференциальных вариационных принципов механики.
Неголономные системы со связями высокого порядка. Одним из направлений, развиваемых в неголономной механике, является изучение движений при наличии связей высокого порядка. Рассматривая в своем докладе [285] движение, стесненное неголономными связями второго порядка.
Г. Гамель вводит условия, которым должны подчиняться возможные перемещения системы:
Условия (0.14) можно считать обобщением условий Четаева (0.4) на случай неголономных связей второго порядка (0.13). Позже Г. Гамель в своей монографии [286] для конкретных формально заданных связей второго порядка строит уравнения движения материальной точки. Г. Гамель связь, налаженную на движение точки, записывает в виде.
Применяя принцип Гаусса, Г. Гамель составил уравнения Лагранжа второго рода с множителями, получил два решения и исследовал, какое из них являлось правильным. При этом он писал: «Но может ли быть расширен принцип Гаусса подобным образом, физически еще не доказано. Тем самым мы затрагиваем спорный характер всего этого случая. Так же, как мы не хотим представлять себе силы, зависящими собственно от ускорений — по крайней мере это исключается из рассмотрения, — так и связи вида, в которых встречаются ускорения, представляются спорными. Прежде всего такие, в которых встречаются высшие производные» .
Отметим еще раз, что рассматриваемая связь высокого порядка не имеет физического содержания, а представляет собой произвольную комбинацию производных от координат до второго порядка включительно.
Отдельным вопросам движений при связях высокого порядка были посвящены работы Бл. Долапчиева, Д. Манжерона, С. Делеану, Г. Гамеля, Я. Нильсена, Л. Нордхайма, И. Ценова [48, 49, 120, 220, 272, 273, 285, 286, 317, 325, 326, 354]. Эту теорию продолжали и продолжают активно развивать, например, исследования Ю. А. Гартунга, В. В. Добронравова,.
9. Ч, q) = 0 ,.
0.13).
0.14) г’з = х ] хо ¦
0.15).
До Шаня, Ю. Г. Исполова, В. И. Киргетова, Б. Г. Кузнецова, М. А. Мацура, Мэя Фунсяна, Б. Н. Фрадлина, Л. Д. Рощупкина, М. А. Чуева, И. М. Шульгиной, К. Янковского, Ф. Китцки, Р. Хастена др. [34, 50, 51, 72, 86, 105, 132, 138, 179, 215, 234−237, 241, 287, 292, 302, 312, 318, 347, 368]. Так, например, Ф. Китцка [302] приводит в настоящее время единственный пример механически осуществляемой линейной связи второго порядка, когда точка находится на конце нерастяжимой нити, навивающейся на цилиндр. Мэй Фунсян в своих работах [138, 312, 318 — 321] с помощью развитой им теории поля находит интегралы движения опять же для движения точки при формально заданной связи второго порядка (0.15) и для примера Аппеля-Гамеля при записи нелинейной неголономной связи в виде связи второго порядка. В. В. Добронравов [47] строит дифференциальные уравнения вращения искусственного спутника Земли при наложении связей второго порядка на углы Эйлера. В работе [368] выводятся уравнения движения в квазикоординатах при связях высокого порядка для системы с переменной массой.
В 1974 г. М. А. Чуевым [234] был выдвинут новый принцип неголономной механики при связях высокого порядка. Независимо от работ М. А. Чуева позже этот же принцип.
2>(W — Y/M)2 = 0, n^l, (0.16) был сформулирован H.H. Поляховым, С. А. Зегждой, М. П. Юшковым [172] и назван ими обобщенным принципом Гаусса. В формуле (0.16) индекс (п) означает порядок производной по времени от вектора, а индекс (н + 2) — что н+1) частный дифференциал вычисляется при фиксированных t,(f,(f, ., (f. Отметим, что при использовании обобщенного принципа Гаусса в начальный момент времени заданными считаются все координаты qa и все их производные до порядка (п + 1) включительно, а следовательно, и вектор R и его производные до порядка (п — 1). Из принципа (0.16) С. А. Зегжда для связей высокого порядка вывел уравнения движения в форме Маджи и в форме Аинеля [62].
Следует отметить, что во всех предыдущих работах отсутствовала численная реализация применения подобных теорий к каким-либо конкретным задачам, в связи с чем не удавалось проследить за обоснованностью этих теорий. В этом отношении интересным оказывается, по-видимому, первый пример реальной идеальной нелинейной неголономной связи второго порядка (или идеальной линейной неголономной связи третьего порядка), отражающий движение космического аппарата с постоянным по модулю ускорением. Для этой задачи были проведены численные расчеты. Интересен и второй пример реальной неголономной связи третьего порядка, отражающий плавный перелет спутника с одной круговой орбиты на другую. Об этих примерах подробнее см. в главе V.
Новую теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка разработали С. А. Зегжда и М. П. Юшков [67]. При голономных связях, классических неголономиых связях и при линейных неголономных связях второго порядка обобщенные реакции связей могут быть определены как функции времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей. При неголономных связях порядка п ^ 3 так же вводятся два ортогональных подпространства К и Ь, но теперь предлагается множители Лагранжа отыскивать как неизвестные функции времени. Относительно них и неизвестных обобщенных координат строится совместная система дифференциальных уравнений гл), <7 = 17-,.
— 2). («-3) (0.17).
Л* = С?(г, Я, <7, А, А, ., Л), х=1,к, п^З.
Здесь Г* и являются известными функциями своих переменных. Именно система уравнений (0.17) была использована для исследования движения двух реальных механических систем при наличии связей высокого порядка (подробнее см. ниже). Было показано, что уравнениям (0.17) соответствует принцип Манжерона-Делеану [46]: п-1) тп (п-1).
ЛЛУ — У) • <5(п-1} V = 0, 6у = -г б^-У V. п.
В записи этого принципа использованы обозначения, введенные в формуле (0.16).
Отметим, что и связи высокого порядка можно определить как идеальные в том случае, когда существует такое подпространство Ь, в котором математическое задание связей не мешает выполнению закона Ньютона.
ЛЛУй =.
Неголономная механика и управление. Как указывалось выше, него-лономная механика возникла, прежде всего, из необходимости решать различные задачи о перекатывании тел без проскальзывания. Однако, уже в такой постановке можно было ставить некоторые задачи управления, например изучать управление движением при помощи связей, зависящих от параметров [174]. Пределы применения теории движения неголономных систем значительно расширились при рассмотрении сервосвязей, введенных в изучение А. Бегеном и П. Аппелем [2, 9]. Сам А. Беген сервосвязи применял для исследования движения гирокомпасов Аншютца и Сперри.
Теорию сервосвязей активно развивал В. И. Киргетов [87−89]. Он применил методы аналитической механики для изучения преследования цели. Рассмотрим плоское движение материальной точки с координатами х, у, преследующей цель, движущуюся по закону? = ?(?), т] = г](Ь). Требование наведения точки на цель по методу погони, когда вектор скорости точки всегда направлен на цель, приводит к необходимости выполнения условия х U.
0.18).
Программу наведения (0.18) можно рассматривать как нестационарную него-лономную связь наложенную на движение материальной точки.
Это позволяет к исследованию поставленной задачи управления применить аппарат неголономной механики и рассматривать реакцию неголоном-ной связи (0.18) как управляющую силу, обеспечивающую выполнение программы движения (0.19). В работе [112| для решения задачи использовались уравнения Маджи, при этом в конкретных случаях движений цели по заданным траекториям были найдены движения преследующей точки и получены годографы соответствующих управляющих сил (реакции неголономной свя.
Еще более аппарат неголономной механики оказался востребованным в связи с решением ряда более широких задач управления (см., например, работы С. Деневой, В. Диамандиева, В. В. Добронравова, Ю. Г. Исполова, Б. А. Смольникова, К. Янковского, Е. Яржебовской, JL Штейгенбергера, Мэя Фунсяна, В. Блайера, И. Парчевского (40, 47, 73, 292−294, 321, 333j). И в этом случае роль неголономных связей играет программа движения, а реакция таких связей опять рассматривается как управляющая сила. Теперь неголо-номные связи правильнее называть программными связями. Теории движения систем с программными связями и исследованию устойчивости вычислительного процесса при учете приближенного выполнения уравнений связей посвящены работы A.C. Галиуллина, H.A. Мухаметзянова, Р. Г. Мухарлямова,.
Важно отметить, что программа движения может быть задана и в виде дифференциального уравнения, имеющего порядок выше первого, поэтому актуальной становится теория неголономных систем со связями высокого порядка, обсуждавшаяся выше. Правда, при постановке таких задач возникает ряд вопросов, требующих дополнительного обсуждения.
В классической механике считается, что сила не может зависеть от ускорения (хотя это утверждение и не является бесспорным: например, в кораблестроении учет взаимодействия движущегося судна с водой производят введением присоединенных масс, что создает силы, зависящие от ускорения корабля, а при полете ракеты управляющую силу могут формировать показания акселерометра, измеряющего ускорение ракеты). Однако и в случае зависимости сил лишь от времени, положения и скоростей всегда можно подобрать такую комбинацию сил, которая будет создавать требуемое движение механической системы да = да{Ь), а — 1,5, при этом можно выполнить fi (t, х, у, х, у) = (у — r)(t)).i- - (х — ?(t))y = 0 ,.
0.19) зи (0.19)).
В.Д. Фурасова [30, 135−137]. любой закон изменения любых производных от обобщенных координат. Тем самым, можно обеспечить обращение в нуль любой комбинации производных от обобщенных координат системы. Очевидно, что поэтому можно требовать, чтобы движение механической системы удовлетворяло дополнительной системе дифференциальных уравнений любого порядка.
Итак, можно поставить следующую задачу: Имеется механическая система с обобщенными координатами, о = 1,5, на которую действуют заданные обобщенные силы о — 1,5. Требуется найти дополнительные силы Яр, о — 1,5, обеспечивающие такое движение механической системы, которое одновременно является и решением заданной системы дифференциальных уравнений.
В постановке такой задачи имеются признаки как прямой, так и обратной задач динамики. Действительно, с одной стороны, по данным силам С, сг = 1,5, отыскивается движение системы, а с другой стороны, одновременно с этим по заданным характеристикам движения (в виде конкретных дифференциальных уравнений) отыскиваются дополнительные силы Яст, а = 1, й, обеспечивающие движение с указанными свойствами. Поэтому С. С. Григорян предложил называть сформулированную задачу смешанной задачей динамики. Фактически при такой постановке решается некоторая задача управления [67], где выполнение программы, задаваемой в виде системы дифференциальных уравнений, обеспечивается приложением к системе управляющих сил Я,., а = 1,5.
Итак, в рассматриваемом случае связи следует рассматривать как программные, а их реакции — как управляющие силы, обеспечивающие выполнение программы, заданной в виде дополнительной системы дифференциальных уравнений высокого порядка д, (),.,(?) = Ч, ())(/ + .
Тем самым, в рассмотрение вводится некоторый новый класс задач управления.
Для решения смешанной задачи динамики применим аппарат неголоном-ной механики, распространенный на идеальные неголономные связи высокого порядка. Однако, здесь могут возникнуть некоторые трудности. Дело в том, что применяя теорию движения неголономных систем, развитую на случай связей высокого порядка (0.20), отыскиваем управляющую силу как реакцию этих идеальных неголономных связей, при этом реакция этих идеальных связей формируется векторами х = Т7к, 1 = з-к, обобщенные векторы Поляхова) и имеет вид.
Однако может оказаться, что технические устройства, реализующие выполнение программных связей (0.20), формируют управляющую силу в виде вектора Л^Ь*, где векторы отличны от векторов. Вводится понятие идеального управления, при котором формирование обобщенных управляющих сил так согласовывается с уравнениями (0.20), что b* — a" ff, о ~ TTs. х= 1, к. В этом случае оказывается, что управление движением осуществляется в соответствии с принципом Гаусса. Подобное управление определяется как идеальное.
В главах IV и V изложенная теория иллюстрируется исследованием движений двух реальных механических систем.
Применение обобщенного принципа Гаусса к задачам гашения колебаний механических систем. Обобщенный принцип Гаусса (0.16) может быть использован при рассмотрении задачи о гашении колебаний механических систем. Пусть система имеет л степеней свободы и ее движение управляется силой Л (?)Ь, b = baea, bа — const, а — 1, s. Уравнения движения имеют вид d ОТ дТ д,.,.
Управляющая сила должна перевести систему из состояния <7СТ (0) = <7о — Qff (0) = 7о ' а = s > в состояние покоя через заданный промежуток времени Т. В монографиях [226, 227] решение подобных задач строится на основе минимизации функционала J = jJ Л'-(£) dt и с помощью применения принципа максимума Понтрягина. Оказывается, что такой подход можно рассматривать как некоторую смешанную задачу динамики, подчиненную линейной неголономной связи порядка (2sЬ 2). Поэтому представляет интерес попытаться решить эту же задачу с помощью обобщенного принципа Гаусса (0.16). При малых Т оба численных решения практически совпадают, а при больших Т они значительно различаются. Это объясняется тем, что при первом подходе управляющая сила находится как сумма гармоник по собственным частотам системы, что приводит к раскачке системы, а при использовании принципа Гаусса — в виде полинома, что обеспечивает сглаженный характер решения. Подробнее эта задача излагается в главе V данной работы.
Некоторые возможные области применения теории неголоном-ных систем со связями высокого порядка. Можно предположить, что предложенная теория движения механических систем, управляемых программными связями высокого порядка, найдет применение в различных, областях техники, например, в робототехнике при создании устройств, обеспечивающих движение с повышенными требованиями к их характеристикам, а также при исследовании машинных агрегатов с вариаторами и т. д.
В работе предложен один из новых возможных подходов для составления уточненных дифференциальных уравнений движения сложных механических систем, достаточно адекватно описывающих их поведение. Особенно трудными для составления доброкачественной математической модели являются системы, в которых отдельные части связаны друг с другом сплошной средой или взаимодействуют через сложные поля типа электромагнитных и т. п. Составляемые уравнения требуют серьезных упрощений при постановке задачи, поэтому численные результаты часто заметно отличаются от истинных. Обычно модель уточняют поправочными коэффициентами, полученными из эксперимента. Поэтому предлагается новый подход к составлению уточненных дифференциальных уравнений сложных систем с помощью теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. Путем математической обработки экспериментальных результатов движений системы предполагается составлять неголономные связи высокого порядка, достаточно точно отражающие истинное поведение сложной системы. При полученных связях после некоторого расширения указанной выше теории могут быть составлены дифференциальные уравнения движения сложной системы. Дополнительное уточнение создаваемой математической модели предлагается достигать путем учета неидеальности вводимых в рассмотрение связей высокого порядка. Таким образом, приближенность создаваемой модели будет зависеть лишь от точности математической обработки экспериментальных данных.
Весьма перспективным представляется применение обобщенного принципа Гаусса и в задачах отыскания управляющей силы, переводящей механическую систему за указанный промежуток времени из данного состояния (по координатам и скоростям) в другое заданное состояние. Одна из подобных задач обсуждалась в предыдущем пункте со ссылкой на главу V. В той же главе V данной работы исследуются приведение математического маятника в состояние покоя в заданный промежуток времени и гашение поперечных колебаний стержня при перемещении его основания. Можно отметить прямую связь применения обобщенного принципа Гаусса для решения подобных задач с постановкой соответствующих краевых задач. Весьма перспективным представляется при предлагаемом подходе возможность формулировки обобщенных краевых задач, когда в начале и в конце движения задаются условия, наложенные не только на координаты и скорости, а и на ускорения. И при такой постановке задачи работает обобщенный принцип Гаусса, причем в этом случае он дает дополнительное сглаживание решения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
205.
ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.206.
СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.212.
ОГЛАВЛЕНИЕ.234.