Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух-и трехуровневых атомов

Актуальность проблемы.

В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекундного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов как с квантованным полем в резонаторе, так и между собой. В «шумовой» лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные поля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов [1, 2], физика микромазера и спектроскопия изолированного атома [3]. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оптических явлений [4, 5, 6] объектом исследования являются как единичные атомы, так и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных состояниях.

В работах [7, 8, 9] было показано, что такие ансамбли п—уровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным полем или спонтанно распадающихся из возбужденного состояния, описываются полносимметричными представлениями группы динамической симметрии SU (n), причем спонтанный распад происходит внутри одного и того же неприводимого представления, определяемого заданием начального состояния.

При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружениемтермостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым. Обычно такими уравнениями как, например, в теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера — Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления квантовомеханических средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.

Использование глауберовских когерентных состояний (КС) и бозон-ного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с единых позиций [8, 10, 11]. Однако, такой подход, эффективный в осциллятор-ных моделях, приводит для п—уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы SU (n) [9].

В работе [12] были построены атомные КС, связанные с представлениями группы 5(7(2), и использованы для анализа процессов спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов. A.M. Переломовым [13, 14] был предложен метод построения когерентных состояний для произвольных групп Ли — обобщённых когерентных состояний (ОКС). Привлекательной чертой использования ОКС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это даёт возможность применения методов теории возмущений для нахождения приближённых решений.

Модель двухуровневого атома является одной из простейших. Например, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а радиационно уширен, требует введения третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное пленение населенностей, квантовые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа SU (3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью ОКС группы SU (3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных суперпозиционных состояниях и процессов их декогеренции (распада), важных в квантовой инженерии, связанной с проблемой построения квантовых компьютеров и кодированием и декодированием сигналов, передаваемых по квантовому каналу (квантовая криптография).

Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных методов их описания вновь являются весьма актуальными [6].

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является исследование особенностей когерентной динамики и релаксации в системах из двухи трёхуровневых атомов, взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным полем и диссипативным окружением.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Построение системы ОКС группы SU (3) для модели трёхуровневых атомов, исследование их свойств и обобщение для п—уровневых атомов (группа SU (n)). Получение интеграла по траекториям в представлении ОКС группы SU{n), вывод из него уравнений движения для системы п— уровневых атомов и нахождение временной зависимости населённостей трёхуровневых атомов.

• Вывод УФП для когерентной релаксации системы двухи трёхуровневых атомов, их точное решение в случае изолированного атома, вычисление двухвременных корреляционных функций и формы контуров линий излучения.

• Разработка метода решения уравнения Фоккера-Планка, описывающего когерентную спонтанную релаксацию большого числа двухуровневых атомов.

• Применение метода КС для описания релаксации квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии для квантового параметрического усилителя.

Научная новизна.

Научная новизна результатов состоит в том, что:

• Построена система ОКС на однородном пространстве SU (3)/U (2) группы SU (3), изучены их свойства и дано обобщение для системы ОКС на однородном пространстве SU (n)/U (n — 1) группы SU (п). Построен интеграл по траекториям в представлении ОКС группы SU (n), получены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является линейной функцией генераторов полносимметричного представления этой группы.

• Найдено точное решение уравнений динамики трехуровневого атома во внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом полях и найдены явные выражения для населенностей уровней через параметры ОКС.

• Найдено точное выражение для пропагатора уравнения ФоккераПланка, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.

• Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флук-туациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения.

• Точно решена задача о двухуровневом атоме во внешнем стохастическом поле, получена связь наблюдаемых, таких, как вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии и формы контура линии излучения, с параметрами стохастических процессов. г.

• Построена теория возмущений для уравнения Фоккера-Планка, описывающих квантовую когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка к функции Грина и контуру линии излучения.

• Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со «сжатыми» флуктуациями и в случае точного резонанса найдено решение.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методовдетальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основетестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаевсравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.

Научная и практическая ценность результатов.

Развит общий подход описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем, основанный на применении метода ОКС. Изученная динамика трехуровневого атома, взаимодействующего с лазерными полями, может быть использована для исследования оптимальных режимов приготовления атомов в когерентных состояниях и оценки времени декогерентизации в микромазерах, в теории квантовой информации и криптографии.

Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в «сжатом» термостате, по сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.

Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Т ^ О позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах по спектроскопии изолированного атома.

Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических полях дает принципиальную возможность экспериментального определения параметров статистики поля и оценки времён релаксации.

На защиту выносятся следующие основные результаты. и положения:

1. Уравнение Фоккера — Планка и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флуктуациями, точный пропагатор для случая изолированного атома, форма контура линии излучения.

2. Уравнения Фоккера — Планка для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем и их пропагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.

3. Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических полей для дельта — коррелированного процесса, процесса Кубо — Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических полей.

4. Метод построения асимптотического разложения для уравнения Фоккера — Планка, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, функцию Грина такой системы в первом порядке малости по параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании молодых ученых Математические проблемы статистической механики и квантовой теории поля (Куйбышев, 1987 г.), на IV Всесоюзном симпозиуме Световое эхо и пути его практического применения (Куйбышев, 1989 г.), на Всесоюзной школе — семинаре.

Представления групп в физике (Тамбов, 1989), на XIII международном коллоквиуме по теоретикогрупповым методам в физике (Москва, 1990 г.), на IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991 г., 1992 г.), на IV международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992 г.), на XII международном рабочем совещании Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997 г.), на семинаре по теоретико-групповым методам ФИАН СССР им. П. Н. Лебедева.

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Публикации.

По результатам работы опубликовано 14 печатных работ. г.

Личное участие автора.

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 106 наименований. Общий объем диссертации — 145 страницы текста (в том числе 23 рисунков).

Заключение

.

1И Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. На основе метода обобщенных когерентных состояний развит математический формализм для описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем и вычисления наблюдаемых величин.

2. Построена система ОКС группы SU (3), изучены их свойства, дано обобщение для группы SU (N), выведены уравнения, описывающие динамику атомов во внешних полях, и найдены их решения для монохроматических и импульсных лазерных полей.

3. Получено уравнение Фоккера — Планка для спонтанной релаксации ансамбля трехуровневых Vатомов с неэквидистантным спектром и его точное решение для случая изолированного атома. Показано, что форма контура линии излучения является лоренцевой, ушире-ние которой зависит и от параметров, характеризующих смежный переход.

4. Получен точный пропагатор УФП для когерентной релаксации двухуровневого атома в термостате со «сжатыми» флуктуациями, показано, что форма контура линии излучения является суммой двух лоренцевых контуров, ширина которых зависит от степени сжатия" флуктуаций электромагнитного поля термостата.

5. Исследована релаксация двухуровневой системы во внешнем стохастическом поле. Получены выражения для пропагатора и формулы для вычисления вероятностей обнаружения атома в верхнем и нижнем состояниях и формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные поля.

6. Построена теория возмущения для УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля атомов, найден общий вид пропагатора в виде разложения по параметру, обратному числу атомов в ансамбле. Для случая релаксации ансамбля N двухуровневых атомов вычислены поправки первого порядка к корреляционным функциям и их вклад в форму контура линии излучения.

В заключение мне хотелось бы выразить благодарность и признательность своему научному руководителю кандидату физико — математических наук, доценту А. В. Горохову за постановку задачи, руководство работой, постоянную помощь и внимание.