Метод фазовой плоскости

[Введите текст]

1. Основные понятия и определения

2. Элементы фазового портрета

3. Анализ фазовых траекторий в окрестности особых точек

4. Построение фазовых траекторий в большом удалении от особых точек

5. Исследование системы с переменной структурой

6. Построение временного процесса по фазовой траектории Литература

1. Основные понятия и определения

Метод фазовой плоскости впервые был применен для исследования нелинейных систем французским ученым Анри Пуанкаре. Основное преимущество этого метода — точность и наглядность анализа движений нелинейной системы. Метод является качественным, т. е. он позволяет получать качественные выводы о свойствах нелинейной системы. Основной недостаток этого метода заключается в том, что он обладает большой эффективностью лишь при исследовании систем второго порядка. Иногда удаётся провести исследование систем третьего порядка. При более высоком порядке системы метод теряет наглядность и применяется редко.

Уравнения исследуемой системы обычно берутся в виде

. (1)

Метод фазовой плоскости заключается в исследовании характера свободных движений нелинейных динамических систем типа (1) путем построения их фазовых траекторий на фазовой плоскости.

Как известно, свободные движения динамических систем вызываются ненулевыми начальными условиями. Обозначим — вектор начальных условий. Это означает, что

где

.

Фазовое пространство (пространство состояний), в общем случае, — это линейное n-мерное пространство, координатами которого являются компоненты вектора состояний, т. е. переменные состояния исследуемой системы. При пространство вырождается в плоскость, которая называется фазовой плоскостью. Она показана на рис. 1.

Если взять моменты времени: …, причем и

то каждому моменту времени … будут соответствовать значения переменных состояния:. Каждая пара этих значений … определяет некоторую точку на фазовой плоскости. Эти точки, соответствующие, показаны на рис. 1.

Рис. 1

Соединяя точки, соответствующие различным моментам времени, получим кривую, каждая точка которой соответствует определенному состоянию системы в соответствующий момент времени.

Полученная линия называется траекторией системы или фазовой траекторией.

Каждая фазовая траектория данной системы определяется некоторыми начальными условиями. Задавая различные начальные условия, получим различные фазовые траектории одной и той же системы.

Совокупность фазовых траекторий и других элементов фазовой плоскости, отражающих свойства нелинейной системы, называется фазовым портретом системы.

Фазовый портрет позволяет без дополнительных выкладок сделать выводы о таких свойствах системы, как:

— количество положений равновесия системы,

— характер движений системы в окрестности каждого положения равновесия,

— устойчивость положений равновесия,

— наличие или отсутствие периодических движений системы,

— наличие или отсутствие областей с различным характером фазовых траекторий и т. д.

2. Элементы фазового портрета

Изображающая точка — это точка фазовой плоскости, соответствующая состоянию системы в некоторый момент времени .

След изображающей точки на фазовой плоскости при изменении от до есть фазовая траектория.

Точка, соответствующая определенным начальным условиям или моменту времени, называется начальной. Каждая начальная точка определяет соответствующую фазовую траекторию.

Фазовая скорость — это вектор, определяющий направление движения изображающей точки в каждый момент времени. Фазовая скорость всегда направлена по касательной к фазовой траектории в точке, соответствующей моменту времени. Фазовая скорость является функцией переменных состояния системы. Величина (модуль) фазовой скорости. Вектор фазовой скорости показан на рис. 2.

Рис. 2

Особая точка — это точка фазовой плоскости, в которой фазовая скорость равна нулю. Это означает, что фазовая траектория, попав (например, при) в особую точку, из неё не «выходит». Каждая особая точка на фазовой плоскости соответствует некоторому положению равновесия исследуемой динамической системы. Если начальная точка совпадает с особой точкой, то вся соответствующая этой начальной точке траектория располагается в этой особой точке.

Уравнения особых точек. Из определения особых точек следует, что их уравнения получаются из уравнений системы (1), если в них положить т. е. уравнения особых точек этой системы имеют вид

(2)

Эта нелинейная алгебраическая система чаще всего может быть разрешена только лишь численными методами.

Пусть, где, решения системы уравнений (2). Тогда точки на фазовой плоскости являются особыми точками нелинейной системы, описываемой уравнениями (1); - число особых точек этой системы.

Пример 1. Пусть уравнения нелинейной системы имеют вид

Найти особые точки.

Решение. Полагая здесь получим уравнения (2) особых точек заданной нелинейной системы:

Одно из решений этой системы очевидно имеет вид

.

Далее из первого уравнения получаем. Подставляя во второе уравнение, найдем или

.

Отсюда находим Следовательно, особые точки исследуемой системы это точки:

Эти точки показаны на рис. 3.

Рис. 3

Типы фазовых траекторий. Существуют замкнутые и разомкнутые фазовые траектории. Разомкнутые фазовые траектории, начинаясь в начальной точке, уходят либо в бесконечность, либо к некоторой особой точке, либо к замкнутой траектории, как показано на рис. 4.

Разомкнутые траектории соответствуют непериодическим движениям. Замкнутые траектории соответствуют периодическим (циклическим) движениям системы. Поэтому они называются циклами. Периодическое движение системы совершается в том случае, когда начальные условия оказываются на кривой цикла, как показано на рис. 5.

В зависимости от характера фазовых траекторий, начинающихся в окрестности цикла, последние различают следующим образом:

— предельный цикл,

— непредельный цикл.

Рис. 4

Среди предельных циклов различают:

— предельные устойчивые,

— предельные полуустойчивые,

— предельные неустойчивые.

Рис. 5

Непредельным циклом называется цикл такой, что начинающиеся в его окрестности фазовые траектории, остаются в этой окрестности, не уходя от цикла и не приближаясь к нему.

Предельным циклом называется цикл такой, что фазовые траектории, начинающиеся в его окрестности, либо приближаются к нему с ростом времени в положительном направлении, либо удаляются от него. При изменении знака времени характер поведения фазовых траекторий в окрестности предельного цикла меняется на противоположный.

Предельный цикл называется устойчивым, если фазовые траектории, начинающиеся в любой точке его достаточно малой окрестности, приближаются к нему с ростом времени (рис. 6, а).

Неустойчивым предельным циклом называется такой, что найдется хотя бы одна фазовая траектория, начинающаяся в его окрестности, которая удаляется от него (рис. 6, б).

Если нелинейная система имеет несколько циклов, вложенных друг в друга, то устойчивые и неустойчивые циклы чередуются.

Некоторые динамические системы имеют полуустойчивые циклы, т. е. такие, что траектории, начинающиеся с одной стороны цикла, приближаются к нему, а с другой не приближаются и не уходят от него, как показано на рис. 6, в.

Если дифференциальные уравнения системы (1) удовлетворяют условиям существования и единственности решения задачи Коши, то фазовые траектории не пересекаются ни при каких конечных значениях времени.

Изоклины. Особые направления, сепаратриссы. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых угол наклона касательной к фазовой траектории один и тот же (рис. 7, рис. 8). Для получения уравнения изоклин разделим второе уравнение (1) на первое и приравняем это отношение некоторому числу, т. е.

(3)

Равенство (3) является уравнением изоклины, соответствующей наклону касательных под углом .

Ранее изоклины использовались для приближенного построения фазовых портретов нелинейных систем (см. [26. С. 17]). В настоящее время фазовые портреты нелинейных систем второго порядка гораздо удобнее строить с помощью ЭВМ путем решения дифференциальных уравнений приближенными численными методами, например, методом Рунге-Кутта. Для этой цели существуют специальные программы.

На фазовом портрете динамической системы могут быть так называемые особые направления. Особое направление — это прямая, во всех её точках которой касательные к фазовой траектории совпадают с фазовой траекторией.

Особые направления обычно наблюдаются на фазовых портретах линейных систем и связаны с наличием вещественных корней характеристического уравнения соответствующей системы.

Кроме того, на фазовом портрете могут быть сепаратрисы. Сепаратрисы — это линии, разделяющие области фазового портрета с различным характером фазовых траекторий. Обычно сепаратрисы, как и особые направления, либо начинаются и заканчиваются в окрестностях особых точек, либо начинаются в окрестности особой точки и уходят в бесконечность, как для примера показано на рис. 8.

На этом рисунке начало координат является особой точкой, а наклонные прямые, проведённые через него, — сепаратрисами и особыми направлениями одновременно.

Особый вид фазового портрета. Очень часто уравнения нелинейной системы имеют вид

(4)

т.е. переменная является производной по времени от. В этом случае удобно обозначить через, а через. Тогда уравнения (4) запишутся следующим образом:

(5)

При этом изоклины определяются уравнением

. (6)

В рассматриваемом случае фазовые траектории обладают рядом специфических свойств. Пусть. Тогда, согласно (6),

.

Это означает, что все фазовые траектории пересекают ось абсцисс под углом, как показано на рис. 9.

Кроме того, из уравнений (5) следует, что все особые точки данной системы могут располагаться только на оси, а изображающая точка может двигаться при только по часовой стрелке, что также показано на рис. 9.

Рис. 9

3. Анализ фазовых траекторий в окрестности особых точек

Тип особой точки (определение которого является задачей данного параграфа) определяется характером фазовых траекторий, начинающихся в её малой окрестности. Для решения этой задачи можно воспользоваться известной теоремой Ляпунова, в которой утверждается, что если корни характеристического уравнения системы первого приближения, построенной в особой точке, не имеют нулевых вещественных частей, то характер движений нелинейной системы в малой окрестности этой точки определяется (совпадает с) характером движений линейной системы первого приближения. Это утверждение, очевидно, справедливо и в отношении фазовых траекторий, начинающихся в малой окрестности особой точки. Таким образом, тип особой точки фазового портрета нелинейной системы и соответственно характер фазовых траекторий, начинающихся в её окрестности, можно установить (по крайней мере, в указанном выше случае) с помощью уравнений первого приближения.

Построение уравнений первого приближения. Рассмотрим нелинейную систему, которая описывается уравнениями

(7)

Уравнения первого приближения данной системы имеют вид

(8)

причём коэффициенты матрицы [] вычисляются в особой точке по формулам

. (9)

Здесь при, где — координаты особой точки; z-вектор отклонений переменных состояния от координат особой точки, т. е. .

Если фазовый портрет имеет несколько особых точек, то уравнение (8) строится по формулам (9) для каждой особой точки.

Пример 2. Нелинейная система как показано выше, имеет особые точки,. Найти уравнения первого приближения в окрестности точки .

Решение. По формулам (9) при, находим

; ;

; .

Следовательно, согласно (8) и (9), уравнения первого приближения рассматриваемой системы в окрестности особой точки имеют вид

.

Возвращаясь к задаче определения типов особых точек, запишем характеристическое уравнение системы первого приближения (8) следующим образом:

. (10)

Его корни

. (11)

Характер корней, как известно, зависит от знака дискриминанта уравнения (10). Поэтому рассмотрим плоскость параметров и (рис. 10) и построим на ней линию. Эта линия вместе с координатными осями разбивает плоскость параметров и на 5 областей, в каждой из которых корни (11) имеют различный характер. Рассмотрим характер фазовых траекторий для каждой из этих областей.

Рис. 10

Область 1. Здесь, а корни — вещественные, различные, причём, .

Характер траекторий в окрестности особой точки в этом случае показан на рис. 11. Фазовый портрет имеет два особых направления, соответствующих различным вещественным корням. Данная особая точка называется устойчивый узел.

Область 2. Здесь, а корни — комплексные, причем, поэтому моды системы равны, т. е. имеют затухающий колебательный характер. Траектории показаны на рис. 12. Данная особая точка называется фокус. Это устойчивый фокус, так как траектории сходятся к особой точке при .

Граница областей 1 и 2. Здесь, а корни причём. Так как оба корня равны друг другу, то фазовый портрет имеет лишь одно особое направление. Фазовый портрет для этого случая приведен на рис. 13. Особая точка называется устойчивый узел, как и в области 1.

Граница областей 2 и 3. Здесь, поэтому корни чисто мнимые. Моды системы равны, где. Им соответствуют гармонические незатухающие колебания.

Траектория, как известно, называется цикл. Размеры цикла зависят от начальных условий. Чем больше начальные условия, тем больше амплитуда. Фазовый портрет для этого случая приведен на рис. 14. Особая точка называется центр.

Область 3. Здесь, а корни комплексные, т. е.

причем. Поэтому фазовые траектории представляют собой расходящиеся спирали.

Фазовый портрет для этого случая приведен на рис. 15. Особая точка — неустойчивый фокус, так как траектории удаляются от особой точки.

Область 4. Здесь, а корни — различные вещественные, причем. Так как имеются два различных вещественных корня, то на фазовом портрете имеются два особых направления. Фазовый портрет показан на рис. 16. Особая точка называется неустойчивый узел.

Граница областей 3 и 4. Здесь, а корни одинаковые, причем. Следовательно, фазовый портрет имеет одно особое направление. Он приведен на рис. 17. Особая точка — неустойчивый узел.

Области 5. Здесь, а корни вещественные, различные; один из них положительный, другой — отрицательный.

Фазовые траектории показаны на рис. 18. В области 5а модуль положительного корня больше, а в области 5б больше модуль отрицательного корня. Поэтому в этих областях соответствующие сепаратрисы (особые направления) имеют разные наклоны. Особая точка называется седло. Это всегда неустойчивая особая точка.

Граница областей 5а и 5б. На рис. 10 эта граница обозначена а/б. Здесь, корни вещественные, равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому особые направления проходят под углами. Фазовый портрет приведен на рис. 19. Особая точка тоже седло.

Рис. 19

фазовый плоскость траектория метод Граница областей 4 — 5а. Здесь, один корень равен нулю, а второй равен и больше нуля. Поэтому фазовый портрет имеет вид, показанный на рис. 20. Особые точки занимают всю ось и названия не имеют.

Граница областей 1 и 5 В. Здесь, один корень равен нулю, а второй равен и меньше нуля. Поэтому фазовый портрет линейной системы имеет вид, показанный на рис. 21. Особые точки также занимают всю ось и названия не имеют.

Отметим, что указанные здесь виды особых точек и характер фазовых траекторий в их окрестностях имеют место в линейных системах вида

По отношению к нелинейной системе типа (1), для которой уравнение является уравнением первого приближения в окрестности некоторой особой точки, утверждать, что указанный вид фазовых траекторий и тип особой точки также имеет место, можно, как отмечалось выше, только в том случае, когда. Другими словами, если только характеристическое уравнение системы первого приближения, построенной в этой точке, имеет все корни с не нулевыми вещественными частями. Если же у этого уравнения имеются корни с нулевыми вещественными частями, то нельзя сделать какой-либо вывод о характере фазовых траекторий в окрестности данной особой точки нелинейной системы.

Таким образом, фазовые траектории в малых окрестностях особых точек чаще всего можно построить (изобразить) на основе корней или коэффициентов характеристических уравнений соответствующих систем первого приближения.

4. Построение фазовых траекторий в большом удалении от особых точек

Для построения фазовых траекторий на большом удалении от особых точек (в большом) был разработан ряд графоаналитических методов. К ним относятся метод изоклин, дельта-метод, метод стыковки (припасовывания) и т. д. В настоящее время для этой цели целесообразно использовать либо метод стыковки, либо численные методы приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. Поэтому ограничимся здесь рассмотрением лишь метода припасовывания, так как он может с успехом применяться для аналитического исследования различных нелинейных систем второго порядка. Метод припасовывания. Этот метод может быть применен, если нелинейные уравнения содержат кусочно-линейные функции. При этом точки излома характеристик нелинейных элементов отображаются в линии переключения на фазовой плоскости. Эти линии делят фазовую плоскость на области, в которых уравнения нелинейной системы оказываются линейными, и есть возможность проинтегрировать уравнения фазовых траекторий.

Далее, припасовывая (или стыкуя) друг к другу фазовые траектории из разных областей, получают фазовый портрет системы.

Последовательность построения фазового портрета методом припасовывания следующая.

1. Записать дифференциальные уравнения системы в изображениях.

2. Перейти к уравнениям в оригиналах.

3. Ввести фазовую переменную и перейти к уравнениям в переменных состояния, исключив время, т. е. найти выражение для, не раскрывая нелинейности.

4. Проинтегрировать дифференциальные уравнения фазовых траекторий, и получить алгебраические уравнения фазовых траекторий для каждой i-ой области. Здесь — постоянные интегрирования.

5. Произвести припасовывание (стыкование) фазовых траекторий путем выбора постоянных интегрирования. При этом начальные условия для последующего участка фазовой траектории будут равны координатам точки пересечения фазовой траектории предыдущего участка и линии переключения. Для аналитического определения этих координат можно решать систему уравнений

. (12)

Здесь — уравнение фазовой траектории предыдущего участка; - уравнение линии переключения, к которой «подошла» фазовая траектория.

Пример 3. Рассмотрим построение методом припасовывания фазового портрета системы, показанной на рис. 22. Характеристика нелинейного элемента этой системы показана на этом же рисунке.

Рис. 22

Решение. В соответствии с указанной выше последовательностью построения фазового портрета запишем по структурной схеме уравнения элементов системы. Получим где — зона нечувствительности, — заданное число.

Переходя к оригиналам, найдем

.

Исключив отсюда промежуточную переменную и вводя обозначение, найдем, что уравнения системы имеют вид

(13)

а нелинейность описывается выражениями

(14)

Разделим второе уравнение системы (13) на первое. В результате получим, что уравнения фазовых траекторий для каждой из областей фазовой плоскости, образованных точками разрыва нелинейной характеристики (14), определяются выражением:

(15)

Эти области обозначены на рис. 23 римскими цифрами I, II и III, причем на рисунке .

Рис. 23

Интегрируя уравнения фазовых траекторий (15) для областей I и III, найдем

(16)

где — постоянная интегрирования. Причём для первой области в этом равенстве необходимо брать знак «+», а для третьей области — знак «-». Аналогично для области II будем иметь

.

Перейдем к построению фазового портрета. Для этого зададим начальную точку, как показано на рис. 23. Ее координаты. Так как начальная точка лежит в третьей области, то, согласно (16), уравнение фазовой траектории имеет вид

(17)

где неизвестная постоянная определяет соответствующую фазовую траекторию. Поскольку искомая фазовая траектория проходит через точку, то ее координаты удовлетворяют уравнению (17). Поэтому, подставляя и в (17), получим

.

Отсюда находим постоянную интегрирования

.

Подставляя это значение в равенство (17) вместо, получим

(18)

— уравнение фазовой траектории, выходящей при из точки .

Для построения собственно траектории задаемся рядом значений, и вычисляем по (18) соответствующие значения. По полученным точкам строим фазовую траекторию. Когда эта фазовая траектория пересекается с линией переключения (на рис. 23 это происходит в точке), сменяются уравнения фазовой траектории. В данном случае, после переключения, мы попадаем в область II, где уравнение фазовых траекторий имеет вид

.

Для определения постоянной найдем сначала координаты точки пересечения фазовой траектории из предыдущей области с линией переключения, решив систему (12). Это будет показанная на рис. 23 точка с координатами. Следовательно, а уравнение фазовой траектории в области II —. Это прямая параллельная оси абсцисс. Проведя ее до пересечения со второй линией переключения, найдем координаты точки пересечения. После переключения изображающая точка попадает в область I, где уравнения фазовых траекторий, согласно (16), определяются выражением

где — новая постоянная интегрирования. Подставляя в это уравнение координаты точки, получим

— равенство для определения постоянной интегрирования. Следовательно, уравнение рассматриваемой фазовой траектории в области I имеет вид

.

С помощью этого уравнения можно построить фазовую траекторию в области I (между точками и на рис. 23), а затем продолжить её во второй и в третьей областях. Легко убедиться, что в данном случае продолжение рассматриваемой траектории пройдёт через начальную точку, т. е. данная траектория является замкнутой кривой. Повторяя описанные действия для других значений координат начальных точек, получим другие фазовые траектории. В итоге получим фазовый портрет рассматриваемой системы, показанный на рис. 23.

Аналогично строятся фазовые портреты для нелинейных систем с другими видами кусочно-линейных характеристик. На рис. 24 и рис. 25 приведены некоторые типы релейных характеристик, близких к приведенной на рис. 23, и фазовые портреты системы, приведенной на рис. 22, с этими нелинейностями.

Рис. 24

Как видно, в случае знаковой нелинейности, в которой отсутствует зона нечувствительности (рис. 24), на фазовом портрете отсутствует область, в которой фазовые траектории идут параллельно оси абсцисс. Однако траектории и в этом случае являются замкнутыми непредельными циклами. Следовательно, в замкнутой системе и в этом случае наблюдаются периодические колебания, амплитуда которых зависит от начальных условий системы.

В то же время, если вместо однозначной нелинейности включить в систему релейную двухзначную нелинейность с гистерезисом, фазовые характеристики становятся разомкнутыми, спиралевидными и расходящимися (рис. 25). Это свидетельствует о том, что при такой нелинейности в рассматриваемой системе возникают колебания с увеличивающейся амплитудой.

5. Исследование системы с переменной структурой

Системами с переменной структурой называют системы с переключающими элементами, которые коммутируют линейные элементы. В этом случае для построения фазовых портретов удобно применять метод припасовывания с использованием информации о фазовых траекториях, доставляемой корнями характеристических уравнений систем, соответствующих каждому положению переключающего элемента.

Для примера рассмотрим систему с переменной структурой (СПС) [25], схема которой приведена на рис. 26.

В данной системе переключающий элемент описывается следующим выражением:

Уравнения линейной части системы (согласно структурной схеме) имеют вид

. (19)

Деление фазовой плоскости данной системы линиями переключения при показано на рис. 27, а. Цифрами +1 и -1 обозначены области фазовой плоскости, в которых функция принимает соответствующие значения.

Рис. 26

Выясним характер фазовых траекторий в этих областях фазовой плоскости.

Пусть. В этом случае рассматриваемая система (согласно (19) описывается уравнением

. (20)

Следовательно, её характеристическое уравнение

.

Его корни, поэтому в соответствии с результатами, приведенными в § 3, особая точка является «седлом», а фазовый портрет системы (20) имеет вид, приведенный на рис. 27, б.

а) б) Рис. 27

Пусть. В этом случае из (19) получаем

.

В этом случае корни характеристического уравнения. Аналогично устанавливаем, что особая точка является «центром», а фазовые траектории — вложенными друг в друга окружностями с центром в начале координат, как показано на рис. 28, а.

Применяя метод стыкования траекторий, соответствующих различным начальным условиям, получим фазовый портрет системы с переменной структурой. Одна из траекторий этой системы приведена на рис. 28, б. Как видно, в результате «сшивания отрезков» траекторий неустойчивых систем получаются траектории, соответствующие нелинейной системе с устойчивым положением равновесия.

В рассматриваемом случае, т. е. при, фазовые траектории при любых начальных условиях соответствуют затухающим колебательным движениям системы. При этом отрезки траекторий, соответствующих различным значениям функции, чередуются друг с другом по мере увеличения времени .

а б

Рис. 28

Характер фазовых траекторий исследуемой СПС существенно изменяется при уменьшении коэффициента k, когда он становится меньше единицы. В этом случае возникает так называемый «скользящий режим». На рис. 29, а представлена фазовая траектория СПС при возникновении скользящего режима. В этом режиме переключающий элемент колеблется с очень высокой частотой, а изображающая точка как бы скользит по линии переключения, постепенно смещаясь к началу координат.

Скользящий режим возникает в нелинейных системах всякий раз, когда фазовые траектории с обеих сторон подходят к линии переключения (Л.П., см. рис. 29, б). В этом случае изображающая точка после попадания на линию переключения не может уйти с неё и двигается вдоль этой линии. Направление движения ее (к особой точке или от нее) зависит от свойств линейной части рассматриваемой нелинейной системы.

а б

Рис. 29

В скользящем режиме система оказывается нечувствительной к внешним воздействиям и к изменениям параметров самой системы, пока сохраняется скользящий режим. Характер её движения в этом режиме полностью определяется уравнением линии переключения. Однако в скользящем режиме переключающий элемент совершает высокочастотные колебания, что приводит к его износу.

6. Построение временного процесса по фазовой траектории

В ряде случаев возникает необходимость построения временной зависимости изменения переменных состояния нелинейной системы по её фазовой траектории. Эту зависимость можно получить приближенно с помощью метода вписанных треугольников.

Для вывода основных соотношений этого метода рассмотрим отрезок фазовой траектории, показанный на рис. 30. Предположим, уравнения соответствующей нелинейной системы имеют вид

.

Задача заключается в том, чтобы оценить время перехода изображающей точки из точки М-1 в близкую к ней точку М2, т. е. необходимо оценить интервал. Оценить этот интервал точно по фазовой траектории сложно. Для его приближенной оценки проведем из точек М-1 и М2 (рис. 30), а затем и из середины отрезка, перпендикуляры к оси абсцисс. Точки и на оси соединим прямыми линиями с серединой отрезка фазовой траектории. В результате образуется равнобедренный треугольник с углом при вершине.

Рис. 30

Так как изменение ординаты при переходе из М1 в М2 невелико, то её значение можно принять постоянным и равным значению в середине отрезка, т. е.

где — приращение времени. Это равенство можно представить следующим образом:

.

Из этой пропорции и свойств равнобедренных треугольников выводим

.

На этом равенстве и основан метод вписанных треугольников, который заключается в следующем. Пусть задана точка, соответствующая времени. Тогда для построения зависимостей и необходимо выполнить следующие действия:

— задаемся малым значением угла (например,);

— строим (рис. 31) равнобедренный треугольник с углом в вершине, лежащей на фазовой траектории. Боковое ребро этого треугольника должно пройти через точку, а биссектриса должна быть перпендикулярна к оси. В результате получим точку ;

— строим следующий треугольник с тем же углом. Вершина этого треугольника также лежит на фазовой траектории, биссектриса перпендикулярна к оси х, а левое ребро проходит через точку (рис. 31). В результате получим точку .

Продолжая этот процесс, получим серию точек, соответствующих определенным моментам времени и координатам:

,.

При этом, ,, а. По полученным точкам строятся процессы и (рис. 32).

Рис. 31 Рис. 32

В этом методе возникает некоторая сложность при переходе траектории через ось абсцисс. Поэтому после пересечения оси абсцисс следующую точку на фазовой траектории выбирают так, чтобы время перехода в эту точку из предыдущей было равно .

1. Бубнов, В. А. Линейная алгебра: компьютерный практикум / В. А. Бубнов, Г. С. Толстова, О. Е. Клемешева. — М.: ЛБЗ, 2012. — 168 c.

2. Бурмистрова, Е. Б. Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебник для студ. высш. учеб. заведений / Е. Б. Бурмистрова, С. Г. Лобанов. — М.: ИЦ Академия, 2010. — 336 c.

3. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра: Учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов. — М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 144 c.

4. Горлач, Б. А. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б. А. Горлач. — СПб.: Лань, 2012. — 480 c.

5. Демидович, Б. П. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х т.Т. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учебное пособие для втузов / Б. П. Демидович. — М.: Альянс, 2011. — 480 c.

6. Епихин, В. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теория и решение задач: Учебное пособие / В. Е. Епихин, С. С. Граськин. — М.: КноРус, 2013. — 608 c.

7. Ильин, В. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В. А. Ильин, Г. Д. Ким. — М.: Проспект, 2012. — 400 c.

8. Канатников, А. Н. Линейная алгебра: Учебник для вузов / А. Н. Канатников, А. П. Крищенко; Под ред. В. С. Зарубин. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — 336 c.

9. Кожухов, И. Б. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х т.Т. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры: Учебное пособие для втузов / И. Б. Кожухов. — М.: Физматлит, 2009. — 288 c.

10. Кочетков, Е. С. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е. С. Кочетков, А. В. Осокин. — М.: Форум, 2012. — 416 c.

11. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс: С контрольными работами: линейная алгебра; аналитическая геометрия; основы математического анализа; комплексные числа / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. — М.: Айрис-пресс, 2011. — 576 c.

12. Михалев, А. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / А. А. Михалев, И. Х. Сабитов. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 256 c.

13. Просветов, Г. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Задачи и решения: Учебно-практическое пособие / Г. И. Просветов. — М.: Альфа-Пресс, 2009. — 208 c.

14. Рудык, Б. М. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б. М. Рудык. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 318 c.

15. Скрыдлова, Е. В. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е. В. Скрыдлова, О. О. Белова. — Рн/Д: Феникс, 2012. — 142 c.

16. Шевцов, Г. С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г. С. Шевцов. — М.: Магистр, 2013. — 528 c.