О топологии наборов гиперплоскостей и многомерных вычетах

Геометрия конечных наборов гиперплоскостей отличается многообразием связей с комбинаторикой [21], а также с теорией многомерных вычетов [1], [18], особенностей дифференцируемых отображений [5], и гипергеометрических функций [8]. Перечислительная комбинаторика таких наборов имеет давнюю историю: еще в 1826 г. Якоб Штейнер (J.Steiner) получил формулу для числа частей, на которые разбивается плоскость R2 (пространство R3) прямыми (плоскостями), находящимися в общем положении, а в 1943 г. Р. Бак (R.Buck) распространил результат Штейнера на ситуацию конечного набора гиперплоскостей общего положения в Мп.

Адекватным аппаратом для решения указанных задач оказалось понятие функции Мебиуса на конечных частично упорядоченных множествах. Т. Заславский (T.Zaslavsky) [28] дал общее решение задач о разбиении евклидова и проективного пространств, выразив числа компонент и граней разбиения через функцию Мебиуса, для которой имеется рекуррентный алгоритм вычисления. В это же время математики осознали, что число частей разбиения выражает ранг нульмерной группы гомологий Н0(М.п Е) дополнения набора Е гиперплоскостей вЕ", что важными комбинаторными характеристиками наборов гиперплоскостей в Rn и Сп являются ранги групп гомологий Нк (Сп Е), 1 ^ к ^ п. Видимо впервые группа гомологий Нп (С" Е) была изучена (был найден алгоритм вычисления ее ранга и описана база гомологий) в работе А. П. Южакова [18] в связи с вычетами рациональных функций многих переменных, а затем на основе другого подхода — П. Орликом и Л. Соломоном (P.Orlik, L. Solomon) [24]. Таким образом, классическая задача о числе разбиения пространства Rn гиперплоскостями расширилась до проблемы изучения структуры групп гомологий и когомологий для дополнения С" Е, связанной с многомерными вычетами [1], [18], с феноменом зеркальной симметрии в теории суперструн [26], с торической геометрией и теорией гипергеометрических функций [8]. В рамках теории многомерных вычетов при конструировании логарифмических вычетов (потоков интегрирования на аналитическом множестве) и исследовании вычетов Гротендика комбинаторика наборов алгебраических гиперповерхностей в С" появляется в связи с изучением n-циклов, разделяющих этот набор гиперповерхностей ([17], [20]). Проблема описания разделяющих циклов оставалась неразрешенной даже для набора гиперплоскостей в Сп.

Цель диссертации — продолжить исследование по перечислительной комбинаторике для конфигурации гиперплоскостей в М&trade-, изучить разделяющую подгруппу группы гомологий Нп (Сп Е) и вычеты рациональных функций с гиперплоскими полюсами.

Перейдем к описанию содержания диссертации.

В первой главе речь идет о перечислительной комбинаторике конфигурации гиперплоскостей в R™.

Пусть в пространстве R" задано семейство Е =. , Егп} различных гиперплоскостей.

Е3 = {х = (хь., жп) бК": ajixi Н——-V а]пхп = bj}, j = 1,., га.

Обозначим через fn (E) = /П (ЕЬ., Ет) — число частей, на которые пространство Rn разбивается гиперплоскостями Е, т. е. число связных компонент (областей) множества R" Е = ]Rn (Е U • • • U Ет), соответственно, дп{Е) число ограниченных, hn (E) — число неограниченных компонент этого разбиения.

Ребром семейства Е назовем любое непустое пересечение гиперплоскостей этого семейства. Обозначим Ек —объединение всех^{-мерных} ребер семейства Е — fn (E) —число различных А:-мерных граней многогранников, на которые Ш. п разбивается гиперплоскостями семейства Е, т. е. число связных компонент множества Ек Ек~^, соответственно, дк{Е), hk (E) — числа ограниченных и неограниченных А—граней этого семейства. Будем считать пространство R" n-мерным ребром семейства Е. Тогда fn{E) = fn{B), дп (Е) = д" п (Е), hn (E) = h"(E). Очевидно, fn (E)=gt (E) + hkn (E).

В случае, когда нас интересует не только сами гиперплоскости семейства Е, но и все ребра Е, все грани разбиения, мы Е называем конфигурацией.

В § 1 первой главы выводятся формулы числа fk (E) различных к-мерных граней многогранников, на которые Мп разбивается гиперплоскостями семейства Е = {Ej}j=^ .,", расположенными нормально, и чисел дк, hk ограниченных, и неограниченных Ar-граней этого семействаа также даются точные оценки сверху для fk, Л* при произвольном взаимном расположении гиперплоскостей.

Теорема 1.1 Если гиперплоскости семейства Е пересекаются нормально, т. е. любые к из них либо не имеют общих точек, либо пересекаются по (п — к)-мерной плоскости, то fn{E) = ВП (Е) + ВП^(Е) + Вп, 2{Е) +. + В,(Д) + В0(Е), где Вк (Е) — число к-мерных плоскостей (ребер), по которым пересекаются гиперплоскости семейства Е, Bn (E) = m, Bn (E) = 1.

Теорема 1.2 Если гиперплоскости семейства Е пересекаются нормально и конфигурация Е имеет хотя бы одно 0-ребро, то gn (E) = В0(Е) -?!(?) + ••• + (-l)n1B"i (E) + (-1)nBn (E),.

2[ВХ{Е) + В3{Е) + ¦ ¦ ¦ + Вп (Е)], п = 2к + 1,.

К{Е) =.

2[ВХ{Е) + Вг{Е) + • • • + Bn^(E)l п = 2к.

Здесь Вп (Е) = 1, Вп. г (Е) = т.

Теорема 1.3 Если гиперплоскости семейства Е пересекаются норгде Bj (E) — число j-мерных ребер семейства Е.

Похожие формулы для нормального семейства получены и для функций g"{E), hk (E) (Теорема 1.4). Для общих конфигураций Е приведены точные оценки сверху для функций /к{Е), g"{E), hkn{E) (Теорема 1.5, 1.6). При фиксированном числе гиперповерхностей конфигурации Е точные оценки реализуются на конфигурациях общего положения.

В § 2 первой главы с помощью понятия флага F3]-Jk из последовательности вложенных ребер Тп С Тп С • • • С Т3к (размерностей ji < 32 <" • < jk) конфигурации Е дается формула для числа fn (E) произвольной конфигурации Е. Если г* — номер^{.-мерного} ребра, то всякий флаг конфигурации можно идентифицировать обозначением ЕЦу/j*. Обозначим также через Р/ число г-ребер, проходящих через флаг F = Е^—^.

Теорема 1.7 Если в пространстве R™ задано семейство гиперплоскостей Е — {Е,., Ет}, то число связных областей, на которые пространство R" разбивается этими гиперплоскостями, можно вычислить по одной из формул: мально, то fn (E) = i + j2(-ir{F)i F где суммирование ведется по всем флагам k = 1,., п.

О ^ ji < ¦ ¦ ¦ < jk < п, e{F) = п-кo (F) — п—1 п—1 fn (E) = 1 + (-1Г ^(S) —? Е Во — в, + В2 + • • • + (-1)" -1 Дг, причем Bk — число к-ребер семейства Е.

Результат Теоремы 1.7 является в некотором смысле двойственным к утверждению Т.Заславского.

В § 3 первой главы выводятся формулы числа частей разбиения пространства R™ и fc-ребер, если конфигурация имеет лишь правильные кратные точки: 0-ребро называется правильным, если через него проходит s ^ п гиперплоскостей и любые п из них пересекаются по точке. Причем формулы выводятся двумя способами: используя аппарат функции Мебиуса и с помощью простых геометрических рассуждений.

Теорема 1.8 Если конфигурация Е имеет лишь правильные кратные точки пересечения, и через любое к-мерное ребро, к > 0, проходит ровно п — к гиперплоскостей, то число всех областей этой конфигурации выражается формулой где kj — число гиперплоскостей, проходящих через j-ю точку пересечения.

Если, кроме того, семейство Е регулярно, то число ограниченных областей конфигурации Е, выражается формулой.

Аналогичные формулы для f%(E) и д?(Е), хотя и более громоздкие, отмечены в Теореме 1.9.

Обозначим совокупность всех ребер семейства гиперплоскостей {Ei,., Ет} через L (E). Упорядочим L (E) по прямому включению. Тогда функция Мебиуса /л: L (E) —> Ъ определяется по закону ц{R") = 1 и.

Таким образом, для вычисления значения /i (u) формально требуется вычисление значений ц по всем и, содержащим и.

В § 4 первой главы доказывается, что на самом деле р (и) можно вычислить лишь по значениям на ребрах, размерность которых на единицу больше размерности и. Эталонной является ситуация, когда dimw = 0 (т.е. и — это точка).

Теорема 1.10 Предположим что все гиперплоскости семейства {Ei,., Em] в R" или С" проходят через начало координат 0. Тогда где суммирование проводится по всем 1-ребрам из L (E), не лежащих в Ет.

Вторая глава посвящена исследованию группы гомологий Hn (Cn Е) дополнения до семейства гиперплоскостей в С" и многомерных вычетов рациональных функций с гиперплоскими полюсами, т. е. с полюсами на Е. Вначале приводится утверждение о ранге группы Нп (С" Е) (Теорема 2.2), которое выражает индуктивную (по размерности п) зависимость ранга. Затем исследуется разделяющая подгруппа группы гомологий Hn (Cn Е).

Теория циклов, разделяющих гиперповерхности (дивизоры) возникла в связи с исследованием конструкций многомерных логарифмических вычетов [1, 17]. Введем соответствующие понятия.

Пусть X — комплексное аналитическое многообразие комплексной размерности 7i: dime X = п, и. , Ет, т п — аналитические подмножества в нем чистой коразмерности 1, т. е. гиперповерхности. Обозначим.

Ио)| = ЕИ')|.

Е = Ei U • • • U Е, т •.

Возьмем произвольное разбиение множества {1,., ш} на п непустых непересекающихся подмножеств:, 7 = (Ji,., Jn) и рассмотрим соответствующую систему п дивизоров S = (Sь. , 5″), где Sk = 1J Е3. Пусть, а je-Jk изолированная точка пересечения Zj = S П • • • П Sn и пусть ip 6 0{Ua) функция, определяющая дивизор Sj в окрестности Ua точки, а :

Sj П Ua = {z Е Ua: = 0}.

Рассмотрим цикл.

Гa-j = {zeUa: ?]{Z) = ¦¦¦ =.

Очевидно, что Fa]J? Zn (X (J Sj) — Zn{XE), т. е. Гаj — цикл с носителем j=i вне объединения Е семейства гиперповерхностей, Ет.

Подгруппа группы Нп (Х Е), порожденная циклами ra-j для всевозможных разбиений J и изолированных точек a? S П • • • П Sn называется разделяющей и обозначается Н*(Х Е) [20]. Таким образом, класс [Г] € Нп (Х Е) цикла Г принадлежит этой подгруппе, если в X Е имеет место гомология a, J.

Очевидно, если [Г] € Н*(ХЕ), то согласно формуле Стокса интеграл от мероморфной дифференциальной n-формы по п-мерному циклу в X Е выражается через локальные вычеты j uj = (27r'/)n^na-Jresai5a-, г a> J где resа>5и> = (27гг) п J tv — локальный вычет формы со в точке, а отноra-j сительно системы дивизоров S (его также называют вычетом Гротендика).

Разделяющие циклы играют важную роль в конструкциях многомерных логарифмических вычетов и вычетов Гротендика.

Критерий принадлежности цикла Г Е Нп (ХТ) разделяющей подгруппе был дан А. К. Цихом [16], [17] в случае тп = п. Для rn > п А. П Южаковым [20] такой критерий был получен при некоторых ограничениях на гиперповерхности. Основной результат второй главы показывает, что для набора гиперплоскостей в С" вся группа гомологий Нп (С" Е) совпадает с разделяющей подгруппой.

Теорема 2.3 Всякий нетривиальный п-цикл Г в <Сп [J Ej гомологичен.

Наконец в заключительном параграфе приводится универсальный способ вычисления вычетов рациональных функций с гиперплоскими полюсами. Этот способ может быть эффективно применен к реализации Теоремы Е. К. Лейнартаса [13] о разложении рациональной функции на простейшие дроби.

Основные результаты опубликованы в работах [29]-[37].

По материалам диссертации делались доклады: на Международной конференции «Симметрия в естествознании» (Красноярск, 1998) — на Всеросийской научно-практической конференции «Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе» (Магнитогорск, 1999) — тп линейной комбинации циклов Ta j '¦ на Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 2000).

Автор глубоко благодарен Александру Петровичу Южакову и Августу Карловичу Циху за научное руководство работой.

1. Айзенберг J1.A., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с.

2. Барнабеи М., Брини А., Рота Дж.-К. Теория функций Мебиуса // УМН. 1986. Т. 41, № 3. С. 113−157.

3. Варченко А. Н. О числе граней конфигурации гиперплоскостей // ДАН СССР. 1989. Т. 38. С. 291−295.

4. Варченко А. Н., Гельфанд И. М. О функциях Хевисайда конфигурации гиперплоскостей // Функцион. анализ и его прил. 1987. Т. 21, Вып. 4. С. 148.

5. Ваильев В. А. Топология дополнений к дискриминантам. Москва: ФЛЗИС, 1997. 536 с.

6. Васильев В. А., Гельфанд И. М., Зелевинский А. В. Общие гипергеометрические функции на комплексных грассманианах // Функцион. анализ и его прил. 1987. Т. 21, Вып. 1. С. 23−38.

7. Васильев Н. В., Гутенмахер B. J1., Раббот Ж. М., Тоом A.JI. Заочные математические олимпиады. М.: Наука, 1987.

8. Гельфанд И. М., Зелевинский А. В. Алгебраические и комбинаторные аспекты общей теории гипергеометрических функций // Функцион. анализ и его прил. 1986. Т.20, Вып. 3. С. 17−34.

9. Головина Л. И., Яглом И. М. Индукция в геометрии. М.: Физматгиз, 1961.

10. Горески М., Макферсон П. Стратифицированная теория Морса. М.: Мир, 1991.

11. Егорычев Г. П. Интегральные представления и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977. 286 с.

12. Захаров А. В., Южаков А. П. Оценка числа частей разбиения пространства гиперплоскостями j j Тезисы докл. Всерос. конф. «Алгоритмический анализ некорректных задач» Екатеринбург: УрГУ. 1998 С. 295−296.

13. ЛеЙНАРТАС Е. К. Разложение рациональных функций многих переменных на простейшие дроби // Изв. вузов. Математика. 1978. № 10(197). С. 4751.

14. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. 440 с.

15. Цих А. К. О циклах, разделяющих нули аналитических функций в С" j j Сиб. мат. журн.1975. Т. 11. № 16. С 1118—1121.

16. Цих А. К. Критерии представимости интеграла по циклу через вычеты Гротендика. Некоторые приложения // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. № 5. С. 1083−1087.

17. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988. 241 с.

18. Южаков А. П. О вычетах функций многих комплексных переменных j j Изв. вузов. Математика. 1964. № 5. С. 149−181.

19. Южаков А. П. Вычисление вычетов мероморфной функции, знаменатель которой разлагается на линейные множители j J Математические записки. Свердловск: УрГУ. 1967. Т. 5, № 2. С. 116−124.

20. Szenes A., M. Verg ne Toric Reduction and a Conjecture of Вatyrev and Materov //http://xxx.arxiv.org/abs/math.AT/306 311, June 2003.

21. Winder R.O. Partition of N-space by Hyperplanes // Siam. J. Appl. Math. 1966. V. 1, N 14. P. 811−818.

22. Zaslavsky T. Facing up to arrangement: face-count formulas for partions of space by hyperplanes // Amer. Math. Soc. Memoir. 1975. P. 154. Работы автора по теме диссертации.

23. Московченко Г. А., Южаков А. П. О числе граней разбиения пространства R™ гиперплоскостями // Тезисы докл. Междунар. конф. «Симметрия в естествознании». Красноярск: Ин-т вычисл. моделирования СО РАН. 1998. С. 158−160.

24. Московченко Г. А., Южаков А. П. О числе k-мерных граней разбиения пространства R™ гиперплоскостями // Сб. науч. трудов «Математическое и программное обеспечение научных исследований и обучения». Курган: КГУ. 1998. С. 3−8.

25. Московченко Г. А., Южаков А. П. О конфигурации гиперплоскостей с правильными кратными точками пересечения // Труды межд. конф. «Симметрия и дифференциальные уравнения». Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН. 2000. С. 269−271.

26. Московченко Г. А. Формула числа частей разбиения пространства М3 плоскостями // Сборник научных трудов аспирантов и соискателей Курганского государственного университета. Курган: КГУ. 2003. С. 3−6.

27. Московченко Г. А. О числе частей разбиения пространства М" гиперплоскостями // Вестник Красноярского государственного университета. Вып. 1. Красноярск: КрасГУ. 2003. С. 27−31.