Адаптивное управление сетевыми динамическими системами

Задачи теории управления в сетях активно исследуются в последнее десятилетие и имеют много важных направлений. К задачам такого типа относятся следующие задачи: управление с целью синхронизации [2, 23, 39, 56, 43, 58, 59], управление с ограничениями на информационный канал [32, 44], управление движением групп мобильных роботов (мультиагентные системы — Multiagent Systems) [18, 19, 21, 25, 34, 38, 41, 42, 46, 49, 55] в том числе и предотвращения столкновений (Collision Avoidance) [22, 26, 51, 52] и т. д. Кроме того, в задачах кибернетики рассматриваются проблемы передачи шифрованных сообщений [8, 40] с помощью сетей и сенсорные сети. Разработка подобных сетевых систем связана со стремительным развитием информационных и коммуникационных технологий, основанных, вчастности, на беспроводной связи и беспроводных сенсорах. Однако синтез регуляторов, обеспечивающих желаемое поведение объектов сети, затруднен сложностью и пространственной распределенностью этих объектов, а также ограничениями на обмен информацией между ними.

При описании и анализе сетевых систем часто используется теория графов, поскольку графами можно описывать связи между отдельными объектами сети либо информационные потоки в этих системах.

Хотя задачи децентрализованного управления хорошо исследованы в работах А. А. Воронова, Б. М. Миркина, A.JT. Фрадкова, Д-Д. Сильяка, P.M.

Мюррея [4, 10, 15, 27, 28, 47, 50] и многих других авторов, постоянно возникают все более сложные задачи, например управление через канал с ограниченной пропускной способностью.

Целью работы является синтез регуляторов, обеспечивающих сходимость между собой решений динамических систем, образующих сети, при неполных измерениях и управлениях для различных случаев.

В данной работе рассмотрены задачи управления в сетях двух типов:

1. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных объектов в форме Лурье (идентичных и неидентичных).

2. Управление в сетях линейных объектов, не являющихся динамически связанными, т. е. не оказывающих непосредственного влияния друг на друга.

В первом типе задач взаимосвязи трактуются как возмущения, для достижения цели управления используется модель ведущая-ведомые подсистемы (leader-follower или master-slave). Во втором типе задач используется сетевое управление, называемое в существующих работах консенсусным [47, 48, 57], при этом модель ведущая-ведомые подсистемы не используется. Задачи первого типа рассматриваются в главе 2, второго типа — в главе 3.

Несмотря на большой интерес к задачам управления сетями, пока решен только ограниченный класс таких задач. В статьях о синхронизируемости и стабилизируемости сетей [39, 56, 58, 59] предполагается, что все состояние отдельной подсистемы доступно измерению, а также, что управление входит во все уравнения подсистем. В главе 2 приводятся условия достижения синхронизации в сетях систем Лурье при неполных управлениях и измерениях с помощью децентрализованных адаптивных регуляторов в различных случаях. Синтез регуляторов произведен с помощью метода скоростного градиента, предложенного в работах A.JI. Фрадкова [14, 15].

Как указывается в работе [47], синтез сетевых регуляторов, обеспечивающих синхронизацию в направленных сетях (т.е. описывающихся с помощью ориентированных графов), является более сложной и важной задачей по сравнению с такой же задачей в ненаправленных сетях, ввиду уменьшения информационного трафика.

В работе [28] рассмотрен динамический регулятор, являющийся сложным для расчета и построения сетевых систем управления. В работах [37, 57] задача решается с помощью наблюдателей, что с ростом количества агентов приводит к повышению порядка системы. В главе 3 на основе метода пас-сификации, предложенного A.JI. Фрадковым в работе [13], приводятся параметры и условия работоспособности статического регулятора по выходу в направленных сетях, состоящих из линейных объектов при неполных управлениях и измерениях без использования наблюдателей.

В первой главе делается краткий анализ существующих работ, но управлению в сетях и приводятся вспомогательные результаты, необходимые для дальнейшего изложения: сведения из теории графов (включая определение лапласовской матрицы и свойства ее спектра), свойства кронекерова произведения матриц, частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана), а также предложенные A.JI. Фрадковым методы пассификации и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления.

Диссертационная работа организована следующим образом. Во второй главе изложены основные результаты работы. В разделах 2.1−2.3.3 главы 2 рассматриваются сети идентичных объектов, описываемых уравнениями в форме Лурье, т. е. системами дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых разбиты на линейные и нелинейные составляющие. Связи между объектами не предполагаются линейными, они могут быть нелинейными. В отличие от известных работ, например [59, 58], считается, что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Считается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров. Кроме того, параметры объектов сети в случае согласованности также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема, являющаяся изолированной, т. е. не связанной с остальными. Функция управления ведущей подсистемы считается известной. Ставится задача нахождения децентрализованного алгоритма адаптивного управления и условий, обеспечивающих синхронизацию, т. е. сближение решения каждой подсистемы с решением ведущей подсистемы. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса. Связи между подсистемами считаются липшицевыми.

Рассматриваются три случая уравнений подсистем: случай подсистем с липшицевыми нелинейностями, случай подсистем с нелипшицевыми нелиней-ностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности, и случай подсистем, для которых выполнено свойство согласованности структуры объектов сети со структурой ведущей подсистемы. Поставленная задача решается с помощью результатов, изложенных в [11, 15, 16, 33]. Алгоритм адаптации синтезируется методом скоростного градиента. Получена оценка на константы Липшица взаимосвязей, обеспечивающая достижение цели управления при выполнении дополнительных условий, а именно: при гипер-минимально-фазовости некоторых передаточных функций в первых двух случаях и при строгой пассивности ведущей подсистемы в третьем случае.

В разделах 2.4−2.6 приводится постановка задачи управления неидентичными системами, структурно согласованными между собой. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получены условия достижения цели управления в виде синхронизации.

Согласно замечанию из раздела 2.3.1 все теоремы главы 2 могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей.

В разделе 2.7 полученные результаты иллюстрируются примером синхронизации нескольких взаимосвязанных цепей Чуа, проявляющих сложное поведение. Проведено численное моделирование, подтверждающее теоретические результаты.

В главе 3 рассматривается задача управления линейными динамическими системами с помощью сетевого статического регулятора (консенсусного управления) при неполных измерениях и управлениях. Важную роль при анализе задачи о сходимости между собой траекторий подсистем сети играют лапласовские матрицы. На основе метода пассификации получены условия достижения цели управления для случаев сбалансированного и несбалансированного графов при предположении о существовании у информационного графа ориентированного остовного дерева. Такие же условия получены для случая неориентированного информационного графа. В разделе 3.4 рассматривается пример сети, состоящей из четырех двойных интеграторов. Условия достижения цели управления, полученные для случая сбалансированного графа, иллюстрируются результатами численного моделирования.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из взаимосвязанных объектов в форме Лурье, и получены условия достижения цели управления в виде стремления траекторий всех подсистем к траектории ведущей подсистемы в в следующих случаях: случай глобально липшицевых нелинейностей, случай с обобщенно монотонными нелинейностями, случай согласованности структуры структуры подсистем сети с лидирующей подсистемой.

2. Синтезирован децентрализованный адаптивный регулятор для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье, и получены условия достижения цели управления в виде стремления траекторий всех подсистем к траектории ведущей подсистемы для случая согласованности структуры подсистем сети с лидирующей подсистемой.

3. При помощи метода пассификации найдены условия достижения синхронизации по выходу в сетях линейных объектов при неполных измерениях и управлениях с помощью статических регуляторов без построения наблюдателей.

4. Проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты.