Интегральные многообразия в задачах оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений

Актуальность работы. Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, традиционно связываемая с проблемами аэрогидродинамики и нелинейной механики, интенсивно развивается и ее методы активно применяются для решения широкого круга задач из других областей естествознания и техники. Это объясняется тем, что такие системы естественным образом возникают при моделировании и исследовании объектов различной природы, характерной особенностью которых является способность совершать одновременно быстрые и медленные движения.

Сложную композицию из медленных и быстрых движений представляет собой движение систем твердых тел. В задачах динамики спутников это может быть связано с наличием демпфирующих устройств или упругих элементов малой массы. Для гироскопических приборов и систем наличие быстрых — нутационных и медленныхпрецессионных колебаний хорошо известно и наблюдается практически всегда.

В теории автоматического управления модели, описываемые сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, возникают по целому ряду причин. Во-первых, такая ситуация естественна для задач управления системами, динамика которых объективно складывается из разнотемповых движений: гироскопические, электромеханические и другие системы. Во-вторых, появление сингулярных возмущений может быть связано со спецификой применяемых методов управления и для однотемповых систем. Примерами могут служить задачи с использованием метода штрафа при малом коэффициенте штрафа за управление («дешевое» управление) или задачи стохастической фильтрации при вырождении шума в канале наблюдений.

Сингулярно возмущенными называются системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, вида ey = g (x, y, t, e).

Здесь? — малый параметр, х G Rm, у? Rn. t € R. Уравнения могут содержать и вектор управляющих параметров и 6 Rr, т. е. иметь вид.

Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящено много работ [10], [И], [14], [19], [35], [41], [42], [46], [49], [50], [51], [67], [92],[101]. Задачи управления с сингулярными возмущениями также исследовались многими авторами, отметим [1],.

16]-[18], [20], [24], [26], [31], [36]-[40], [43], [44] [51], [53], [56], [57], [58], [59], [72]-[74], [99], [110], [76], [77]-[79], [83]-[88], [103], [104], [106], [107], [112], [ИЗ] и обзоры [13],[29], [44], [95], [96], [100],[105]. Поток публикаций, посвященных теории и приближениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно растет. Обзором, охватывающим многочисленные направления использования теории сингулярных возмущений в задачах управления, является обзор [13], опубликованный в 1982 г. С х = f (x, у, t, e),.

1) х = f (x, y, u, t, s), еу = g (x, y, u, t, e).

2) этого времени появились новые идеи и результаты. Отметим недавно опубликованный обзор Куриной Г. А. и Дмитриева М. Г. [29], в котором описаны основные результаты, полученные при исследовании сингулярно возмущенных задач управления, с использованием публикаций с 1982 года. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы.

Одной из задач оптимального управления является задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений: х = f (x, y, u, t,?), (3) еу = g (x, y, u, t, e). |u| <1, Т —У min.

Такие задачи рассматривались в работах [88], [93], [97], [98]. Для решения этой задачи в [88], [93], [97] использовалась порождающая задача, но нет асимптотических приближений к решению исходной возмущенной задаче. В тоже время, оптимальное управление порождающей системы не дает асимптотического приближения, поскольку не учитывает изменение быстрой переменной в окрестности начала координат.

Наиболее распространенный подход к исследованию таких задач состоит в применении методов асимптотического разложения решений возмущенных дифференциальных уравнений.

Диссертация посвящена построению асимптотического разложения точек переключения оптимального управления для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений.

В диссертации для решения задачи оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений используется метод декомпозиции, сочетающий в себе приемы асимптотических и качественных методов анализа. Сущность этого метода состоит в выделении класса медленных движений изучаемой системы и последующем разделении быстрых и медленных движений. Порядок рассматриваемой системы при этом понижается, получаемая в результате система меньшей размерности наследует основные элементы качественного поведения исходной системы в соответствующей области. По сути дела производится построение упрощенных моделей изучаемых объектов, но при этом более простые модели с высокой степенью точности отражают поведение исходной системы. Метод основан на идеях теории интегральных многообразий Н.Н.БоголюбоваЮ. А. М итропол ьского.

Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах [3], [4], [7], [28], [34], [47], [52], [61], [62], [63], [64], [69], [70], [89], [91], а для анализа задач управления в работах [1], [16], [17], [18], [48], [62], [108], [109], [111].

Различные аспекты декомпозиции сложных систем и задач управления обсуждались в работах [1], [26], [28], [33], [55], [56], [57], [59], [70] - [75], [102], [110].

Чтобы пояснить сущность предлагаемого подхода, рассмотрим сначала порождающую или вырожденную систему, которая получается из (1) при? = 0:

Уравнение (5) задает поверхность в пространстве переменных x, y, t. Нас интересуют части этой поверхности, которые можно задать уравнением у = ho (x, t), т. е. можно выразить быстрые переменные у через медленные х и время t. Если функция д (х, у, t, 0) не линейна по у, то решить уравнение (5) относительно у можно не всегда. Достаточным является выполнение требований теоремы о неявной функции, центральным из которых является: detgy (x, y, t, 0) ф 0. Поверхность, задаваемая уравнением (5), может распадаться на несколько «листов», каждый из которых задается явным уравнением вида у = ho (x, t). Обычно предполагается, что каждое из решений вида у = ho (x, t) является изолированным, т. е. существует такое положительное число р, что в окрестности \у — ho (x, t)\ < р нет других решений уравнения (5). Следуя обычной схеме, мы должны подставить у = ho (x, t) в уравнение (4) и заняться его анализом. Несмотря на то, что траектории системы (1) «протыкают» поверхность g (x, y, t, 0) = 0, переход к вырожденным уравнениям при естественных предположениях вполне допустим, т. к. в^{-окрестности} каждого «листа» у = ho (x, t) лежит интегральное многообразие, по которому проходят траектории системы (1). Отметим также, что ответ на вопрос о допустимости использования порождающей системы (4), (5) в качестве «нулевого приближения» дает известная теорема А. Н. Тихонова [65] - [67], основное предположение которой состоит в требовании асимптотической устойчивости х = f (x, y, t, 0), 0 = g (x, y, t, 0).

4).

5) у = ho (x, t) как стационарного состояния так называемой присоединенной системы при фиксированных х и t.

Для некоторых прикладных задач использование вырожденных уравнений вместо точных дает вполне приемлемые результаты, но для целого ряда задач приближение (4), (5) является слишком грубым.

В данном случае переход к порождающей системе рассматривается как декомпозиция системы (1) в нулевом приближении, при которой для переменной х строится независимое уравнение, а переменная у определяется из алгебраического уравнения у = hQ^Xjt), либо из присоединенного уравнения (6). При такой точке зрения на порождающую задачу ее уточнение нужно искать на пути более точной декомпозиции системы, когда с более высокой степенью точности строится независимое уравнение для медленной переменной, а быстрая переменная определяется из более точного алгебраического соотношения вида у = h (x, t, e), либо из некоторого дифференциального уравнения размерности п, коэффициенты которого могут зависеть от медленной переменной.

В данной диссертации декомпозиция системы (1) (или (2)) осуществляется путем введения новых переменных v и z по формулам где (р, ф, Ф, Ф — непрерывные функции, в некоторой области обладающие тем свойством, что для переменных v и z получается система.

6) х = f (x, h0(x, t), t,0),.

7) х = (p (v, t, e) + y = il>{v, t, E) + y (v, z, t, s),.

8) уравнений вида v = F (v, t, e), ez = G (v, z, t, e).

9) (10).

Если обращаются Ф, Ф, G в нуль при z = 0 и detGz{v, 0, t, Q)^0, то естественно называть v медленной переменной, a zстрого быстрой переменной. Уравнения задают в расширенном фазовом пространстве некоторую гладкую поверхность.

Поскольку система уравнений (9), (10) имеет множество решений v = v (t)1 z = 0, то эта поверхность в расширенном фазовом пространстве состоит из интегральных кривых, т. е. является интегральным многообразием, а векторное дифференциальное уравнение (9) описывает поведение решений на этом многообразии. Обычно формула (8) и приведение к виду (9), (10) имеют место в некоторой окрестности поверхности (11).

Первая глава диссертации посвящена задаче оптимального быстродействия для линейных сингулярно возмущенных систем.

В первом параграфе решается задача быстродействия для невозмущенной системы. Доказана теорема о нахождении асимптотического разложения точек переключения оптимального управления для линейной задачи управления.

Во втором параграфе первой главы рассматривается декомпозиция линейных сингулярно возмущенных систем управления в классе кусочно непрерывных управляющих воздействий и предлагается алгоритм x =.

И) нахождения асимптотического разложения точек переключения оптимального управления в задаче быстродействия для линейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Полученные результаты сформулированы в виде теоремы 2.

В третьем параграфе первой главы рассматриваются различные задачи управления: требуется перевести сингулярно возмущенную систему управления в некоторую заданную окрестность начала координат, управляя только медленной подсистемойчто произойдет с управляемой системой (5), если точки переключения оставить такими же, как и для задачи быстродействия, а управление и заменить на непрерывное.

— 1, t0.

1, ti + < t < t2 — At, fa-t), t2-H< t < ts — n, l) m+n, tm+n-1 + fl < t < tm+n X рассмотреть задачу оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной системы уравнения в классе непрерывных управлений.

Вторая глава диссертации посвящена задаче оптимального быстродействия для нелинейных сингулярно возмущенных управляемых систем.

В первом параграфе этой главы производится декомпозиция движений для нелинейных систем управления. Во втором параграфе доказана теорема о нахождении асимптотического разложения точек пеи = 11 реключения для системы п связанных маятников. Алгоритм, позволяющий найти асимптотику точек переключения для нелинейной задачи оптимального быстродействия в идейном плане мало чем отличается от алгоритма асимптотического решения линейной задачи. Оба алгоритма представляют собой реализацию одной и той же схемы. Вместе с тем их вычислительные процедуры имеют существенные различия, поскольку алгоритм, предложенный в первой главе диссертации, в полной мере использует линейность системы управления.

В третьей главе рассматриваются различные управляемые системы: задача оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода, оптимальное управление температурным полем. У каждой из этих задач есть своя особенность, которая, однако, не препятствует применению алгоритма нахождения асимптотики точек переключения, предложенного в главе 1. Так в задаче оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода имеется нулевое собственное значение, а в задаче оптимального управления температурным полем система путем нормировки коэффициентов приводится к счетной системе дифференциальных уравнений.

Исследование всех рассматриваемых в диссертации задач управления проводилось асимптотическим и численным методами. Результаты асимптотического анализа хорошо согласуются с данными численных экспериментов. Работа проиллюстрирована графиками решений управляемых систем.

Цель работы. Понижение размерности управляемых сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений так, чтобы система меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системыразработка алгоритма для нахождения точек переключения оптимального управления для сингулярно возмущенных систем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, оптимального управления сингулярно возмущенными системами, идеи теории интегральных многообразий.

Научная новизна. В работе предложены метод расщепления сингулярно возмущенных систем с негладким и разрывным управлением (ранее рассматривалась декомпозиция систем с гладким управлением) — алгоритм вычисления точек переключения в задаче оптимального быстродействия для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем, в частности, для системы связанных маятников. Решена задача оптимального быстродействия для модели магнитоэлектрического силового привода и управления температурным полем.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретическое и практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при изучении широкого класса сингулярно возмущенных систем управления. Разработанный в диссертации алгоритм нахождения асимптотического разложения точек переключения оптимального управления для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем позволяет упростить решение задачи оптимального быстродействия для данного класса систем. Доказанные в диссертации теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при решении задач оптимального быстродействия для линейных и нелинейных систем управления. Рассмотрение задач оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода, оптимального управления температурным полем, задачи оптимального быстродействия для системы связанных маятников имеют практическую ценность.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, Институт проблем управления РАН, 1998, 2000, 2002), на международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, 2000, 2004), на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001; Сочи, 2005; Йошкар-Ола, 2006), на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [115] - [126]. Работы [119, 122, 124, 126] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 7 параграфов и 36 рисунков, списка литературы, включающего 126 наименований. Общий объем диссертации 135 страниц.

1. Акуленко JL Д. Асимптотические методы оптимального управления / J1. Д. АкуленкоМ.: Наука, 1987. — 368 с.

2. Барбашин Е. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством / Е. А. Барбашин, В. А. ТабуеваМ.: Наука.- 1969.

3. Барис Я. С. Об устойчивости решения нерегулярно возмущенной системы / Я. С. Барис // Укр. мат. ж. 1975. — 27, № 6. — С. 723- 728.

4. Барис Я. С. Об интегральном многообразии для линейной нерегулярно возмущенной системы / Я. С. Барис, В. И. Фодчук // Труды семинаров по математической физикеКиев: Наукова думка. 1968. — Вып. 2. — С. 38 — 55.

5. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий/ Я. С. Барис, В. И. Фодчук// Укр. матем. журн. — 1970. Т. 22, No. 1. С. 3 — 11.

6. Болтянский В. Г. Матеметические методы оптимального управления/ В. Г. БолтянскийМ.: Наука.- 1969.

7. Боголюбов Н. Н. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский // Тр. междунар. семинара по нелинейным колебаниям. Киев: Изд-во АН УССР. — 1963 — т. 1. — С. 93 — 154.

8. Бутковский А. Г. Управление нагревом металла / А. Г. Бутков-ский, С. А. Малый, Ю. Н. АндреевМ.: Металлургия. 1981.

9. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных / А. Б. Васильева // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1963. -Т. 3, № 4. — С. 641 — 642.

10. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. БутузовМ.: Высшая школа. 1990.

11. Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ» — М.: ВИНИТИ. 1982 — С. 3 — 78.

12. Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в нелинейной задаче оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев //Акт. проблемы мат. физ. и вычисл. мат.- М.: Наука. 1984. — С. 40 — 49.

13. Васильева А. Б. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, близких к разрывным / А. Б. Васильева, В. А. Тупчиев // Докл. АН СССР. 1968. — 178, № 4. — С. 767 — 770.

14. Викторов Б. В. Особенности поведения систем управления с резко отличными темпами составляющих движения / Б. В. Викторов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1967. — № 5. — С. 190−195.

15. Викторов Б. В. О применении метода сингулярных возмущений при исследовании систем автоматического управления / Б. В. Викторов // Докл. АН СССР. 1977. — 236, № 2. — С. 296 — 299.

16. Викторов Б. В. О декомпозиции линейных нестационарных систем автоматического управления / Б. В. Викторов // Докл. АН СССР. 1981. — 256, № 6. — С. 1048 — 1052.

17. Волосов В. М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В. М. Волосов, Б. И. МоргуновМ.: Изд-во МГУ. 1971.

18. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А. А. ВороновМ.: Наука. 1979.

19. Воропаева Н. В. Конструктивный метод расщепления нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, No. 4. С. 569 — 578.

20. Воропаева Н. В. Декомпозиция многотемповых систем / Н. В. Воропаева, В, А. СоболевСамара: CMC. 2000.

21. Воропаева Н. В. Декомпозиция сингулярно возмущенных дифференциальных систем / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев // Методы анализа нелинейных системМ.: Диалог-МГУ. 1997.

22. Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями / В.Г. ГайцгориМ.: Наука. 1991.

23. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах / Р. В. ГамкрелидзеИзв. АН СССР, серия матем. 1958. — т. 22, № 4.

24. Геращенко Е. И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. / Е. И. Геращенко, С. М. ГеращенкоМ.: Наука. 1975.

25. Гичев Т. Р. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия / Т. Р. Гичев, A. J1. Дончев // Прикл. матем. и мех. 1979. — Т. 43, вып. 3. — С. 466 — 474.

26. Гольдштейн В. М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем / В. М. Гольдштейн, В. А. СоболевНовосибирск: Ин-т матем. АН СССР, Сиб. отдел. 1988.

27. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. 2006,. — № 1.-С. 3−51.

28. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности/ А. ДончевМ.: Мир. -1987.

29. Егоров А. И. Основы теории управления/ А. И. ЕгоровМ.: Физматлит. 2004.

30. Емельянов С. В. Метод квазирасщепления и его применение для синтеза систем автоматического управления / С. В. Емельянов, С. К. Коровин, И. Г. Мамедов // Докл. АН СССР. 1986. — 286, № 2. — С. 311 — 315.

31. Задирка К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной дифференциальной системы / К. В. Задирка // Укр. матем. журнал. 1965. -17, № 1. — С. 47 — 63.

32. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем / В. И. ЗубовJL: Судостроение. 1970.

33. Калинин А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем / А. И. КалининМн.: «Экоперспек-тива». 2000.

34. Калинин А. И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия / А. И. Калинин // Прикл. математика и механика. 1989. — Т.53, Вып. 6. — С. 880 — 889.

35. Калинин А. И. Метод асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи терминального управления / А. И. Калинин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1990. -Т. 30, № 3. — С. 366−378.

36. Калинин А. И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной нелинейной задачи оптимального быстродействия / А. И. Калинин // Дифференц. уравнения. 1993. — Т. 29, № 4. — С. 585 — 596.

37. Калинин А. И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управления / А. И. Калинин // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. — № - С. 104 — 114.

38. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. АрбибМ.: Мир. 1971. — 400 с.

39. Красовский Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Кра-совскийМ.: Наука. 1968.

40. Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления / Г. А. Курина, Е. Ю. Долгополова // Библиограф, указатель (19 822 002) — Воронеж: ВГЛТА. 2004.

41. Курина Г. А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г. А. Курина // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. -Ш. — С. 20 — 48.

42. Ли Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. МаркусМ.: Мир. 1972.

43. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. ЛомовМ.: Наука. 1981.

44. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский, О. Б. ЛыковаМ.: Наука. -1973.

45. Михеев Ю. В. Асимптотический анализ цифровых систем управления / Ю. В. Михеев, В. А. Соболев, Э. М. Фридман // Автоматика и телемеханика. 1988. — № 5. — С. 83 — 88.

46. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. X. РозовМ.: Наука. 1975.

47. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. МоисеевМ.: Наука. 1969.

48. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. МоисеевМ.: Наука. 1981.

49. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю. И. НеймаркМ.: Наука. 1972.

50. Новожилов В. И. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при производных для исследования гироскопических систем / В. И. Новожилов // Известия АН СССР. МТТ. 1970. — № 4. — С. 50 -51.

51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. ХартманМ.: Мир. 1970.

52. Парусников Н. А. Задача коррекции в инерциальной навигации / Н. А. Парусников, В. М. Морозов, В. И. БорзовМ.: Изд-во МГУ.- 1982.

53. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления / А. А. ПервозванскийМ.: Наука. 1986.

54. Первозванский А. А. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация / А. А. Первозванский, В. Г. ГайцгориМ.: Наука. -1981.

55. Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального упрвления / В. А. ПлотниковОдесса: Одесский ун-т. -1976.

56. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими и электрическими объектами на принципе декомпозиции. I, II / Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. -1989. № 1. — С. 87 — 92. — 1989. — № 2. — С. 57 — 70.

57. Ракитский Ю. В. Численные методы решения жестких систем / Ю. В. Ракитский, С. М. Устинов, М. Г. ЧерноруцкийМ.: Наука.- 1979.

58. Самойленко А. М. О расщеплении системы дифференциальных уравнений с медленно меняющейся фазой в окрестности асимптотически устойчивого инвариантного тора / А. М. Самойленко, М. Я. Свищук // Укр. матем. журнал. 1985. — 37, № 6. — С. 751- 756.

59. Соболев В. А. Декомпозиция разнотемповых систем с разрывными управлениями / В. А. Соболев, JI. М. Фридман // Автоматика и телемеханика. 1988. — № 3. — С. 29 — 34.

60. Соболев В. А. Сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение с фредгольмовым оператором при производной / В. А. Соболев, К. И. Чернышов // Дифференциальные уравнения.- 1989. 25, № 2. — С. 247 — 258.

61. Стрыгин В. В. Разделений движений методом интегральных многообразий / В. В. Стрыгин, В. А. СоболевМ.: Наука. 1988.

62. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. 1948. 22, № 2. С. 193 — 204.

63. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры / А. Н. Тихонов // Матем. сб. 1950. — 27, № 2. — С. 147 — 156.

64. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Мат. сб. 1952. — 31, № 3. — С. 575 — 586.

65. Фельдбаум А. А. Методы теории автоматического управления / А. А. Фельдбаум, А. Г. БутковскийМ.: Наука. 1974.

66. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. ХейлМ.: Мир. 1966.

67. Черноусько Ф. JI. О движении твердого тела с упругими и дис-сипативнами элементами / Ф. J1. Черноусько // ПММ. 1978. -42, № 1. — С. 34 — 42.

68. Черноусько Ф. J1. Управление колебаниями / Ф. JI. Черноусько, JI. Д. Акуленко, Б. Н. СоколовМ.: Наука. 1980.

69. Черноусько Ф. JL Методы управления нелинейными механическими системами / Ф. JI. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. РешминМ.: Физматлит. 2006.

70. Черноусько Ф. JI. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф. JI. Черноусько, В. Б. Колмановский // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ» — М.: ВИНИТИ. 1977. — т. 20. — С. 101 — 166.

71. Черноусько Ф. J1. Оптимальное управление при случайных возмущениях / Ф. JI. Черноусько, В. Б. КолмановскийМ.: Наука. 1978.

72. Черноусько Ф. Л. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твердого тела с упругими и дисипативными элементами / Ф. Л. Черноусько, А. С. Шамаев // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. — № 3. — С. 33 — 42.

73. Чернышов К. И. Метод стандартного расщепления сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений/ К. И. Чернышов// Доклады АН СССР. 1990. — Т. 311, No. 6. — С. 1311 -1316.

74. Abed Е. Н. Multiparameter singular perturbation problems: Iterative expansions and asymptotic stability / E. H. Abed // System and Control Lett. 1985. — № 5. — P. 279 — 282.

75. Abed E. H. Decomposition and stability of multiparameter singular perturbation problems / E. H. Abed // IEEE Automat. Contr. -1986. 31, № 10. — P. 925 — 933.

76. Ardema M. D. Ed. Singular perturbations in systems and control / M. D. ArdemaNew York: Springer. 1983.

77. Brown C. J. Time-optimal Control of a Moving-Coil Linear Actuator / C. J. Brown, J. T. Mo // IBM J. Re S. Develop. 1968. — 372 -379.

78. Chang K. W. On Coddington and Levinson’s results for a nonlinear boundary value problem involving a small parameter / K. W. Chang // Rent, nazionale dei Lincei. 1973. No. 54. — P. 356 — 363.

79. Chang K. W. Approximate solutions of nonlinear boundary value problems involving a small parameter / K. W. Chang // SIAM J. Appl. Math. 1976. — No. 30. — P. 42 — 54.

80. Chow J. H. Asymptotic stability of a class of nonlinear singularly perturbed systems/ J. H. Chow //J. Franklin inst. — 1978. — No. 306. P. 275 — 278.

81. Chow J. H. Eigenvalue placement in two-time-scale systems/ J. H. Chow, P. V. Kokotovic // Proc. IFAC Symp. on large scale systems/ Udine, Italy, 1976. P. 321 — 326.

82. Chow J. H. Preservation of controllability in linear time invariant perturbed systems/ J. H. Chow // Int. J. control. — 1977. — No. 25. P. 697 — 704.

83. Chow J. H. Two-time-scale feedback design of a class of nonlinear systems/ J. H. Chow, P. V. Kokotovic // IEEE Trans, autom. control. -1978. No. 23. — P. 438 — 443.

84. Cobb D. Controllability, observability and duality in singular systems/ D. Cobb // IEEE Trans, autom. control. 1984. — No. 2. P. 1076 1082.

85. Collins W. D. Singular perturbationsof linear time-optimal control problems / W. D. Collins // Recent Methematical Developments in ControlNew-York: Academic Press. 1973. — P. 123 — 139.

86. Fenichel N. Geometric singular preturbation theory for ordinary differential equations / N. Fenichel // J. Different. Equat. 1979. 31. P. 53 — 98.

87. Javid S. M. The time optimal control of a class of nonlenear singularly perturbed systems / S. M. Javid // Int. J. Control. 1978. — V. 28, № 6. — P. 831 — 836.

88. Hale J. Ordinary Differential Equqtions / J. HaleNew-York: Wiley Interscience. 1969.

89. Hoppensteadt F. Asymptotic stability in singular perturbation problems / F. Hoppensteadt // Memoirs Amer. Math. Soc. 1978. P. 203.

90. Kalinin A. I. Algoritm to obtain an asymptotic solution for time-optimale control of a singulary perturbed nonlinear system/ A. I. Kalinin. P. 497 — 506.

91. Khalil H. K. Controlability and time-optimal control of systems with slow and fast models / A. I. Khalil, A. H. Haddad // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. — № 1. — P. 11 — 113.

92. Kokotovic P. V. Recent trends in feedback design: an overview / P. V. Kokotovic // Automatica. 1985. — 21, № 3. — P. 225 — 236.

93. Kokotovic P. V. Applications of singular perturbation techniques to control problems / P. V. Kokotovic // SIAM Review. 1984. — 26, № 4. — P. 501 — 550.

94. Kokotovic P. V. Controlabiliti and time-optimal control of systems with slow and fast modes / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Autom. Control. 1975. — V. 20, № 1. — P. Ill — 113.

95. Kokotovic P. V. Singular perturbations of a class of time-optimal controls / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Autom. Control. 1975. -V. 20. — P. 163 — 164.

96. Kokotovic P. V. Singular Perturbations Methods in Control. Analysis and Design / P. V. Kokotovic, H. K. Khalil, J. O’ReilyNew York: Academic Press. 1986.

97. Kokotovic P. V. Singular perturbations and order reduction in control theory. An overview / P. V. Kokotovic, R. E. O’Malley // Automatica. -1976. 12, № 2. — P. 123 — 132.

98. O’Malley R. E. Introduction to singular perturbations / R. E. O’MalleyNew York: Academic Press. 1974.

99. O’Malley R. E. Singular preturbations and optimal control / R. E. O’Malley // Lect. Notes Math. 1978. — 680. — P. 171 — 218.

100. Porter B. Singular perturbation methods in the design of state feedback controllers for multivariable linear systems/ B. Porter // Int. J. control. 1977. — No. 26. — P. 583 — 587.

101. Porter B. Singular perturbation methods of asymptotic eigenvalue assignment in multivariable linear systems/ B. Porter, A. T. Shenton // Int. J. system science. 1975. — V. 6, No. 1. — P. 33 — 37.

102. Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D. S. Naidu // Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Syst. Ser. B: Appl. and Algorithm. 2002. -V.9. — P. 233 — 278.

103. Sannuti P. On the controllability of singularly perturbed systems/ P. Sannuti // IEEE Trans, autom. control. 1977. — No. 22. — P. 622 — 624.

104. Sannuti P. On the controllability of some singularly perturbed nonlinear systems/ P. Sannuti // J. math. anal, applic. — 1978. — No. 64. P. 579 — 591.

105. Sobolev V. A. Integral Manifolds and Control of Singularly Perturbed System / V. A. Sobolev // System and Control Lett. 1984. — 5. -P. 169 — 179.

106. Sobolev V. A. Integral manifolds and some optimal control problems /V. A. Sobolev// Periodica Polytechnica. Mechanical Engineering. -1987. 29, № 1. — P. 57 — 66.

107. Sobolev V. A. Decomposition of linear singularly perturbed systems /V. A. Sobolev// Acta. math. Hung. 1987. — 49 (3−4). — P. 365 -376.

108. Sobolev V. A. Integral manifolds and decomposition of nonlinear differential systems /V. A. Sobolev// Stud. sci. math. 1988. — 23. — P. 73 — 79.

109. Suzuki M. Composite controls for singularly perturbed systems/ M. Suzuki // IEEE Trans, autom. control. 1981. — No. 26. -P. 505 — 507.

110. Suzuki М. Stabilizing feedback controllers for singularly perturbed linear constant systems/ M. Suzuki, M. Miura // IEEE Trans, autom. control. 1976. — No. 21. — P. 123 — 124.

111. Wilde R. R. A dichotomy in linear control thery / R. R. Wilde, P. V. Kokotovic // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. — 17. — P. 382 — 383.

112. Видилина О. В. Понижение порядка задачи оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Известия РАЕН серия МММИУ. 1999. — Т. З, No 2. — С. 117−127.

113. Видилина О. В. Сингулярные возмущения в задаче оптимального быстродействия / О. В. Видилина //VI Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Тез. док. Москва, Институт проблем управления РАН, 2000. — С. 67.

114. Видилина О. В. Декомпозиция задач оптимального быстродействия / О. В. Видилина // Международный семинар «Нелинейное моделирование и управление». Тез. док. Самара. — 2000. -С. 22−23.

115. Видилина О. В. Оптимальное управление в системах с быстрыми и медленными переменными / О. В. Видилина // Обозрениеприкладной и промышленной математики. Москва, 2001. — Т. 8, No 1. — С. 124.

116. Видилина О. В. Расщепление одной задачи оптимального быстродействия / О. В. Видилина // VII Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Тез. док. Москва, Институт проблем управления РАН, 2002. -С. 72−73.

117. Видилина О. В. Оптимальное быстродействие в кусочно-линейных системах с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Международный семинар «Нелинейное моделирование и управление». Тез. док.- Самара, 2004. С. 13−14.

118. Видилина О. В. Декомпозиция задач оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Ме-хатроника, автоматизация, управление. 2004. — No 8. — С. 16−23.

119. Vidilina О. V. Singular perturbations in time-optimal control problem / О. V. Vidilina // Stability and Control: Theory and Applications. 2004. — Vol. 6, No 1- C. 1−9.

120. Видилина О. В. Задача оптимального быстродействия для модели магнитоэлектрического силового привода/ О. В. Видилина // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, 2005. — Т. 12, No 4. — С. 926−927.

121. Видилина О. В. Декомпозиция задач оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений /О. В. Видилина // Материалы Воронежской зимней математической школы. Тез. док. Воронеж, 2005. — С. 55.

122. Видилина О. В. Оптимальное управление процессами нагрева/ О. В. Видилина // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, 2007. — Т. 14, № 4. — 268−269.