Компьютерная и математическая модель ядерного спинового эха

Импульсное возбуждение ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и ядерного квадрупольного резонанса (ЯКР) широко используется в физике как для изучения внутренних электрических и магнитных полей в кристаллах, так и при исследовании неравновесных состояний ядерных спинов (релаксационных процессов) [1, 2]. Явление спинового эха позволяет наиболее удобно и точно производить измерения времён релаксации, исследовать структуру кристаллов, на явлении спинового эха основана работа современных томографов, ЯКР и ЯМР спектрографов. Огромную роль явление спинового эха играет в физических моделях твёрдотельных квантовых компьютеров. Для наблюдения ядерного магнитного резонанса образец помещают в постоянное магнитное поле. В случае ядерного квадрупольного резонанса не нужно помещать образец в постоянное магнитное поле, так как расщепление уровней ядерных спинов достигается за счет взаимодействия электрического квадрупольного момента ядер с неоднородным кристаллическим электрическим полем образца. Схема уровней ядерного спина может быть получена с помощью вычисления уровней энергии гамильтониана Зеемана (ЯМР) или квадрупольного гамильтониана (ЯКР). Картину эксперимента можно представить следующим образом: исследуемый образец помещается в катушку, вдоль оси которой (ось X лабораторной системы координат) действует радиочастотное поле, так называемый радиочастотный импульс. Радиочастотное поле воздействует на образец в течение времени гь затем оно выключается на время т — 1. В интервале т <? < г+/2 действует второй импульс радиочастотного поля длительностью /2 (считается, что т", г2). После этого через время и следует ожидать сигнал спинового эха, интенсивность которого пропорциональна производной от среднего магнитного момента ядерной подсистемы, направленного вдоль оси радиочастотной катушки. Блумом, Ханом и Герцогом [3] впервые было показано, что спиновое эхо в экспериментах по ядерному квадрупольному резонансу можно зарегистрировать и в отсутствии постоянного внешнего магнитного поля. Хотя полный момент спиновой системы в ЯКР равен нулю, магнитные моменты подсистем с положительными и отрицательными проекциями спинов ядер отличны от нуля. Исследуемым образцом может быть как монокристалл, так и поликристалл — порошок.

Актуальность темы

исследования. Особое значение при изучении локальных магнитных и электрических полей в кристаллах имеет анализ экспериментальной картины квадрупольного спинового эха в магнитном поле. Если изменять интервал времени между импульсами т, то амплитуда спинового эха при наличии постоянного внешнего или локального магнитного поля испытывает «медленные биения», частота которых определяется зееман-расщеплением в стационарных экспериментах. Существует несколько подходов для расчёта амплитуды ядерного квадрупольного спинового эха [3,4]. В каждом из них делается ряд приближений. В частности, было выявлено, что результирующие формулы для интенсивности спинового эха, приведенные в работах [3, 4], справедливы при выполнении неравенства й)]Ш<< 1, гдеа>1=}/Нф угиромагнитное отношение, Н^ - амплитуда радиочастотного поля, № - длительность радиочастотного импульса. В то время как в ЯКР спектрометрах заметный сигнал наблюдается лишь при условии 0)^-1. К сожалению, вплоть до настоящего времени не был выполнен детальный анализ области применимости этих приближений и не сформулирована математически корректная процедура моделирования процесса квадрупольного спинового эха, которая позволяла бы извлекать информацию о физических свойствах вещества — величину и ориентацию локального магнитного поля — на основании сравнения экспериментальных данных с результатами модельных расчетов. Актуальность разработки численной модели продиктована необходимостью не только качественно, но и количественно интерпретировать экспериментальные данные по квадрупольному спиновому эху, разработать универсальную схему, применимую при вычислении амплитуды спинового эха в случае целого и полуцелого спина ядра с учётом эффектов релаксации. Кроме того, поскольку у некоторых ядер (например, ядер азота) частоты квадрупольного резонанса и интенсивности сигналов спинового эха малы, особую актуальность приобретает задача разработки ЯКР спектрометров, более эффективных по сравнению с существующими. Актуальность задачи измерения и анализа огибающей амплитуды ядерного квадрупольного спинового эха в соединениях азота ЫМ с ядерным спином 1=1 обусловлена необходимостью разработки эффективных средств контроля и безопасности на транспорте.

Объект и методы исследования. Теоретический анализ поведения амплитуды квадрупольного спинового эха в магнитном поле был выполнен на основе метода матрицы плотности, как и в работе [4]. Но при этом уравнение Шредингера для матрицы эволюции решалось численно на ЭВМ без использования тех приближений, которые делались в работах [3, 4]. Чтобы максимально адаптировать вычислительную схему к условиям экспериментального измерения огибающей амплитуды спинового эха, учитывались симметрийные свойства градиента электрического поля и расположение кристаллического образца в радиочастотной катушке [5,6]. Помимо компьютерной модели, были получены также и аналитические формулы для расчёта амплитуды квадрупольного спинового эха, обобщающие формулы моделей Блума, Хана и Герцога и Даса и Саха. Для этого использовалась теорема Флоке [7,8], позволяющая получить решение уравнения Шредингера с гамильтонианом, периодически зависящим от времени. Теорема Флоке использовалась ранее для решения задач спиновой динамики как зарубежными авторами [9], так и российскими физиками [10,11]. Однако во всех данных работах применялась реализация теории Флоке с использованием разложения решения системы дифференциальных уравнений и гамильтониана в ряды Фурье. В результате чего удавалось свести задачу к решению систем дифференциальных уравнений с постоянным гамильтонианом, представленным в виде бесконечномерной матрицы. К сожалению, дальнейшие преобразования в рамках метода, разработанного в работе [9], были необычайно громоздкими, а их применимость вызывала много вопросов. В данной работе удалось разработать более удобный и универсальный способ решения дифференциальных уравнений спиновой динамики с периодически зависящими от времени коэффициентами без разложения в ряды Фурье. Разработанный метод обладает значительной универсальностью и может быть применен для теоретического описания не только ядерного квадрупольного резонанса, но также и для построения теории других магнитных резонансных методов, таких как ЯМР. Разработанный метод может быть применён для расчёта среднего гамильтониана [12]. Во многих случаях удаётся описать воздействие на систему периодическим возмущением с помощью независящего от времени среднего гамильтониана. Теория среднего гамильтониана позволяет достаточно просто описывать последовательности импульсов в многоимпульсных экспериментах с точностью до первого порядка теории возмущений, считая малым радиочастотное поле (частота мала по сравнению с характерной частотой перехода между уровнями стационарного гамильтониана). Однако, в отличие от метода среднего гамильтониана аналитические алгоритмы для расчёта амплитуды спинового эха, основанные на теореме Флоке, могут быть применены в случае если радиочастотное поле не является малым (например, в случае ЯКР на ядрах азота) или в случае, когда требуется изучить влияние поправок более высокого порядка, например, в квантовых ЯМР компьютерах.

Данная работа была разбита на следующие этапы. На первом этапе работы теоретически и экспериментально была исследована временная зависимость огибающей амплитуды квадрупольного спинового эха на поликристаллическом образце В120ез09, монокристаллах Сс^Ь и В1зВ5012 в присутствии внешнего магнитного поля. На этом этапе было необходимо проверить работоспособность разработанной численной модели квадрупольного спинового эха. Оксид висмута а-В120з и родственные ему соединения, содержащие элементы УЬ группы (В1 и БЬ), служат исходными веществами для синтеза высокотемпературных сверхпроводников и сегнетоэлектриков, а некоторые из них являются материалами с нелинейными оптическими, электроакустическими, пьезоэлектрическими свойствами.

Однако, несмотря на интерес исследователей, магнитные свойства таких соединений изучены недостаточно полно. Данные ядерного квадрупольного резонанса (ЯКР) на ядре 209В1 свидетельствуют о том, что соединения 0С-ВьО3, ЬИзС^Вг, В12А1409, В12Се309, В14Се3012, ВаВЮ2С1, В13В5012, в которых отсутствуют носители магнетизма, — атомы йили^{элементов,} не являются диамагнетиками в традиционном смысле. В этих соединениях существуют упорядоченные локальные магнитные поля Н величиной до 250 Гс, обусловливающие типично зеемановские расщепления спектральных линий ЖР 209В1 в отсутствие внешних магнитных полей [13,14,15,16]. При анализе их спектров ЯКР установлена уникально высокая чувствительность электронных характеристик к воздействию слабых внешних магнитных полей (Яс< 500 Э), указывающая на сильную взаимосвязь магнитной и электронной подсистем соединений. Это говорит о принципиальной возможности изменять функциональные свойства соответствующих материалов, воздействуя на них слабыми магнитными полями. Например, во внешнем магнитном поле (до 500Э) сильно возрастает (в 8−10 раз) интенсивность линий в спектре ЯКР 209В1 соединения ВцвезОп. С помощью разработанной компьютерной модели спинового эха удалось получить важные физические свойства описанных выше веществ. Например, на поликристаллическом образце В120ез09 и монокристалле ВУ^О^ экспериментально была получена отчетливая картина биений на огибающей амплитуды спинового эха в отсутствие внешнего магнитного поля. Данное наблюдение является свидетельством наличия в соединениях Въ0е309 и В13В5012 локальных магнитных полей. Сравнение экспериментальной кривой огибающей амплитуды спинового эха и рассчитанной численно на ЭВМ дало возможность определить с высокой точностью величину и направление локального магнитного поля в соединениях В12Се309 и В13В5012. На монокристалле СёБЬ в отсутствие внешнего магнитного поля биений амплитуды спинового эха не обнаружено. Однако, даже слабое внешнее магнитное поле (порядка 10 Э) вызывало сильные биения амплитуды спинового эха, теоретическое моделирование которых дало возможность определить ориентацию градиента кристаллического электрического поля в данном соединении.

Второй этап работы был посвящен разработке в рамках метода матрицы плотности, используемого для моделирования ядерного квадрупольного спинового эха, нового подхода, основанного на теореме Флоке, при решении систем дифференциальных уравнений, описывающих временную зависимость оператора эволюции [17]. Данный метод позволяет находить решение систем дифференциальных уравнений с коэффициентами, периодически зависящими от времени, как численными методами, так и аналитически, с использованием теории возмущений в случае слабого радиочастотного поля. Разработанный метод был использован для аналитического описания огибающей амплитуды спинового эха для двухимпульсной методики измерения ЯКР в соединениях азота с ядерным спином I — 1. Актуальность задачи обусловлена необходимостью разработки эффективных средств контроля и безопасности на транспорте, а так же анализом возможности создания импульсных ЖР спектрометров с улучшенными характеристиками. Было показано, что сильное радиочастотное поле (~1кЭ) вызывает множественные сигналы спинового эха в радиочастотной катушке спектрометра. I.

Целью третьего этапа работы было включение релаксационных явлений в разработанную на первом этапе данной работы компьютерную модель ядерного квадрупольного спинового эха. Ранее эффекты релаксации были учтены феноменологически, путем умножения рассчитываемой амплитуды спинового эха на экспоненциальный коэффициент, содержащий эффективное время спин-спиновой релаксации, определяемое по экспериментальному времени затухания сигнала в импульсном ЯКР спектрометре. Используемый метод матрицы плотности при разработке математической модели квадрупольного спинового эха был дополнен стохастическими методами описания физической системы ядерных спинов [18]. Магнитный механизм релаксации учитывался путём рассмотрения взаимодействия ядерного спина с флуктуирующим магнитным полем. Был рассмотрен так же квадрупольный механизм релаксации, обусловленный орторомбическими искажениями кристаллической решётки [19]. Флуктуирующее магнитное поле и флуктуационное искажение решётки задавались стохастическими процессами [18,19], основными характеристиками которых являются времена корреляции тс и тв соответственно. Вид стохастического процесса и температурная зависимость времён корреляции зависит от выбранного механизма релаксации. Пользуясь методами теории Блоха—Вангснесса—Редфилда [20,21,22], удалось обобщить уравнения Блоха, описывающие релаксацию ядерного спина, на случай произвольного стационарного гамильтониана, определяющего систему уровней ядерного спина. Считалось, что флуктуации значительно меньше основного стационарного гамильтониана и нескоррелированы между собой. При изучении релаксационных процессов полагалось, что, несмотря на нестационарный характер релаксационных процессов, система незначительно была выведена из состояния равновесия, после чего за время большее времён корреляции вернулась в равновесное состояние. Обобщённые квантомеханические уравнения Блоха использовались для стохастического описания релаксационных процессов, в случае, когда основным стационарным гамильтонианом являлся квадрупольный гамильтониан со спином ядра 1=1. Были получены выражения для обратных времён релаксации (скоростей релаксации), представляющих собой зависимости от времён корреляции тс и т0, а так же частот переходов квадрупольного гамильтониана. В дальнейшем предполагается объединить стохастические обобщённые уравнения Блоха с разработанной схемой для расчёта амплитуды квадрупольного спинового эха.

Цели работы. Первой целью работы было создание компьютерной модели спинового эха, применимой для моделирования амплитуды спинового эха и извлечения информации о ранее неизвестных физических свойствах вещества — величины и ориентации локального магнитного поля, направления градиента кристаллического электрического поля в образце. Второй целью являлся анализ условий формирования спинового эха, усовершенствование аналитических моделей, применяемых для описания динамики ядерного спина.

Для выполнения поставленных целей необходимо было решить следующие основные задачи:

• Проанализировать область применимости формул моделей ядерного квадрупольного спинового эха, предложенных ранее Блумом, Ханом и Герцогом, а также Дасом и Саха. Разработать компьютерную модель, в которой уравнение для оператора эволюции (уравнение типа Шредингера) решается численно без применения упрощающих приближений, используемых в моделях Блума-Хана-Герцога и Даса-Саха. Данная модель должна адекватно описывать эксперименты по измерению временной зависимости амплитуды спинового эха, в том числе такое сложное явление как «биение» на огибающей амплитуды спинового эха, которое возникает при наличии локального или внешнего магнитного поля.

• Создать математический аппарат, позволяющий аналитически исследовать зависимость амплитуды спинового эха от параметров, определяющих процесс его формирования. Предлагаемый аналитический метод должен быть применим как для случая слабого, так и сильного радиочастотного поля.

• Учесть релаксацию ядерного спина при расчёте амплитуды спинового эха. Дополнить метод матрицы плотности стохастическими моделями описания релаксационных явлений.

Научная новизна. Впервые разработан комплекс программ, позволяющий не только качественно, но и количественно интерпретировать экспериментальные данные по квадрупольному спиновому эху, моделировать временную зависимость амплитуды спинового эха.

В рамках метода матрицы плотности, используемого для моделирования ядерного квадрупольного спинового эха, был предложен подход, основанный на теореме Флоке-Ляпунова, к решению систем дифференциальных уравнений, описывающих временную зависимость оператора эволюции. Отличительной особенностью разработанного автором метода и его важнейшим усовершенствованием по сравнению с ранее разработанными схемами, использующими теорему Флоке-Ляпунова, является его простота использования и применимость в случае, когда частота радиочастотного поля близка к частоте перехода (резонансный случай), а уровни спина ядра, определяемые основным стационарным гамильтонианом, не являются эквидистантными. С помощью полученного метода было объяснено явление множественного спинового эха: моделирование амплитуды спинового эха для двухимпульсной методики измерения ЯКР в соединениях азота 14/У с ядерным спином /=1 предсказывает возможность обнаружения множественных сигналов индукции вблизи «классических» сигналов индукции после первого и второго импульсов и сигнала спинового эха в случае сильного радиочастотного поля. В результате произведённых аналитических расчётов было показано существование двух режимов поведения ядерного спина в радиочастотном поле. В случае слабого радиочастотного поля (частота (01=уН# мала по сравнению с характерной частотой перехода между уровнями основного стационарного гамильтониана) установлена возможность разделения поведения ядерного спина на быстрые (с частотой, определяемой переходами между уровнями основного гамильтониана) и медленные (обусловленные поворотом спина вокруг направления радиочастотного поля на угол фШ) движения. В случае сильного радиочастотного поля такое разделение невозможно, амплитуда спинового эха становится сложной функцией резонансной частоты, определяемой уровнями основного гамильтониана.

Было показано, что формулы Даса и Саха, применяемые при расчётах сигнала спинового эха в современных спектрометрах, являются справедливыми в нулевом приближении по радиочастотному полю. Установлено, что формулы Даса и Саха могут быть получены предельным переходом из общих формул, основанных на теореме Флоке. Таким образом, удалось определить область применимости результирующих формул существующих моделей Блума-Хана.

Герцога и Даса-Саха и получить обобщённые формулы для расчёта амплитуды спинового эха.

В данной работе были получены стохастические обобщённые уравнения Блоха, описывающие релаксацию наблюдаемых значений квантовых операторов спина ядра 1х, 1у и /,. Пользуясь алгеброй частичных спиновых операторов, удалось решить уравнения Блоха в случае ЯКР и спина ядра 7=1. В процессе решения уравнений Блоха были получены выражения для времён спин-спиновой и спин-решёточной релаксации, в которые входят основные параметры задачи — времена корреляции, частоты переходов основного гамильтониана. Было показано, что в случае ЯКР со спином ядра 7 = 1, в отличие от ЯМР, количество времён релаксации удваивается. Установлено, что вклады в выражения для обратных времён релаксации, связанные с магнитными и квадрупольными механизмами релаксации, складываются.

Практическая ценность. Возможности расчётной схемы были непосредственно использованы для моделирования «биений» огибающей амплитуды спинового эха во внешнем или локальном магнитном поле для определения ориентации градиента электрического поля на монокристалле СёБЬ, направления и величины локального магнитного поля в соединениях В12Се309 и В13В5012. В результате проведенных теоретических и экспериментальных исследований разработана компьютерная и аналитическая модель спинового эха, включающая в себя исчерпывающий набор составляющих: численный расчёт, анализ динамики ядерного спина и учёт эффектов релаксации и имеющая как научный, так и методический интерес для широкого круга специалистов.

В результате проведенных исследований, представленных в настоящей работе, были получены следующие основные результаты, выносимые автором на защиту.

1. Установлено, что результирующие формулы существующих моделей Блума-Хана-Герцога и Даса-Саха справедливы в нулевом приближении по параметру е = —^ «1, щ = }Нг/ - частота Раби, Н^ - амплитуда радиочастотного поля, у — гиромагнитное отношение ядра, т — частота радиочастотного поля, при условии выполнения соотношения на длительность радиочастотного импульса ш: си ¦ «1.

2. Разработанна компьютерная и математическая модель ядерного спинового эха, в которой уравнения для оператора эволюции решаются численно как в случае сильного, так и в случае слабого радиочастотного поля.

3. Разработан математический аппарат, позволяющий аналитически исследовать амплитуду спинового эха от параметров, определяющих процесс его формирования. Метод применим как в нерезонансном случае, так и в случае, когда частота радиочастотного поля совпадает с одной или несколькими частотами переходов основного стационарного гамильтониана, определяющего систему уровней ядерного спина.

4. Было показано, что сильное радиочастотное поле (~1кЭ) вызывает множественные сигналы спинового эха в радиочастотной катушке спектрометра, что может быть использовано в качестве основы для создания нового типа спектрометров, в которых сигнал спинового эха измерялся бы не только в момент времени 2 т, но и на всём промежутке времени после воздействия второго импульса.

5. Удалось обобщить уравнения Блоха, описывающие релаксацию ядерного спина, на случай произвольного стационарного гамильтониана, определяющего систему уровней ядерного спина. Как следствие, была разработана алгебра частичных операторов и получены уравнения, описывающие поведение наблюдаемых значений квантовых операторов спина ядра 1х, 1у и /. в случае ЯКР со спином ядра / = 1. По аналогии со случаем.

ЯМР, в случае ЯКР со спином ядра 1=1 найдены выражения для времён спин-спиновой и спин-решёточной релаксации, в которые входят основные параметры задачи — времена корреляции, частоты переходов основного гамильтониана. Показано, что в случае ЯКР со спином ядра / = 1, в отличие от ЯМР, количество времён релаксации удваивается. Установлено, что вклады в выражения для обратных времён релаксации, связанные с магнитными и квадрупольными механизмами релаксации, складываются.

Результаты данной работы докладывались на научном семинаре лаборатории теоретической физики и лаборатории многочастичных систем Института общей и ядерной физики (ИОЯФ) РНЦ «Курчатовский институт» под руководством проф. В. Г. Вакса, на научном семинаре Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова (ИРЭ) РАН под руководством проф. В. А. Ацаркина. Результаты данной работы докладывались на 13-й Международной конференции по сверхтонким взаимодействиям и 17-м Международном симпозиуме по ядерным квадрупольным взаимодействиям (Бонн, Германия, 2004 г.), 14-й Международной конференции по сверхтонким взаимодействиям и 18-м Международном симпозиуме по ядерным квадрупольным взаимодействиям (Бразилия, 2007 г.), а так же представлены в качестве докладов «Квадрупольное спиновое эхо в магнитном поле» на 1-й Курчатовской молодёжной школе в 2003 г., «Ядерное квадрупольное спиновое эхо на ядрах азота» на 3-й Курчатовской молодёжной школе в 2005 г., «Стохастическое описание релаксационных явлений в модели квадрупольного спинового эха» на 6-й Курчатовской молодёжной школе в 2008 г. (доклад отмечен дипломом лучшей работы в секции фундаментальных исследований), «Стохастическое описание релаксационных явлений в модели квадрупольного спинового эха» на 51-й Научной конференции МФТИ в 2008 г.

Работа содержит 143 страницы, 12 рисунков, 2 таблицы и 51 ссылку. Основные результаты работы были опубликованы в статьях [5, 6,17,19, 34, 35, 36]. Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики Института общей и ядерной физики РНЦ «Курчатовский Институт» (Москва). Экспериментальные данные были получены на ЯКР спектрометре в Институте общей и неорганической химии им. Н. С. Курнакова РАН (Москва).

Заключение

.

Разработана компьютерная и математическая модель ядерного спинового эха с учётом релаксации, позволяющая не только качественно, но и количественно интерпретировать экспериментальные данные по спиновому эху (в частности по квадрутюльному спиновому эху на ядрах висмута, сурьмы и азота).

1. Установлено, что результирующие формулы существующих моделей Блума-Хана-Герцога и Даса-Саха, положенные в основу работы большинства ЯКР и ЯМР спектрометров, справедливы в нулевом приближении по параметру е = — «1, щ-)Н , — частота Раби, Н, а) амплитуда радиочастотного поля, у — гиромагнитное отношение ядра, со — частота радиочастотного поля, при условии выполнения соотношения на длительность радиочастотного импульса №.

2. Разработанна компьютерная модель ядерного спинового эха, в которой уравнения для оператора эволюции решаются численно как в случае сильного, так и в случае слабого радиочастотного поля. Численная модель была протестирована при анализе экспериментально измереных временных зависимостей огибающих амплитуды спинового эха на поликристаллическом образце В12Ое3С>9, на монокристалле В13В5012 и монокристалле СёБЬ. Сравнение экспериментальной кривой огибающей амплитуды спинового эха и рассчитанной численно на ЭВМ дало возможность определить с высокой точностью величину и направление локального магнитного поля в соединениях В120е309 и ВЬВ5(Э12, ориентацию градиента кристаллического электрического поля в соединении СёБЬ.

3. Разработан математический аппарат, позволяющий аналитически исследовать амплитуду спинового эха от параметров, определяющих процесс его формирования. Метод применим как в нерезонансном случае, так и в случае, когда частота радиочастотного поля совпадает с одной или несколькими частотами переходов основного стационарного гамильтониана, определяющего систему уровней ядерного спина.

4. Аналитически и численно исследована амплитуда ядерного квадрупольного спинового эха на ядрах азота с ядерным спином 7=1 в случае сильного и слабого радиочастотного поля. Было показано, что сильное радиочастотное поле (~1кЭ) вызывает множественные сигналы спинового эха в радиочастотной катушке спектрометра.

5. Удалось обобщить уравнения Блоха, описывающие релаксацию ядерного спина, на случай произвольного стационарного гамильтониана, определяющего систему уровней ядерного спина. Как следствие, была разработана алгебра частичных операторов и получены уравнения, описывающие поведение наблюдаемых значений квантовых операторов спина ядра 1Х, 1у и /. в случае ЯКР со спином ядра 7=1. Показано, что в случае ЯКР со спином ядра 7 = 1, в отличие от ЯМР, количество времён релаксации удваивается. Установлено, что вклады в выражения для обратных времён релаксации, связанные с магнитными и квадрупольными механизмами релаксации, складываются.

Таким образом, в результате проведенных теоретических и экспериментальных исследований разработана компьютерная и аналитическая модель спинового эха, включающая в себя исчерпывающий набор составляющих: численный расчёт, анализ динамики ядерного спина и учёт эффектов релаксации.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую признательность Орлову Валерию Георгиевичу за создание комфортной рабочей обстановки, формирование научного подхода к решаемой задаче, неоценимую поддержку и внимание.

Мне бы очень хотелось поблагодарить начальника группы ИОНХ РАН к.х.н. Э. А. Кравченко за предоставление большого количества интересных экспериментальных данных для теоретического анализа.

Я благодарен акад. С. Т. Беляеву за поддержку, полезные обсуждения и стимулирующий интерес к работе.

Хотелось бы выразить благодарность д.ф.-м.н., проф. В. Г. Ваксу за плодотворные дискуссии при выступлении на руководимых им семинарах и интерес к работе.

Также хотелось бы выразить глубокую признательность д.ф.-м.н., проф. В. А. Ацаркину и членам руководимого им семинара в ИРЭ им. В. А. Котельникова РАН за предоставление возможности выступления на семинаре и полезные дискуссии.

Отдельно мне бы хотелось поблагодарить д.ф.-м.н., проф. А. И. Нейштадта за курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям, позволивший значительно продвинуться в использовании математического аппарата при написании данной работы.