Описание пространственной структуры области взаимодействия сталкивающихся частиц в формализме функции Вигнера

Функция Вигнера, введенная в 1932 г. [1], определяет квазивероятностное распределение в фазовом пространстве канонически сопряженных (в квантово-механическом смысле) динамических величин &bdquo-координата — импульс". Основным объектом при ее построении является волновая функция системы в координатном или импульсном представлении. Знание функции Вигнера позволяет вычислять средние значения любых динамических величин, а также определять явный вид квантово-механических операторов, соответствующих данным динамическим величинам [2]. Изначально функция Вигнера была введена для изучения квантовых поправок к классической статистической механике. В 1949 г. МоуаГом было замечено [3], что правило упорядочивания Вейля, которое устанавливает связь между некоторым оператором в гильбертовом пространстве и соответствующей функцией в фазовом пространстве [4], может быть применено к распределению Вигнера. В результате этого стало возможным вычислять средние значения произвольных квантовых величин. Таким образом, функция Вигнера является квантовым аналогом классической статистической функции распределения в фазовом пространстве и сводится к ней в пределе К —" 0.

Функция Вигнера представляет собой полезный инструмент для изучения квантовых систем. В современной физике существует два различных подхода к описанию внутренней структуры материи. Первый подход основан на построении пространственного распределения материи или заряда внутри исследуемой системы. Пространственное распределение может быть построено на основе изучения упругих процессов рассеяния (электронов, фотонов, нейтронов и т. д.). При этом строится форм-фактор системы который зависит от передачи трехмерного импульса. Фурье-образ от структурного форм-фактора дает пространственное распределение объектов, составляющих систему:

Р (Г) = ! ¿-3Д. (1).

Здесь р (г) есть плотность вероятности: р (г) = ф (г)2, ф (г) — волновая функция системы.

Во втором подходе к изучению структуры материи вычисляются распределения составных частей системы по импульсу. Плотность импульса выражается через квадрат модуля волновой функции системы в импульсном представлении: п (р) — [</?(/?)|2. Экспериментальной базой для этого случая являются квазиупругие и неупругие процессы рассеяния. Оба эти подхода являются весьма полезными, на каждом из них основываются соответствующие отрасли современной физики частиц. Однако по отдельности данные подходы не дают полного описания состояния материи в изучаемой системе. По измеренному форм-фактору нельзя судить о таких динамических характеристиках системы, как импульсы ее составных частей. И обратно, распределение по импульсам не дает информации о пространственной локализации той или иной составляющей системы.

Наиболее полная информация о структуре изучаемой системы содержится в совместном распределении и по импульсу, и по координатам. Такое распределение без труда можно построить для классической системы, однако в квантовом случае нельзя говорить об одновременной локализации частицы по импульсу и координате (принцип неопределенности Гейзен-берга). Тем не менее, функции, которые описывают случаи одновременно неизмеримых величин, были введены как обобщение понятия обычных вероятностных функций распределения. Их называют квазивероятностными функциями распределения. Такие распределения оказались весьма полезными не только для вычисления различных величин в квантовых системах, но и в качестве связующего звена между классической и квантовой механикой. Одним из наиболее часто используемых примеров таких функций является так называемая функция Вигнера.

Диссертация посвящена построению формализма, основанного на аналоге функции Вигнера для чистого состояния, в применении к описанию двухчастичных процессов столкновения. Обычно функция Вигнера строится как Фурье-образ произведения двух волновых функций системы, взятых в разных точках пространства. В данной работе показывается, что дифференциальное сечение упругого процесса, А + В —> Л + Б по импульсным и пространственным переменным имеет вид вигнеровского распределения, построенного из амплитуды данного процесса в импульсных переменных на гиперболоиде. Такое распределение сохраняет все основные свойства функции Вигнера и может служить средством для вычисления средних значений динамических величин, характеризующих упругий процесс. Кроме того, по известной профильной функции упругого процесса можно с помощью уравнения унитарности^{-матрицы} восстанавливать неупругие вклады в упругий процесс. Это делает возможным вычислять динамические характеристики неупругих процессов, например, среднеквадратичный радиус области рождения частиц в процессе 2 —" п или среднюю множественность в зависимости от пространственного параметра (при соответствующем учете динамики взаимодействия).

В рамках разработанного формализма мы получаем аналитическое выражение для среднеквадратичного радиуса области рождения частицы в упругом процессе через амплитуду такого процесса. Расчет указанного параметра представлен для двух физических моделей амплитуд — одноча-стичного обмена в /-канале и для модели двухполюсного реджеона.

В первой главе диссертации дан обзор современного состояния формализма вигнеровского распределения, указаны основные свойства функции Вигнера. Показано, что эта функция может быть использована для вычисления средних значений любых динамических величин, определяющих состояние изучаемой квантовой системы. В качестве наглядной иллюстрации функция Вигнера построена для различных возбужденных состояний гармонического осциллятора, описаны обобщения вигнеровского формализма на некоторые важнейшие физические случаи.

Вторая глава посвящена построению фазового пространства неком-мутирующих между собой величин &bdquo-поперечный импульс — параметр вылета" в приближении малых поперечных импульсов. Показана необходимость и физическая обоснованность указанного приближения, получено новое ядро перехода между импульсными и пространственными переменными, получены выражения для амплитуды и профильной функции в этом приближении. Представлено решение уравнения унитарности в приближении малых поперечных импульсов, получено локальное уравнение на профильную функцию позволяющее оценивать неупругие вклады в упругую амплитуду.

В третьей главе представлен разработанный формализм, основанный на понятии аналога функции Вигнера для описания упругих процессов в приближении малых поперечных импульсов. Получено выражение для функции Вигнера как дифференциального сечения по импульсным и пространственным переменным. Рассмотрены основные свойства этой функции, показано, что с ее помощью можно вычислять средние значения динамических величин, описывающих упругий двухчастичный процесс. С помощью вигнеровского распределения получено выражение для среднеквадратичного радиуса области рождения частиц в упругом процессе, А + В —> А + В через амплитуду такого процесса. Данное выражение проанализировано на примерх модели амплитуды одночастичного обмена в /-канале и модели дипольного померона.

Выводы.

В этой главе диссертации разработан формализм, основанный на понятии, аналогичном понятию функции Вигнера, описывающей чистое состояние, но для случая описания пространственной структуры области взаимодействия частиц. При этом аналогом функции Вигнера является дифференциальное сечение по импульсной переменной и пространственному параметру вылета. Такая функция Вигнера характеризует процесс упругого взаимодействия и представляет собой квазивероятностную функцию распределения в фазовом пространстве величин &bdquo-поперечный импульспараметр вылета". Было показано, что в приближении малых поперечных импульсов эти величины являются канонически сопряженными в обычном квантово-механическом смысле. Исследованы основные свойства построенной функции Вигнера: ее вещественность, согласование распределения по двум переменным с распределением по одной переменной, возможность вычисления с ее помощью средних значений динамических характеристик области взаимодействия.

Получено аналитическое выражение среднеквадратичного радиуса области рождения частицы в упругом процессе через амплитуду такого процесса. Таким образом, была получена связь между пространственным параметром вылета, характеризующим область взаимодействия, и величиной, которую можно извлекать из экспериментальных данных (амплитуда).

Разработанный формализм был применен к двум физическим моделям: модель одночастичного обмена в ¿—канале и модель дипольного поме-рона. В случае ¿—канального обмена было получено, что средний радиус области рождения конечной частицы в переднюю полусферу определяется комптоновской длиной волны обменной частицы. В модели дипольного померона получено подтверждение выполнения геометрического скейлинга — вид зависимости упругого сечения от энергии (логарифмический) определяется зависимостью квадрата радиуса области взаимодействия. Это известные факты, и их получение дает основание считать разработанный формализм эффективным инструментом для дальнейшего изучения про-странсвтенной структуры области взаимодействия частиц.

Заключение

.

Диссертация посвящена построению формализма, основанного на понятии аналога функции Вигнера для случая описания пространственной структуры области взаимодействия сталкивающихся частиц. Базовым элементом построения служит амплитуда рассеяния (угловое распределение) и распределение конечных состояний по пространственному параметру вылета. Квазивероятностное распределение в таком фазовом пространстве позволяет вычислять такие характеристики конечных состояний процесса столкновения, как средний радиус области рождения частиц, пространственное распределение неупругой функции перекрытия в процессах 2 —> п исследовать томографический образ пространства конечных состояний (преобразование Радона).

В первой главе диссертации введено понятие функции Вигнера, представлен обзор современного состояния формализма вигнеровского распределения. Рассмотрены основные свойства этого распределения и показано, что оно не обязательно положительно определено во всех точках, и поэтому носит название квазираспределения. Показано также, что с помощью функции Вигнера можно вычислять средние значения любых динамических величин, определяющих состояние изучаемой системы. Рассмотрены частные примеры вигнеровского распределения и приведены примеры вычисления средних значений определенных динамических величин. Указаны области физики, в которых применяется понятие функции Вигнера, затронут вопрос о способах измерения вигнеровского распределения на эксперименте. В последнем пункте рассмотрена функция Вигнера, описывающая распределение партонов в адроне. Обозначены проблемы, возникающие при построении такого распределения, связанные с тем, что партоны подчиняются релятивистским законам. Показано, что адронная функция.

Вигнера является более широким понятием, чем обобщенное партонное распределение (йРО), и несет в себе более полную информацию об изучаемой системе.

Вторая глава диссертации посвящена построению фазового пространства величин &bdquo-поперечный импульс — параметр вылета" в приближении малых поперечных импульсов. Для этого был модифицирован существующий формализм описания пространственной структуры области взаимодействия частиц и получено новое ядро перехода между пространством поперечного импульса и пространством параметра вылета. Приближение малых поперечных импульсов является физически обоснованным, поскольку амплитуда рассеяния быстро падает при д±д (угол в «7г/2). В отличие от эй-конального приближения, это приближение не связано с предположением о больших значениях параметра Д. В данном приближении показано, что импульсная переменная и и пространственный параметр Д являются канонически сопряженными величинами. В рамках этого приближения решено уравнение унитарности и получено локальное уравнение на профильную функцию и (р). Это позволило получить выражение для учета неупругих вкладов в упругую амплитуду и выражение для средних значений динамических величин, характеризующих неупругий процесс.

В третьей главе разработан формализм, основанный на аналоге понятия функции Вигнера для чистого состояния, в случае описания упругих процессов в приближении малых поперечных импульсов. Аналог функции Вигнера построен как дифференциальное сечение по импульсным и пространственным переменным. Рассмотрены основные свойства этой функции, показано, что с ее помощью можно вычислять средние значения динамических величин, описывающих упругий двухчастичный процесс. С помощью введенного вигнеровского распределения получено выражение для среднеквадратичного радиуса области рождения частиц в упругом процессе, А + В ^ А + В через амплитуду такого процесса.

Осуществлена проверка применимости разработанного формализма. Для этого вычислен среднеквадратичный радиус области рождения частицы в двух физических случаях. Для модели амплитуды одночастичного.

— канального обмена получено подтверждение известного факта, что средний радиус области рождения частицы в переднюю полусферу определяется комптоновской длиной волны обменной частицы. В случае обмена кратным полюсом Померанчука (дипольный померон) получено подтверждение выполнения геометрического скейлинга — вид зависимости упругого сечения от энергии (логарифмический) определяется зависимостью квадрата радиуса области взаимодействия. Получение известных фактов дает основание считать разработанный формализм эффективным инструментом для дальнейшего изучения пространсвтенной структуры области взаимодействия частиц.

Разработанный формализм описания упругих процессов рассеяния в терминах построенной функции Вигнера позволяет вычислять средние значения геометрических характеристик области взаимодействия. Вычисленный средний радиус области рождения частицы в упругом процессе является одним из самых общих примеров таких характеристик. При дальнейшем описании неупругих процессов разработанный формализм может выступать основой для вычисления такой характеристики области взаимодействия, как средняя множественность рождения частиц (при соответствующем учете динамики взаимодействия). Измерение множественности в зависимости от энергии является одной из задач ЬНС. На основе разработанного нами формализма возможно исследование зависимости этой величины от пространственного параметра вылета. Такое пространственное распределение средней множественности позволит детально изучить структуру области взаимодействия частиц. Кроме того, построенная нами функция Вигнера лежит в основе реконструкции томографических образов пространственной структуры области взаимодействия частиц с помощью преобразования Радона. Такая томографическая картина несет информацию о распределении вещества в области взаимодействия частиц при вы-сокоэнергетичных столкновениях. Оба указанных направления являются перспективой дальнейших исследований.