Некоторые уравнения с бесконечномерными псевдодифференциальными операторами

В диссертации исследуются условия разрешимости задачи Коши для эволюционных уравнений с бесконечномерными псевдодифференциальными операторами (сокращённо ПДО) в правой части, строится класс корректности задачи Коши для системы уравнений, содержащих ПДО с постоянными коэффициентами, а также описываются некоторые классы обратимых ПДО.

Бесконечномерные псевдодифференциальные уравнения привлекают сейчас внимание по нескольким причинам.

Во-первых, такие уравнения естественно возникают в квантовой теории поля, статистической физике и статистической гидродинамике.

Во-вторых, к необходимости исследования этих уравнений приводит сама логика развития нелинейного функционального анализа.

Наконец, отметим, что методы и результаты исследований бесконечномерных уравнений существенно отличаются от конечномерных. Эти отличия связаны с тем, что в бесконечномерном пространстве отсутствует мера Лебега (см. [ЗЗ]). Поэтому, в частности, уравнения, сопряжённые к дифференциальным уравнениям относительно функций, оказываются уравнениями относительно мер. Фактически на это обстоятельство впервые обратил внимание С. В. Фомин (см. [39]), указавший, что понятие распределения в смысле Шварца в бесконечномерном ' пространстве расщепляется. Меры на таком пространстве' нельзя отождествить с обобщёнными функциями. Поэтому появляются два вида распределений: обобщённые функции — линейные непрерывные функционалы на основном пространстве гладких мер и обобщённые меры — линейные непрерывные функционалы на пространстве гладких функций (различные типы таких пространств построены в [3], [-/, [з в]).

К настоящему времени опубликовано значительное число работ, посвященных исследованию ПДО и дифференциальных операторов в пространствах мер и функций на бесконечномерном пространстве,.

В частности, такие операторы изучались в работах С. В. Фомина, Ю. М. Березанского, М. И. Вишика, Ю. Л. Далецкого, О. Г. Смолянова, В.Ю.Бе-нткуса, А. В. Угланова, Е. Т. Шавгулидзе, Л. Гросса, Б. Ласкара, А. Пич, и других математиков (см. [з] - [7], [ю] - [п], [1б], [19] -[20], [26], [29] - [32], [35] - [38], [40] - [41], [47] -[49]).

В большей части этих работ исследуются дифференциальные уравнения, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Так, например, в [37] доказывается существование и единственность фундаментального решения дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами и исследуются эволюционные уравнения с такими операторами в пространстве обобщённых мер. В [4] устанавливаются достаточные условия обратимости дифференциальных операторов высших порядков. В |1б] изучаются эволюционные уравнения, содержащие дифференциальные операторы второго порядка с переменными коэффициентами.

Псевдодифференциальные операторы рассматриваются в |2б], [41] и, с помощью существенно иных методов, в работах [6] и [31] - [32], [48]. В работе [26 определяются ИДО в пространствах мер и функций на бесконечномерном локально выпуклом пространстве. Класс таких ПДО включает в себя дифференциальные операторы, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Здесь, как и в конечномерном случае, бесконечномерные ПДО характеризуются своим символом. В [41] изучаются бесконечномерные ПДО (в смысле работы ¡-2б]) с символом, зависящим от одного аргумента Н «где Н — гильбертово пространство и доказывается однозначная разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений порядка т по ~Ь, содержащих эти ПДО. Кроме того, для каждого ПДО с борелевским символом определяется своё пространство обобщённых мер и доказывается обратимость ПДО в этом пространстве,.

В [б] описывается один класс функций на произведении гильбертовых пространств и определяются ПДО с символами из этого класса. Доказывается теорема о композиции ПДО, исследуются эллиптические ПДО с параметром и устанавливается их обратимость при достаточно больших значениях параметра. Заметим, что бесконечномерный оператор Лапласа не является псевдодифференциальным оператором в смысле работы [б] .

Настоящая работа также посвящена уравнениям с бесконечномерными ПДО в гильбертовом пространстве. В диссертации исследуются ПДО в смысле работы [2б], с символами специального вида, изучаются уравнения с такими операторами, причём, в отличие от [б], [3l] и [48]- параллельно рассматриваются уравнения относительно функций и мер. Кроме того, в настоящей работе ПДО строятся непосредственно, а не как пределы конечномерных операторов, которые определяются в б. Классу таких ПДО принадлежат дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, которые изучались в работах [з] -[б] и [Зб] - [37]. В частности, из теорем 2.1−2.2 см. главу I, устанавливающих достаточные условия обратимости ПДО с постоянными коэффициентами, вытекает усиление теорем 2 и 9 из [4] и [37] соответственно. Так, пример 2.1 показывает, что таким условиям удовлетворяет бесконечномерный оператор Лапласа и любая его степень.

В отличие от [41], пространства, в которых исследуются псевдодифференциальные уравнения, не зависят от символов операторов .

В диссертации доказываются также теоремы об обратимости ПДО с переменными коэффициентами специального вида. При этом используется метод преобразований Фурье в сочетании с методом последовательных приближений такой подход не использовался в указанных вше работах о ПДО). Самостоятельный интерес представляют ПДО, которые издаются в § 2 главы II, где гильбертово пространство, Но разлагается в прямую сумму своих подпространств Но{ и Н и исследуются ПДО с символом, зависящим от двух аргументов С3^) * Н • Класс таких ПДО включает операторы дифференцирования по направлениям из подпространства Н с переменными коэффициентами (см. гл. П, пример 2.4-).

Перейдём теперь к изложению основных понятий и результатов работы. Основной текст диссертации состоит из двух глав и допол нения. Главы разбиты на параграфы, формулы и утверждения в каждой главе имеют двойной номер — первая цифра соответствует номеру параграфа, вторая — является собственным номером формулы или утверждения внутри данного параграфа.

В диссертации используется, в основном, тершшодогия работ [/], ?57] -р^] «частично напоминаемая ниже.

Пусть Н{ ^ Н — пара вещественных сепарабельных гильбертовых пространств со скалярными, произведениями >, (* > •) соответственно, связанных плотным вложением типа Гилъберта-Шглидта;

— -алгебра борелевских подмножеств пространства Н — -комплекснозначная мера на (Н,) .

Определение I (С, В «Фомин). Мера называется дифференцируемой по подпространству Н{, если для любых и для каждого фиксированного отображение с/^ (А) представляет собой линейный непрерывный функционал на Н{ • При этом отображение (¿-^/^(А) называется производной меры^ на множестве, А по подпространству Н • Выражение с/^^ (*) при каждом фиксированном <= Hd представляет собой функцию множества, определённую на cf^), которая называется дифференциалом меры JH> при приращении, А .

Дифференциал меры jw при приращении i есть меры на.

Определение 2. Преобразованием Фурье меры JH> называется функция §~[jil 7 ' Я —* С, определенная равенством J eL (Х' dju.(y)? уе H. H.

Известно (см. L Z 5 ]), что мера jw однозначно определяется своим преобразованием Фурье.

Определение 3. Пусть / - суммируемая по мере ¡-и, функция на H, мера /у^, определённая равенством fjn (A) = J f (f) Jb (c (f) 9 А^Я, А в называется произведением меры J4> на функцию f. Функция f xJ4,, определённая равенством fx) — J frx-J) jurdj) ^ JC?- H, H называется свёрткой функции / и меры уи- .

Определение 4. Пусть ^уч^ -, — две числовые меры на.

Н Сверткой меР J^-x и J^i называется образ меры хпри отображении /' (ос^ ^ х jr / .г пространства (Н*Я, в (H yJ3) .

Из определения образа меры и теоремы фубини вытекает, что Я.

В диссертации используются следующие свойства операции дифференцирования мер (см. [13): (ctl). Пусть мера jvu дифференцируема по направлению /I, / - измеримая вещественная функция, дифференцируемая по этому же направлению в каждой точке, причём сама устойчиво суммируема, а функция устойчиво уи^ -суммируема относительно сдвигов по направлению, А. Тогда мера дифференцируема по направлению, А и И с1%), пусть и — две числовые меры на (И, 53), причём мера уч^ дифференцируема по подпространству. Тогда мера у^* у^ дифференцируема по подпространству Н^ и для всех, А е ?-I.

Функция / является устойчиво уи- -суммируемой (см. [I]), если существуют такое >0 и такая неотрицательная у^ -суммируемая функция ^ на Н % что I + t¦&)! ~ % ДОШ всех ^? Н при / ^ /? <Г .в настоящей работе правила (б/ Я -(.

Опишем теперь пространства мер и функций на Н, в которых определяются ЦЦО. Через М обозначается векторное пространство всех комплекснозначных мер уи. на (И 9), бесконечно дифференцируемых по подпространству И', имещих ограниченные носители и конечные нормы:

II (Uli ' Vdr м, ||м,|| -Slip Var dtnM, П).

J 0 J J * HV^iH fi-J.

Здесь An- (."A^, hc еЯ (l = /г } - o^h ?- мера, полученная из jhдифференцированием по направлениям h-^ запись Ii // a ^ означает, что н 1,.,// //^ ^ i, где II' Нi — норма в Hd. Пространство М наделяется топологией строгого индуктивного предела последовательности подпространств Нк, состоящих из мер с носителями в шаре радиуса к, с топологией, задаваемой семейством норм (I) • Образ пространства М при преобразовании 2>урье обозначается через Z и наделяется топологией, индуцированной из М преобразованием Фурье. Элементы пространства М называются основными мерами, а элементы Zосновными функциями. Через II' обозначается пространство, сопряжённое к И, через Ъ — пространство, сопряжённое к Z.. Эле 01 менты пространств Л. и, А называются соответственно, обобщёнными функциями и обобщёнными мерами. Пространства Jl' и zJ рассматриваются в слабых топологиях 6 (fi M) и 6(Zl) пар линейных пространств Л' 9 М и Z Z соответственно, в двойственностиИз определения топологии в М и Z следует {см. С42], стр, 9IJ,.

I, что пространства М и Z слабо секвенциально полныПреобразованием Фурье обобщённых мер называется отображение, сопряжённое к отображению Л Ъ, jk. Пространства М и Z естественно вкладываются в пространства Z и /1' соответственно. Поэтому преобразование Фурье обобщённых мер также обозначается через. По определению, для всех мер пг^-М и jvt? Z.

У: Z' Л*, < С jvt 1, №. > = < jvt, iCm,] > в отображение: z! Р1' взаимно однозначно и непрерывно в слабых топологиях пространств Z' и .М. Через У * обозначается отоб ражение Л Z, / & [ /7, обратное к .

Через Я = Я ® // обозначается прямая сумма гильбертовых пространств Ясй и Н, через Ф (Н) — векторное пространство всех комплекснозначных непрерывных функций / на Н0 таких, что при любом фиксированном х? Ной функция / (у.) = = / (х Ф у.) принадлежит 2, то есть является преобразованием Фурье некоторой мерыиз. Пространство ф (На) наделяется слабейшей топологией, в которой непрерывны все отображения: Я^- Ф (Н0)~МЩ / хеЦ. Так как Я хаусдорфово и разделяет точки в Ф (Н), то Ф (Н) также.

О О хаусдорфово (см. [2,4], п. 3.8, стф. 75).

Через Ъо и Л’о обозначаются соответственно пространства основных функций и обобщенных функций на Н0 (построенные также как и пространства 2, и). Пространство Ъо естественно вкладывается в М'0. Из определения ^ (Но) следует, что можно рассматривать как подпространство пространства Ф (Н0) (относительно таких вложений см. С463, предл. 2.4).

Через V обозначается векторное пространство всех непрерывных комплексно значных функций на Н, ограниченных на ограниченных множествах в Н. Ясно, что «V/ °с Л*. Через & обозначается образ пространства Ж ° при отображении: И?. Пространство О наделяется слабой топологией, индуцированной >п т т. /т. л./т из?. Через и-, г1, ,? , уЧ обозначаются декартовы произведения т. экземпляров пространств, соответственно , — I «гп. /П /77.. / т., л, И, г, л. Пространства % М > Ъ * Ъ и Л.

АМ. /—г ' А’Тнаделяются топологией произведения. Пространства Z и 21 м т. м I т и Л-) приводятся в двойственность с помощью билинейной формы.

М> = <М> + «- где < /, ^ > — с h, ^ > *. * < > Hn>'где /гг = (/ <4 V) С M) й 1 «'•> 1 ftx ' L 1 9 K 1 1 ¦) V trt.

Ниже определяются классы функций, которым принадлежат симсто болы псевдодифференциальных операторов. Через w обозначается векторное подпространство пространства «W°9 состоящее из функций /: И Iii-, бесконечно дифференцируемых, ограниченных на ограниченных множествах в И ж таких, что.

5 и р I d, а любого ограниченного множества.

Е С Н и любого tie ¡-м. Всюду ниже через b (О, с) обозначается шар в гильбертовом пространстве Н с центром в нуле, радиуса t. Через L0 обозначается векторное пространство функции, а: И х И С * вида: сю, а (х, Ч) = z • Q? (х> Р. (ч) (Z) таких, что а) Qj — С VjJ ,)j? М для всякого? е М, причем, S и р в 1> // +, /п i — б) Р^ <=- W для всех J .

5 исР 1 1 — Са ?>1, / е INI — в) существует е. (N! такое, что носители Ъирр ]).? 6(0,6) а для всех J> е //V/. Через L обозначается подпространство пространства LQ, состоящее из функций вида (Z), удовлетворяющих условию:

4) для всякого ограниченного множества? Н и всех.

П. 6 /А// существуют числа С^О такие, что.

Л / * а* а*.

Здесь ^^ ~ ДиФФеРенДиал (порядка П) функции Р. в точке ^ по направлениям Ау 9 ,., г, А л из уУ,.

Через Л обозначается подпространство пространства, состоящее из функций вида (2), удовлетворяющих условию: (%) существует в И * И /Р14, л" «для всех ^ Игчерез ?1 ^ - векторное пространство всех непрерывных функций к-: Нх И .

Я =^, где 0: с — непререрывная функция, а Р^Ш для всех 4у4,^/п*.

Через^С обозначается векторное пространство непрерывных у функций: Я* Н-* таких, что при любом фиксированном осе Я функция <хх = ау) принадлежит классу 00. Справедливы следующие включения: Л с с Л с ¿-г? / с Л Ь с.

3. 4 ° С* 0 7 4 5 '.

Ниже определяются ПДО с символами, принадлежащими классам функций Й/", , .

Определение 5. Псевдодифференциальными операторами в пространстве основных функций Z. на И ссимволом (см. 2,6]) а е X и рсрсимволом CLod? L0i (CLoj32,y) Q^i^Jy)) называются отображения, А (х, й) Z Z и A (D, у,): Z > определённые равенствами: byf (x) — Pca-xty) — oo.

J- -d a.

Здесь /.

P'^QJ] ^ М Для всех /е/Л/.

V V /I Л.

Если символ <2 оператора Л2Г, Д) не зависит от, то есть а.(х}у) = а (у) и то ПДО называется псевдодифференциальным оператором с постоянными коэффициентами и обозначается через, А (?>) • Таким образом,.

А (Ь) /(*) = ?FIGL14) ?" '[f] 1 (X).

СО.

Если символ, а е. Ln, а (эс, v) = Z С. (х)Р.(р, то.

G помощью правила (di) дифференцирования произведения меры на функцию и правила (dfi) дифференцирования свёртки двух мер в работе показывается Г см. гл. I, § I), что операторы./!//)), A f^W и корректно определены, непрерывны в Z, и являются бесконечномерными ПДО в смысле работы[26]. В случае, если Яконечномерное пространство, они являются обычными ПДО (см., например, [21], [34J ,[44]).

В работе рассматривается случай, когда ПДО ссимволом может быть продолжен на более широкое пространство. Приведём точное определение.

— 14.

Псевдодифференциальным оператором в пространстве ф (Нв) с символом называется отображение Ж С-Х', /)) ФШа) О определяемое так:

— л х, О) Нхег) — [А^апРс^Э] (ы, <3> где /" Ф (.Но), ХФ*<�Ь.НМ*Я. 4? 4 /<*<�"? > для всех (ЗС7 Н • Так как для всякого фиксированного функция ^ принадлежит пространству Л", то мера ] 14.. Поэтому оператор корректно опредеравенством (3). Отметим, что, ъо, т. Х=Ъ0- пространство основных функций на Н0, то.

Z С ф (Н0) и сужение оператора Ж (х9д) на 2 совпадает с ПДО .Д^г,/) — с ^/"-символом, определяемым равенством о. ~ А (рж ,), где^: и р^: Н — ортопроекторы в Н — Н ® Н .

Псевдодифференциальные операторы А*(х.} Ь) 9 и, А (й) в пространстве обобщённых мер 21! (с символами ссое ¿-, о 9 ао±- <=-и определяются как отображения, сопряжённые к отображениям Л (Ь^) и ^^соответственно. По определению для всех^уиё^. и ^? ^ оо ^.

Ах, Ь) г, ч>? > А* <�й, У ^ > = 27<.Л" % > ¦

Здесь 0. Т С Р^. /- 7 — произведение функций & € 2 к? СР^.Я-'Су] 3, равное? С? где ^ '-Г', / сеМ.

Перейдём теперь к изложению основных результатов работы. В главе I изучаются ПДО, А С /)), А (X, /)) и, А С О) в пространстве основных функций Z и их сопряжённые в пространстве обобщённых мер Z • Так, в § I исследуется обратимость ПДО с символом, зависящим от двух аргументов (X7 ^)?]i*H •.

Теорема 1.1(гл. I). Если А (х, Ь)~ ПДО с символом, а в L и л^я4, Iл cdco/u.

Здесь CA, об^ и — числовые постоянные, которые участвуют в определении классов Lq и Z. C Lq. Теорема I. I даёт достаточное условие обратимости ЦЦО Т = А 2 + А (^, Ь) и у yl X.

Т = ^ I •+ j4 в пространствах Z и Z' соответственно, а также достаточное условие непрерывности обратных операторов Т * и (Т1*) (см* предл. 1,3). Аналогичный результат (см. теорема 1.2).

А «if имеет место и для операторов aI + А (bи л I + А (с символом CL t€. .

II Ob.

В § 2 изучаются ПДО с символом й в «К/, здесь используется определение 6 (см.{41). Борелевское множество В называется Н ± -конечномерно ограниченным, если существует последовательность оо E^J ^ конечномерных подпространств пространства Н^, такая, что ортоганальная проекция в пространстве Н множества? на Е^ ограничена для каждого пь, причем размерности пространств Е ^ стремятся к бесконечности при т, .

A.B. Угланов доказал (см. С 37], что, если цилиндрическое множество Е имеет ограниченную проекцию на игмерное прост. ранство, а мера jvi* m раз дифференцируема по всем направлениям из этого пространства, то т.

Uin { A VCtr (it — О {k)? J.

С помощью равенства (4) В. Ю. Бенткус (см. 1) установил, что для Н^ - конечномерно ограниченного множества Е и меры К е К. А i sup I var et п ju> ] - о (б) для всякого вещественного j5 ^ о .

В настоящем параграфе равенство (5) используется при доказательстве предложения 2.1, из которого вытекает следующее утверждение.

Теорема? Л. Пусть, А (D) Z Z' - ЦДО с символом cL (y) -= ?L L + Л * О, функции ?^ ^ ^ неотрицательны и принадлежат классу «Й/» Если функция? a удовлетворяет условию (in 4) существуют Су 0 и ^ > О такие, что для всякого или условию.

Cm %) множество { у. & Н > ^ d j Н^ - конечномерно ограничено и существует? f > О такое, что для всех и? и) =? * оо 4 г-t ^ ^ то для всякого /1/6 2 решение уравнения (Ь) — А/ существует и единственно в пространстве обобщённых мер ?'•.

Следствие 2.4. Если функция, а (у) = ¿-Гг^ /у- + 4 «где? ¿-Ф О, а функции^, ^ * О — 4» <4 е ' причём выполнено одно из условий (т ±) или Сиг %), то отображение А (0) % - изоморфизм пространства Z, а отображение — изоморфизм пространства % .

Следствие ?.2. Если .А (й) — 2 — ПДО с символом ас (гр ~ Где ' а функция удовлетворяет требованию следствиям, то для всякого A/e Z! и у. Q£ Н решение уравнения А*(D)jvi — N существует и единственно в пространстве Z,' .

Следствия 21−22дают также достаточные условия обратимости дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами (см. 13] } Со.

L 41, L 3 7 3), которые входят в класс ПДО с символом (X е w. В частности, следствие2.2 является усилением теоремы 2 из [ ^ 1, которая устанавливает однозначную разрешимость уравнения = /V, где J[? Z/ - дифференциальный оператор с символом 0 * t~.

Следует отметить, что в работе [4] ] доказывается обратимость операторов А (й)'*Я и А*(Ь)-Л1. Характерно то, что пространство //?> своё для каждого оператора А (£>) с символом <�х:Н-*?, а <2- борелевскал функция. Точнее,.

Яр = ^^^ > ^г/^' ГДе «ство мер^L на Н таких, что jk (б) = О для всякого борелевско-го множества Ъ ^ Н Н: fCfr) ^(f?? J ДОЯ некоторого a > О .

В настоящей работе символ операторов лт.

Л (D) принадлежит более узкому классу функций (&? IX/), чем в С4 i], однако достаточные условия обратимости этих ПДО получены в пространствах .Z и Z', не зависящих от символа.

В § 2 описывается ещё одно пространство основных функций S и обобщённых мер 5 в оснащённом гильбертовом пространстве Ф с Jjc: Ф и изучаются ПДО, А (С)): S S ti A S, определённые также, как в пространствах Z и Z', Здесь? — .5), где 5 — пространство мер ju на Ф, бесконечно дифференцируемых по подпространству Ф, быстро убывающих по вариации вместе со всеми своими дифференциалами J>U (см. С 36]). Устанавливаются достаточные условия (см" условия (?0), (Lu), (L^)) однозначной разрешимости уравнения А*(b) fit — N в пространстве о. Пример 2.1 показывает, что эти условия выполняются для i? ?> дифференциального оператора Л' с символом ci’iy) — ^ «где €, уб > О, (-, — - скалярное произведение в Ф' .

Поэтому решение уравнения A'^jHs-M существует и единственно fit / / в пространстве <5. Кроме того, для оператора, А — Z -^Z с символом cL (-y^ij) также выполнены условия (fnl) и, так, что уравнение /У — А/ имеет единственное решение в пространстве Z/ .

В заключение § 2 доказывается (см. теорема 2.3), что, если выполнено достаточное условие (tnl) или (т $.) однозначной разрешимости уравнения Л*(£>)J4— /V в пространстве 2L', то для всякого N? решение jit данного уравнения можно представить в виде свёртки J^i-, где JiP0 Z — фундаментальное решение оператора А*(&-): Z'-^Z.

Глава П посвящена эволюционным уравнениям с бесконечномерными ПДО. Здесь используются некоторые определения, общепринятые в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, ?5], [?ЭД^З]), сформулированные только применительно к интересующему, нас случаю.

Определение 7. Пусть (Е, Т) — локально выпуклое пространство с топологией V, J — интервал в /FL. Отображение U* I Е называется дифференцируемым в точке •?<= I, если существует предел (в пространстве Е в смысле топологии Г) к*г .) .

2Д ?

ЕслиU-I-*-Е дифференцируемо во всех точках I, то отображение I? U '/Л называется производной отображения.

U / t) по параметру i .

Определение 8, Эволюционным уравнением называется уравнение вида и*Ц) 3 и (i), — (б) где?: Е Е — отображение подмножества Е локально выпук-ß- & лого пространства Е в само Е. Решением эволюционного уравнения С 6) называется отображение, дифф ер е нциру емо е во всех точках t^ I и такое, что при любом 1 выполняется равенство (б).

Определение 9. Решением задачи Коши для уравнения (6) с начальным условием 1Л l±o) — MQ, где €. I, UQ? E — фиксированы, называется такое решение уравнения (6) «которое удовлетворяет данному начальному условию.

В § I главы П изучается задача Коши для эволюционного уравнения fl-'d) = A (x^^JltU) и уравнения ?!/i)¦=¦ А (Dy)?Lli) с начальным условием? i ?t0)-S', где Л* D J и.

ПДО в пространстве Z' с символами GL"? Z и сг .

При этом исследование проводится на основании результатов А. Н. Годунова (см. И 5 ]), с помощью которых получено достаточное условие существования решения задачи Коши в пространстве X, сопряженном к некоторому локально выпуклому пространству X. Предполагается, что пространство X секвенциально полно в <�Ь (ХХ.) топологии. Через ТХ~*Х обозначается линейный непрерывный оператор в X «Т*:) — его сопряженныйi € /Я, O+Ai^l «J-d-Ai, +) — интервал X',.

U: 1 X — отображение интервала I в X. Лемма… Если для каждого существует число С^ ^ О возможно, зависящее от к) такое, что I ^ •> ^ ^ С^ (г ! (М=0,4,.) «то существует решениеЦ I .X ' задачи Коши а'(£) = Т*и Ц), ИЦв)= И0 .

Из леммы 1.1 вытекает следующее утверждение. Теорема 1.1. Если для каждого существуют числа р < т т ^ р^ 4 и 0 £р^ 1 такие, что для всякого ^ € Н.

IР (у)!//^//^'т где (¿-с? о6с, 4″ причем ¿-¿-о 7 с£ 9 и не зависят от то существует решение рл,: I -«* 2' задачи Коши для уравнения уСК (X, Ь)№ (±) и уравнения уи//=/С (с начальным условием = •.

Таким образом, теорема 1.1 даёт достаточное условие (7) существования решения задачи Коши для эволюционных уравнений, содержащих ПДО с переменными коэффициентами специального вида. Однако, условие (7) не выполняется для произвольного дифференциального оператора в с переменными коэффициентами. Оно выполняется только для дробных степеней таких операторов (см. гл. II, примеры 1.1 — 1.2) .

В § 2 главы II рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения.

4'И) — й) = I, (&) где^: 10 ,+<*=>) неизвестная функция, ^ <5 ф (Л0),.

ПДО с символом^е ?2, Л — N хВ. При этом до* функция р: ?0} + оо) с?(Н) называется решением задачи (8) на интервале [о7+<>о), если она дифференцируема во всех точках и удовлетворяет равенствам (8). Доказывается следующее утверждение:

Теорема 2.1. Для всякого ^ € Ф (Не) решение /- со? задачи (8) существует и единственно в пространстве Ф (Н0).

При доказательстве теоремы 2, Л пространство Н0 разлагается в прямую сумму подпространств HQ{ и Н и используется метод преобразований Фурье (по переменной^б Н). С помощью теоремы 2 Л, полученной ранее (см. гл. I, § 2), доказывается теорема2,2. Если <Н- (X, Ь): Ф (Н0)^фСН) — ПДО с символом As И * Н ^ |R, fie. L таким, что для каждого фикси-01 + 5 рованного х? Но1 функция edX (у) — h (^J) удовлетворяет одному из условий (. m, i) или (т. г), то для всякого с^е. Ф (Но) решение уравнения (х, D) — Cj, существует и единственно в пространстве Ф (Н). о.

Из теорем 2Л ~ Z. Z вытекает следующая теорема. Теорема 2.3, Если ф (Нс) — ф (Ив)-ПДО с символом, А? таким, что, А (X, О для всех и функция (у fi (х^) при каждом фиксированном хс удовлетворяет одному из условий (m. 1) или (т. 2), то для всякого.

Ф (Ио) и /е Ф (Н0) решение f:?C, + <?<=>)#(Н0) задачи Коши существует и единственно в пространстве ф (И).

Замечание Z. I Если (X, д) ' З6//^) ^ Ф (Н0) — ПДО с символом, AjOC^) = ?(X) Ce^ix.y) где eu (x, y), e?) ъО, причём при любом фиксированном? ce# функции (у) ??X (у) ~ принадлежат пространству, то утверждения теорем Z. I-Z.5 остаются справедливыми для оператора (х, &) в предположении, что функция ej^. (у,) удовлетворяет одному из условий (tni) шш (тя).

В примерах 2.1−2.5 рассматриваются дифференциальные операторы с переменными коэффициентами, символ которых удовлетворяет всем требованиям замечания 2.1. Такие операторы обратимы в пространстве Ф (Н0), и задача Коши для эволюционных уравнений, содержащих эти операторы в правой части, однозначно разрешима в ф (Н0) В § 3 главы II изучается краевая задача для системы уравнений.

Ю) = е/а0., I = 1, 2 ,., т • •? в Со, ^).

Здесь С ,. ,) — вектор начальных данных, о €, ^ с о, +) ф (Н0) — неизвестная функция,.

АСк 1 ^) • 21' ' - ПДО с символом а. (у,), функции а. кеу/°° для всех 1.', к * 1, г, ., т. тт v, пг.

Доказывается, что решение + задачи (9) существует, единственно и секвенциально непрерывно зависит от начальных данных. Отсюда следует однозначная разрешимость задачи Коши для системы бесконечномерных уравнений, содержащих дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.

Используются следующие определения (см. 15] и [43], гл. 1У) .

Определение 10. Функция Ы • С о, + 00) (принимающая значения в локально выпуклом пространстве Е с топологией 'С, называется растущей при не быстрее некоторой числовой функции у. С0,+ с'0), если существует ьъО такое, что множество ^ «^ ^ 6 } ограничено в пространстве (Е, V) #.

3 I ^ /.

Определение II. Задача (9 > называется корректной в классе обобщённых мер Ог ^ Ъ', если, каковы бы ни были элементы т.

Л «Ль» — «п е & «она имеет Решение^: 1 + 00) ^ ' единственное в в, секвенциально непрерывно зависящее от начальных данных ^"^ои-ч^о^) и растущее при-I-» +<*> не быстрее некоторой степени? .

В [53 установлена корректность задачи Коши для системы уравнений с дифференциальным оператором в правой части. Эти результаты переносятся на случай системы уравнений с ПДО. Следующая теорема является усилением теоремы 3 из I Ъ 1, которая, в свою очередь, обобщает результаты из I на бесконечномерный случай.

Теорема 3.2.. Если преобразование Фурье (Э >. ¿-Г Г (Н- ] (х)) начальных данных при каждом фиксирован.

0/П /Г тном Н принадлежит пространству € (X) <С? (см. § 3), то задача (9) корректна в классе б .

Теорема д. % применима для исследования корректности краевой задачи для дифференциального уравнения порядка т, по 1: где уч.: со,+®-°) О ^ - неизвестная функция, (,.

— вектор начальных данныхЛ* (О V. & ^ О ПДО с символом СС .

Для случая Ш — 1 из теоремы 3.2, вытекает следующий результат .

Предложение 3.1. Пусть Л (О) 21 — ПДО с символом ае Ш°°. Тогда решение уи.: ?' задачи Коши для уравнения = тк./^) (Ю) с начальным условием.

Л (°> «/^о (11) существует и единственно в пространстве обобщенных мер И' .

Если Э"? , то решением задачи (10) — (11) является функция jvt со, + <*>)-*- G, jvt (-t) — А/ ({) * jvv0, где.

N (-t) — фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (10).

Если и Не i, а (х) ^ о для всякого х е H, то задача (1^) — (15) корректна в классе G .

ПредложениеЗ! является усилением (для случая эволюционного уравнения с ПДО) теоремы 13 из L, которая устанавливает существование и единственность решения задачи Коши для уравнения, содержащего в правой части дифференциальный оператор второго порядка с постоянными коэффициентами.

В дополнении доказывается бесконечномерный аналог одного свойства (см. НА 51) линейных непрерывных операторов, коммутирующих со свёрткой.

Теорема I.I. Если (5,6) — пространство обобщённых мер в оснащённом гильбертовом пространстве Ф ¿-г H с Ф с то-,—-1 ~,. пологией e С г Ь), а (о, Т) — пространство основных мер i с топологией t, индуцированной вложением 5⁶ и т : — линейный непрерывный оператор, то следующие условия эквивалентны: а) оператор Т перестановочен со свёртками- / i б) существует обобщённая мера L^- о такая, что Т/и- - ь для всех jvt? 8 .

Здесь — пространство, сопряжённое к пространству S, которое, в свою очередь, является образом счётно-нормированного пространства S при преобразовании Фурье Ь S. Просторанства 8, b и 5 определяются в § 2 главы I (см. также 156]). Пространство «S состоит из финитных бесконечно дифференцируемых по подпространству Ф мер на 4>, быстро убывающих по вариации вместе со всеми своими дифференциалами ?^'J^. Пространство 5 является бочечным в счётно-нормированной топологии, индуцированной из 5 преобразованием Фурье. При доказательстве теоремы I. I используется принцип ограниченности для бочечных пространств (см. [45], п. 7.1.I).

Основные результаты настоящей работы опубликованы в статьях [50] - С 5 .

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, на Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, июль 1982), на конференции молодых учёных МГУ в 1982 году.

Автор глубоко признательна своему научному руководителю О. Г. Смолянову за постоянное внимание и поддержку в работе.

1. Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин C.B. Обобщённые функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах, I. Дифференцируемые меры. — Тр. Моск. матем. о-ва, 1971, т. 24, с. 133 — 174.

2. Беляев A.A. Интегральное представление функций, гармонических в области гильбертова пространства. Вестник М1У, Сер. матем. и механ., 1981, № 6, с. 43 — 47.

3. Бенткус В. Ю. Существование и единственность решения уравнения Пуассона для обобщённых мер на бесконечномерном пространстве. Матем. заметки, 1976, т. 20, f 6, с. 825 — 834.

4. Бенткус В. Ю. Об обратимости эллиптических операторов с псотоянными коэффициентами, действующих на обобщённые меры в гильбертовом пространстве. Литовск. матем. сб., 1976, т. 16, № 3, с. 21 — 29.

5. Бенткус В. Ю. Уравнения с постоянными коэффициентами в частных производных для обобщённых мер в бесконечномерном пространстве. Дифф. ур-ния и их применение. Вып. 16, Вильнюс, 1976.

6. Блехер П. М., Вишик М. И. Об одном классе псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и их приложениях. Матем. сб., 1971, т. 86, К? 3, с. 446 — 494.

7. Березанский Ю. М., Самойленко В. Г. Самосопряжённость дифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и эволюционные уравнения. УМН, 1981, т. 36, W 5, с. 3 — 56.

8. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свёртка и представления. М.: Мир, 1970.

9. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры наотделимых пространствах. M.: Мир, 1977.

10. Вишик М. И. фундаментальные решения бесконечномерных эллиптических операторов любого порядка с постоянными коэффициентами. ДАН СССР, 1973, т. 208, № 4, с. 764 — 767.

11. Вишик М. И., Марченко А. В. Краевые задачи для эллиптических и параболических операторов второго порядка на бесконеч-мерных многообразиях с краем. Матем. сб., 1973, т. 90, № 3, с. 331 — 371.

12. Гельфанд Й. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщённых функций. М.: Физматгиз, 1958.

13. Гельфанд H. M?, Виленкин Н. Я. Обобщённые функции. Вып- 4, М.: Физматгиз, 1961.

14. Ib. Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. M.: М., Мир, 1979.

15. Годунов А. Н., Дуркин А. П. 0 дифференциальных уравнениях в линейных пространствах. Вестник МГУ, Сер. матем. и механ., 1969, Р 4, с. 39 — 47?

16. Далецкий Ю. Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

17. Дудин Д. Н. Обобщённые меры, или распределения на гильбертовом пространстве. Тр. Моск. матем. о-ва, 1973, т. 28, с. 135 — 158.

18. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. M.: Мир, 1971.

19. Лобанов С. Г. 0 разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах. -Вестн. МГУ, Сер. матем. и механ., 1980, Р 2, с.

20. Лобузов А. А. Первая краевая задача для параболическо.-го уравнения в бесконечномерном пространстве. УМН, 1981, т.36, Р 5, с. 179 180.

21. Маслов В .П. Операторные методы, М.: Наука, 1973.

22. Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.

23. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

24. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

25. Скороход А? В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. M.: Наука, 1975.

26. Смолянов О. Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по Шредингеру. ДАН СССР, 1982, т. 263, с. 558 — 562i.

27. Смолянов О. Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. Изд-во МГУ, 1979.

28. Смолянов О. Г., Фомин C.B. Меры на линейных топологических пространствах. УМН, 1976, т. 31, № 4, с. 3 — 56.

29. Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Бесконечномерные линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами в пространствах мер и функций. УМН, 1983, т. 38, Р5, с. 138.

30. Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка на бесконечномерных многообразиях. УМН, 1984, т. 39, № 4, с. 141.

31. Соболев С. И. Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных, порождаемые мерами степенного роста. -Вестник МГУ, Сер. матем. и механ., 1974, № 2, с. 52−61;

32. Соболев С. И, Об одном классе псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, символы которых зависят от квадратичной формы. Вестник МГУ, Сер. матем. и механ., 1974, Р 3, с. 22 — 31.

33. Судаков В. Н. Линейные множества с квазиинвариантноймерой. ДАН СССР, 1959, т. 12?, № 3, с. 524 — 525.

34. Трев Ф.

Введение

в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Том I. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1983.

35. Фомин С. ВОбобщённые функции бесконечного числа переменных и их преобразования Фурье. УМН, 1968, т. 23, Р 2, с.215−216.

36. Фролов H.H. О задаче Дирихле для эллиптического оператора в цилиндрической области гильбертова пространства. Матем. сб., 1973, т. 92, № 3, с. 430 — 445.

37. Эдварде P? Функциональный анализТеория и приложенияМ.: Мир, 1969;

38. Курбыко. И-Ф- 0 задач©Коши для эволюционных уравнений с бесконечномерным псевдодифференциальным оператором. Дифференциальные уравнения и их приложения. Изд-во МГУ, 1984, с. 148 — 153;

39. Курбыко И-Ф- 0 некоторых уравнениях с псевдодифференциальными операторами в бесконечномерном пространстве. Вестник МГУ, сер. матем. и механ., 1984, № 4, с- 69 — 71;