Стабилизация и устойчивость нелинейных импульсных систем

1.1. Импульсные системы и методы их исследования.

По-видимому, первыми работами по исследованию систем с импульсной модуляцией были статья 1897 года [1], а также спецкурс Н. Е. Жуковского [2], читавшийся в 1908;1909 гг. В первой работе рассматривался регулятор температуры, который с помощью широтно-импульсной модуляции позволял поддерживать постоянную температуру в котле. Н. Е. Жуковский исследовал систему управления скоростью вращения турбины методом отсечки пара, в которой была реализована широтно-импульсная модуляция.

Интерес к динамике систем с импульсной модуляцией стимулируется не только тем обстоятельством, что некоторые модели нейронных сетей описываются импульсными системами, но и благодаря тому, что импульсные системы широко применяются в современной технике при обработке информации и управлении благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости.

Поэтому естесственно, что исследование динамических свойств импульсных систем превлекало внимание многих ученых (Н.Е. Жуковский, Я. З. Цыгжин, В. А. Якубович, В. М. Кунцевич, Ю. Н. Чеховой, Е.Н.

Розенвассер, А. Д. Мышкис, A.M. Самойленко, М. Gouy, E.I. Jury, V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P. S. Simeonov, П. Видаль, Г. А. Леонов, A.X. Гелиг, A.H. Чурилов и др.). Развитию импульсных систем посвящены обзоры.

И, [4], [5]).

С математической точки зрения системы с импульсной модуляцией представляют собой особый класс функционально-дифференциальных или функционально-интегральных уравнений.

Основным элементом импульсной системы класса, рассматриваемого в диссертации, является импульсный модулятор, который описывается нелинейным оператором, в дальнейшем называемом G-модулятором [48], отображающим входной сигнал сг (t) в выходной сигнал (обе функции определены при t > 0). Конкретный вид оператора зависит от типа модуляции и принятой математической модели. Наиболее общее свойство модулятора состоит в том, что он генерирует возрастающую последовательность моментов импульсации to = 0 < < h < • • •- интервал [?n, tn+1) называется n-м тактовым интервалом.

Для описания G-модулятора введем понятие эквивалентной нелинейности. Функция (р (сг) называется эквивалентной нелинейностью модулятора, если на любом тактовом интервале [tn, tn+1) существует такое tn? [tn, tn+1), что среднее значение n-го импульса.

1 ftn+l vn = —- / №<Н tn+l ~1П J tn удовлетворяет соотношению vn =.

Для описания импульсного модулятора, вырабатывающего импульсы конечной длительности, используют G-оператор, описывающий импульсный модулятор. Он определен на множестве непрерывных входных функций cr (t), каждой из которых он сопоставляет кусочно-непрерывную функцию ?(?). При t п t < tn+i функция ?(t) описывает форму п-го импульса (обычно ?(?) не меняет знак на тактовом интервале). Чаще всего встречаются импульсы прямоугольной формы, когда.

Здесь t’n, тп, Хп — некоторые числа, tn < t’n < t’n + тп < tn+г. Числа Ап и т. п. называются амплитудой и шириной импульса соответственно. Встречаются случаи, когда форма импульса является существенно более сложной. Например, импульсы на выходе тиристорного преобразователя обычно являются кусками синусоиды [6]. Некоторые из параметров функции считаются известными и постоянными, в то время как другие являются функционалами от функции a (t). Последние параметры называются модулированными. Например, если tn является функционалом от сг (£), то имеем частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ). Если tn не модулируется, то tn = пТ, где Т — заданное положительное число (период импульсации). Аналогично можно рассмотреть амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и фазо-импульсную модуляцию (ФИМ). Иногда несколько параметров импульсного сигнала модулируются одновременно. Такая модуляция называется комбинированной.

Опишем наиболее часто встречающиеся виды импульсной модуляции? ^ + тп),.

О, t G [tn, Q U [t!n + Tn, tn+i).

И, М, [9].

Широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1).

Она описывается уравнениями.

Isigncr (nT), nT.

1.1).

О, пТ + тп < t < (п + 1) Т, тп = Тф{а{пТ)). (1.2).

В этом случае tn = пТ, п = 0,1,2,., где Т — положительное постоянное число, sign 0 = 0, ф (сг) — непрерывная функция, определенная при, а е [0, +оо), ф (0) = 0, 0 < ф (<�т) < 1.

Широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-2).

Здесь ?(t) определяется формулой (1.1), а тп — минимальный неотрицательный корень уравнения тп = Тф (а (пТ + тп)), (1.3) если таковой найдется на интервале [0,Т), и т. п. = Т в противном случае. Здесь функция ф (а) — такая же, что и при ШИМ-1.

Если рассмотреть оператор М, отображающий сигнал a (t) G С[0,Р) в ф) е L[0,P), то очевидно, что в случае ШИМ-1 он будет непрерывным, ввиду непрерывности функции ф в равенстве (1.2). В случае же ШИМ-2 этот оператор будет, вообще говоря, разрывным, поскольку корень уравнения (1.3) не является непрерывным функционалом от функции a (t), сколь бы гладкой она не была. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ).

В этом случае.

00 t (t) = ?*nSe (t-nT), (1.4) п=О где п = ф (а (пТ — 0)). Функция ф (а) — непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная при, а Е (—оо,+оо), 0(0) = 0.

Частотно-импульсная модуляция первого рода (ЧИМ-1).

Здесь входной сигнал преобразуется в последовательность мгновенных импульсов, которые описываются с помощью^{-функций} Дирака:

00 п=0 где моменты импульсации tn и коэффициенты А&bdquoмогут быть функционалами от <т (£).

Isigna (tn — 0) при a (tn — 0)| > Д,.

1.6).

О при cr (tn — 0)| < Д, tn+i = tn + Tn, Тп = F (a (tn — 0)|). (1.7).

Функция F (a) непрерывна и монотонно убывает при, а Е [0,+оо), F (+oo) = Т* > О, Д — некоторая неотрицательная константа (порог нечувствительности).

Частотно-импульсная модуляция второго рода (ЧИМ-2).

Здесь ?(?), п и F (a) — такие же, как в в случае ЧИМ-1, Тп — минимальный положительный корень уравнения.

Тп = F (a (tn + Тп — 0)|).

Комбинированная модуляция.

Например, широтно-амплитудная модуляция, при которой tn = пТ, ап, при пТ < пТ + тп f (t).

О, при пТ + rn<�т{пТ) < 1 <�т (пТ), при сг{пТ) > 1.

TFa (nT), при а (пТ) < 1 Т, при а (пТ) > 1.

Среди систем с импульсной модуляцией лучше всего изучены системы с АИМ. Это объясняется тем фактом, что в случае стационарной непрерывной линейной части они легко могут быть сведены к дискретным системам с постоянными коэффициентами (разностным схемам).

Методы исследования дискретных систем хорошо известны (см.,.

Изучение поведения системы между тактами в большинстве случаев также не встречает серьезных трудностей.

Если применить описанную выше схему к системам с ШИМ или ЧИМ, то также получаем дискретные уравнения, но уже не с постоянными, а с переменными коэффициентами (которые, к тому же, являются функционалами от вектора состояний x (t)). Единственное исключение представляют системы с ШИМ-1, для которых в работе [15] был предложен оригинальный метод сведения к дискретному случаю со многими нелинейностями.

Для исследования устойчивости дискретных систем с нелинейными коэффициентами В. М. Кунчевичем и Ю. Н. Чехавым в [8], [16] был предложен вариант второго метода Ляпунова, который приводит к трансцендентным неравенствам, зависящим от коэффициентов квадратичной формы, выбранной в качестве функции Ляпунова.

Для исследования устойчивости импульсных систем описываемых например, [7], [10], [11], [12], [13], [14], [9]). функционально-интегральными уравнениями использовался метод, основанный на свойствах положительных ядер интегральных операторов [17], метод прямых интегральных оценок [18] и предложенный В. А. Якубовичем метод интегрально-квадратичных связей [19], [20], [21]. Несколько иной подход, также основанный на втором методе Ляпунова, был развит в работе [22].

В работе [23], [24] было предложено при теоретическом исследовании широтно-импульсной системы заменить ее на амплитудно-импульсную с теми же площадями импульсов. При этом эвристически предполагалось, что если частота импульсации лежит вне полосы пропускания линейного фильтра, то такая замена оправдана. Этот способ получил название принцип «эквивалентных площадей» и долгое время применялся при расчете динамики импульсных систем без строгого математического обоснования.

В работе А. Х. Гелига [25] этот же принцип был применен для систем у которых модулироваться может и частота импульсации. С помощью метода усреднения и априорных интегральных оценок были получены частотные условия устойчивости в целом, которые при стремлении частоты импульсации к бесконечности превращались в известные частотные условия абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем. Таким образом, в рамках использованного метода было получено теоретическое обоснование принципа эквивалентных площадей для широкого класса законов модуляции.

Другой подход к обоснованию принципа эквивалентных площадей был предложен А. Н. Чуриловым в [26]. Он был основан на методе усреднения и новых интегральных квадратичных связях, с помощью которых удалось для исследования устойчивости импульсной системы в целом непосредственно применить второй метод Ляпунова и частотную теорему.

В. А. Якубовича. Полученные на этом пути частотные критерии оказались менее ограничительными, чем критерии, полученные в [25].

В дальнейшем эти интегральные квадратичные связи использовались и при исследовании устойчивости импульсных систем с помощью метода априорных интегральных оценок [27], а также при решении других задач: исследовании автоколебательности нелинейных импульсных систем (в смысле В. А. Якубовича) [28], [29], [30], исследовании широтно-импульсных систем фазовой синхронизации [31], исследовании устойчивости нелинейных импульсных систем, при стохастических возмущениях коэффициентов [32], [33], [34], [35], стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием [36], при синтезе стабилизирующего управления в нестационарных импульсных системах [37], [38], [39].

Заключение

.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Исследована абсолютная устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением с разрывным нелинейным оператором в правой части. При предположении о монотонности эквивалентной нелинейности получено частотное условие устойчивости в целом состояния равновесия, которое распространяют на импульсные системы частотный критерий Н. Е. Барабанова.

2. Для двух классов нелинейных импульсных систем синтезированы робастные стабилизирующие управления, при которых состояние равновесия устойчиво в целом.

3. Для нелинейной импульсной системы с постоянно действующим внешним воздействием синтезированы управления, которые стабилизируют выход системы независимо от внешнего воздействия, а вектор состояния системы оставляют ограниченным.