Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций

В классической теории приближения функций центральную роль играют операторы сдвига /(ж) н-«- /(ж + у), х, у е М. Так инфинитезималь-ным оператором сдвига является оператор дифференцирования, преобразование Фурье представляет собой разложение по собственным функциям оператора сдвига, оператор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые являются основными элементами прямых и обратных теорем теории приближения. Различные обобщения операторов сдвига позволяют формулировать естественные аналоги задач классической теории приближения. Одним из обобщений операторов сдвига является группа или полугруппа операторов в банаховом пространстве. Многие задачи теории приближения такого вида рассмотрены в работах П. Бутцера, X. Беренса и А. П. Терехина (см. [35], [41]).

Другим обобщением операторов сдвига являются так называемые «операторы обобщенного сдвига». Единого определения понятия обобщенного сдвига нет. Существует широкий класс обобщенных сдвигов (обобщенные сдвиги Дельсарта-Левитана), которые строятся по произвольному дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля второго порядка (см. [21]), но существуют также и другие операторы обобщенного сдвига (например несимметричные обобщенные сдвиги (см. [31], [30]). Обобщенные сдвиги не обязательно образуют группу или полугруппу, но построенные по ним обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения связей между гладкостными свойствами функции и наилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Различные задачи теории приближения функций, в которых используются операторы обобщенного сдвига, рассматривались в работах Я. Лёфстрема и Я. Петре [50], 3. Дитци-ана и В. Тотика [44], П. Бутцера, Р. Стенса и М. Веренса [42], А. Г. Бабенко [2], М. К. Потапова [27, 29, 30, 31], М. К. Потапова и В. М. Федорова [28], Д. В. Горбачева [15], X. П. Рустамова [33], 3. Дитциана и М. Фелтена [45].

На полупрямой = [0, +оо) одним из важнейших операторов обобщенного сдвига является обобщенный сдвиг Бесселя, который используется при изучении различных задач, связанных с дифференциальными операторами Бесселя (см., статью Б. М. Левитана [20] и книгу И. А. Куприянова [18]). С обобщенным сдвигом Бесселя тесно связан гармонический анализ Бесселя, т. е. раздел гармонического анализа, в котором изучаются различные задачи, связанные с интегральными преобразованиями Бесселя (Ганкеля). В работах С. С. Платонова (см. [24]-[26]) с помощью обобщенных сдвигов Бесселя изучались различные задачи теории приближения функций на полупрямой [0, +оо) в метрике Ьр со степенным весом целыми функциями экспоненциального типа.

В последние годы в математической литературе появился и стал использоваться новый класс обобщенных сдвигов — обобщенные сдвиги Данкля. Обобщенные сдвиги Данкля строятся по некоторым дифференциально-разностным операторам (операторам Данкля), которые широко используются в математической физике (см., например, [46], [48], [51], [55], [56]).

В общем случае операторы Даикля ранга п действуют в п-мерном евклидовом пространстве Мп, но даже в простейшем случае п = 1 операторы Данкля и связанный с ними гармонический анализ Фурье-Данкля представляют значительный интерес (см., например, [39], [52], [53], [54], [57],.

В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с применением гармонического анализа Фурье-Данкля в теории приближения функций. Работа состоит из введения и шести глав. Кратко остановимся на содержании глав.

1. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах / А. Г. Бабенко // Известия РАН. Серия математическая. — 1988. -Т. 62, № 6. — С. 27−52.

2. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексопа-Стечкина для Ь2-приближений на полупрямой с весом Лаггера / А. Г. Бабенко // Труды междунар. шк. С. Б. Стечкина по теории функций: (1998, Миасс Челяб. обл., Россия). Екатеринбург: УрО РАН, 1999. — С. 38−63.

3. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции: в 2 т. / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.

4. Белкина Е. С. Обобщенный сдвиг Данкля и приближение функций / Е. С. Белкина // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. — С. 26−27.

5. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. I / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2006. — Вып. 13. — С. 3−25.

6. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2006. — Вып. 13. — С. 26−37.

7. Белкина Е. С. Преобразование Бссселя функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Известия ТулГУ. Серия математика, механика, информатика 2005. — Т. 11, вып. 1. — С. 106−114.

8. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. — С. 23−24.

9. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяющих условию Липшица / Е. С. Белкина // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2007. Вып. 14. С. 3−13.

10. Белкина Е. С. Эквивалентность if-функционалов и модулей гладкости, построенных по обобщенным сдвигам Данкля / Е. С. Белкина, С. С. Платонов // Известия ВУЗов. Математика. 2008. — № 8. — С. 315.

11. Берг И. Интерполяционные пространства / И. Берг, И. Лёфстрем. -М.: Мир, 1980. 264 с.

12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1979. — 320 с.

13. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения / Д. В. Горбачев. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. -152 с.

14. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Наука, 1971. — 1108 с.

15. Житомирский И. С. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя / И. С. Житомирский // Математический сборник 1955. — Т. 36, № 2. — С. 299−310.

16. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И. А. Киприянов. М.: НаукаФизматлит, 1997. — 198 с.

17. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976. — 544 с.

18. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи математических наук. 1951. — Т. 6, № 2. — С. 102−143.

19. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига / Б. М. Левитан. М.: Наука, 1973. — 312 с.

20. Никольский С. М. Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна / С. М. Никольский // ДАНСССР. 1948. — Т. 60, № 9. — С. 1507−1510.

21. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. М.: Наука, 1977. — 456 с.

22. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций в метрике ½, аI- / С. С. Платонов // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2000. — Вып. 7. — С. 70−82.

23. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций в метрике П. / С. С. Платонов // Труды: сер. Математика / Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск, 2001. — Вып. 8. — С. 3−17.

24. Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой / С. С. Платонов // Известия РАН. Серия математическая. 2007. — Т. 71, № 5. — С. 149−196.

25. Потапов М. К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби / М. К. Потапов // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1983. — № 3. — С. 43−52.

26. Потапов М. К. О теоремах Джексона для обобщенного модуля гладкости / М. К. Потапов, В. М. Федоров // Труды Математического ин-та АН СССР. 1985. — Т. 182. — С. 291−295.

27. Потапов М. К. О применении оператора обобщенного сдвига в теории приближений / М. К. Потапов // Вестник Моск. ун-та. Серия математика, механика. 1998. — № 3. — С. 38−48.

28. Потапов М. К. О приближении функций, характеризуемых одним несимметричным оператором обобщенного сдвига / М. К. Потапов // Труды Математического ин-та АН. 1999. — Т. 227. — С. 243−259.

29. Потапов М. К. О свойствах и о применении в теории приближений одного семейства операторов обобщенного сдвига / М. К. Потапов // Математические заметки. 2001. — Т. 69, вып. 3. — С. 412−426.

30. Рад М. Методы современной математической физики: в 4 т. / М. Рид, Б. М. Саймон. М.: Мир, 1978. — Т. 1. — 360 с.

31. Рустамов X. П. Модули гладкости высших порядков, связанные с разложением Фурье-Якоби, и приближение функций алгебраическими полиномами / X. П. Рустамов // Доклады РАН. 1995. — Т. 344, № 5. — С. 593−596.

32. Стечкин С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна / С. Б. Стечкин // ДАНСССР. 1948. — Т. 60, № 9. — С. 1511−1514.

33. Терехин А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение / А. П. Терехин // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Саратовского гос. университета, 1975. — Вып. 2. — С. 3−28.

34. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. / А. Ф. Тиман. М.: Физматгиз, 1960. — 624 с.

35. Титчмарш Е.

Введение

в теорию интегралов Фурье / Е. Титчмарш.- М.: Гостехиздат, 1948. 480 с.

36. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель. М.: Мир, 1980. — 664 с.

37. Abdelkefi С. Characterization of Besov spaces for the Dunkl operator on the real line / C. Abdelkefi, M. Sifi // Journal of inequalities in pure and appl. Math. 2007. — V. 8, Iss. 3. — P. 1−11.

38. Boas R. P. Quelques generalisations d’une theoreme de S. Bernstein sur la derivee d’un pofynome trigonometrique / R. P. Boas // Сотр. Rend. -1948. V. 227. — P. 618−619.

39. Butzer P. L. Semi-groups of operators and approximation / P. L. Butzer, H. Behrens. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. — 480 p.

40. Butzer P. L. Higher order moduli of continuity based on the Jacobi translation operator and best approximation / P. L. Butzer, R. L. Stens, M. Wehrens // Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1980. — V. 11, No. 2. -P. 83−88.

41. DeVore R. A. Constructive approximation / R. A. DeVore, G. G. Lorentz.- Berlin etc.: Springer-Verlag, 1993. 449 p.

42. Ditzian Z. Moduli of smoothness / Z. Ditzian, V. Totik. New York etc.: Springer-Verlag, 1987. — 227 p.

43. Ditzian Z. Averages using translation induced by Laguerre and and Jacobi expansions / Z. Ditzian, M. Feiten // Constr. Approx. 2000. — V. 16. -P. 115−143.

44. Dunkl G. F. Differential-difference operators assosiated to reflection groups / C. F. Dunkl // Trans. Amer. Soc. 1989. — V. 311. — P. 167−183.

45. Feng D. Some equivalence theorems with ii-functionals / D. Feng // J. of Appr. Theory. 2003. — V. 121. — P. 143−157.

46. Jeu M. F. The Dunkl transform / M. F. de Jeu // Invent. Math. 1993. V. 113. P. 147−162.

47. Johnen H. On the equivalence of the ii-functional and moduli of continuity and some applications / H. Johnen, K. Scherer // In: Constructive Theory of Functions of Several Variables. Lecture Notes in Math. 1977. — V. 571. P. 119−140.

48. Lof strom J. Approximation theorems connected with generalized translations / J. Lofstrom, J. Peetre // Math. Ann. 1969. — V. 181. P. 255−268.

49. Maslouhi M. Harmonic functions associated to Dunkl operators / M. Maslouhi, E. H. Youssi // Monathefte fur Math. 2007. — V. 152. P. 337−345.

50. Mourou M. A. Transmutation operators assosiated with a Dunkle type differential-difference operator on the real line and certain of theirapplications / M. A. Mourou // Integral Transforms and Special Functions. 2001. — V. 12, No. 1. — P. 77−88.

51. Mourou M. A. Transmutation operators and Paley-Wiener theorem associated with a singular differential-difference operator on the real line / M. A. Mourou, K. Trimeche // Analysis and Applications. 2003. — V. 1, No 1. — P. 43−70.

52. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on M / M. Rosier // In: Heyer, H. and Mukherjea, A (Eds), Probability Measures an Groups and Related Structures. Proc. Couf. Oberwolfach, 1994. Would Scientific. — 1995. -P. 292−304.

53. Rosier M. Markov processes related with Dunkl operators / M. Rosier, M. Voit // Adv. in Appl. Math. 1998. — V. 21. — P. 575−643.

54. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications / M. Rosier // Lecture Notes in Math. 2002. — V. 1817. — P. 93−135.

55. Soltani F. Littlwood-Paley operators associated with the Dunkl operator on E / F. Soltani // J. of Funct. Anal. 2005. — V. 221. — P. 205−225.

56. Salem N. B. Mean-periodic functions associated with the Dunkl operators / N. B. Salem, S. Kallel // Integral Transforms and Special Functions. -2004. V. 15, No 2. — P. 155−179.

57. Thangavelu S. Convolution and maximal function for Dunkl transform / S. Thangavelu, X. Yuan // J. Anal. Math. 2006. — V. 97. — P. 25−55.

58. Trimeche K. Transmutation operators and mean-periodic functions associated with differential operators / K. Trimeche // Mathematical Reports. 1988. — V. 4, Part 1. — P. 1−282.

59. Trimeche K. Generalized harmonie analysis and wavelet packets / K. Trimeche. Amsterdam: Gordon and Breach Sciences Publishers, 2001. — 228 p.