Исследование устойчивости и анализ управления нелинейных неконсервативных систем

Актуальность темы

Устойчивость нсконсервативных систем — один из разделов механики, имеющий важное практическое значение и вызывавший интерес на протяжении всего минувшего столетия [7, 40]. Задачи исследования устойчивости возникают при рассмотрении систем со следящими и реактивными силами, при проектировании гироскопических устройств, современных конструкций в машиностроении, крупногабаритных космических конструкций. Эти же вопросы появляются и при решении задач управления, поскольку нагрузки, возникающие в объектах систем автоматического регулирования, в большинстве случаев представляют собой неконсервативные силы. Поэтому анализ и обнаружение новых качественных механических эффектов поведения систем под действием неконсервативных нагрузок представляет значительный интерес.

В диссертационной работе рассматривается устойчивость и управление следующими системами: динамически симметричный космический аппарат, солнечный парус, двойной маятник, свободный стержень.

Первые работы, в которых были найдены стационарные режимы у динамически симметричного космического аппарата, [10, 15] относятся к 1959;1960 гг. Причём в работе [10] содержатся первые исследования устойчивости этих стационарных движений (в линейном приближении).

Среди работ, посвящённых исследованию устойчивости стационарных движений динамически симметричного космического аппарата, отметим работу [42]. В ней найдены достаточные условия устойчивости всех стационарных режимов путём построения функций Ляпунова. Кроме того, из работы следует, что не существует никаких других стационарных движений, кроме исследованных в этой статье.

Стабилизации и управлению спутников постоянными внешними моментами посвящены работы [34, 55].

В работе [3] решена задача стабилизации стационарного движения динамически симметричного спутника-гиростата с помощью приложения внешних моментов. Центр масс спутника движется по круговой орбите. Задача решается в строгой нелинейной постановке. В фазовом пространстве находится оценка области притяжения стационарного движения. Стабилизирующие внешние моменты формируются по известным значениям компонент угловой скорости спутника, а также, но значениям углов Эйлера, полученным из решения задачи Дарбу [16].

В работе [56] рассмотрено движение спутника, центр масс которого движется по круговой орбите с постоянной угловой скоростью Lú-оСпутник не является динамически симметричным и на него действую внешние стабилизирующие моменты. За обобщенные координаты приняты углы Эйлера а, ?3, 7. Уравнения движения спутника имеют вид:

Ар + (С — B) qr = 3uj?(C — B) a2az + Ми Bq + (A — C) rp = За%{А — С) аха3 + М2, Сг + (В — A) pq = За%(В — А)(ца2 + М3,.

Р = au4 + 7 + LO0CI4, q = aa5 + /5 sinу + Шоа5, г = cholq 4- ft cos 7 + а>о"в, где А, В, С — центральные моменты инерции, p, q, r — проекции угловой скорости на главные центральные оси инерции, oi = — sin a cos ?3, а2 = cos a sin 7 4- sin a sin f3 cos 7, аз = cos a cos 7 — sin a sin (3 sin 7, = sin /9, 05 = cos /3 cos 7, Cl6 = — cos f3 sin 7.

Стабилизирующие моменты Мо, M? формируются следующим образомг г.

Af = 3cuq (C — 5)((cos ао sin7о + sin oto sin^ocos 7о) х x (sin «o sin /5o sin 7o — eos aQ eos 70) — eos2 Pq sin 70 eos 70),.

M2 = 2ujI{A — C) (sin o? q eos «o eos (3q eos 70 — sin fio eos Po (l + sin2 o-o) sin 70), ^ /W-i — luq (B — A) (sin [3q eos fio (1 + 3 sin2 a0) eos 70 + 3 sin a0 eos Qo eos pa sin 70).

При таком выборе моментов спутник имеет в орбитальной системе координат положение равновесия, а — ао, Р = Ро, 7 = ТоИсследованию устойчивости по первому приближению этого положения равновесия посвящена работа [56].

Работа [46] посвящена частному случаю спутника, когда, А + В = С.

Динамика систем соединенных тел, находящихся на орбите, представляет боль- ' шой интерес, поскольку имеет различные практические применения, такие как космические роботы и манипуляторы, телескопы, орбитальные станции и т. д. Первые публикации на эту темы появились в научной литературе в начале 1960;х готов. Многие из этих работ были посвящены поведению двух соединенных тел. Отметим работу [33], в которой рассмотрены плоские колебания системы двух тел, соединенных идеальным сферическим шарниром, на круговой орбите. В работах [54, 53] рассмотрены системы трёх соединенных тел, находящихся на орбите. В работах показана неустойчивость треугольной конфигурации системы. Особенностью работ [51. 52] является то, что в них рассмотрена система трех тел, одна связь между телами в которой обладает массой.

В работе [44] рассмотрена система четырёх материальных точек разной массы, соединенных невесомыми стержнями разной длины. Система находится на круговой орбите и вращается вокруг земли с постоянной угловой скоростью. В работе исследуется устойчивость по первому приближению возможных положений равновесия системы.

Существуют также работы, в которых рассматриваются системы, состоящие из произвольного числа материальных точек. В работах [47, 48] исследована устойчивость по первому приближению возможных положений равновесия систем такого вида.

В 1952 году швейцарский ученый Ганс Циглер [57] рассмотрел колебания двойного маятника, состоящего из двух невесомых стержней равной длины I и нагруженного на конце следящей силой Р. Предполагалось, что массы сосредоточены в узлах гп = 2га, то = га, гравитационные силы отсутствуют, восстанавливающие моменты в шарнирах равны М = —Ав — Вв, = —А (62 — в) — В (^Оо — •.

Был получен неожиданный результат: критическая сила, при которой система теряет устойчивость, с исчезающе малой вязкостью оказалась значительно ниже, чем значение критической силы системы, в которой с самого начала предполагалось отсутствие вязкости. Этот эффект, получивший название парадокса дестабилизации, вызвал большой интерес и способствовал появлению значительного числа публикаций во всем мире.

В работе [50] был рассмотрен маятник Циглера в случае различных коэффициентов демпфирования, т. е. М — —А0 — Вхвх, М2 = —А{в2 — #1) — Во (?2 — ¦ Было показано, что в этом случае также наблюдается парадокс дестабилизации, а устойчивость положения равновесия зависит от отношения коэффициентов диссипации.

В работе [49] исследован маятник Циглера с нелинейным законом демпфирования. Предполагается, что силы трения в обоих шарнирах подчиняются закону гистерезиса.

Ке>(х, Х) = 7ж2ж с разными постоянными 7 в обоих шарнирах. Также был рассмотрен и другой закон трения, а именно кубический.

Кп (х) = 7. Т3 с разными постоянными 7 соответственно.

Выяснено, что парадоксальное поведение критической нагрузки не исчезает при рассмотрении нелинейных законов демпфирования. Показано, что устойчивость нулевого положения равновесия зависит только от соотношения двух коэффициентов диссипации. Причём схожие результаты получены для обоих законов трения.

В случае нелинейного закона трения область асимптотической устойчивости зависит только от отношения коэффициентов диссипации, в то время как в случае линейного закона демпфирования эта зависимость справедлива лишь при достаточно малых коэффициентах диссипации.

Устойчивость равновесия двойного маятника при отсутствии сил трения исследована в нелинейной постановке в работе [1], причём обе массы приняты равными, т. е. гщ = Ш2 = т.

Полученные результаты сформулированы в виде теоремы: Положение равновесия маятника Циглера устойчиво при 0 < р < 2 для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий, кроме, быть может двух значений р = р ~ 0,6102 и р = р2 = ^/3, где р — безразмерное значение следящей силы. Заметим, что при решении задачи в линейной постановке, получен следующий результат: положение равновесия устойчиво при 0 < р < 2.

При учёте сил трения в [1] доказано существование устойчивого автоколебательного режима, возникающего-при переходе через критическое значение нагрузки.

В работе [35] автор приходит к следующим результатам: пусть Р&euro- - критическая сила при отсутствии демпфирования, а Р<1~ предельное значение критической силы при исчезающе малом демпфировании. Рассматривая поведение корней характеристического уравнения в зависимости от величины, действующей на систему силы, делается вывод, что при стремлении коэффициента внутренней вязкости к нулю роль критической нагрузки от Р (/ постепенно переходит к Ре, при исчезающе малой вязкости величина Ра теряет физический смысл границы области устойчивости.

Отметим, что механическая система в виде двойного перевернутого маятника привлекает интерес исследователей как объект автоматического управления.

Синтез управления в форме обратных связей по состоянию для таких объектов выполнен в [23, 32, 17].

Отметим, что парадокс дестабилизации возникает и при исследовании континуальных моделей стержней. В работе [45] рассмотрены поперечные колебания консольно закрепленного стержня при наличии консервативной и следящей сил. Область устойчивости упругого стержня оказывается значительно шире, чем для сгержня с исчезающе малой вязкостью.

Разница в поведении систем, нагруженными силами постоянного направления и следящими силами, исследована в работе [13]. Рассматривается применение эллиптических функций при решении ряда нелинейных задач изгиба тонких упругих стержней и пластин. Исследованы три конкретные задачи: изгиб стержня с защемлённым концом и другим свободным концом под действием нагрузки, направленной под постоянным угломизгиб стержня с защемлённым и свободным концами под действием следящей силы при произвольном угле слеженияизгиб тонкой круговой пластины под действием радиального сжатия.

Исследованию консольно закрепленного стержня, но нагруженного только следящей силой, посвящена работа [2]. Определяющее соотношение материала стержня принято нелинейным и имеет следующий вид: а — Ее + к£2ё + А,'2£3.

Показывается, что имеет место эффект потери устойчивости при наличии нелинейной вязкости. При этом критическое значение силы при нелинейном законе вязкости больше, чем в модели Кельвина-Фойгта. Кроме того, существенным отличием от линейной вязкости является то, что в модели Кельвина-Фойгта эффект падения критической нагрузки обнаруживается при достаточно малом коэффициенте вязкости, а в нелинейной модели этот эффект проявляется при любых коэффициентах ^ > 0 и ко > 0.

В статье [18] исследована дестабилизация малыми диссипативными силами установившегося движения некоторых систем с конечным (маятник Циглера) и бесконечным (стойка Бека) числом степеней свободы, вращающихся вокруг неподвижной оси. Проведён анализ движения собственных чисел на комплексной плоскости при варьировании параметров.

Устойчивость прямолинейной формы свободного стержня с определяющим соотношением, а — Ее, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, впервые рассмотрена в работах [9, 38]. В работе [4] решена та же задача, но с определяющим соотношении материала стержня, а = Ее + к]е2ё + к2ё3.

Цель работы — развитие и решение задач управления и устойчивости нелинейных систем, находящихся под действием неконсервативных нагрузок.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Научная новизна:

1. В нелинейной постановке решена задача управления стационарным движением вокруг центра масс динамически симметричного космического аппарата, находящегося на круговой орбите, с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих.

2. Получены условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий относительного положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении.

3. Впервые рассмотрена система, представляющая собой двойной маятник, нагруженный следящей и консервативной силами, в шарнирах которого действуют стабилизирующие моменты. В нелинейной постановке получены условия устойчивости по Ляпунову положения равновесия двойного маятника.

4. В нелинейной постановке решена задача устойчивости прямолинейной формы свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, а определяющее соотношение имеет вид, а = Ее 4- коё + k?2sf kos3.

Научная и практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при разработке алгоритмов управления динамически симметричным космическим аппаратом и при проектировании и исследовании систем со следящими и реактивными силами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод управления стационарным движением динамически симметричного космического аппарата с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих.

2. Условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий относительного положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении.

3. Условия устойчивости по Ляпунову положения равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами, в шарнирах которого действуют стабилизирующие моменты.

4. Условия устойчивости по Ляпунову прямолинейной формы свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из четырёх глав.

В первой главе решается задача управления движением динамически симметричного космического аппарата, центр масс которого движется по круговой орбите с угловой скоростью ujq = const. Два главных центральных момента равны, А = В, момент инерции относительно оси симметрии равен С. Стабилизирующие моменты выбираются таким образом, чтобы в орбитальной системе координат космический аппарат имел произвольное положение равновесия. Стабилизирующие моменты формируются из постоянной и нелинейной составляющих. В линейной постановке найдены условия стабилизации постоянными моментами. В нелинейной постановке показана невозможность стабилизации постоянными моментами, найдены условия стабилизации нелинейными моментами.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости равновесия солнечного парусаон представляет собой механическую систему, состоящую из двух невесомых стержней и ААо одинаковой длины а. В точках Ао, А, Ао расположены три одинаковые массы т. Управляющим воздействием является следящая сила Р, с которой на солнечный парус МТУ действуют солнечные лучи. Направление этой силы всё время движения совпадает с направлением стержня АоА. В линейной постановке найдены условия устойчивости положения равновесия системы. Найдены условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.

В третьей главе рассматривается устойчивость двойного маятника, представляющего собой систему двух невесомых стержней СП и РЕ длиной /. В шарнирах действуют стабилизирующие моменты М = —АВ — ВО 1, Мо — —А (02 — 9) — В (в2-^). В шарнире Р и на свободном конце Е расположены две одинаковые массы т. На свободный конец маятника Е действует следящая сила Р, направление которой во всё время движения совпадает с направлением стержня БЕ. На шарнир Р действует консервативная сила Р, всегда направленная вертикально вниз. В линейной постановке найдены условия асимптотической устойчивости положения равновесия устойчивости. При исследовании устойчивости в нелинейной постановке решена задача при следующий критических случаях устойчивости: один нулевой корень, пара чисто мнимых корней, один нулевой корень и пара чисто мнимых корней.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости прямолинейной формы свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила Р. Определяющее соотношение имеет вид <т = Ее + кое + ке2еЬ кое3, где Е — модуль Юнга, — коэффициенты внутренней вязкости, а — напряжение, е — деформация. Показано, что значение критической силы при наличии внутренней вязкости всегда меньше, чем при отсутствии таковой. Найдено предельное значение следящей силы при стремлении коэффициента вязкости к нулю и исследовано поведение действительных частей корней характеристического уравнения в зависимости от ее величины. Рассмотрен критический случай устойчивости пары чисто мнимых корней.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [24, 17, 25, 27]- докладывались на следующих конференциях: Девятой Крымской международной математической школе «Метод функции Ляпунова и его приложения» (Алушта, Украина, 2008) [26], Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и техиике» (Москва, 2009) [28], Третьей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2009) [29], International Conference «Dynamical System Modeling and Stability Investigation» (Киев, Украина, 2009) [30], Четвёртой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2010) [31].

Выводы и основные результаты.

1. Для динамически симметричного космического аппарата решена задача стабилизации относительного положения равновесия с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих. В линейной постановке получены условия стабилизации постоянными моментами. В нелинейной постановке показана невозможность стабилизации постоянными внешними моментами, получены условия стабилизации внешними моментами с добавлением нелинейных составляющих. Доказана невозможность стабилизации при внутреннем резонансе третьего порядка.

2. В линейной постановке получены условия устойчивости положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении. В нелинейной постановке найдены условия устойчивости для большинства в (смысле меры Лебега) начальных условий. Доказана неустойчивость при внутреннем резонансе третьего порядка.

3. Проведено исследование устойчивости положения равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами. Доказана асимптотическая устойчивость при критическом случае устойчивости одного нулевого корня. Получены условия устойчивости при критическом случае пары чисто мнимых корней. Доказана неустойчивость при критическом случае устойчивости одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней.

4. Для свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, показано, что значение критической силы при наличии внутренней вязкости всегда меньше, чем при отсутствии таковой. Найдено предельное значение следящей силы при стремлении коэффициента вязкости к нулю и исследовано поведение действительных частей корней характеристического уравнения. При критическом случае устойчивости пары чисто мнимых корней доказана неустойчивость.