Исследование бифуркационных задач со сложными вырождениями

Актуальность работы. В теории дифференциальных уравнений одним из основных является вопрос о зависимости решений уравнения от параметров. Этот вопрос исключительно важен как для самой теории дифференциальных уравнений, так и для ее многочисленных приложений. Центральным при этом является вопрос о том, будут ли малым изменениям параметров соответствовать малые изменения свойств уравнения. Здесь возможны два принципиально различных случая.

Первым является случай так называемых «грубых» систем [2], когда небольшие изменения параметров дифференциального уравнения не влекут за собой кардинального изменения поведения его решений. В частности, для автономных систем свойство «грубости» означает, что малые изменения параметров не приводят к качественной перестройке фазового портрета системы.

Особый интерес вызывает другой случай, когда при малом изменении параметров поведение системы существенно меняется: возникают или исчезают особые точки, периодические или ограниченные решения, изменяется характер устойчивости решений и т. д. Математическое описание такого явления обычно называют бифуркацией, а значения параметров, при которых происходит качественная перестройка системы, — точками бифуркации.

Одним из первых термин «бифуркация» ввел К. Якоби в 1834 г. Основы современной теории бифуркаций были заложены А. Пуанкаре [29] в конце XIX века. Существенный вклад в развитие этой теории внесли работы A.M. Ляпунова [23], A.A. Андронова [1], Е. Хопфа [46] и др.

Примерами задач, в которых наблюдается явление бифуркации, являются задача Эйлера [16] о потере устойчивости упругих систем, задачи о возникновении волн [8], задачи о рождении периодических и ограниченных решений [49], задачи о возникновении хаотических и стохастических аттракторов [7, 24]. Количество примеров легко может быть приумножено.

Одной из наиболее интересных бифуркационных задач является задача о бифуркации Хопфа, изучающая эффект возникновения ненулевых периодических решений из состояния равновесия автономной системы. Бифуркация Хопфа представляет огромный практический интерес. Это явление широко распространено: им объясняется появление автоколебаний во многих технических конструкциях, колебания скорости в потоке жидкости, периодическое изменение численности популяции в биологических системах и др.

Теория бифуркации Хопфа имеет богатую историю. Еще в 1877 г. И. А. Вышнеградский [28] дал строгое математическое описание бифуркации такого типа — явления вибрации, возникающего при функционировании паровых машин с регулятором Уатта.

Основной интерес в теории бифуркации Хопфа вызывают следующие вопросы: условия, при которых происходит бифуркация, при каких именно значениях параметров возникают бифурцирующие решения (тип бифуркации), каков их период, амплитуда, устойчивы ли они.

Первые результаты теоретических исследований задачи о бифуркации рождения цикла восходят к классическим работам А. М. Ляпунова [23] и А. Пуанкаре [29]. Детальный анализ бифуркации рождения предельного цикла для двумерных динамических систем был проведен А. А. Андроновым [1]. Его теоремы были обобщены на многомерный случай Е. Хопфом [46]. Работы А. А. Андронова и Е. Хопфа послужили отправным пунктом для многочисленных исследований в различных направлениях.

С большой полнотой проведен анализ условий рождения предельного цикла для «классической» системы Хопфа. В зависимости от постановки задачи здесь эффективными оказались методы малого параметра, инвариантных многообразий, усреднения и др. (см. [3], [5], [6], [9], [14], [25], [33], [37], [38], [42], [44]).

В наиболее общих предположениях бифуркация Хопфа изучена М. А. Красносельским и В. С. Козякиным [11] на основе метода функ-ционализации параметра.

Большое число работ посвящено методам приближенного расчета и анализу устойчивости автоколебаний в задаче о бифуркации Хопфа. Здесь, наряду с прямыми методами численного расчета, разработаны схемы, основанные на асимптотических формулах, методе функцио-нализации параметра, итерационные процедуры численного анализа ([11], [15], [17], [25], [33], [34], [36], [39], [40], [41], [43], [52], [55]).

Устойчивость бифурцирующих решений исследуется методами теории Флоке, теории Пуанкаре-Бендиксона, методами инвариантных многообразий, теории вогнутых операторов ([13], [18], [25], [33], [43], [44]).

В значительном числе работ изучаются приложения в физике, гидромеханике, биологии и др. Здесь достаточно упомянуть существенные результаты, полученные при изучении бифуркаций в моделях турбулентности, в технике («флаттер» в авиаракетных конструкциях, автоколебания в электрических цепях), в моделях популяций (см., например, [25], [31], [50], [51], [53] и имеющуюся там библиографию).

Библиография работ по теории бифуркации Хопфа стремительно расширяется. Возникают новые приложения, требующие разработки новых методов исследования или детального переосмысления классических методов.

Многие проблемы в теории бифуркации Хопфа еще далеки от окончательного решения. Здесь особенно актуальными являются исследования «неклассических» ситуаций: систем с многократными вырождениями, рождения предельного цикла из бесконечности (нелинейного резонанса), систем, описываемых дифференциальными уравнениями со сложными нелинейностями, функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных и т. п. (см. [4], [12], [20], [21], [25], [26], [32], [33], [35], [44], [45], [47], [48], [49] и имеющуюся там библиографию).

Цель работы. В нелинейных автономных системах дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, провести исследование эффекта бифуркации Хопфа в случае многократного вырождения линеаризованного уравнения и в ситуациях отсутствия перехода через мнимую ось собственных значений линеаризованной системы, а также изучить вопросы обоснования численных методов для анализа бифуркационных задач.

Научная новизна. Приведены новые доказательства признаков бифуркации Хопфа. Получены формулы асимптотического представления бифурцирующих решений и их периодов. На основе этих формул проведено исследование бифуркационных процессов в задачах односторонней бифуркации. Разработана схема анализа устойчивости в системах с кратным вырождением. Предложено обоснование процедур численного исследования бифуркационных задач.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней предложена и обоснована схема построения асимптотик бифурцирующих решений в нелинейных автономных системах, зависящих от параметра, разработаны схемы изучения односторонней бифуркации, проведен анализ устойчивости бифурцирующих решений при кратном вырождении.

В качестве приложения полученных теоретических результатов в работе дано обоснование процедур приближенного исследования бифуркационных задач на основе сопоставления непрерывной, проекционной и дискретной моделей задачи. Предложены алгоритмы численного расчета рождающихся периодических решений и исследования их устойчивости. Полученные результаты доведены до простых расчетных формул, позволяющих определять наличие бифурцирующих решений при различных значениях параметров, эффективно прослеживать динамику рождающихся циклов, изучать их устойчивость.

Методы исследования. Использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории Флоке и малого параметра исследования устойчивости, проекционные методы Галеркина приближенного решения операторных уравнений, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.

Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались на Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, Институт проблем управления РАН, 1999 г.), на конференции «Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах» (г. Уфа, БашГУ, 1999 г.), на научных семинарах в Институте проблем передачи информации РАН (г. Москва, 1999 г.) (руководитель д.ф.-м.н., проф. Козякин B.C.), на научных семинарах кафедры дискретного анализа ЯрГУ (1998 г.) (руководитель д.ф.-м.н., проф. Бондаренко В.А.), кафедры высшей математики РГАТА и кафедры высшей математики и информатики СИ БГУ (1997 — 1999 г.), на конференциях молодых ученых (г. Ярославль, ЯрГУ, 1999 г. и г. Рыбинск, РГАТА, 1999 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в [56]—[64].

Личный вклад. Постановки задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Краткое содержание работы. Основным объектом, изучаемым в диссертационной работе, является автономная система дифференциальных уравнений = xeRN, N> 2, (0.1) зависящая от скалярного параметра А. Предполагается, что F (0, А) = 0, т. е. система (0.1) при всех значениях, А имеет нулевое решение х = 0.

Число Ао называют точкой бифуркации Хопфа для системы (0.1), если найдется последовательность {Ап} такая, что при каждом, А = Ап система (0.1) имеет ненулевое периодическое решение х — xn (t) некоторого периода Тп, при этом Хп —>• Ло и max —> 0 при п —оо. В этом случае функции xn (t) называются бифурцирующими решениями системы (0.1).

Диссертация состоит из двух глав, введения и заключения. В первой главе (§§ 1−4) изучаются условия бифуркации Хопфаи строятся асимптотические формулы, описывающие рождающиеся ненулевые периодические решения.

Первый параграф посвящен постановке задачи о бифуркации Хопфа. Здесь также описываются основные вопросы, возникающие при исследовании бифуркационных задач, рассматриваются линейные и нелинейные системы вида (0.1) и обсуждаются условия, при которых в этих системах наблюдается бифуркация. Затем формулируются классические теоремы о бифуркации Хопфа. В заключительной части первого параграфа формулируются основные задачи диссертационной работы.

Второй параграф посвящен изучению необходимых и достаточных условий бифуркации Хопфа в следующей постановке. Предполагается, что система (0.1) представима в виде нТ.

— = А (Х)х + а{х-Х), х € RN, N> 2, (0.2).

СЬЪ где А (Х) = Л) — якобиан вектор-функции F (x] А). При этом вектор-функция а (х А) имеет вид а{хА) = а^{х]Х) + а^(х-Х) + е (ж-А), где а2(жЛ) и аз (жЛ) — члены порядка 2 и 3 по ж, |е (жА)| = о (|ж|3). Предполагаются выполненными следующие условия:

U1 Матрица Aq = A (Xq) имеет простые собственные значения ujq > 0, и числа dzkuoi, к = 0,2,3,. не являются ее собственными значениями.

U2 Имеет место соотношение т'(Ао) Ф 0- здесь г'(А) — производная действительной части непрерывно дифференцируемой ветви собственных значений т (А) + го-(A) (t (Aq) = 0, oj (Aq) = wo) матрицы A (A). Далее приводятся необходимые и достаточные признаки бифуркации Хопфа для системы (0.2) в предположениях U1 и U2 с новыми доказательствами.

В третьем параграфе получены формулы асимптотик бифурцирую-щих решений. Первым этапом построения асимптотик является переход к равносильному интегральному уравнению t y (t) = у (1) + т (/ A (X)y (s) + ay (s)> A] ds) (0.3) так, что решение y (t) уравнения (0.3) определяет Т-периодическое решение x (t) = y (tT) системы (0.2). Уравнение (0.3) содержит два параметра Л и Г и имеет континуумы решений. Для перехода к задаче с изолированными решениями и без параметров приводятся основные положения, разработанного М. А. Красносельским метода функциона-лизации параметра.

Для применения метода функционализации параметра к решению уравнения (0.3) специальным образом строятся две пары линейно независимых векторов h, g G RN и h*, g*? RN, представляющие собой действительные и мнимые части собственных векторов, отвечающих собственным значениям iuoi матрицы Aq = А (Ао) и транспонированной к ней матрицы Aq. Определяются функционалы a[x (t)] = (xe, g*) + (x"h*), P[x (t)] = (xeth*)-(xa, g*), ¦ (0.4) * где хс и xs — это коэффициенты Фурье непрерывной вектор-функции x (t), х (0) = х (1), отвечающие cos27vt и sin27ri. Параметры, А и Т в (0.3) заменяются функционалами, зависящими от вспомогательного параметра q > 0: Ао -1 + Tq[y (t)] = г0 + Yqa[y^ где Го = 2т[/щ. В результате осуществляется переход к уравнению t y (t) = 2/(1) + Tq[y (t)]{f ?[Ш*))]уМ + ФW, шт ds). (0.5).

Для нахождения решений уравнения (0.3) разрабатывается итерационный метод. На основе правой части (0.5) строится сжимающий оператор ич: С —> С таким образом, что при каждом малом д > 0 последовательные приближения.

Уя, п+1 № = идуд>п^), п = 0,1,2,., (0.6) где уд>о (?) = де (£), равномерно сходятся к решению уч (Ь)? С уравнения (0.5) — здесь С = С[0,1] — пространство непрерывных на отрезке [0,1] вектор-функций с равномерной метрикой и е (£) = к сое 27г£ — д эт 2−7г£.

На основе итерационной процедуры (0.6) находятся асимптотические приближения для рождающихся циклов, их периодов и значений параметров, при которых происходят колебания. Они записываются в виде:

0.7).

Тд = Т0 + д2Т1 + о (<�г2), Ад = Л0 + Л + о (д2). При этом для функции е (Ь) и чисел Т и Л1 приводятся расчетные формулы. Асимптотики бифурцирующих решений и их периодов системы (0.2) находятся на основании следующего утверждения.

Теорема 0.1 Если \ ф 0, то бифурцирующие решения х (Р, Л) и соответствующие значения Т (А) периода представимы в виде у (*- А) =.

А-До.

А1 е (*) +.

А-А0.

А1 А).

Т (А) = Г0+||^|А-Ао|+Г2(А), где у{Ц А) = х[Щ)], тах|е2(*- А)| = о (|А — А0|) и Т2(А) = о (|А — А0|) при, А —> Ао.

В заключительной части § 3 изучаются условия, определяющие тип бифуркации (субили суперкритический): если при малых |А — Ао| бифурцирующие решения системы (0.2) существуют только при, А < Ао (А > Ао), то говорят, что бифуркация является субкритической (суперкритической). Тип бифуркации устанавливается на основе следующего утверждения.

Теорема 0.2 Бифуркация в системе (0.2) является субкритической, если Ai < 0, и суперкритической, если Х > 0.

В четвертом параграфе приводятся доказательства основных утверждений первой главы.

Вторая глава (§§ 5−8) диссертационной работы посвящена изучению бифуркационных задач в различных неклассических ситуациях.

В пятом параграфе изучаются вопросы односторонней бифуркации, когда система (0.2) определена только при, А > Ао (или только при, А < Ао). При этом рассматриваются две ситуации.

Во-первых, рассматривается ситуация, когда вместо U2 выполнено предположение:

Р2 Существует последовательность п —у Ао, Ап > Ао, такая, что все числа т (Ап) положительны.

В этом случае определяется число Л = o?[ip (t) — ij)(t)], где а (х) — функционал из (0.4) и используются следующие обозначения t.

4>{t) = TQJ a'2[e (s)-АоНВоЧ + B{fs) + B0f (s)) ds, o ф (Ь) = г—(ci sin 27vt — si eos 2wt) — 27 Г здесь а'2(жА) — якобиан вектор-функции u2(xА) — со — свободный коэффициент Фурье функции a2[e (t)-, Ао]- с и si — отвечающие cos 27rt и sin 2irt коэффициенты Фурье функции аз[е (?) — Ао]- f (t) = a2[e (t)] Ао]—соBq = TqAq и В = Bq + I67T2/, где I — единичная матрица. Устанавливается следующее утверждение.

Теорема 0.3 Пусть выполнены предположения U1 и Р2. Пусть Л > 0. Тогда число Ао является точкой бифуркации Хопфа для системы (0.2).

Во-вторых, рассматривается ситуация, когда правая часть системы (0.2) непрерывно дифференцируема по, А только при, А > Ао (при, А = Ао имеется в виду односторонняя производная). В этом случае устанавливается более полное утверждение.

Теорема 0.4 Пусть выполнены предположения U1 и U2. Пусть Л ф 0. Тогда если Лт'(Ао) > 0, то число Ао является точкой бифуркации Хопфа для системы (0.2) — если же Лт'(Ао) < 0- то при малых | А — Ао | и, А > Ао система (0.2) не имеет бифурцирующих решений.

В шестом парграфе исследуется устойчивость циклов в системах с кратным вырождением. Предлагается схема анализа устойчивости, основанная на идеях метода малого параметра с последующим использованием теоремы Андронова-Витта об устойчивости периодических решений автономных систем.

Рассматривается система вида (0.2), в которой N > 4. Вместо условия U1 для нее считается выполненным предположение:

П1 При некотором, А = Ао матрица А (Ао) имеет две пары простых собственных значений dcuioi и причем ш > щ > 0 и отношение u/uq не является целым числом. При этом остальные N—4 собственные значения матрицы А (Ао) имеют отрицательные вещественные части.

Схема анализа устойчивости состоит из следующих этапов. В системе (0.2) производится замена переменных х = xq + h и после разложения правой части (0.2) по h и отбрасывания слагаемых второго порядка малости относительно h, получается уравнение f = [A () + a'(Xq (t), X)]h, (0.8) где а'(х] А) — якобиан вектор-функции, а (яА).

С использованием формул (0.7) и невырожденных преобразований переменных осуществляется переход к эквивалентной системе = [D + qS1 + q2S2 + S3(t, q)}h, (0.9) где матрицы D, Si и постоянные, а 5з (£, q) — ограниченная матрица, удовлетворяющая соотношению lim max |5з (£- q)/q2 = 0. Затем определяются числа Ai = Re (s¹ + s²), Д2 = Re (s|3) и A3 = Re (sf4), гДе sJ2 (j = 1,2,3,4) — диагональные элементы матрицы S2.

Теорема 0.5 Если числа Ai, Д2 и A3 отрицательны, то рождающиеся при X — Xq периодические решения xq (t) системы (0.2) асимптотически орбиталъно устойчивы при всех малых q > 0. Если хотя бы одно из чисел Ai, Д2 или A3 положительно, то эти решения неустойчивы.

Седьмой параграф посвящен анализу сходимости дискретных и проекционных методов исследования бифуркации. Здесь изучаются два подхода к численному моделированию бифуркационных процессов основанные на идеях метода Галеркина.

Дискретная модель строится по интегральным операторам в правой части уравнения (0.5) на основе сходящегося квадратурного процесса.

J x (s) ds=Y, ajnx (sjn) + Rn (x). 0.

Здесь ajn > 0, j = 1,., n, 0 < sin < S2n < • • • < snn < 1 и для любой x (t) G С имеем —> 0 при п —> оо.

Далее на основе этой модели конструируется численный аналог итерационной процедуры (0.6), проводится анализ его сходимости.

При втором способе аппроксимации непрерывной задачи решения ищутся в виде «усеченного» ряда Фурье. Для уравнения (0.5) строится проекционное уравнение таким образом, чтобы его решения.

ТЬ yn{t) = Е ук^Ы стремились к решению yq (t) уравнения (0.5) при к=—п п —У оо. Для этой модели также получен проекционный аналог итерационной процедуры (0.6) и проведен анализ его сходимости.

Восьмой параграф содержит доказательства основных утверждений второй главы.

В заключении делаются выводы о результатах, полученных в диссертационной работе.

Заключение

.

В диссертационной работе проведено изучение различных аспектов бифуркации Хопфа в системах со сложными вырождениями. Получены следующие основные результаты:

1. Для классической ситуации приведены новые необходимые и достаточные условия бифуркации.

2. Получены асимптотические (по (Л — Ло|) формулы для бифурци-рующих решений и их периодовздесь Ао — бифуркационное значение параметра А.

3. Указаны признаки односторонней бифуркации — возникновения циклов, когда изучаемая система определена только при, А < Ао (или только при, А > Ао), а также в ситуациях, когда собственные значения матрицы А (А) приближаются к мнимой оси при, А —у Ао, не переходя ее, или переходя ее, но под нулевым углом.

4. Исследована устойчивость рождающихся бифурцирующих решений для ситуации, когда матрица Л (Хо) имеет более одной пары чисто мнимых собственных значений.

5. Проведен анализ сходимости дискретных и проекционных процедур построения циклов, и получено обоснование использования численных процедур для приближенного исследования бифуркационных задач.