Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп

1. Краткий обзор предшествующих исследований. Одной из основных задач современной теории моделей является решение спектральной проблемы, т. е. проблемы описания для различных классов теорий Т функций 1(Т, Л) числа попарно неизоморфных моделей теории Т в мощности Л. Интерес к этой проблеме вызван прежде всего тем, что для ее решения требуется построение содержательной структурной теории.

Проблема описания функций спектра, а также классов теорий, зависящих от этих функций, привлекала и продолжает привлекать внимание широкой группы специалистов по теории моделей, составляя обширную область исследований. Это отражено в большом количестве работ, среди которых упомянем следующие: книги и диссертации — О. В. Белеградек [1]- С. С. Гончаров, Ю. J1. Ершов [3]- Ю. J1. Ершов, Е. А. Палютин [7]- Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн [10]- Дж. Сакс [20]- Справочная книга по математической логике [21]- Дж. Болдуин [29]- А. Пилай [38]- Б. Пуаза [39]- С. Шелах [40]- Ф. Вагнер [41]- статьиС. С. Гончаров, М. Пурмахдиан [46]- Т. Г. Мустафин [51]- Б. Омаров [52]- Е. А. Палютин [54]- Е. А. Палютин, С. С. Старченко [55]- М. Г. Пе-ретятькин [56], [57]- А. Н. Ряскин [59]- Дж. Болдуин, А. Лахлан [83]- М. Бонда [105]- С. Биклер [108]- Б. Харт, С. Старченко, М. Валери-от [121]- Б. Харт, Е. Хрушовский, М. Ласковский [122]- Б. Хервиг, Дж. Ловейс, А. Пилай, П. Танович, Ф. Вагнер [128]- Б. Хервиг [129]- Е. Хрушовский [138]- К. Икеда, А. Пилай, А. Цубои [143]- Б. Хусаинов, А. Найес, Р. Шор [151]- Б. Ким [153]- А. Лахлан [157]- Д. Ласкар [159]- Дж. Ловейс, П. Танович [164]- Л. Лоу, А. Пилай [165]- Л. Майер [167]- Т. Миллар [169]—[172]- М. Морли [174], [175]- А. Пилай [180]-[184], [186], [187]- Р. Рид [196]- К. Рыль-Нардзевский [198]- Ю. Заффе [199], [200]- С. Шелах [201]- С. Шелах, Л. Харрингтон, М. Маккай [203]- С. Томас [216]- А. Цубои [217], [218]- П. Танович [213]- P. Boot [219]- Р. Вудроу [224], [225].

Как известно (см. С. Шелах [40]- Б. Харт, Е. Хрушовский, М. JTac-ковский [122]), спектральная проблема решена в целом для счетных полных теорий в несчетных мощностях Л.

До настоящего времени одной из малоисследованных проблем остается проблема описания числа 1(Т, ш) попарно неизоморфных счетных моделей теории Т для данных классов полных теорий. В этой связи следует отметить гипотезу Воота, согласно которой не существует теории Т с условием си < 1(Т, и>) < 2Ш. Эта гипотеза была подтверждена для теорий деревьев (Дж. Стил [206]), унаров (Л.Маркус [166]- А. Миллер [173]), многообразий (Б. Харт, С. Старченко, М. Ва-лериот [121]), для о-минимальных теорий (Л. Майер [167]), для теорий модулей над некоторыми кольцами (В. А. Пунинская [58], [193]- В. А. Пунииская, К. Тоффалори [194]). В классе стабильных теорий гипотеза Воота доказана для а—стабильных теорий (С. Шелах, Л. Хар-рингтон, М. Маккай [203]), для различных классов суперстабильных теорий (Е. Р. Байсалов [42], [43]- С. Биклер [108], [109]- Л. Лоу, А. Пи-лай [165]- Л. Невельский [176], [177], [178]), а также для 1-базируемых теорий с неизолированным типом над конечным множеством, который ортогонален пустому множеству (П. Танович [214]). Предпринимались попытки (см. Р. Найт [155]) построения примеров, опровергающих гипотезу Воота. Однако до настоящего времени проблема остается открытой.

Еще одной интересной гипотезой является гипотеза Пилая, согласно которой для счетной теории Т условие dcl (0) |= Т влечет 7(Т, ш) > ш. А. Пилай [183] доказал эту гипотезу для стабильных теорий, а также установил (см. А. Пилай [180]), что из dcl (0) = Т следует 7(Т, ш) > 4. П. Танович [215] показал, что гипотеза Пилая верна для теорий, не имеющих свойства строгого порядка.

В 1959 г. К. Рыль-Нардзевский [198] опубликовал свою знаменитую теорему, представляющую синтаксический критерий счетной категоричности теории (т.е. условия 1(Т, и>) = 1), согласно которому счетная категоричность теории эквивалентна конечному числу гс-типов теории для каждого натурального числа п и фиксированного множества свободных переменных. Это означает, что каждая счетно категоричная теория определяется одной характеристикой, а именно, функцией Рылъ-Нардзевского, которая каждому натуральному числу тг ставит в соответствие число типов от п фиксированных переменных.

Большое количество результатов связано с эренфойхтовыми теориями, т. е. теориями, имеющими конечное (> 1) число счетных моделей.

Р. Воотом [219] установлено, что не существует полных теорий, имеющих ровно две счетные модели. На основе теории плотного линейного порядка А. Эренфойхт (см. [219]) построил первоначальные примеры теорий, имеющих ровно п счетных моделей для любого натурального п > 3. Дальнейшие исследования были связаны с построением эрен-фойхтовых теорий, обладающих различными дополнительными свойствами, с нахождением и исследованием структурных свойств эрен-фойхтовых теорий, а также с нахождением классов полных теорий, не содержащих эрепфойхтовых теорий.

М.Г.Перетятькин [56] для каждого п > 3 построил полную разрешимую теорию, имеющую ровно п счетных моделей, из которых лишь одна конструктивизируема. В работах Б. Омарова [52], М. Г. Перетятькина [57], Т. Миллара [169], [172], С. Томаса [216], Р. Вудроу [225] построены примеры эренфойхтовых теорий, допускающих константные обогащения до теорий с бесконечным числом счетных моделей, а также неэрен-фойхтовых теорий, некоторые константные обогащения которых являются эренфойхтовыми. Р. Вудроу [224] показал, что в предположении элиминации кванторов и при ограничении сигнатуры на бинарный предикатный символ и константные символы счетные полные теории, имеющие ровно три счетные модели, являются по существу примерами Эренфойхта. А. Пилай [182] установил, что в любой эренфойхтовой теории с малым числом связей интерпретируется бесконечный плотный частичный порядок. С. С. Гончаров и М. Пурмахдиан [46] доказали, что каждая эренфойхтова теория имеет конечный ранг. В работе К. Икеды, А. Пилая, А. Цубоя [143] показано, что в любой почти и-категоричной теории с тремя счетными моделями интерпретируется плотный линейный порядок. Е. Р. Байсалов [44] описал числа счетных моделей о-минимальных теорий (класс о-минимальных теорий включает классические примеры эренфойхтовых теорий). С. Лемп и Т. Сле-мен [163] установили, что свойство эренфойхтовости П|-полно. У. Кал-верт, В. Харизанов, Дж. Найт, С. Миллер [110] описали сложность индексных множеств классической эренфойхтовой теории. Конструктивные модели эренфойхтовых теорий рассмотрены в работах К. Эша и Т. Миллара [82], Г. А. Омаровой [53], Б. Хусаинова, А. Найеса и Р. Шора [151], А. Н. Гаврюшкина [45], разрешимые эренфойхтовы теории — в работах Т. Миллара [170], [171], Р. Рида [196], В. Харизанов [35]. С. С. Гончаров [118] показал, что существует разрешимая эренфойхтова теория, все типы которой вычислимы, но не все счетные модели могут быть выбраны разрешимыми.

Более тридцати лет известна проблема Лахлана о существовании стабильной эренфойхтовой теории. В направлении решения этой проблемы для различных подклассов класса стабильных теорий установлено отсутствие теорий Т с условием 1 < 1{Т, и>) < и. Это отсутствие было доказано для класса несчетно категоричных теорий (Дж. Болдуин, А. Лахлан [83]), для суперстабильных теорий (А. Лахлаи [157], Д. Ласкар [159], С. Шелах [201], Ю. Заффе [199], А. Пилай [184]), для теорий с неглавным суперстабильным типом (Т. Г. Мустафин [51]), для стабильных теорий, у которых dcl (0) является моделью (А. Пилай [183]), для нормальных теорий (А. Пилай [184]), для слабо нормальных (1-базируемых) теорий (А. Пилай [186], [187]), для теорий, допускающих конечную кодировку (Е. Хрушовский [138]), для объединений псевдо-суперстабильпых теорий (А. Цубои [218]), для теорий без плотных цепей ответвляемости (Б. Хервиг, Дж. Ловейс, А. Пилай, П. Та-нович, Ф. Вагнер [128]). А. Цубои [217] доказал, что любая счетная эрепфойхтова теория, представляющаяся в виде счетного объединения о—категоричных теорий, нестабильна. А. А. Викентьев [231] установил наследственность иеэренфойхтовости при расширении неэренфойхто-вых формульных ограничений. П. Танович [213] показал, что любая стабильная теория, в которой интерпретируется бесконечное множество попарно различных констант, является неэренфойхтовой. Им же [215] доказано, что если теория Т эренфойхтова, то множество dcl (0) конечно или теория Т имеет свойство строгого порядка.

С развитием теории простых теорий (см. Ф. Вагнер [41]- 3. Шатзи-дакис, А. Пилай [112]- Б. Ким, А. Пилай [152]- Б. Ким [153]- М. Пур-махдиан [192]- С. Шелах [202]) наряду с проблемой Лахлана для стабильных теорий возникла аналогичная проблема для простых теорий: проблема Лахлана для простых теорий. Б. Ким [153] обобщил теорему Лахлана (см. А. Лахлан [157]) о суперстабильных теориях и установил, что эренфойхтовы теории не содержатся в классе суперпростых теорий.

При определении числа счетных моделей важную роль играют так называемые властные типы, которые всегда присутствуют в эрен-фойхтовых теориях (см. М. Бенда [105]). По существу, доказательство отсутствия эренфойхтовых теорий в вышеперечисленных классах сводится к тому, что для этих классов доказывается отсутствие теорий с неглавными властными типами. Другие существенные свойства, которыми обладают эренфойхтовы теории — несимметричность отношения полуизолированности на множестве реализаций властных типов, а также бесконечный вес неглавных властных типов в простых теориях см. А. Пилай [184]- Б. Ким [153]). Начала систематизации структурных свойств эренфойхтовых теорий и их властных типов положены в кандидатской диссертации автора (см. С. В. Судоплатов [24]).

А. Лахлан [158] доказал, что структура бесконечной псевдоплоскости содержится в моделях любой w-категоричной стабильной несупер-стабильной теории, а А. Пилай [186] получил аналогичный результат для стабильных не 1-базируемых теорий. Таким образом, положительное решение проблемы Лахлаиа возможно лишь в классе теорий, интерпретирующих псевдоплоскости.

Взаимосвязь типов в теориях во многом определяется предпоряд-ками Рудина-Кейслера (см. М. Рудин [197]). Эти предпорядки имеют конечное число классов эквивалентности для эренфойхтовых теорий. В работах Д. Ласкара [159]—[161] проведено исследование различных видов предпорядков Рудина-Кейслера и показано, что любому властному типу соответствует наибольший класс эквивалентности по пред-порядку Рудина-Кейслера.

В 1988 г. Е. Хрушовский [141] с помощью модификации генериче-ской конструкции Йонсона-Фраисе (см. Р. Фраисе [117], [34]- Б. Йои-сон [148], [149]-) опроверг гипотезу Зильбера, построив примеры сильно минимальных не локально модулярных теорий, в которых не интерпретируется группа. Его оригинальная конструкция, послужившая основой для построения соответствующего примера, а также для последующего решения других известных теоретико-модельиых проблем, стимулировала интенсивное изучение как самой конструкции Хрушов-ского и ее различных (в широком смысле) модификаций, способных создавать «генерические» теории с заданными свойствами (см. Дж. Болдуин [30], [84], [85], [86], [96], [97]- А. С. Колесников [37]- А. Хассон [36], [123], [124], [127]- Дж. Болдуин, С. Шелах [89]- Дж. Болдуин, К. Холланд [91], [92], [94]- А. Баудиш [98], [99]- А. Баудиш, А. Мартин-Пизарро, М. Циглер [101], [102], [103], [104]- М. де Бонис, А. Несин [106]- О. Шапюи, Е. Хрушовский, П. Куаран, Б. Пуаза [111]- Д. Эванс [113], [115], [116]- Д. Эванс, М. Пантано [114]- А. Хассон, М. Хилс [125]- А. Хассон, Е. Хрушовский [126]- Б. Хервиг [129], [130], [131]- Б. Хер-виг, Д. Ласкар [132]- К. Холланд [133], [134]- Е. Хрушовский [137], [139], [140]- Е. Хрушовский, Б. И. Зильбер [142]- К. Икеда [144], [145]- А. А. Иванов [147]- А. Кехрис, К. Розендаль [150]- Б. Ким, А. С. Колесников, А. Цубои [154]- Н. Питфилд, Б. И. Зильбер [179]- А. Пилай,.

A. Цубои [188]- Б. Пуаза [189], [190]- С. Шелах [204]- С. Солецкий [205];

B. В. Вербовский [220]- В. В. Вербовский, И. Йонеда [221]- А. Виллаве-сес, П. Замбрано [222]- И. Йонеда [226]- М. Циглер [227]- Б. И. Зильбер

228], [229] [230]), так и аксиоматических основ, позволяющих определить границы применимости этой конструкции (см. А. Бонато [31]- Р. Арефьев, Дж. Болдуин, М. Мазукко [81]- Дж. Болдуин [88]—[95]- Дж. Болдуин, Н. Ши [87]- А. Баудиш [100]- 3. Шатзидакис, А. Пилай [112]- Д. Эванс [ИЗ]- Дж. Гуд [119]- К. Холланд [135]- К. Икеда, А. Пилай, X. Кикио А. Цубои, [146]- Д. Кикер, М. Ласковский [156]- М. Ласковский [162]- Б. Пуаза [191]- М. Пурмахдиан [192]- Р. Рая ни [195]- Ф. Вагнер [223]).

Применительно к проблеме Лахлаиа Б. Хервиг [129] показал плодотворность конструкции Хрушовского, построив на ее основе малую стабильную теорию с типом, имеющим бесконечный вес.

В работе [60] автором показано, что структура неглавного властного типа содержит структуру бесконтурного орграфа, обладающего свойством попарного пересечения. В работе [61] установлено, что указанное свойство реализуется с помощью тригонометрий групп на проективной плоскости. Обнаруженная связь эреифойхтовых теорий с тригономет-риями и полигонометриями стимулировала создание структурной теории полигонометрий и тригонометрий групп. Полигонометрия (от греч. polygonos — многоугольный и metreo — измеряю) — один из методов определения взаимного положения точек земной поверхности для построения опорной геодезической сети, служащей основой топографических съемок, планировки и строительства городов, перенесения проектов инженерных сооружений в натуру и т. п. Положения пунктов в принятой системе координат определяют методом полигонометрии путем измерения на местности длин линий, последовательно соединяющих эти пункты и образующих по-лигонометрический ход, и горизонтальных углов между ними. При значительных размерах территории, на которой должна быть создана опорная геодезическая сеть, прокладываются взаимно пересекающиеся полигонометрические ходы, образующие полигоиометрическую сеть.

Время возникновения метода полигонометрии неизвестно. В прошлом он имел ограниченное применение из-за большого объема линейных измерений, затрудненных условиями местности, громоздкости необходимого оборудования и невозможности контроля результатов работы до ее полного завершения. Поэтому в прошлом метод полигонометрии применялся только для обоснования городских съемок и для сгущения опорной геодезической сети, созданной методом триангуляции. С изобретением электрооптических дальномеров и радиодальномеров, позволяющих непосредственно измерять линии на местности с высокой точностью, метод полигонометрии освободился от своего основного недостатка и стал применяться наравне с методом триангуляции." 1.

Полигонометрии исследовались А. И. Лекселем [48], [49], Н. И. Фус-сом [1G], Т. Банахевичем и другими. В 20 веке важную роль сыграли исследования русского геодезиста В. В. Данилова [5], детально разработавшего метод параллактической полигонометрии, который был намечен В. Я. Струве еще в 1836 г. В развитии теории и методов полигонометрии большое значение имели труды советских геодезистов А. С. Чеботарева, В. В. Попова, Н. А. Кузина и Н. Н. Лебедева [13], разработавших рациональные методы ведения полигонометрических работ различного вида и точности, а также методы вычислительной обработки и оценки погрешности их результатов.

Как известно, наряду с классической тригонометрией на евклидовой плоскости, к классическим тригонометриям также относятся сферическая и гиперболическая тригонометрии. Современные исследования, связанные с классическими тригонометриями, представлены, например, в работах А. Антиппы [80] и Дж. Макклири [168].

2. Основные постановки задач. В рамках общей проблемы описания теорий, обладающих заданными функциями спектра I, возникают две следующие взаимосвязанные проблемы для класса эренфойхтовых теорий.

Проблема 1 (проблема синтаксической характеризации эренфойх-товости). Найти синтаксическую характеризацию и основные характеристики для класса эренфойхтовых теорий.

Проблема 2 (проблема реализации основных характеристик эрен-фойхтовости). Построить примеры, реализующие все возможности для основных характеристик класса эренфойхтовых теорий.

Поскольку одной из основных характеристик для класса эренфойхтовых теорий являются конечные предпорядки Рудина-Кейслера, вышеперечисленные проблемы получают следующие обобщения.

Проблема 3 (проблема синтаксической характеризации теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера). Найти синтаксическую характеризацию и основные характеристики для класса теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера. большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская Энциклопедия, 1975. — Т. 20, с. 195.

Проблема 4 (проблема реализации основных характеристик теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера). Построить примеры, реализующие все возможности для основных характеристик класса теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера.

При решении проблем 2 и 4 важную роль играет следующая вспомогательная.

Проблема 5 (проблема существования генерических эреифойхто-вых теорий). Установить существование генерических эреифойхто-вых теорий.

В первой главе диссертации в полном объеме решаются первые три проблемы и проблема 5, а четвертая проблема при предположении континуум-гипотезы. Решения проблем 1 и 3 представляют аналоги теоремы Рыль-Нардзевского. Проблемы 2 и 4 решаются на основе решения проблемы 5.

Обнаруженная автором взаимосвязь между структурами эренфойх-товых теорий и тригонометрическими структурами стимулировала исследования полигонометрий и тригонометрий групп, а также классов алгебраических систем, связанных с полигонометриями. В рамках общей проблемы развития теории полигонометрий групп и связанных с ними алгебраических систем был обозначен следующий ряд проблем, относящихся к алгебраическим, геометрическим, теоретико-модельным и теоретико-графовым аспектам данной проблемы.

Проблема 6 (проблема критериев существования полигонометрий и тригонометрий). Найти алгебраические критерии существования полигонометрий и тригонометрий.

Проблема 7 (проблема критериев изоморфизма и вложимости полигонометрий). Найти критерии изоморфизма и влоэюимости полигонометрий.

Проблема 8 (проблема существования тригонометрии группы на проективной плоскости). Установить, существует ли тригонометрия группы без кручения на проективной плоскости.

Проблема 9 (проблема существования и числа конечных полигонометрий). Установить существование и число попарно неизоморфных полигонометрий для различных пар конечных групп.

Проблема 10 (проблема описания частичных алгебр, определяющих полигонометрии). Описать и исследовать класс частичных алгебр, определяющих полигонометрии.

Проблема 11 (проблема описания групп автоморфизмов полиго-нометрий). Описать и исследовать класс групп автоморфизмов по-лигонометрий.

Проблема 12 (проблема изучения свойств полигонометрических теорий). Изучить свойства и описать функции спектра теорий по-лигонометрий.

Проблема 13 (проблема существования ы-стабильных тригоно-метрий на проективной плоскости). Установить существование oj-стабильных тригонометрии групп без кручения на проективной плоскости.

Проблема 14 (проблема изучения тригоиометрий с функциями sin и cos). Исследовать тригонометрии с функциями sin и cos.

Проблема 15 (проблема изучения полигонометрий с условиями симметрии). Исследовать полигонометрии групп с условиями симметрии расстояний.

Проблема 16 (проблема изучения обобщенных полигонометрий). Исследовать класс обобщенных полигонометрий, соответствующих произвольному множеству матриц сторон и углов.

Проблема 17 (проблема изучения цветных полигонометрий). Охарактеризовать и исследовать полигонометрии с несущественными раскрасками точек.

Проблема 18 (проблема изучения структур с транзитивной группой автоморфизмов). Исследовать свойства теорий, наследуемых при транзитивных размещениях алгебраических систем.

Решению проблем 6−18 посвящены вторая и третья главы диссертации.

3. Обзор основных результатов. Текст диссертации, следующей за введением, разделен на три главы. Основные утверждения диссертации названы теоремами. Все утверждения занумерованы тройками индексов, из которых первые два индекса указывают на номер соответствующего параграфа, а третий — порядковый номер утверждения в этом параграфе. Нумерация примеров основана на том же принципе, но составлена независимо от нумерации утверждений.

Всюду в дальнейшем мы будем использовать обозначения и терминологию: по теории моделей из справочной книги по математической логике [21] (см. также книги С. С. Гончаров, Ю. JI. Ершов [3]- Ю. JI. Ершов [6]- Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин [7]- Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн [10];

Дж. Сакс [20]- С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова [26]- Дж. Болдуин [29]- А. Пилай [38]- Б. Пуаза [39]- С. Шелах [40]- Ф. Вагнер [41]) — понятия и обозначения по общей и универсальной алгебре из книги [17] (см. также книги В. А. Горбунов [4]- М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков [8]- А. И. Кокорин, В. М. Копытов [11]- А. Г. Пи-нус [19]- JI. А. Скорнянов [22]- А. И. Ширшов, А. А. Никитин [28]- П. Бурмейстер [32]) — систему геометрических и тригонометрических понятий из книг Ф. Картеси [9], Ж. Лелон-Ферран [15], Н. Н. Степанов [23] (см. также книги Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен [2]- X. Коксетер [12]- А. И. Ширшов, А. А. Никитин [28]- П. Дембовский [33]) — терминологию по теории графов из книги [14] (см. также книги О. Оре [18]- С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова [25]- Ф. Харари [27]).

В главе 1 изучаются вопросы, связанные с синтаксической харак-теризацией класса эренфойхтовых теорий. Центральной здесь является доказываемая в параграфе 1.1 теорема 1.1.13, представляющая синтаксическую характеризацию класса элементарных полных теорий с конечным числом счетных моделей и являющаяся аналогом теоремы Рыль-Нардзевского.

Через М, М,. (возможно с индексами) будут обозначаться бесконечные модели элементарных теорий, через М, N,. — их соответствующие носители. Тип кортежа, а в модели М будет обозначаться через tpм (а), а также через tp (a), если из контекста ясно, о какой модели идет речь. Множество всех типов теории Т над пустым множеством будет обозначаться через S (T) или S (0).

Тип р (х) € S (T) называется мощным или властным типом теории Т, если в любой модели М теории Т, реализующей тип р, реализуется любой тип q е S (T): М |= S (T).

Ясно, что наличие властного типа влечет малость теории Т, т. е. счетность множества S (T), что в свою очередь влечет существование для любого типа р? S (T) и любой его реализации, а простой модели Ма над а. Поскольку все простые модели над реализациями типа р изоморфны, эти модели обозначаются через Мр.

Пусть р и q — типы из S (T). Будем говорить, что тип р подчиняется типу q или р не превосходит q по предпорядку Рудина-Кейслера и писать р < Mq. При этом будем также говорить, что модель Мр подчиняется модели Mq или не превосходит модели Mq по предпорядку Рудина-Кейслера и писать Мр

Типы р ii q называются взаимоподчиняемыми, взаимореализуемы-ми или эквивалентными по Рудину-Кейслеру (р q), если Р.

Мр ~rk Mq).

Обозначим через RK (T) множество РМ типов изоморфизма моделей Мр (р € S (T)) с отношением подчинения, индуцированным отношением подчинения.

Элементарная цепь (Мп)пеш называется элементарной над типом Р {р € 5(Т)), если Мп — Мр для любого п е w. Модель М называется предельной над типом р, если М = (J Мп для некоторой пЕи элементарной цепи (Мп)пеи над типом р и М ф. Мр.

Для любого класса М 6 RK (T)/~^, состоящего из типов изоморфизма взаимоподчиняемых моделей МР1,., МРп, обозначим через IL (M) число попарно неизоморфных моделей, каждая из которых предельна над некоторым типом pi.

Теорема 1.1.13 Для любой счетной полной теории Т следующие условия эквивалентны:

1)1(Т, ш)<�и;

2) теория Т мала, |RK (T)| < а) и IL (M) < адля любого М 6 Ш (Т)/~цк.

При выполнении условия (1) (или (2)) теория Т обладает следующими свойствами: а) RK (T) имеет наименьший элемент Мо (тип изоморфизма простой модели) и IL (Mo) = 0- б) RK (T) имеет наибольший ~ш-класс Mi (класс типов изоморфизма всех простых моделей над реализациями властных типов), и из |RK (T)| >1 следует lL (Mi) > 1- в) если |М| > 1, то IL (M) > 1.

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула:

RK (T)/~™|-i 7(7″ = |RK (T)| +? IL (Mj), i=0 где Mq, ., М|кк (г)/~ЛА-|-1 — все элементы ч.у.м. RK (T)/~rk.

Будем говорить, что теория Т обладает свойством согласованного расширения цепей простых над кортежами моделей (СЕР), если для любого типа р Е S (T) любые две предельные модели М. и Л/" над типом р изоморфны. Заметим, что существование изоморфизма предельных моделей равносильно существованию элементарных цепей (Мп)пби и (Мг)пеш над типом р, удовлетворяющих следующим условиям:

1)М = [jMn, M= U К-, nEu n€ui.

2) существуют константные обогащения М’п+1 = (Мп+ъ с) сем^ и К+1 = (Мп+г, c) ceNп€ш, М'о = М0, Л/J = такие, что М’п+1 ~ К+ъ пеш.

На основании теоремы 1.1.13 справедлива следующая теорема для теорий, удовлетворяющих условию (СЕР).

Теорема 1.1.14. Пусть теория Т удовлетворяет (СЕР). Следующие условия эквивалентны:

1) Jp"< w;

2) теория Т мала и |RK (T)| < ш.

При этом справедливо следующее неравенство, которое превращается в равенство при |RK (T)/4rk | < 2;

7(7″ < |RK (T)| + |RK (T)/~^ 1−1.

Из теоремы 1.1.14 выводится синтаксическая характеризация класса теорий, имеющих ровно три счетные модели.

Следствие 1.1.15. Для любой полной теории Т следующие условия эквивалентны:

1) 7(7″ = 3;

2) теория Т мала, обладает (СЕР) и |RK (Т)| = 2. ?

В параграфе 1.2 определяются понятая несущественных и почти несущественных совмещений и раскрасок моделей, при которых типы кортежей при совмещениях определяются типами тех же кортежей, рассматриваемых в исходных моделях. Доказываются характеризации несущественности и почти несущественности совмещений.

Теорема 1.2.6. Пусть Т — совмещение Д,-базируемых теорий Т{, i = 1,2. Следующие условия эквивалентны:

1) совмещение Т несущественно;

2) теория Т (Дх U А>2)-базируема.

Теорема 1.2.7. Пусть Т — совмещение Дг-базируемых теорий i = 1,2. Следующие условия эквивалентны:

1) совмещение Т почти несущественно;

2) теория Т почти (Д1 U Дг)-базируема.

В этом же параграфе устанавливается, что при несущественных совмещениях и раскрасках моделей сохраняются свойства А-стабиль-пости и малости теории.

Теорема 1.2.8. ЕслиТ — почти несущественное совмещение теорий Т и Т-2, то теория Т Х-стабилъна (мала) тогда и только тогда, когда Х-стабилъны (малы) теории Т и Т^.

Теорема 1.2.12. Если Col — почти несущественная раскраска модели М мощности |Е (Л4)| + и, то теория Th ((A4,Col)) А-стабилъна (мала) тогда и только тогда, когда Х-стабильна (мала) теория Th (Ai).

В завершающей части параграфа 1.2 определяется понятие упорядоченной раскраски, приводится достаточное условие несимметричности отношения полуизолированности при наличии упорядоченной раскраски (предложение 1.2.13) и строится пример w-стабильной теории (пример 1.2.3), который показывает, что различные элементарные цепи над одним и тем же типом могут порождать неизоморфные предельные модели, и при этом образуется континуум попарно неизоморфных предельных моделей.

В параграфе 1.3 определяются понятия р-главного р-типа и редуцированности теории над типом и доказывается, что из отсутствия свойства строгого порядка в теории Т с неглавным властным типом р следует существование не р-главного р-типа и нередуцированность теории над типом р.

Пусть р (х) — тип из S (T). Тип q (xi,., xn)? S (T) называется п п, р)-типом, если q (xi,., xn) D |J p (xi). Множество всех (n, p) i=1 типов теории T обозначается через 5П-Р (Т), а элементы множества SP (T) ^ (J Sn-P (T) называются р-типами. Тип q (y) из S (T) Iianew^O} зываетсяглавным, если найдется формула ip (y) Е q (y) такая, что U{p (yi) yiey}U {ip (y)} Ь q (y).

Пусть М. — счетная насыщенная модель теории Т, имеющей предикатную сигнатуру. Рассмотрим индуцированную системой М подсистему р (М) = (р (М)-Е (Т)) сигнатуры £(Т) теории Т с носителем р (М) = {а е М | р (а)} и отношениями R (p (M)) = R (M) П (p (M))rtR R е Е (Т). Обозначим через Тр теорию Th (р (М)).

Теория Т называется редуцированной над типом р, если теории Т и Тр допускают элиминацию кванторов.

Предложение 1.3.5 Если р (х) — неглавный властный тип теории Т, не имеющей свойство строгого порядка, то |?>2,р (Т)| = и.

Теорема 1.3.6. Если Т — теория, не имеющая свойства строгого порядка, р (х) — неглавный властный тип, то морлизация Т* теории Т не редуцирована над типом р*.

В этом же параграфе приводится пример а>-стабильной теории, имеющей нер-главный^тип, реализующийся в модели Мр (пример 1.3.1).

В параграфе 1.4 определяется понятие властного орграфа, устанавливается связь властных орграфов с властными типами (предложения 1.4.1 и 1.4.2), дается описание структуры транзитивных замыканий насыщенных властных орграфов, образующихся в моделях теорий с неглавными властными 1-типами при условии конечного числа неглавных 1-типов (теорема 1.4.3), и доказывается, что структура властного орграфа, рассматриваемая в модели простой теории, индуцирует бесконечный вес (предложение 1.4.6). Приведем в этой связи определение властного орграфа и формулировку теоремы 1.4.3.

Счетный бесконтурный орграф Г = (X, Q) называется властным, если выполняются следующие условия: а) группа автоморфизмов орграфа Г транзитивнаб) формула Q (x, у) эквивалентна в теории ТЬ (Г) дизъюнкции главных формулв) acl ({a}) П |J Qn (T, а) = {а} для любой вершины a G X) г) Г = Ух, y3z (Q (z, x) AQ (z, у)) (свойство попарного пересечения).

Теорема 1.4.3. Пусть Г = (XQ) — насыщенный властный орграф, в котором acl ({a}) П |J Qn (a, T) = {а} для любого, а? X.

Тогда его транзитивное замыкание ТС (Г) = изоморфно направленному вниз множеству с транзитивной группой автоморфизмов и имеющему один из следующих порядков:

1а) плотный частичный порядок с максимальными антицепями, содержащими, а элементов, а? (w + 1) {0};

2) частичный порядок с бесконечным числом покрывающих элементов для любого элемента.

В параграфе 1.5 определяется понятие генерического класса, а также синтаксический способ построения генерической модели. Устанавливается существование генерической модели (теорема 1.5.2), а также показывается, что синтаксический подход обобщает подход семантический (теорема 1.5.3). Определяется понятие самодостаточного ге-нерического класса, устанавливается свойство конечного замыкания для класса моделей теории генерической насыщенной модели, порожденной самодостаточным классом (следствие 1.5.6), приводятся критерии насыщенности генерической модели (теорема 1.5.7), доказывается существование самодостаточных замыкаиий (теорема 1.5.8), а также однородность генерической модели, порожденной самодостаточным классом (следствие 1.5.9). Определяется понятие наследственного класса и показывается, что любая счетная однородная модель порождается некоторым наследственным классом (теорема 1.5.10), а, значит, любая полная счетная теория является генерической (следствие 1.5.11). Устанавливается критерий малости теории (теорема 1.5.12), критерий вложимости одной счетной однородной модели в другую на языке гснерических классов (теорема 1.5.13). Определяется свойство однородного амальгамирования генерического класса То и доказывается, что это свойство при условии конечных замыканий влечет насыщенность генерической модели, а также А (То)-базируемость генерической теории, где, А (То) — множество формул, которые получаются навешиванием кванторов существования на конъюнкции формул, определяющих типы порождающего самодостаточного класса (теорема 1.5.14). Замечается, что в условиях теоремы 1.5.14 проверка свойств формул, сохраняющихся при переходе к булевым комбинациям, сводится к проверке свойств формул из множества, А (То) (следствие 1.5.15). В частности, если стабильны формулы, входящие в множество, А (То), то генерическая теория является стабильиой (следствие 1.5.16).

Приведем формулировку основной теоремы параграфа 1.5:

Теорема 1.5.14. Если (То-^) — самодостаточный класс, обладающий свойством однородного t-амальгамирования, и класс К имеет конечные замыкания, то (То- -генерическая модель М со-насы-щена. При этом любое конечное множество, А С М расширяется до своего самодостаточного замыкания, А С М, тип tp (A) содер-oicum тип Ф (У) для самодостаточного типа Ф (А) и выполняется.

Ф (У) h tp (I).

В параграфе 1.6 на основе синтаксической генерической конструкции и несущественной упорядоченной раскраски бесконтурного орграфа строится пример генерического властного орграфа, имеющего неограниченные длины кратчайших маршрутов и допускающего обогащение до структуры неглавного властного типа.

Теорема 1.6.3. Существует счетный цветной насыщенный орграф М? Kg, удовлетворяющий вместе со своей теорией Tq следующим условиям:

1) если f: А -«с М, g: А -«с В — с-влоэ/сения и В G Kg, то существует с-вложение h: В -«с М такое, что f = g о h;

2) если, А и В — с-изоморфные с-подграфы орграфа М, то tpM (A) = tp м (В);

3) раскраска обеднения М Q модели М до графовой сигнатуры Е = {Q} несущественна и Q-упорядочена;

4) формула Q (x, у) является главной формулой в теории Th (.M f.

Q).

В параграфе 1.7 приводятся генерические конструкции обогащений теории из параграфа 1.6, в которых любой неглавный тип является властным.

Теорема 1.7.4 Существует малая теория Т, обогащаюищя теорию То и удовлетворяющая условию |RK (T)| = 2.

В параграфе 1.8 дается генерическая конструкция обогащения теории из параграфа 1.7, имеющего ровно три счетные модели:

Теорема 1.8.8. Существует полная теория Т, обогащающая ге-нерическую теорию То и удовлетворяющая условию /(Г, ш) = 3.

В параграфе 1.9 на основе генерических конструкций из параграфов 1.6 — 1.8 приводятся конструкции, реализующие всевозможные основные характеристики полных теорий с конечным числом счетных моделей:

Теорема 1.9.1. Для любого конечного предупорядоченного мно-лсества (X, <) с наименьшим элементом Хо и наибольшим классом х в упорядоченном фактор-множестве (Х,<)/~ по отношению ~ (где х ~ у х < у и у < х), а также для любой функции f: Х/~ -" и, удовлетворяющей условиям /(£о) = О, f (xi) > 0 при Х > I, f (y) > 0 при у > 1, существует полная теория Т и изоморфизм g: (X, <)^RK (T) такой, что IL (g (y)) = f (y) для любого у € Х/~.

В параграфе 1.10 устанавливаются аналоги теорем 1.1.13 и 1.9.1 для малых теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера (теоремы 1.10.1 и 1.10.3).

Теорема 1.10.1. Для любого конечного предупорядоченного множества (X, <) с наименьшим элементом хо и наибольшим классом х в упорядоченном фактор-множестве (X, <)/ ~ по отношению ~ (где х ~ у х < у и у < х), а также для любой функции f: X/r-j —> lj U {cj, 2Ш], удовлетворяющей условиям f (xo) = О, f (xi) > О при Х > 1, /(у) > О при у > 1, существует полная малая теория Т и изоморфизм g: (X, <) —> RK (T) такой, что lL (g (y)) = f (y) для любого у? Х/~.

Теорема 1.10.3. Любая полная малая теория Т с конечным пред-порядком Рудина-Кейслера удовлетворяет следующим условиям: а) система RK (Т) имеет наименьший элемент Мо (тип изоморфизма простой модели) и IL (Mo) = 0- б) система RK (Т) имеет наибольший класс Mi (класс типов изоморфизма всех простых моделей над реализациями властных типов) и из |RK (T)| > 1 следует IL (Mi) > 1- в) если |М| > 1, то IL (M) > 1.

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула: ш (т)/~як-1 ^.

7″ = |RK (T)|+? IL (Mf), i=о где Мо,., — осе элементы ч.у.м. RK (T)/~RK и.

IL (Mj) 6 cj U {oj, cui, 2W} для любого i.

В параграфе 1.11 представляется описание всевозможных предпо-рядков Рудина-Кейслера в малых теориях:

Теорема 1.11.1.1. Для любой малой теории Т предупорядоченное множество RK (T) не более чем счетно, направлено вверх и имеет наименьший элемент.

2. Для любого не более чем счетного предупорядоченного направленного вверх мноэюеетва (X, <), имеющего наименьший элемент, существует малая теория Т, для которой RK (T) ~ (X, <).

В параграфе 1.12 показывается, что наряду с получающимся при доказательстве теоремы 1.6.3 властным орграфом, соответствующим условию (1ш) теоремы 1.4.3, существуют две модификации основной конструкции, в первой из которых властный орграф соответствует условию 2 теоремы 1.4.3 (теорема 1.12.2), а вторая конструкция позволяет построить властный тип без властного орграфа (теорема 1.12.5).

Теорема 1.12.2 Существует счетный цветной насыщенный ор

Л. граф М 6 К, удовлетворяющий следующим условиям:

1) если f: A Yq, М, д: А —В — с-вложения и В G Крmo существует с-вложение h: В М такое, что f = д о h;

2) если АиВ — с-изоморфные с-подграфы орграфа М, то tp^(A) = tp м{В);

3) раскраска обеднения Mq модели М. до графовой cu2Hamijpu Е =.

А А.

Q} несущественна и Q-упорядочена;

Л А.

4) формула Q (x, y) эквивалентна в теории Th (A4|^) дизъюнкции двух главных формул Q$(x, y) и Q (x, y).

Теорема 1.12.5. Существует счетный цветной насыщенный орграф М. G Кудовлетворяющий следующим условиям:

1) если f: А —>¦cv М, g: АЬсю В — су-влоэ/сения и В € Kg? то существует си-влоэюение h: В —>а, М. такое, что f = go h;

2) если АиВ — си-изоморфные cv-подграфы орграфа М, то tp^(A) = tp м (В);

3) раскраска обеднения М^ модели М до графовой сигнатуры ^ — (Qo, Q1? • • •) Qm • • •) несущественна и Qn-упорядочена для као/с-дого п G и;

4) munpooix) обладает локальным свойством попарного пересечения, но не имеет глобального свойства попарного пересечения.

А v.

Генерические модели М и М расширяются до моделей, теории которых имеют заданный предпорядок подчинения и заданную функцию распределения числа предельных моделей.

В главе 2 определяются различные понятия полигонометрий и три-гонометрий групп, обосновывается связь тригонометрий с властными орграфами и представляются различные алгебраические и теоретико-графовые свойства полигонометрий.

Понятия полигонометрии и тригонометрии группы с особым элементом и первоначальные примеры таких полигонометрий и тригонометрий (примеры 2.1.1 и 2.1.2) приводятся в параграфе 2.1. В этом же параграфе доказывается, что любой орграф, индуцируемый бесконтурной тригонометрией, является властным (предложение 2.1.1). Кроме того устанавливаются критерии существования полигонометрий (теоремы 2.1.3 и 2.1.4), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 2.1.5), критерий существования тригонометрии (теорема 2.1.6). Замечается, что в отличие от классических тригонометрий в тригоно-метриях групп имеет место неоднозначность параметров треугольников по трем сторонам (предложение 2.1.8).

Система V = (Р, L, I), где Р — множество точек, L — множество линий, I С Р х L — отношение инцидентности, называется точной (Ai, А2)-псевдоплоскостъю, где Ai, Л2 — некоторые кардиналы, если выполняются следующие предложения:

VpEP 3=Ai/el /(р,/), v/el з=Л2рер /(р,/),.

Vpi^P2eP 3*4 eL (/(pi,/)a/(p2,/)), Щф12еь з^реР (i (p, h) M (p, i2))•.

Здесь 3=л означает «существует ровно А», а З-1 — «существует не более одного» .

Точная (Ai, А2)-псевдоплоскость V называется плоскостью, если выполняется Vpi ф P2 Е Р 3=Ч Е L (/(рх, Z) Л/(р2,0) — Плоскость Р называется проективной плоскостью, если V/i ф I2 Е L 3=1р Е Р (7(р, 1) А/(р, /2)). Точная (Ai, А2)-псевдоплоскость называется точной Х-псевдоплоскостыо, если Ai = А2 = А.

Пусть G — группа, до — неединичный элемент группы G. Система (G, V, до) (обозначаемая через pm (G, V, до)) называется полигономет-рией группы G с особым элементом до на точной С-псевдоплоскости V = (Р, L, е), если выполняются следующие условия: а) для любой линии I Е L группа G действует точно траизитивно на множестве I, т. е. ре = р, [pg)g2 = p{9i92), Р? gi, g2 € G, и для любых точек р', р" Е I существует ровно один элемент g Е G такой, что р" = р’дб) для любых точек pi, p2 Е Р и линий I1J2? L, если р Е li и Р2? /2, то существует такая биекция /: Р -> Р, что i) /(Pi)=P2, /(У = '2- ii) множество /(/) принадлежит множеству L для любой линии.

I? L, и /({/ | р Е 0) = О I /(р) е 0 Для ЛК) бой точки р € Рiii) для любой линии I? L и любых точек р', р" € если р" = р’д на /, то /(р") = f (p')g на /(f) — в) для любой точки р Е Р множество р «j^ {У | р' = Р9о па некоторой линии /} является линией и отображение р Е Р р L осуществляет биекцию между Р и L.

Отметим, что термин «полигоиометрия» определяет класс описанных выше объектов более точно, чем использованный в ранних работах автора термин «тригонометрия». Указанная замена терминологии произведена по предложению Е. А. Палютина.

Полигоиометрия pm (G, V, go) называется тригонометрией группы G с особым элементом до, если V — плоскость. Тригонометрия pm (G, V, go) будет обозначаться через trm (G, V, go).

Предложение 2.1.1. Если Тдо = (РQgo) — особый граф до-бескон-гпурной тригонометрии trm = trm ((7, (Р, L, £), до), тпо Тдо — властный орграф.

Теорема 2.1.3. Пусть до — неединичный элемент группы G, А — некоторое множество G-треугольников. Следующие условия эквивалентны:

1) множество, А является go-согласованным;

2) на некоторой точной С-псевдоплоскостиТ существует поли-гонометрия pm (G, V, go) такая, что, А = S3(G, V, go).

Теорема 2.1.4. Пусть до — неединичный элемент группы G, S — некоторое мнооюество G-многоугольников. Следующие условия эквивалентны:

1) S — go-полигонометрическое мносисество;

2) на некоторой точной G-nceedonAOCKOcmuV существует поли-гонометрия pm (G, V, go) такая, что S = S (G, V, go).

Теорема 2.1.5. Следующие условия эквивалентны:

1) pm (G, Vhgo)^pm (G, V2, go);

2) S (G, Vhg0) = S (G, V2, g0) и c (Pi) = c{V2).

Теорема 2.1.6. Если V — связная псевдоплоскость и тройка (G, V, go) образует полигопометрию, то следующие условия эквивалентны:

1) S^(G, V, go) — до-предполпое (go-полное) множество;

2) V — (проективная) плоскость.

Предложение 2.1.8. Пусть trm = trm (G, V, go) — тригонометрия на плоскости V с особым элементом до, у которого ф е. Тогда найдутся G-треугольники г Ь 01 ] € S3[G, V, go), i = 1,2, та.

Pi 7 г J кие, что, а = а2 ф е, = Ь2 Ф е, с = с2 Ф е и a>i ф а2.

В параграфе 2.2 доказывается существование тригонометрии свободной Л-порожденной группы F (где Л — произвольный бесконечный кардинал) на проективной плоскости (теорема 2.2.1), устанавливается максимальное число таких тригонометрий (теорема 2.2.2) и показывается существование тригонометрии, имеющей властный орграф (следствие 2.2.4). Кроме того доказываются теорема о расширении полигонометрии подгруппы до полигонометрии группы (теорема 2.2.5), теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы GxF для любой группы G и подходящей мощности Л (теорема 2.2.7) и теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы G х, А для любой группы G и подходящей абелевой группы, А (теорема 2.2.8).

Теорема 2.2.1. Для любого >ш группа F имеет тригонометрию па некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.2. Для любого X > ш группа Fu имеет 2Л тригонометрий на проективной плоскости.

Следствие 2.2.4. Существует тригонометрия, имеющая властный особый орграф.

Теорема 2.2.5. Если подгруппа Н группы G имеет полигономет-рию на точной Н-псевдоплоскости Vh, то группа G имеет тригонометрию на некоторой точной |G|-псевдоплоскости, расширяющей псевдоплоскость Vh.

Теорема 2.2.7. Для любой группы G группа G х F (g)> где A (G) = max{|(j|, a-}, имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.8. Для любой группы G группа G х А, где, А = А1 ©? Ai} где А. г <Е {Z2,Z3,Z}, А{? Щ U {Ъп | 2 < п < си}, i<(G).

X (G) = тахЦС?!, А}- имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

В параграфе 2.3 устанавливается критерии вложимости одной полигонометрии в другую (теоремы 2.3.1 и 2.3.3), критерий вложимости полигонометрии в тригонометрию на проективной плоскости (теорема 2.3.8), необходимое условие совместного вложения полигонометрий (предложение 2.3.10).

Теорема 2.3.1. Пусть G — неединичная подгруппа группы G2, V — связная точная С\-псевдоплоскость. Следующие условия эквивалентны:

1) полигонометрия pm (Gi, Vi, go) вложима в полигонометрию (2)S (GhVhgo) = S (G2,V2,go)G1.

Теорема 2.3.3. Пусть G — неедииичная подгруппа группы G2. Следующие условия эквивалентны:

1) полигонометрия pm (Gi, Vi, go) вложима в полигонометрию pm (G2,V2,go)].

2) S ((?i, Vi, go) = S{G2,V2,go) G, и число c{V) не превосходит числа c (V'i) для любой максимальной Gi-подполигонометрии pm (C?i, V’i, go) полигонометрии pm (G2, V2, go).

Теорема 2.3.8. Пусть pm = pm (G, V, go) — некоторая (go-бес-контурная) полигонометрия, имеющая не более А (рт) компонент связности. Следующие условия эквивалентны:

1) полигонометрия рт вложима в некоторую {до-бесконтурную) тригонометрию рт' группы G * -Ра (рш) на проективной плоскости;

2) полигонометрия рт не содержит h.p.-многоугольников.

Предложение 2.3.10. Если полигонометрии ртг и рт2 соответствующих им групп G и С?2 вложимы в некоторую полигонометрию рт3 группы содерэ/сащей Gi и G.

В параграфе 2.4 определяются понятия полигонометрии и тригонометрии пары групп, объединяющие понятия полигонометрии и тригонометрии группы, а также классические тригонометрии. Приводятся примеры, интерпретирующие полигонометрии пар групп в виде классических тригонометрий. Аналогично полигонометриям групп устанавливаются критерии существования полигонометрии (теоремы 2.4.1 и 2.4.2), изоморфизма полигонометрий (теорема 2.4.3), существования тригонометрии (теорема 2.4.4), вложимости одной полигонометрии в другую (теорема 2.4.6), теорема о расширении полигонометрии с пары подгрупп на пару групп (теорема 2.4.9), критерий вложимости полигонометрии в тригонометрию на проективной плоскости (теорема 2.4.10), теорема о совместной вложимости полигонометрий (теорема 2.4.11), предложение о вложимости любой полигонометрии пары групп в полигонометрию группы (предложение 2.4.12)..

В параграфе 2.5 определяются понятия гомоморфизма полигонометрий и фактор-полигонометрии и приводится полигонометрический аналог теоремы о гомоморфизмах (теорема 2.5.1)..

В параграфе 2.6 определяются полигонометрические аналоги операций над графами, показывается, что любая связная полигонометрия получается некоторой факторизацией древесной полигонометрии (следствие 2.6.4), а также доказываются критерии вложимости цветного графа в полигонометрии:.

Теорема 2.6.6 Пусть Г = (М, (Ri | i € /)) — цветной граф с попарно различными отношениями и без петель. Следующие условия эквивалентны:.

1) граф Г вложим в некоторую полигонометрию пары групп-.

2) граф Г вложим в некоторую тригонометрию группы-.

3) граф Г вложим в некоторую тригонометрию группы G = *гел (^2)г * F, где (bi)i — копия группы z2- F — свободная X-порожденная группа, А = |Г| + ш-.

4) для любых дуг (ai, 6i), (a2,62)? Qi we существует цвета j ф i в Г, и если (bi, a)? Qj, то (62²)? Qj.

В параграфе 2.7 приводятся критерии для конечных полигонометрий (предложения 2.7.1 и 2.7.2), примеры серий конечных полигонометрий и описание полигонометрий малого порядка..

В главе 3 изучаются алгебраические системы и элементарные теории, связанные с полигопометриями групп. В параграфе 3.1 определяется аксиоматизируемый класс частичных алгебр, соответствующих нолигонометриям (класс полигонометрических алгебр). На языке этих алгебр приводятся критерий существования полигонометрий (теорема 3.1.1), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 3.1.3), доказывается теорема о подобии теории класса полигонометрических алгебр над проективными плоскостями конечно аксиоматизируемой теории (теорема 3.1.10), исследуются вопросы замкнутости класса полигонометрических алгебр относительно операций над частичными алгебрами (предложения 3.1.11 и 3.1.12), а также изучается связь категории гомоморфизмов полигонометрий с категорией гомоморфизмов полигонометрических алгебр (предложениеЗ.1.14)..

Теорема 3.1.1. Пусть Л — некоторая частичная алгебра, определенная на носителе G U G2- Следующие условия эквивалентны:.

1) А является полигонометрической алгеброй над парой групп (GhG2) —.

2) на некоторой точной (|Gi|, IG2I)-псевдоплоскости V существует полигонометрия pm (Gi, G2, V) такая, что, А = Д (рт)..

Теорема 3.1.3. Следующие условия эквивалентны:.

1) pm (GhG2,V)~pm (GhG2,V) —.

2) A (pm (GhG2,V)) = A (pm (GhG2,V')) и c (V) = c (V)..

Теорема 3.1.10. Теория класса всех тригонометрических алгебр над проективной плоскостью подобна конечно аксиоматизируемой теории класса всех проективно тригонометрических алгебр..

Предложение 3.1.11. Класс проективно тригонометрических (соответственно полигонометрических) алгебр с каждой алгеброй, А содержит любую ее замкнутую подалгебру и фактор-алгебру..

Предложение 3.1.12. 1. Класс полигонометрических алгебр замкнут относительно свободных произведений..

2. Алгебры Д (рт) и Д (рт') влоэюимы в свободное произведение Д (рт * рт')..

3. Гомоморфный образ свободного произведения Д (рт * рт') изоморфен свободному произведению соответствующих фактор-алгебр полигонометрических алгебр Л (рт) и Л (рт')..

Предложение 3.1.14. 1. Отображение Л является функтором из категории в категорию К.

2. Если рт, рт' — связные тригонометрии, Тр: Д (рт) —> Л (рт') — гомоморфизм, то Тр = Л{ф) для некоторого гомоморфизма (р: рт —> рт'..

3. Если (р: рт —> рт'- ф: рт —> рт' — гомоморфизмы категории и Л ((р) = Л (ф), то существует автоморфизм х '¦ рт'-^рт' такой, что ф = Х' (Р.

В параграфе 3.2 изучаются группы автоморфизмов полигонометрий. Приводится описание группы автоморфизмов данной полигонометрии на языке порождающих элементов и определяющих соотношений (теорема 3.2.4), а также описание класса групп автоморфизмов полигонометрий (теорема 3.2.15)..

Теорема 3.2.4. Если GN (S) — полигонометрическое множество, задающее полигонометрию pm = pm (Gi, G2, V) с с (рт) компонентами связности, то.

Aut (pm) GhG2 || RhR2, aaa20i2 • • • anttn.

GS) iS c (pm).

При этом, если c (pm) = 1, то группа G изоморфна стабилизаторам линий, a G2 — стабилизаторам вершин..

Теорема 3.2.15. Группа G изоморфна группе автоморфизмов некоторой полигонометрии пары групп (Gi,^) тогда и только тогда, когда G изоморфна некоторой группе Gq г с некоторым кардиналом, удовлетворяющей следующим условиям: а) G < Go, G2 < Go, Gx П G2 = {e}- б) группа Go порождается множеством G u G2- в) если aio-i. йп^п^п-^п-^п^п = ей ai^i. an^n^n-i^n-i a’na’n = e, a*? Gfi{e}, а{ E Сгг{е}, 1 < i < n, n > 3, mo ani = a’nb an — an — anг) если aa. a: n2an2a-niania-nan = eu aai. an-2an2Q-n-i"n-i a’na’n = e, щ E Ci{e}, E G2{e}, 1 < i < n, n > 3, mo an-i = a’nb an — anl — an> д) если aia^^a3³ = e, aj E G, щ E G2, 1 < i < 3, и аз = e, mo °>i — a2 = e или <^1 = eе) если aaa2a2a^az = e сч E G, агE G2, 1 < i < 3, и a = e, mo а2 = аз = е или аз = е..

В параграфе 3.3 на языке групп автоморфизмов охарактеризован класс полигонометрий групп (теорема 3.3.1), а также условие определимости полигонометрии пары групп в алгебраической системе (предложение 3.1.2)..

Теорема 3.3.1. Полигонометрия pm = pm (Gr, G, (P, L, ?)) является полигонометрией группы G с некоторым особым элементом тогда и только тогда, когда найдется точка р 6 Р, линии I'? L, для которых выполняются следующие условия: а) р#1,ре /', ШГф 0- б) стабилизатор точки р совпадает со стабилизатором линии I..

В параграфе 3.4 определяется понятие полигонометрической теории, приводятся свойства полигонометрических теорий (предложения 3.4.1, 3.4.2, 3.4.4- теоремы 3.4.11 и 3.4.12), параметризация формул и типов в полигонометрических теориях (предложения 3.4.6 — 3.4.9)..

В параграфе 3.5 описываются спектральные функции теорий всюду конечно определенных полигонометрий, т. е. полигонометрий, имеющих конечное число различных наборов параметров нетривиальных n-угольников для каждого п..

Теорема 3.5.4. Пусть Т — теория бесконечной всюду конечно определенной полигонометрии pm = pm (Gri, G2, V). Тогда.

1) I (T, А) = 1 для любого >ш, если Gi, G2 — конечные группы и d (pm) < оо-.

2) 1(Т, ш) = и и /(Т, А) = 1 для любого, А > и, если G, G2 — конечные группы и d (pm) = оо-.

3) I (T, u-a) = (max (Gi, G2, a))U}, если и < max (|.

В параграфе 3.6 доказывается обобщение теоремы 3.5.4 для теорий, любая модель которых представляется в виде ациклического гиперграфа минимальных простых моделей и обладающих свойством расширения изоморфизмов семейств минимальных простых моделей. Класс таких теорий обозначается через.

Теорема 3.6.2. Любая теория Т из класса Tfi удовлетворяет одному из следующих условий:.

1) 1 < d{T) < 2, /(Т, Т) = а + ш, где Т = иа, и /(Г, А) — 1, если, А > Т-.

2) d (T) = оо, Т — тотально трансцендентная теория бесконечного ранга Морли и 1(Т, ша) = (max (Ao, |o-|))w, где Aq — число точек сочленения минимальной простой модели, лежащей в Т±насыщенной модели теории Т, ша > Т..

В параграфе 3.7 с помощью модификации конструкции Хрушовско-го доказывается существование w-стабилыюй тригонометрии группы G * Fu на проективной плоскости для любой счетной группы G..

Теорема 3.7.35. Для любой счетной группы G и свободной счетно порожденной группы существует ш-стабильная тригонометрия группы G * Fu на проективной плоскости..

В параграфе 3.8 определяется понятие тригонометрии пары групп с функциями sin и cos (SC-тригонометрии) и устанавливаются следующие теоремы..

Теорема 3.8.1. Теория класса всех тригонометрических алгебр, соответствующих правильным SC-тригонометриям (со свойством подобия), подобна конечно аксиоматизируемой теории..

Теорема 3.8.2. Любая тригонометрия пары (кольцо с единицей, группа) влоэюима в некоторую SC-тригонометрию..

В параграфе 3.9 определяется понятие полигонометрии пары групп с условием симметричности расстояний на линиях и переносятся теоремы о полигонометриях на симметричный случай..

В параграфе 3.10 определяются понятия обобщенных и нечетких полигонометрии, позволяющие рассматривать произвольное замкнутое множество матриц сторон и углов (SA-матриц) в виде множества наборов параметров многоугольников некоторой обобщенно полигоно-метрической системы, а также устанавливать вероятностные значения параметров многоугольников по системам определяющих параметров. В этом параграфе приводятся следующая теорема о существовании обобщенной полигонометрии, соответствующей заданному замкнутому множеству SA-матриц (теорема 3.10.1), теорема о включении обобщенных полигонометрий во властные орграфы (теорема 3.10.3), а также вероятностный аналог теоремы 3.10.1 (теорема 3.10.5)..

Теорема 3.10.1. Для любого замкнутого мноэюества SA-матриц S над парой групп (C?i, G2) существует обобщенная полигоиометрия gpm = gpm (Gi, G2, V), для которой S (gpm) = S..

В параграфе 3.11 определяется понятие цветной полигонометрии и доказывается критерий несущественности раскраски произвольной полигонометрии, вложимой в тригонометрию (теорема 3.11.1). Кроме того, устанавливается, что несущественность раскраски порождает так называемую группу цветопостоянства, сохраняющую цвета элементов при действиях этой группы на линиях..

Теорема 3.11.1. Пусть Col — раскраска не имеющей h.p.-многоугольников связной полигонометрии pm = pm (G, V, до) бесконечной группы G. Следующие условия эквивалентны:.

1) Col — внутренне несущественная раскраска-,.

2) выполняются следующие условия: i) для любых точек р и р2 если Col (pi) = Со (р2) и Si — {pi, p'i)-маршрут, то существует точка р'2 такая, что некоторый (р2,р2)-маршрут S2 имеет те же параметры сторон и углов, что и маршрут Si, и при этом Col^) = Col (p'2) — ii) для любых точек Pi, P2, P3,Pi, P2>P3 если Pi Ф Р2> Col (pi) = Col^'j), Col (p2) = Со1(У2) и существует (pi, p2)-маршрут Si, {р2,рз)~ маршрут S2, {p'i, p2)-маршрут S^ и (р'2, р'%)-маршрут S'2 такие, что маршруты Siл S2 и S[" S'2 имеют одинаковые параметры сторон и углов, то Со1(рз) = Со1(рз)..

В параграфе 3.12 определяются размещения алгебраических систем на свободных псевдоплоскостях, имеющие транзитивные группы автоморфизмов и описываются функции спектра для соответствующих теорий Т*, порожденных теориями Tj, i G ш:.

Теорема 3.12.7. Функция спектра теории Т* имеет следующий вид:.

1(Т*, сио) = если TJ, i Е ш — счетно категоричные теории, не индуцирующие новых счетных систем, и 1(Т*, о>о) = 2W° в противном случае-.

1(Т*, и>а) = (Аа)ш при, а > 1, где Ха — кардинал, равный максимуму из + числа моделей теорий Ti мощности < а и числа новых систем теорий Ti мощности < а..

Результаты диссертации были представлены на Девятой Всесоюзной конференции по математической логике (Ленинград, 1988), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991; Красноярск, 1993; Москва, 1998; Москва, 2004; Екатеринбург, 2005), на Советско-Французском коллоквиуме по теории моделей (Караганда, 1990), на Суслинских конференциях (Саратов, 1991, 1994), на XI Межреспубликанской конференции по математической логике (Казань, 1992), на Казахско-Французских коллоквиумах по теории моделей (Алма-Ата, 1994; Караганда, 2000), на Международных конференциях по математической логике памяти А. И. Мальцева (Новосибирск, 1994, 1999, 2001, 2004), на Летней школе по теории моделей и универсальной алгебре (Эрлагол, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005), на Корейско-Российском Международном симпозиуме по Науке и Технологии (Ульсан, 1997), на Летней школе по универсальной алгебре и упорядоченным множествам (Велке Карловице, Чехия, 1998), на Международном семинаре «Универсальная алгебра и ее приложения» (Волгоград, 1999), на Международной конференции, посвященной 60-летию со дня рождения академика Ю. Л. Ершова (Новосибирск, 2000), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002), на Научных сессиях НГТУ (Новосибирск, 2003, 2005, 2006), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета (Москва, 2004), на Международной конференции «Алгебра, логика и кибернетика» (Иркутск, 2004), на Французско-Казахстанской конференции «Теория моделей и алгебра» (Астана, 2005), на Девятой Азиатской логической конференции (Новосибирск, 2005), на Международной алгебраической конференции к 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шев-рина (Екатеринбург, 2005), на Международной конференции «Методы логики в математике III» (Санкт-Петербург, 2006), на Международной школе «Теория моделей и ее применения в компьютерной науке» (Алма-Ата, 2006), на Российской школе-семинаре «Синтаксис и семантика логических систем» (Иркутск, 2006)..

Автор выступал с докладами о результатах диссертации на заседаниях семинаров в Новосибирске (семинар «Теория моделей», 19 872 006; семинар «Алгебра и логика», 1993, 1995, 2001; семинар «Теория групп», 1999; семинар «Эварист Галуа», 2002; семинар «Теория вычислимости», 2005; Общеинститутский математический семинар ИМ СО РАН, 2005), в Москве (1991, 2000, алгебраический семинар МГУ), в Париже, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Лионе, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Екатеринбурге (2003, семинар «Алгебраические системы»), в Урбане, США (2004, семинар по теории моделей), в Чикаго, США (2004, семинар по теории моделей)..

Основные результаты опубликованы в работах [60]-[79], [207]-[212], [232]—[251]- часть из них включена в учебник С. В. Судоплатова и Е. В. Овчинниковой [26]..

Автор выражает глубокую благодарность своему Учителю Евгению Андреевичу Палютину за внимание, проявленное к работе, конструктивную критику и постоянную поддержку, без которых появление данной диссертации было бы вряд ли возможным..

Автор глубоко признателен за большую помощь и поддержку заведующему кафедрой алгебры и математической логики НГТУ Александру Георгиевичу Пинусу..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключение сформулируем некоторые открытые вопросы и проблемы, связанные с эренфойхтовыми теориями и полигоиометриями групп..

1. (Проблема Лахлана для стабильных теорий) Существует ли стабильная эренфойхтова теория?.

2. (Проблема Лахлана для простых теорий) Существует ли простая эренфойхтова теория?.

3. (Проблема Пилая) Существует ли эренфойхтова теория Т с условием dcl (0) f= Т?.

4. Описать властные орграфы, обогащаемые до структур неглавных властных типов..

5. Имеют ли генерические теории, построенные в параграфах 1.8 — 1.10, свойство строгого порядка?.

6. Существует ли бесконтурная тригонометрия trm некоторой группы на плоскости, теория особого графа которой мала и стабильна?.

7. Существует ли тригонометрия группы Z на проективной плоскости?.

8. Существуют ли полигонометрии групп Ър (где р — простое число, р > 5) с особыми элементами?.

9. Существуют ли две конечные полигонометрии, не вложимые в некоторую общую конечную полигонометрию ?.

10. Будет ли любой конечный граф вложим в некоторую конечную полигонометрию ?.

И. Проблема классификации конечных полигонометрий и проблема описания числа связных конечных полигонометрий рт = pm ((ji, G2," P) как функции, зависящей от |Gi|, |С?2| и d (pm)..

12. Какие свойства универсальных алгебр могут быть проинтерпретированы в виде свойств частичных алгебр, ассоциированных с полигонометриями пар групп?.

13. Проблема классификации групп автоморфизмов конечных полигонометрий..

14. Проблема описания функций спектра полигонометрических теорий..

15. Существует ли тригонометрия пары (коммутативное кольцо с единицей, группа), обладающая свойством подобия и не вложимая ни в какую SC-тригонометрию со свойством подобия ?.

16. Исследовать класс конечных полигонометрий с условиями симметрии..

17. Найти критерии изоморфизма и вложимости для обобщенных полигонометрий..