Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы с весом для классов функций малой гладкости

Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важным является следующая оптимизационная задача теории квадратур. Рассматривается квадратурная формула f (t)q (t)dt =? Pkf (tk) + Rn (f', g, Р, Г) (0.1) а ' к—1 в которой весовая функция q (t) > 0 на отрезке [а, Ь и интегрируема (может быть, в несобственном смысле) по Риману, Р = {рк} - вектор коэффициентов, Т = {tk: а < t < t2 <. < tn-1 < tn < 6} - некоторый вектор узлов, а Rn (f-, q: P, T) — погрешность квадратурной формулы (0.1) на функции f (t).

Если Ш — некоторый класс функций {/(?)} заданных и определенных на [а, 6], то через.

Rn (Tl] q, Р, Т) = sup и п.

I f{t)q (t)dt —? pkf (tk) а к=1 fern обозначим погрешность квадратурной формулы (0.1) на классе 9Я. Задача состоит в отыскании следующих величин sn (m-q7T) = MRn (m-q, р, г), (0.2) п (жq) = inf g, p, т). (0.3).

Квадратурная формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ШТ по коэффициентам Р = {рк} при фиксированных узлах, если существует вектор Р° = {р (1} Для которой n (m, q, T) = Rn (Wt-1q, P0, T).

Точно также, формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ШТ, если существует вектор Р° = {рк} - коэффициентов и вектор Т = {tk}.

— узлов для которых выполняется равенство n (m]q) = Rn (m-q, p°, T0).

Постановка задач об оптимизации квадратур принадлежит А. Н. Колмогорову, а первые основополагающие результаты принадлежат С. М. Никольскому [24]. Задача построения наилучшей квадратурной формулы по коэффициентам с фиксированными узлами впервые рассматривалась А. Сардом [29]. Сформулированные выше задачи для некоторых важных классов регулярных функций решены в работах В. М. Алхимова [1], И. И. Ибрагимова и Р. М. Алиева [14], С. М. Никольского [24], Н. П. Корнейчука [16], Н. Е. Лушпай [20], М. Левина [18], А. А. Женсыкбаева [11], Б. Д. Боянова [8], А. А. Лигуна [22], В. П. Моторного [23], В. Ф. Бабенко [2]и др. Обстоятельный обзор всех этих результатов приведен Н. П. Корнейчуком в дополнение к книге С. М. Никольского «Квадратурные формулы» (Москва, Наука, 1979 г.).

Однако для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул вида (0.1) с весом q (t) > 0 имеющих на концах отрезка [а, Ь] особенности, аналогичные экстремальные задачи недостаточно изучены. В этом направлении исследование можно указать лишь на отдельные работы Б. Г. Габдулхаева [9], Л. А. Онегова [25], В. А. Бойкова [6] и М. Ш. Шабозова [31].

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Здесь мы приводим краткую характеристику диссертации с указанием основных результатов для классов функций малой гладкости, а именно рассматриваются следующие классы функций: W^ = оо (1 -<2, Ь) — класс.

1. Алхимова В. М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, 202, № 2, с.263−266.

2. Бабенко В. Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки, 1976, 19, № 3, с.313−332.

3. Бабенко В. Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем. заметки, 1976, 20, т, с.589−595.

4. Бабенко В. Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica, 1977, 3, № 1, с.3−9.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.:Наука, 1975. — 631 с.

6. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. — 210 с.

7. Бусарова Т. Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро-осциллирующих функций. // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, № 1, с.89−93.

8. Боянов Б. Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, № 6, с.1233−1236.

9. Габ дул хаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз. ун-та, 1980. — 232 с.

10. Гиршович Ю. И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст. ССР, сер.физ.-мат.наук, 1975, т.24, № 1, с. 121−123.

11. Женсыкбаев А. А. Успехи матем. наук, 1980, т.78, № 1, с.115−140.

12. Жилейкин Я. М., Кукаркин А. Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, № 2, с.294−301.

13. Задирак В. К., Василенко С. С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. — 37 е.- (Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики- 74−17).

14. Ибрагимов И. И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв. АН Азерб.ССР, 1967, № 3−4, с.154−161.

15. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

16. Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных. Матем. заметки, 1968, т. З, № 5, с.565−576.

17. Лебедь Г. К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат. заметки, 1968, т. З, № 5, стр. 577 586.

18. Левин М. И., Гиршович Ю. Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, 236, № 6, с.1303−1306.

19. Левин М. И., Гиршович Ю. Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, № 2, с.114−122.

20. Лушпай Н. Б. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб. работ асп. ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972, с.35−39.

21. Лушпай Н. Е., Переверзев С. В. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных //В сб.Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38−45.

22. Лигун А. А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем. заметки, 1976, 19, № 6, с.913−926.

23. Моторный В. П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, стр. 1205−1208.

24. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. — 256 с.

25. Онегов Л. А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью.// Изв. Вузов, Математика, 1981, N9, с.76−79.

26. Сабоиев Р. С. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенностиДоклады АН РТ, т.48, 2005, № 3−4.

27. Сабоиев Р. С. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости. Доклады АН РТ, т.49, 2006, № 5, с.412−416.

28. Сабоиев Р. С. О наилучших, но коэффициентам весовых кубатурных формул для классов функций, задаваемых модулями непрерывности. Доклады АН РТ, т.49, 2006, № 7, с.597−603.83.

29. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80−91.

30. Сухарев А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

31. Шабозов М. Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, № 12.

32. Шабозов М. Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, с.1300−1305.

33. Шабозов М. Ш., Каландаршоев С. С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Докл. АН РТ, 1998, т.41, N10, с.69−75.

34. Шабозов М. Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв. АН Тадж.ССР, сер.физ.-мат. и геолого-хим.наук, 1980, № 4, с.86−90.

35. Шабозов М. Ш., Сабоиев Р. С. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирующих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, № 6,.

36. Шабозов М. Ш., Сабоиев Р. С. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности // Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, № 7, с.42−54.

37. Шабозов М. Ш., Сабоиев Р. С. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро осциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, № 3, с.14−19.с.17−22.