Метод идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной

Показано, что решение задач идентификации такого класса объектов требует использования дополнительной априорной информации о свойствах объекта управления, большого объема экспериментальных данных и проведения имитационного моделирования. Для повышения эффективности процесса идентификации ставится задача разработки метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной. Во второй главе проводится исследование различных методов оценивания параметров модели дисперсии агрегированной переменной. Рассматриваются свойства оценок параметров. Оценивается прогнозирующая способность методов. Качество прогноза оценивается по критерию среднеквадратической ошибки прогноза, для которого получено аналитические выражения с учетом особенностей модели дисперсии агрегированной переменной. Третья глава посвящена выбору критерия селекции для идентификации структуры модели дисперсии агрегированной переменной и его исследованию. Предлагается метод и алгоритм идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной. Рассматривается применение предлагаемого метода идентификации к задаче оценки квадрата расстояния между центрами распределения данных и проводится его сравнение с классическим методом оценки такого расстояния. В четвертой главе рассматривается применение разработанного метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной для следующих объектов управления: технологический процесс выдержки вина, процесс подготовки спортсменов, мониторинг потребительских цен в экономике. В заключении сформулированы выносимые на защиту результаты диссертационной работы и возможные направления дальнейших исследований. В приложениях представлены экспериментальные данные и акты о внедрении результатов диссертации.

ГЛАВА 1.

ПРОБЛЕМА ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИОННОЙ МОДЕЛИ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С АГРЕГИРОВАННЫМ ВЫХОДОМ.

В первой главе дается описание рассматриваемого класса объектов управления. Ставится задача идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной в условиях неопределенности структуры модели. Дается краткий обзор опубликованных работ в этой области.

1.1. Регрессионные модели квазистационарных объектов управления с агрегированным выходом.

Формализация функционирования объекта управления является важной задачей теории управления. Одним из эффективных методов построения модели сложного объекта на основании наблюдений является идентификация. Теории и методам идентификации посвящено большое число работ как в отечественной, так и в зарубежной литературе. В качестве примера можно привести работы Вапника ВН., Ивахненко А. Г., Рай-бмана Н.С., Расстригина Л. Л., Эйкхоффа П., Акаике X. [10, 22−29, 46, 48, 49,71].

Разрабатываемые подходы в значительной степени определяются задачами управления сложными объектами в различных областях науки и техники, в том числе, в биологии, медицине и экономике. Согласно Ивахненко А. Г. [22−29] объекты такого класса характеризуются следующими свойствами: наличием большого числа составляющих элементов и связей между ними, слабоструктурированностью, наличием количественных и качественных характеристикотсутствием полной информации о внешней среде и о связях между параметраминаличием ошибок в полученных данныхнеобходимостью использования множества моделей и языков для своего описания.

Часто для такого класса объектов не возможно определить точную модель функционирования. В этом случае строится приближенная модель, которая аппроксимирует истинную зависимость. При этом задача идентификации состоит в выборе моделей из имеющихся классов на основе экспериментальных данных, априорной информации и цели моделирования.

Всю информацию об объекте можно разделить на две части: априорную и апостериорную. Априорная информация — это информация, которая имеется до начала процесса идентификации и должна содержать в себе структуру идентифицируемого объекта и сведения о классе моделей, описывающих данный объект. К апостериорной информации относятся результаты наблюдений входов и выходов объекта.

В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле [10]. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров объекта по наблюдениям над входными и выходными переменными, описывающими состояние объекта. При этом известна структура объекта и задан класс моделей, к которым относится данный объект. Идентификация в широком смысле включает в себя решение таких задач, как оценка структуры и параметров модели, степени стационарности и возможности представления конкретного объекта стационарной моделью, степени линейности и возможности использования линейной моделивыбор информативных входных переменныхоценка степени идентичности модели реальному объекту. В данной диссертации рассматривается идентификация в широком смысле.

Все переменные, описывающие объект, в работе разделены на следующие группы:

1) вектор входных переменных х = (х, х2,., х4), где к-общее число входных переменных. Значения этих переменных можно точно вычислить, измерить, предсказать, а так же задать в эксперименте;

2) вектор неуправляемых и неконтролируемых переменных е. Этот вектор задает неоднородность исследуемого процесса. В этот вектор входят возмущающие воздействия, которые носят случайный характер и не поддаются непосредственному измерению;

3) вектор выходных переменных У = (у, у2,., уг), гДе У> ~ случайные величины, имеющие условное математическое ожидание А/{у,|-с,} и условную дисперсию г-число выходных переменных. Здесь м{ }-оператор математического ожидания и й{ }- дисперсионно-ковариационный оператор;

4) вектор латентных переменных V = (у1,у2,., уг1) г, где V, -некоторая непосредственно не наблюдаемая характеристика, которая может быть получена с помощью определенных математических методов из выходных переменных. Переменные V могут рассматриваться как переменные, полученные в процессе преобразования вектора выходных переменных у, и в этом случае их можно называть агрегированными переменными [1,2, 18, 19, 21, 39, 40, 62, 77−79,91].

Выбор переменных, описывающих объект, и построение модели зависимости между ними определяется конкретными условиями исследуемого процесса, возможностью оперативного измерения, надежностью и доступностью информации. Так на рисунке 1.1 изображено возможное расположение экспериментальных данных. Здесь объект управления характеризуется одной входной и одной выходной переменными. Черными точками изображены средние значения выходной переменной, двойные стрелки обозначают разброс наблюдений относительно среднего значения.

УЛч Л Л.

— V, А V V V А.

Рисунок 1.1 — Зависимость входной и выходной переменных.

В данном случае изменение входной переменной вызывает изменение выходной переменной, тогда как разброс наблюдений остается неизменным. Поэтому при идентификации модели такого объекта обычно используется зависимость между средними значениями выходных переменных и входных переменных. Для широкого класса объектов возможная ситуация приведена на рисунке 1.2. Поскольку в этом случае изменения входной переменной вызывают изменение только разброса наблюдений относительно среднего значения выходной переменной, то для идентификации такого вида объекта целесообразно идентифицировать модель этого разброса. В случае многомерности вектора выходных переменных также возникают аналогичные задачи и для удобства интерпретации разброса в ряде работ предлагается уменьшать исходное число выходных переменных путем агрегирования и идентифицировать разброс для агрегированных переменных, т. е. дисперсию агрегированной переменной [43, 45, 61, 64]. Рассмотрим несколько примеров таких объектов.

— лл.

I" V.

А «V V V.

Рисунок 1.2 — Зависимость входной и выходной переменных.

Технологический процесс выдержки вина. Обычно для приготовления одной партии вина определенной марки используются виноматериал разных производителей и несколько десятков различных по своим исходным характеристикам бутов, поэтому вино по своим вкусовым и химическим характеристикам различается в зависимости от бута. Для сертификации готовой продукции необходимо указать средние значения основных химических показателей и допустимое отклонение от них. Чем меньше будет величина отклонения, тем выше будет качество готовой продукции. Следовательно, показателем качества в данном случае является разброс значений химических показателей для всей партии вина. В этом случае возникает проблема оценки этого разброса и его дальнейшего управления. Этим разбросом можно управлять при помощи изменения значений вектора входных переменных.

Программное управление процессом подготовки спортсменов. В командных видах спорта требуется подготовка спортсменов с похожими силовыми и антропометрическими показателями. В ходе тренировочного процесса происходит постоянное сравнение данных каждого спортсмена с некоторыми идеальными характеристиками. Целью тренировки является достижение минимальной разницы между данными всех спортсменов и заданными характеристиками. Эффективность тренировок определяется по этому критерию.

Мониторинг потребительских цен в экономике. Средняя цена всех товаров на рынке представляет собой относительную стоимость денег. Разброс цен относительно средней цены всех товаров и услуг отражает такие экономические процессы, как, например, инфляция и дифференциация общества. Оценка этого разброса позволяет оперативно контролировать эти процессы.

В данной работе для идентификации объекта управления будем использовать модель дисперсии одной из агрегированных переменных.

Задача и процедура идентификации, то есть задача построения модели объекта, отражающей качественные и количественные связи объекта, решаются в зависимости от вида объекта. В работе рассматриваются квазистационарные объекты. Для объектов такого вида предполагается, что параметры их меняются достаточно медленно, чтобы в процессе идентификации не считаться с этим изменением. Благодаря этому свойству модель квазистационарного объекта может быть восстановлена в некоторый момент времени по экспериментальным данным, полученным на первой половине интервала стационарности, и использоваться для управления в пределах второй половины этого интервала. Такие объекты могут быть описаны регрессионными уравнениями. Необходимо отметить, что для квазистационарных объектов параметр времени также формально можно отнести к наблюдаемым переменным, рассматривая этот параметр как одну из компонент вектора х.

Будем считать, что входные переменные х и е связаны с дисперсией агрегированной переменной V некоторым заранее неизвестным соотношением которое необходимо определить в процессе идентификации.

Пусть требуется идентифицировать модель зависимости одной из агрегированных переменных от управляющих переменных. Предположим нормальность распределения выходных переменных. Тогда распределение оценки дисперсии выходной переменной для каждого значения вектора входных переменных имеет вид: где у — число степеней свободы случайной величины которая не зависит от х,.

В общем случае зависимость между дисперсией агрегированной переменной V и вектором входных переменных х можно представить в виде.

1.1).

1.2).

V =, где т](%)~ истинная модель, вид которой не известен,.

1.3) независимая случайная составляющая, распределенная, например, по х2(у) закону У.

В диссертации рассматривается случай, когда на классе моделей задана структура, позволяющая ввести частичный порядок. При таком порядке классы моделей как бы вложены один в другой: <=?2 с. с5?. Такой порядок задается, например, если модели представляют из себя полиномы возрастающей степени [22].

Для линейной по параметрам модели можно задать структуру в зависимости от членов модели. В этом случае каждый класс SJ задается следующей моделью: х, а,)=Г (х)ау 0 =, 2,., д), (1.4) где гТ (х)=[Г1(х),^(х),., Гп.(х)]- вектор известных функций от вектора х, п1 — число параметров модели у, -максимально возможный порядок модели, а[ =[а, а2>., а ]- вектор неизвестных параметров. Оценки математического ожидания Л/{в, | и ковариационной матрицы о{йч | по экспериментальным данным можно определить одним из статистических методов оценивания [8, 15, 17, 18, 20].

Предметом дальнейших исследований является выбор наиболее эффективного метода оценивания параметров и критерия селекции для класса моделей, описываемых соотношениями (1.3) и (1.4), т. е. разработка метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной.

Основные результаты, полученные в этой главе, приведены в работах [57, 59, 68, 80, 81, 100].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основным результатом работы является разработка метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. В частности:

1) проанализированы существующие подходы к идентификации сложных объектов управления, характеризующиеся агрегированным выходом;

2) поставлена задача идентификации сложных объектов управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной;

3) получены аналитические выражения с учетом мультипликативности случайной составляющей для среднеквадратической ошибки прогноза и критериев структурной идентификации типа «скользящий контроль» ;

4) показано, что оценки параметров и оценки прогнозных значений модели дисперсии агрегированной выходной переменной, полученные при использовании метода наименьших квадратов, взвешенного метода наименьших квадратов, метода наименьших отношений являются несмещенными;

5) разработан алгоритм и программное обеспечение метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. Результаты вычислительного эксперимента, проведенного с помощью разработанного программного обеспечения, показали эффективность метода;

6) на основании разработанной методики проведены идентифицирующие эксперименты процесса выдержки виноматериала на Инкерманском заводе марочных вин (г. Севастополь), программного управления процессом подготовки спортсменов, мониторинга потребительских цен в экономикепредложенная методика позволила построить модель, описывающую процесс выдержки вина. Использование этой модели для корректировки процесса выдержки дало соответствующий экономический эффект.