Автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа

Из истории развития техники в период эпохи возрождения можно установить, что устройство каналов, водопроводов и других гидротехнических сооружений побуждало отдельных исследователей проводить наблюдения и измерения скоростей течения воды в каналах. С помощью этих наблюдений и измерений можно было обнаружить различие скоростей движения воды по мере удаления от свободной поверхности ко дну канала и по мере удаления от середины канала к его боковым стенкам. Но отсутствие математического аппарата не давало возможности описать или объяснить эти явления. Начало же математическому моделированию турбулентности было положено работой О. Рейнольдса [51]. Идеи Рейнольдса были подхвачены Прандтлем [50], Тейлором [54], Колмогоровым [21], работы которых послужили фундаментом для современных моделей турбулентности. Огромный интерес к проблеме турбулентности легко объяснить распространенностью этого явления в природе, его важностью для различных паук и современных технологий. Действительно, ведь большинство движений жидкостей, газов и плазмы, которые встречаются в природе и технике, оказываются турбулентными. Например, струйные течения в верхней тропосфере и облака в атмосфере также находятся в турбулентном движении. Течение воды ниже поверхности океана оказывается турбулентным. Пограничные слои, нарастающие на крыльях летательных аппаратов, являются турбулентными. Течения воды в реках и каналах, движение природного газа и нефти в трубопроводах, следы судов, подводных лодок, крыльев летательных аппаратов (самолетов, ракет) являются турбулентными. Большинство процессов горения включают турбулентность и часто зависят от нее. Процессы химической технологии используют турбулентность для смешения и гомогенизации смесей жидкостей и ускорения скоростей химических реакций в жидкостях и газах. Таким образом, исследование турбулентности охватывает весьма широкую область разнообразных физических приложений.

В 1937 году Тэйлор и Карман дали следующее определение: «Турбулентность — это неупорядоченное движение, которое в общем случае возникает в жидкостях, газообразных или капельных, когда они обтекают непроницаемые поверхности или же когда соседние друг с другом потоки одной и той же жидкости следуют рядом или проникают один в другой». Согласно этому определению, рассматриваемое течение должно удовлетворять условию неупорядоченности. Действительно, неупорядоченность является крайне важной особенностью. Вследствие неупорядоченности не представляется возможным описать движение во всех деталях как функцию времени и пространственных координат. Но турбулентное движение не упорядочено в таком смысле, что поддается описанию с помощью законов теории вероятности. При этом оказывается возможным указать средние значения различных величин, например: скорости, давления, температуры и т. п., что является весьма важным обстоятельством. Если бы турбулентное движение было полностью неупорядоченным, оно не поддавалось бы никакому математическому анализу.

С опубликования первых работ Рейнольдса прошло уже более столетия. Многие исследователи занимались этой проблемой, но до сих пор не существует общего подхода к описанию турбулентного движения сплошных сред. Уравнения движения могут быть подвергнуты подробному анализу, но пока не удается провести аккуратные количественные вычисления, не полагаясь в той или иной степени на экспериментальные данные. Статистический анализ нелинейных уравнений гидродинамики всегда ведет к ситуации, при которой число неизвестных оказывается больше числа определяющих уравнений. Это так называемая проблема замыкания в теории турбулентности. Поэтому при решении задач турбулентного движения жидкостей и газов приходится использовать физические соображения, основанные на экспериментальных данных, чтобы восполнить пробел между реальными турбулентными течениями и определяющими уравнениями. Это означает, что теория турбулентности, являясь частью современной классической физики, и зачастую развивается как физика — в тесном контакте с экспериментом. Построение теории турбулентности опирается на опытные данные. Теория же должна объяснять экспериментальные закономерности. Вполне возможно, что в будущем удастся построить полностью формальную теорию турбулентности. Однако более реальным представляется развитие физической модели турбулентности.

Теория турбулентности ограничена в том же самом отношении, в каком была бы ограничена динамика жидкости, если бы соотношение Стокса между напряжением и скоростью деформации в ньютоновской жидкости было неизвестно. Поэтому распространенное приближение в описании турбулентности состоит в формулировании соотношения между напряжением и скоростью деформации, включающего генерируемую самой турбулентностью вихревую (или турбулентную) вязкость, которая играет роль, подобную роли молекулярной вязкости в ламинарных течениях. Это приближение основано на физически некорректной аналогии между механизмами молекулярного и турбулентного переноса импульса, тепла и вещества.

Молекулярная вязкость — это физическое свойство жидкостей и газов, в то время как турбулентность — свойство движения сплошной среды. Это означает, что описание эффектов турбулентности с помощью понятия турбулентной вязкости не может быть, вообще говоря, полным и исчерпывающим. Однако современные исследования наводят на мысль, что в некоторых ситуациях можно из аналитических соображений говорить о турбулентной жидкости, а не о турбулентном течении жидкости. Так называемые турбулентные жидкости оказываются неньютоновскими. Они проявляют свойство вязкопластичности и обнаруживают при определенных условиях эффекты памяти. Память постепенно затухает со временем, так что представляется вполне возможным развить полулокальную теорию, связывающую турбулентные напряжения со средней скоростью деформации. С математической точки зрения сложность заключается в том, что общее решение нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса получить не удается. Комбинация случайности и нелинейности делает уравнения турбулентности крайне трудными для анализа.

На настоящий момент существуют достаточно много моделей, описывающие турбулентность. Это и модели первого приближения (градиентные модели), такие как модели Буссинеска, Прандтля [49, 50], Тейлора [54], Кармана [47], Рейхарда, так и модели второго приближения (дифференциальные модели), такие как модели Невзглядова-Драйдена, Колмогорова-Прандтля, Брэдшоу, Коважного-Секундова, Jlo-ундера, Ханжалика-Лоундера, Роди. Из отечественных исследователей большой вклад в теорию турбулентности внесли Колмогоров [21], Давыдов [6, 7, 8], Абрамович [38], Секундов [36], Лойцянский [25], Гиневский [4], Обухов [29] и другие [5, 23, 24, 26, 27, 32, 41, 42]. Активно используются модели, в которых выписываются уравнения моментов третьего порядка [22]. Но несмотря на обилие моделей во всех из них используются эмпирические константы, определяемые опытным путем. Совершенно не очевидно, что более сложные модели описывают турбулентность лучше, чем более простые. Важно заметить тот факт, что для более сложных моделей необходимы и более подробные начальные и граничные условия, относящиеся, например, к различным компонентам напряжений и потоков, а эти условия в практических задачах обычно трудно измеримы. Часто в задачах об окружающей среде даже более существенные граничные условия не могут быть заданы с требуемой степенью точности, и решение может зависеть от точности задания этих условий сильнее, чем от точности описания турбулентности, так что в этих случаях использование сложных моделей турбулентности себя не оправдывает.

Целью диссертационной работы было проанализировать основные модели турбулентности в однородной и в пассивно стратифицированной средах в приближении дальнего следа. В работе рассматривались несколько моделей, а именно:

— (к — е) модель дальнего турбулентного следа (в приближении пограничного слоя) ди 1д Г s еди U°dx у3 ду Cfl Е ду / ' дк id t s рдк е (ди2

Щдх у3ду у C/i е дуJ Cfl е ду) и — = —— (+ с с к (—Ус

Щдх ys ду ае е ду) °elC/i ду) 52 к '

— трехпараметрическая (k—e—u'v') модель дальнего турбулентного следа (в приближении пограничного слоя) ди Id (yW) = — ox ys ду дк 1 д (s &-дк —ди U°dx ys ду Cfi е ду J UV ду д£ 1 д f ч к2 д£ ?, —т—, ди ч

U" di = V’d-у) + к^ д-у ~ Сг2£)' du’v' 1 д (. к2 du’v'? ди к2 u’v' = У cs—-— - -cjiu'v' + cf2k—-scs—х-. дх у3ду? ду J к ду? уг

Для этих двух моделей, в главе 1, будут сформулированны и доказаны теоремы о допускаемых алгебрах Ли. Также, в этой главе, будут сформулированны соответствующие утверждения

— для модифицированной (к —? — u'v') модели Роди ди 1 д дх уsду и—- —— f SU —^ + Р —? Щдх у3 ду У Щду) и — - —— f ^ + - fc P — с И

19/. du’v' u’v' .

Щ= — д- — - si/fi—r — («о ~ 1> ^—mu'v'-, ox ys dy dy J у ду к

— для плоского случая модели третьего порядка (приближение дальнего следа) ди du’v' uoir- — дх ду ди'2 du'2v' ——ди (и'2 2 4 —-ди 2 ~эГ + 2 д~у ~С1?к ~ з) ~ Г2и% ~ з£' dv'2 dv'3 fv'2 2 2 —du 2 = ~ С1?{Т ~ з J + 3C2UV^ - з£' dw'2 dw'2v' fw'2 2 2 -—ди 2 = «»^ЧХ ~ з) + 3C2UV^ «Г' du’v' du’v'2 ?-7−7 ~?)ди ~вг «+ (С2) cs д v'2kde е—^ди е2

Щ— = ——-— + cel-u'v'— - се2—, ох а£ ду е ду к ду к du'2v' «,, 0ди ——du'v' —9du'2 u'2v'e 2u'v'2— - 2u'v'——v'2— - c3—-—, дх ду ду ду к dv'3 -о <�Э?/2 ^о-ъ— = —сзdx dy к dw'2v' -#dw'2 w'2v'e U° dx dy °3 к ' du’v'2 —лди —odu'v' -^-.dv'2 u’v'2e uQ—— = v'3—-2v/2:i-jl — u’v'——c3 дх ду ду ду к

— для модели плоского турбулентного следа в пассивно стратифицированной среде ди du’v' U°dx ду ' дкд (—ди

U°dx ду м е ду J UV ду де д (к2де е (-—ди ох ду е ду J к ду J du’v' д (к2 du’v' е—7 .ди щ~д.Г = а? V) ~C/1 ки +^V дрд (д срк2

U°dx ду '0? ду) ду ?

U°dx ду *? ду) °р? ду) °Т к ' для дальнего турбулентного следа за нагретым цилиндром ди д / к2ди U°dx ду м? ду /' дкд (&-дк к? fduV

U°dx ду C/i? ду) C/i е ду) д£ д (сик2 <9е, {ди 2

Щдх ду? ду) ^ ду) °е2 к ' дТ д (у'Т') U° дх ду d (v'T') д k2d (v'T') 2k дТ

U° дх ду°1р e ду 3 dy ^k0¹ дТ" д к2 д{Т) дТ е~2

Щ-w- - -5-С1 р——-2v'T'——сттТ, ох ду е оу оу к

— для модели, которая описывает безымпульсный турбулентный след ди (s №ди

U° дх ys ду Cfl е ду J ' дк^д (s^дк U° дх ys ду? ду J ' де ]д (s^tfdA? U°дх ys ду а£? ду) °?2 к '

Далее на основе этих утверждений построены представления для решений, редуцирующие системы уравнений с частными производными, описанные выше, к системам обыкновенных дифференциальных уравнений и выписаны соответствующие краевые условия для всех моделей.

В начале первой главы диссертационной работы приводятся основные классические математические модели турбулентности. Далее рассматриваются «упрощенные» модели в приближении дальнего турбулентного следа. Проводится групповой анализ этих моделей по известной схеме [30], строятся базисы допускаемых алгебр Ли для плоских и осесиммет-ричных случаев, и соответствующие таблицы коммутаторов. Для двух моделей подробно доказаны теоремы о базисах допускаемых алгебр Ли. Результаты, полученные в главе 1, используются далее.

Во второй главе данной работы изучаются решения моделей дальнего турбулентного следа. Получить решения помогают допускаемые операторы растяжения. Система уравнений с частными производными редуцируется к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Из физических соображений выбираются краевые условия, удовлетворяющие условиям задачи. Далее решается краевая задача «методом стрельбы». Сложность решения задачи заключается в нелинейности обыкновенных дифференциальных уравнений, но эту сложность, по-видимому, можно обойти разложением решения к окрестности особой точки в ряд, как это было показано в статье [20]. Данный метод применяется для выбора начальных данных при использовании «метода стрельбы». Стоит отметить, что системы особо чувствительны к начальным данным. Приведены графики решений редуцированных систем и произведен сравнительный анализ с доступными экспериментальными данными.

Основные результаты диссертационной работы:

— проведен теоретико-групповой анализ для шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа;

— на основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем;

— построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12, 13, 17, 18], а также докладывались на VI Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005) [16], VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006) [9], Международной конференции «Потоки и структуры в жидкостях» (Санкт-Петербург, 2007) [19], Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007) [10], VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007) [11]. Данная работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 07−01−489, 04−01−130, 04−01−209).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Капцову Олегу Викторовичу за постановку задач и ценные советы, а профессору Г. Г. Черных и доктору физико-математических наук В. Н. Гребеневу за предоставленные материалы и внимание к работе.

Основные результаты диссертационной работы:

— проведен теоретико-групповой анализ шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа;

— на основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем- .

— построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.