Интеграл в теории рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара

1. Впервые конструкция А-интеграла, без формального определения, появилась в 1929 году в работе Титчмарша [59] при изучении функций, сопряжённых к суммируемым. Хотя сопряжённый ряд к тригонометрическому ряду Фурье интегрируемой функции /(х) (С, 1)-суммируется почти всюду к сопряжённой функции /(х), последняя может не быть интегрируемой по Лебегу ни на каком интервале [а, 6] С [0,27т] (см. [27]). Таким образом, по предельной (в смысле (С, 1)-сходимости почти всюду) функции f (x) коэффициенты сопряжённого ряда не могут быть восстановлены по обычным, в которых фигурирует интеграл Лебега, формулам Фурье. Проблема решается с помощью обобщения понятия интеграла, когда интегралы в формулах Фурье понимаются обобщёнными. Титчмарш определил (^-интеграл как предел (1.13), и показал, что вообще говоря, (^-интеграл не обладает свойством аддитивности (см. также [4, с.586]), однако если интегрируемые функции удовлетворяют условию (1.12), то для них аддитивность имеет место. В дальнейшем для измеримых функций, удовлетворяющих условиям (1.12), (1.13), утвердилось название «А-интегрируемые», а предел (1.13) стали называть А-интегралом. Результат Титчмарша [59] был первым применением А-интеграла к вопросам восстановления коэффициентов, — из него следует, что ряд, сопряжённый к тригонометрическому ряду Фурье интегрируемой функции /(ж), есть ряд А-Фурье сопряжённой функции /(х).

В вероятностной форме (для случайной величины из произвольного вероятностного пространства (Г2, В, Р)) определение А-интеграла было дано в 1933 году А. Н. Колмогоровым в [53] (см. также [25, с.82−85]) в виде обобщённого математического ожидания.

Следующие приложения А-интеграла были сделаны в пятидесятых годах П. Л. Ульяновым. Помимо дальнейшего изучения сопряжённых рядов и сопряжённых функций ([43] и др.), интегралов типа Коши ([44] и др.), П. Л. Ульянов в 1953 году выделил ещё один класс А-интегрируемых функций: ряды по синусам или по косинусам с коэффициентами ограниченной вариации [41, 42]. В частности, им установлено, что любой такой ряд есть ряд А-Фурье своей суммы (в смысле сходимости почти всюду).

Поскольку А-интеграл нашёл довольно много применений, следовало подробно изучить его свойства. А-интеграл является неабсолютным интегралом, обобщающим интеграл Лебега. Выяснилось, что из-за своей общности он обладает рядом неприятных качеств. Как показали О. Д. Церетели [45, с.70] и Т. П. Лукашенко [28], А-интегрируемая на отрезке функция может не быть А-интегрируемой ни на каком подотрезке. И. А. Виноградова.

13] и О. Д. Церетели [45] установили, что неопределённый А-интеграл может совпадать с произвольной измеримой функцией почти всюду, то есть между неопределённым А-интегралом и подынтегральной функцией нет никакой дифференциальной связи. Как показала И. А. Виноградова [12], А-интеграл противоречит несобственному интегралу Лебега. Такое поведение типично для взаимоотношений А-интеграла и с другими обобщёнными интегралами — он противоречит различным интегралам типа Перрона, Хенстока и т. д.

Как ни странно, последнее «плохое» свойство А-интеграла связано с его «хорошим» свойством — инвариантостыо относительно преобразований, сохраняющих меру. Большинство классических обобщённых интегралов этим свойством не обладают. Из инвариантных относительно сохраняющих меру преобразований отметим рассмотренный Ионедой [62, 63] АН-интеграл, являющийся обобщением понятия А-интеграла.

С.С. Афанасьевой [3] были получены достаточные условия возможности предельного перехода под знаком А-интеграла.

В семидесятых годах А. Ю. Петрович [31, 32] показал, что существует всюду сходящийся к конечной А-интегрируемой функции тригонометрический ряд, не являющийся её А-Фурье рядом, то есть известная теорема Валле-Пуссена (всюду сходящийся к конечной интегрируемой функции тригонометрический ряд есть её ряд Фурье) не переносима на А-интеграл. Кроме этого, А. Ю. Петрович установил (см. также [30, 33]), что при некоторых дополнительных условиях на А-интегрируемую функцию аналог теоремы Валле-Пуссена всё же верен.

Из последних результатов по применению А-интеграла в вопросах единственности можно выделить работы Г. Г. Геворкяна [16, 15, 17]. В них для тригонометрической системы (в случае суммирования методом Римана) и системы Франклина (в случае сходимости почти всюду), в частности, решён вопрос восстановления коэффициентов рядов, функция распределения мажоранты частных сумм которых Ф (А) убывает быстрее 1/А при, А —"• оо. В этом случае коэффициенты восстанавливаются А-интегралом, в случае же ослаблений условий на мажоранту могут возникать его обобщения (не обязательно являющиеся линейными, и, соответственно, обобщёнными интегралами, поскольку в последнее понятие обычно включают линейность, например, (^-интеграл так и не был признан «настоящим интегралом»).

Подробный обзор по теории А-интеграла и его применениям можно найти в работах В. А. Скворцова [38] и (совместно с И.А. Виноградовой) [14].

В действительном анализе А-интеграл нужен, прежде всего, для решения задач единственности и восстановления коэффициентов, причём его применение исторически рассматривалось, в основном, в теории тригонометрических рядов. В настоящей диссертации изучается применение Аинтеграла к другим классическим ортогональным системам функций — системам мультипликативных функций Прайса и системам обобщённых функций Хаара, которые в диссертации называются Р-системами. Отличительной чертой этих систем является то, что каждая из функций, входящих в их состав, принимает лишь конечное число значений, а также то, что последовательность {Smn (x)} образует мартингал относительно последовательности сг-алгебр {Еп}.

Частным случаем общей конструкции этих систем являются системы Уолша и Хаара, введённые соответственно в 1923 году Уолшем [61] и в 1910 году Хааром [52]. Системы мультипликативных функций Прайса в используемом в диссертации определении введены в 1957 году Прайсом [54], однако они являются частным случаем более общих систем, рассмотренных в 1947 году Н. Я. Виленкиным [11]. Определение обобщённых систем Хаара впервые сформулировано в 1966 году Б. И. Голубовым и А. И. Рубинштейном [21] для последовательности простых чисел рп, такой что supnpn < оо, Б. И. Голубовым [18] для произвольных натуральных рп ^ 2, но эти системы также являются частным случаем рассмотренных в [11] систем. Используемое в диссертации определение отличается от определений из [21], [18] лишь значениями в некоторых Р-ично-рациональных точках.

Вопросы единственности для рядов по этим системам изучались многими учёными и развились в сложную обширную теорию. Отметим лишь аналоги теоремы типа Валле-Пуссена, доказанные В. А. Скворцовым [36] для системы Уолша и (совместно с H.A. Бокаевым) [8] для общей системы Прайса, из которых также следуют соответствующие аналоги для систем обобщённых функций Хаара. Отметим также построенный В. А. Скворцовым обобщённый интеграл, полностью решающий задачу восстановления коэффициентов при сходимости ряда всюду.

Среди задач единственности для Р-систем результатами, полученными с помощью А-интеграла, являются теоремы А. И. Рубинштейна [34, 35], см. также [1, гл. IV § 6], и Л. А. Балашова [5].

Теорема А. И. Рубинштейна — это аналог утверждения П. Л. Ульянова о тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами. Как доказано в [35], ряд с монотонными коэффициентами по ограниченной мультипликативной системе, хотя и сходится всюду кроме, может быть, точки 0 к конечной функции f (x), не обязательно является рядом Фурье (поскольку f (x) может и не быть интегрируемой по Лебегу), но обязательно есть ряд А-Фурье функции f (x), то есть его коэффициенты можно восстановить с помощью А-интеграла.

В теореме Л. А. Балашова рассматриваются ряды по системе Хаара. Известно, что для любого ряда Фурье его подряд хоть и сходится почти всюду, однако может не быть рядом Фурье (это следует, например, из теорем 1.1,.

3.3 и 3.10(2) книги [24]). Но, как утверждает теорема, он обязательно ряд А-Фурье своей суммы.

Подробные описания свойств мультипликативных систем и обобщённых систем Хаара, а также постановку и исследование вопросов единственности по этим системам можно найти в монографиях [20, 1], а также в обзорах.

2. Задачу восстановления коэффициентов ряда по Р-системе в общем случае можно сформулировать так: пусть дан ряд по Р-системе сходящийся в каком-либо смысле к функции /(ж). Часто употребляемыми являются точечные типы сходимости, а именно — сходимость ряда всюду, почти всюду, сходимость всюду или почти всюду мартингальной последовательности частных сумм 5Шп (ж), далее все эти типы в смысле (С, 1)-суммируемости и т. д. Итак, ряд (0.1) сходится к функции /(ж), как тогда по /(ж) восстановить коэффициенты ряда? Вопрос осложняется тем, что это не всегда можно сделать в принципе, к данной /(ж) могут сходиться несколько рядов (например, для сходимости почти всюду единственности нет — это показывают нуль-ряды [37]). В этом случае необходимо сузить класс рассматриваемых рядов, потребовав помимо сходимости выполнения дополнительных условий, обеспечивающих единственность. Если же единственность есть, то самый распространённый способ решения проблемы — «подход Фурье»: если f (x) интегрируема, установить, не является ли ряд (0.1) рядом Фурье, и если является, тогда его коэффициенты можно восстановить по формулам Фурье. Естественность применения именно такого аппарата показывают следующие факты:

Предложение 0.1. [8] Если ряд (0.1) сходится всюду к f (x) € Ь[0,1) (конечной всюду) то он есть ряд Фурье этой функции.

Предложение 0.2. [20, с.60] Если ряд (0.1) — ряд Фурье функции /(ж), то Зтп{х) сходится к f (x) почти всюду (для обобщённых рядов по ограниченным (см. определение 1.16) системам Хаара сам ряд сходится к /(х) почти всюду, а для рядов по мультипликативным системам есть (С, 1)-суммируемость к /(х) почти всюду).

Как уже отмечалось, спецификой Р-систем является то, что последовательность {Зтп (х), £п} образует мартингал, и с мартингальной точки зрения свойство 0.2 — поведение равномерно интегрируемых мартингалов.

19, 6].

0.1) п=0.

Первое из вышеприведённых предложений показывает, что для важного класса, где есть единственность, — сходящихся всюду (к конечным интегрируемым функциям) рядов — метод Фурье решает проблему, то есть он не слишком «узок" — с другой стороны, второе утверждение говорит о том, что все ряды Фурье подпадают под общую постановку задачи — то есть метод Фурье не слишком «широк», он предназначен для решения именно таких (а не более общих) задач. (Кстати, «зазор» между этими двумя типами сходимости важен: сходимость всюду даже 5тп (ж) обеспечивает единственность, а сходимость почти всюду даже самого ряда — нет [37]).

При классическом подходе Фурье условие /(х) € Ь[0,1) является принципиальным ограничением — сумма ряда может оказаться и не интегрируемой по Лебегу (возьмём, например, ряды Прайса с монотонными коэффициентами [35]). Дальнейшим развитием этого метода является «подход Лузина», то есть переход к обобщённым интегралам. Тогда f (x) считают интегрируемой в обобщённом смысле (кстати, при «обычных» видах сходимости f (x) всегда измерима) и так же понимают формулы Фурье. В теории рядов по Р-системам часто используются, например, Р-ичные интегралы Хенстока, Перрона, узкий интеграл Данжуа, для которых аналоги утверждений 0.1 и 0.2 остаются верными [57, 55, 26]. Недостаток этих интегралов в том, что они теряют присущее интегралу Лебега свойство не зависеть от преобразований, сохраняющих меру. Инвариантность относительно преобразований, сохраняющих меру, а также сама возможность задать Л-интеграл на абстрактном вероятностном пространстве и могут быть основными доводами в пользу выбора именно этого обобщённого интеграла в различных приложениях (например, в теории вероятностей).

Теоремы А. И. Рубинштейна [35] (предложение 3.6) и Л. А. Балашова [5] (предложение 4.1) показывают, что Л-интеграл действительно расширяет класс восстанавливаемых рядов. Однако для этого интеграла возникает качественно иная ситуация — для любых Р-систем аналоги утверждений 0.1 и 0.2 не имеют места.

Доказательству этого факта и посвящена глава 2. А именно, из теорем 2.1, 2.3, доказанных в ней, следует, что, во-первых, существуют всюду сходящиеся ряды, не являющиеся рядами Л-Фурье своей суммы, хотя она Л-интегрируема, во-вторых, что ряд Л-Фурье может расходиться всюду (и вообще быть столь «плохим», сколь «плохи» произвольные ряды по Р-системам — классы рядов Л-Фурье и вообще рядов совпадают!). Из теоремы 2.1 следует (теорема 2.2) также то, что Р-ичный интеграл Хенстока и Л-интеграл противоречат друг другу и на классе всюду сходящихся рядов по произвольной Р-системе.

Из теорем главы 2, демонстрирующих «негативные стороны» Л-инте-грала в применении к изучаемой проблеме, видно, что отдельно взятые условия сходимости всюду и сходимости Smn (x) почти всюду в этом случае неподходящи, и нужно накладывать на ряд (0.1) какие-то дополнительные требования (которым, разумеется, должны удовлетворять все классические ряды Фурье — иначе речь уже не будет идти об обобщении метода Фурье). Такие условия изучаются в следующих главах диссертации.

В главе 3 рассматривается подход к проблеме с мартингальной точки зрения. Изучается поведение рядов по Р-системам, обусловленное только мартингальными характеристиками последовательности частных сумм {Srrin (x)}. Вначале доказан базовый результат (предложение 3.1), показывающий, что с мартингальной точки зрения свойство ряда быть рядом Фурье функции f (x) в смысле какого-то интеграла эквивалентно замкнутости справа в смысле этого интеграла мартингала {Smn (x), £п}, причём именно f{x) является последним элементом.

Для интеграла Лебега замкнутость справа мартингала {Хп, Тп} эквивалентна равномерной интегрируемости этого мартингала [46, с.545]. Какие же критерии замкнутости справа есть для А-интеграла? Аналогичный по духу признак (предложение 3.3, сходимость в нём требутся почти всюду) был получен В. А. Скворцовым [39, 56] и сформулирован в терминах равномерной^{.-интегрируемости.} Однако в отличие от лебеговского случая, как показано в главе 3 (теорема 3.1), этот признак является лишь достаточным условием, но не необходимым. Далее в главе 3 доказывается признак (теорема 3.2) мартингальной замкнутости справа в смысле А-интеграла (сходимость требуется по мере), обобщающий признак В. А. Скворцова, и при некоторых естественных условиях являющийся критерием, а также связанная с ним теорема о предельном переходе под знаком А-интеграла. Следствием полученного признака А-замкнутости справа является теорема 3.4, дающая достаточные условия того, чтобы ряд по произвольной Р-системе был рядом А-Фурье своей суммы (в смысле сходимости 5Шп (ж) по мере при п —> оо). Работа признака иллюстрируется доказательством с его помощью теоремы А. И. Рубинштейна (предложение 3.6). Кроме того, теорема 3.2 допускает прямое обобщение на случай произвольного А%-интеграла (теорема 3.5).

В последней главе диссертации исследуются мажорантные условия на ряд в духе работ Г. Г. Геворкяна [15, 17]. Показано, что если от мажоранты (мартингальной последовательности частных сумм) ряда (0.1) по ограниченной Р-системе потребовать выполнения условия lim A/i {х е [0,1): S*(x) > А} = 0, (0.2).

А-«оо то у такого ряда мартингальная последовательность частных сумм Smn (x) сходится почти всюду при n-Уоои ряд (0.1) является рядом А-Фурье предельной функции (теоремы 4.1, 4.3). Рассмотрены также некоторые условия, более слабые, чем (0.2), при этом восстановление коэффициентов происходит при помощи ЛЛ.-интегралов, которые есть Л’Н-интегралы специального вида, а также при помощи предельных конструкций, похожих на обобщённые интегралы (но интегралами не являющиеся в силу нелинейности). Эти признаки являются, несмотря на ограничительное, на первый взгляд, условие (0.2), достаточно широкими. В главе 4 показано, что им удовлетворяют все ряды Фурье (лемма 4.1), а также все ряды по ограниченным мультипликативным системам с коэффициентами ограниченной вариации (параграф 4.5). Кроме того, даны полученные на основе теорем критерии того, что ряд по ограниченной Р-системе будет рядом Фурье. Показано также, что от условия ограниченности Р-систем в формулировках вышеупомянутых теорем избавиться нельзя, а именно, что существует ряд, у которого 5тп (ж) сходится почти всюду к нулю при п —> оо и удовлетворяющий условию (0.2), — и при этом он не есть тождественно нулевой ряд (то есть не ряд Фурье предельной функции).

Далее в главе 4 на основе теоремы 4.1 дано доказательство теоремы 4.6, которая является распространением результата Л. А. Балашова (предложение 4.1) на ограниченные обобщённые системы Хаара.

3. На протяжении всей диссертации будем придерживаться следующих обозначений и терминов: М, М, С — множества натуральных, действительных и комплексных чисел соответственно- [а] — целая часть числа, а 6 1 (не путать со срезками!) — /1Е — мера Лебега множества Е С [0,1) или Е С (—оо, оо) — полуоткрытые промежутки вида [а, Ь) будем называть как интервалами, так и (реже) отрезками и промежуткамимеру Лебега (длину) промежутка Д будем обозначать | А |- через хе обозначим характеристическую функцию множества Е через /е — ограничение функции / на множество Ечерез эирр/ — носитель функции /- множества вида {ш: Х (ш) > А} часто для краткости будем обозначать {X > А}- также для краткости в интегралах иногда будем опускать переменную интегрирования в подынтегральной функции и значок мерыесли перед интегралом не стоит никакого специального знака, то подразумевается обычный интеграл Лебегачерез ||/||р обозначим норму функции /: [0,1) С в пространстве Ьр[0,1). Остальные термины, понятия, обозначения пояснены далее в тексте.

Собственные результаты автора при формулировках называются теоремами, вспомогательные утверждения — леммами. При формулировках результатов других авторов и ссылках на них употребляется термин «предложение».

Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Во введении изложена история вопроса, а также кратко освещены результаты автора по данной теме. Основные определения и фундаментальные факты сформулированы.

1. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. «Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах». // Баку: Элм, 1981.

2. Арутюнян Ф. Г. О рядах по системе Хаара. // Докл. АН Арм. ССР, 42, № 3, 1966, с. 134.

3. Афанасьева С. С. О предельном переходе под знаком А-интеграла. // Математические заметки, 9, № 1, 1971, с. 3−12.

4. Бари Н. К. «Тригонометрические ряды». // М.: ГИФМЛ, 1963.

5. БАЛАШОВ Л. А. Обобщённое интегрирование рядов по системе Хаара. // Всесоюзная школа по теории функций. Ереван, 1987, с. 3.

6. Балашов Л. А., Рубинштейн А. И. Ряды по системе Уолша и их обобщения. // Сб. «Итоги науки», матанализ, 1970, с. 147−202.

7. БОКАЕВ H.A. О сумме замкнутых /-множеств для мультипликативных систем. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 1985, № 6, с. 93−96.

8. БОКАЕВ H.A., СКВОРЦОВ В. А. Обобщение одной теоремы единственности для рядов по мультипликативным системам. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 1987, № 3, с. 11−15.

9. ВЛАСОВА Е.А. О расходимости почти всюду рядов Фурье по обобщённым системам Хаара. // Сб. «Экстремальные задачи функционального анализа и их приложения», изд-во Моск. ун-та, 1988.

10. ВЛАСОВА Е. А. Обобщённые системы Хаара. // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1988.

11. Виленкин Н. Я. Об одном классе полных ортонормальных систем. // Известия АН СССР, сер. матем., 11, № 4, 1947, с. 363−400.

12. ВИНОГРАДОВА И.А. О неопределённом А-интеграле. // Известия АН СССР, сер. матем., 25, № 1, 1961, с. 113−142.

13. ВИНОГРАДОВА И.А. О представлении измеримой функции неопределённым А-интегралом. // Известия АН СССР, сер. матем., 26, № 4, 1962, с. 581−604.

14. ГОЛУ ВОВ Б. И. Об одном классе полных ортогональных систем. // Сибирский мат. журнал, 9, № 2, 1968, с. 297−314.

15. ГОЛУБОВ Б. И. Ряды по системе Хаара. // Сб. «Итоги науки», матанализ, 1970, с. 147−202.

16. Голубов Б. И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. «Ряды и преобразования Уолша». // М.: Наука, 1987.

17. Голубов Б. И., Рубинштейн А. И. Об одном классе систем сходимости. // Математический сборник, 71, № 1, 1966, с. 305−312.

18. Зигмунд А. «Тригонометрические ряды». // М.: Мир, 1965.23. качмаж С., штейнгауз Г. «Теория ортогональных рядов». // М.: ГИФМЛ, 1958.

19. Кашин B.C., Саакян A.A. «Ортогональные ряды». // Издание второе, М.: Изд-во АФЦ, 1999.25. колмогоров а.Н. «Основные понятия теории вероятностей». // M.-JI.: ОНТИ, 1936; 3-е изд. М.: Фазис, 1998.

20. КОРОЛЁВА М. П. Об одном обобщении интеграла Перрона. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 1996, № 2, с. 83−84.

21. ЛУЗИН H.H. «Интеграл и тригонометрический ряд». // М.-Л.: 1951.

22. ЛУКАШЕНКО Т. П. Об Л-интегрируемости функций. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 1982, № 5, с. 59−62.

23. НАТАНСОН И.П. «Теория функций вещественной переменной». // Издание третье, М.: Наука, 1974.30. петрович А.ю. о рядах Фурье для некоторых классов А-интегри-руемых функций. // Докл. АН СССР, 224, № 4, 1975, с. 768−770.

24. Скворцов В. А. А-интегрируемые мартингальные последовательности и ряды Уолша. // Известия РАН, сер. матем., 65, № 3, 2001, с. 193 200.

25. УЛЬЯНОВ П.Л. О тригонометрических рядах с монотонно убывающими коэффициентами. // Докл. АН СССР, 90, № 1, 1953, с. 33−36.

26. УЛЬЯНОВ П.JI. Применение А-интегрирования к одному классу тригонометрических рядов. // Математический сборник, 35(77), № 3, 1954, с. 469−490.

27. УЛЬЯНОВ П.Л. А-интеграл и сопряжённые функции. // Уч. зап. Моск. ун-та, 181, 1956, с. 139−157.

28. Ульянов П. Л. Об А-интеграле Коши. // Успехи мат. наук, 11, № 5, 1956, с. 223−229.

29. ЦЕРЕТЕЛИ О.Д. О неопредёленном А-интеграле и рядах Фурье (А). // Studia Math., 22, № 2, 1962, с. 59−83.

30. Ширяев А. Н. «Вероятность». // М.: Наука, 1989.47. щербаков В.И. О поточечной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 1983, № 2, с. 37−42.

31. CHOW Y. S Convergence theorems of Martingales. // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 1, 1963, p. 340−346.

32. HAAR A.A. Zur theorie der orthogonalen Funktionensysteme. // Math. Ann., 60, 1910, s. 331−371.

33. KOLMOGOROFF A.N. «Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung». // Berlin: Springer, 1933.54. price J.J. Certain group of orthonormal step functions. // Canad. J. Math., 9, № 3, 1957, p. 413−425.

34. Titchmarsh E.G. On conjugate functions. // Proc. London Mathe-matic Society, 29, 1929, p. 49−80.

35. VLASOVA E.A. Convergence of series with respect to generalized Haar systems. // Analysis Mathematica, 13, 1987, p. 339−360.61. walsh J.L. A closed set of normal orthogonal functions. // Amer. J. Math., 45, 1987, p. 5−24.

36. Yoneda K. On generalized A-integrals I. // Proceedings of the Japan Academy, 45, № 3, 1969, p. 159−163.

37. YONEDA K. On generalized A-integrals II. // Mathematica Japonicae 18, № 2, 1973, p. 149−167.

38. Костин В. В., СКВОРЦОВ В. А. Мартингальные последовательности в теории ортогональных рядов. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 1999, № 6, с. 50−53.

39. КОСТИН В. В. Замкнутость справа мартингальных последовательностей в смысле А-интеграла. // Математические заметки, 68, № 1, 2000, с. 98−104.

40. КОСТИН В.В. К задаче восстановления коэффициентов всюду сходящегося ряда по мультипликативной системе с помощью А-интегра-ла. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 2001, № 6, с. 25−30.5 к г-Т-оз.