Прямолинейные осесимметричные движения упруговязкопластических сред

При моделировании вязкопластических течений материалов используется, главным образом, представление Шведова — Бингама [4, 29, 42, 99, 109, 119]. Считается, что течение в точках тела возникает лишь в случае, когда напряженное состояние в них достигает поверхности нагружения, а до этого их окрестность не деформируется. Таким способом все тело в условиях нагружения разбивается на области, где-либо материал не деформируется и покоится (застойные зоны), либо не деформируется, но движется (жесткие ядра), либо интенсивно деформируется (течет). При этом границы этих областей продвигаются по материалу деформируемого тела, вовлекая в движение новые частицы среды при развитии, или, останавливая их при торможении течения. Построенная на основе подхода Шведова — Бингама теория оказывается существенно нелинейной, а подвижность границ областей течения еще более усложняет необходимый для решения задач данного класса математический аппарат. Тем не менее, современная механика располагает достаточно разработанным для этой цели математическим аппаратом. В этой связи, прежде всего, следует отметить вариационный подход, разработанный П. П. Мосоловым и В. П. Мясниковым [100, 101]. Интересен и перспективен эвристический метод расчета вязкопластических течений, предложенный А.В. Резу-новым и А. Д. Чернышевым [125]. Такие методы, приспособленные для решения задач вязкопластического течения, в настоящее время можно отнести к первым из ныне широко представленных в научной литературе методов вариационных неравенств. Отметим некоторые точные решения [4, 6, 30, 100, 110, 127, 128], полученные в теории вязкопластических материалов. Такие точные решения можно получить только при существенных ограничениях на геометрию течения, поэтому это, в основном, прямолинейные и вискозимет-рические течения вязкопластических материалов.

Вязкопластические течения часто связывают с течениями неньютоновских жидкостей [4]. Но в рамках данной модели могут рассматриваться и твердые деформируемые тела, в которых на стадии их пластического течения существенно проявление вязких свойств [38, 43, 56, 60, 61, 72, 74, 75, 76, 90, 156, 187, 206], могут также рассчитываться на прочность конструкционные элементы [29, 40, 41, 46, 104−107, 110, 154, 155, 196, 207, 209]. Следовательно, модель является достаточно универсальной. Очевидно, что в областях вязкопластического течения деформации необратимы и не могут считаться малыми. Последнее не вызывает дополнительных математических трудностей, так как задача решается в скоростях, что является обычным для жест-копластического анализа. По иному складывается ситуация, если предположить, что в областях застойных зон и жестких ядер материал деформируется, но только обратимо (упруго). В этом случае в зоне течения задача решается снова в скоростях, но там где необратимые деформации отсутствуют или не накапливаются, соответствующую краевую задачу приходится ставить в перемещениях (как в теории упругости). Тогда на упругопластической границе обязаны быть равными не только напряжения и скорости, но и перемещения. Вычисление же перемещений в областях пластического течения. может оказаться самостоятельной и не простой задачей [44, 45, 49]. Более того, уровень напряжений и их распределение по областям течений из-за учета упругих свойств материала обязан зависеть от распределения и уровня обратимых деформаций в этих же областях. В случае жесткопластических тел такие деформации отсутствуют, но как только учитываются упругие свойства, то и напряженное состояние в материале, главным образом, будет задаваться упругими (обратимыми) деформациями. Все это с неизбежностью приводит к модели больших упругопластических деформаций, в которой при течении среды учитываются ее вязкие свойства. Заметим, что до настоящего времени такой общепризнанной теорией современная механика деформирования не располагает. Отчего сложилась такая ситуация и каков выход из этой ситуации?

Заметим прежде, что поставленная задача учета упругих свойств материала застойных зон и жестких ядер подразумевает изначально использование теории пластического течения, а не деформационной теории пластичности. Уже математическая модель жесткопластического тела является моделью пластического течения. Деформационную теорию пластичности иногда называют теорией упругопластических процессов. Основополагающая заслуга в формулировке основных подходов в построении такой теории принадлежит замечательному русскому механику Алексею Антоновичу Ильюшину [51 — 54] и его ученикам [34, 55, 91, 92, 113]. Эта теория зарекомендовала себя положительно применительно ко многим прикладным расчетным проблемам. Иногда ее называют теорией малых упругопластических процессов, но, несмотря на это, имеются удачные попытки обобщения ее на случай конечных необратимых деформаций [34, 97, 98, 113−115, 132, 134, 202, 203]. Особо следует отметить монографию А. А. Поздеева, П. В. Трусова и Ю. И. Няшина [114], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных теории больших необратимых деформаций при малых обратимых. В своей теоретической части в данной монографии обобщается теория упругопластических процессов А. А. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода даются постановки краевых задач термоупругопластичности, обсуждаются методы их решения, представлены расчеты в ряде технологических задач. В основу расчетной методики положен метод Галёркина и соответствующие разрешающие конеч-ноэлементные соотношения.

Основополагающие принципы построения теории пластического течения содержатся в [8 — 10, 13, 32, 33, 47, 50, 56, 58, 62, 116 — 123, 131, 133, 135 138]. Здесь остановимся, главным образом, на случае, когда деформации, как необратимые, так и обратимые является большими.

Принято считать, что первой публикацией, в которой обсуждается проблема больших упругопластических деформаций является монография Л. И. Седова [129]. Разделение деформаций на необратимую и обратимую составляющие связывалось с представлением вектора перемещений частицы среды в виде суммы обратимого (упругого) и вектора необратимого (пластического) перемещения. Отсюда суммой упругих и пластических деформаций представлялись полные деформации в теле. Легко показать, что такие представления геометрически несостоятельны. На это было обращено внимание сразу после публикации монографии. Оказалось, что обобщение классических подходов теории идеальных упругопластических сред (тело Прандтля — Рейса) на случай больших деформаций встречает принципиальные трудности. Причем эти трудности возникают уже в кинематике упругопластической среды. Первой и основной из них оказывается само определение упругих и пластических деформаций. Построение математической модели теории течения упругопластических материалов требует разделения полных деформаций в каждой точке не составляющие: обратимую или упругую и необратимую, иначе пластическую. Но если полные деформации поддаются опытному измерению, то упругие и пластические деформации экспериментально неизмеримы.

Введение

их в рассмотрение диктуется только нуждами в построении теории и любое определение для них связано с произволом конструктора модели. Следствием этого является наблюдаемое многообразие в моделях больших упругопластических деформаций и отсутствие общепринятых подходов в моделировании столь сложного механического процесса, каким является процесс интенсивного формоизменения материала при изготовлении изделий из него.

Но таким же следствием оказалось то, что до конца 1969 г. не существовало математической модели больших упругопластических деформаций, построенной в рамках теории течения. Однако, конец прошлого века отметился тем, что редкий выпуск любого из основных журналов по механике обходился без представлений новых подходов в моделировании больших упругопластических деформаций. Отчего 1969 год является годом начала развития теории? Это оттого, что именно в 1969 году была опубликована статья Е. Ли [177], в которой впервые была построена непротиворечивая кинематика упругопластических материалов. Предложение Е. Ли заключалось в том, чтобы представить градиент полной деформации в виде произведения:

Здесь Fq, 7 — радиус-векторы начального и текущего положения точки интенсивно (как обратимо, так и необратимо) деформируемой среды, ррадиус-вектор этой же точки в состоянии полной разгрузки. Гипотеза существования такого состояния, не зависящего от того, результатом какого процесса активного деформирования было достигнуто актуальное (текущее) состояние и, главное, от условий реализации процесса разгрузки, является основополагающей. Приведенное выше соотношение иллюстрирует взаимно однозначное соответствие между точками сплошной среды в ее актуальном состоянии и состоянии, объявляемым в качестве разгрузочного. При этом последнее не уточняется, ведь после снятия внешнего воздействия на интенсивно и необратимо продеформированное тело, в нем остаются как необратимые, так и обратимые деформации, следствием которых являются остаточные напряжения. Только в сравнительно поздней работе А. Д. Чернышева [140] находим, что в качестве такого разгрузочного состояния следует принять состояние, лишенное внутренних связей при предельном изменении тела. Вопрос о зависимости данного предельного состояния от пути разгрузки в пространстве напряжений не обсуждается. Несмотря на имеющиеся противоречия, подход Е. Ли оказал значимое влияние на развитие теории, что было связано с прозрачностью основных допущений, их относительной простотой и соответствием представлениям классической теории, когда деформации остаются малыми. Данный подход использовался в абсолютном большинстве последующих публикаций, посвященных теории пластического течения при больших деформациях [39, 75, 84, 85, 112, 139, 140, 149 — 153, 157, 162, 163, 174, 184 — 193, 200]. Так же как и у Е. Ли, в большинстве таких работ постулируемое разгрузочное состояние определяется с точностью до жёсткого вращения, на котором возможно нарушение принципа индифферентности. Часто не обсуждается, а иногда и нарушается принцип термодинамической допустимости. Оказалось, что непосредственный перенос представлений Е. Ли на случай анизотропии механических свойств деформируемой среды невозможен.

Недостатки в подходе Е. Ли и последователей по разделению полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие описал Р. Клифтон [157]. Им было показано, что постулированное разгрузочное состояние необходимо зависит от пути разгрузки в пространстве напряжений, а напряжения в областях, где необратимые деформации накоплены или изменяются, необходимо зависят от уровня таких деформаций и скоростей их изменения. В качестве способа разделения деформаций на составляющие в [157] предложено разложение, отличающееся от разложения Е. Ли порядком сомножителей.

К недостатку данного разложения следует отнести показанную Р. На-хди [190] невозможность образовать в таком случае тензор необратимых деформаций так, чтобы он не менялся в процессе разгрузки. Но данное обстоятельство характерно и для кинематики Е. Ли [170].

Попытку исправить недостатки кинематики, основанной по гипотезе существования единственно возможного разгрузочного состояния, предприняли А. Грин и Р. Нахди [163, 164]. Позднее Р. Нахди [190] было указано, что в кинематике [163], призванной исправить недостатки кинематки Е. Ли [177 — 179], вводимые тензоры деформаций не определяются однозначно через метрический тензор, что заставляет сомневаться в продуктивности теории, построенной на основе заведомо сомнительного положения. Вводимое же в [190] по примеру Л. И. Седова разделение перемещений на обратимую и необратимую составляющие привело к тому, что следующие при таком разделении тензоры деформаций оказались не инвариантными при жестких вращениях. Таким образом, исправление Р. Нахди привело к другим, не менее нежелательным свойствам модели.

Еще одним недостатком моделей, построенных на основе кинематики Е. Ли, является зависимость напряжений в пластически деформируемых телах от уровня и распределения необратимых деформаций. Конкретизировать посредством опытов такую зависимость не представляется возможным, поэтому практическое использование модели для расчетов интенсивного деформирования проблематично. Заметим здесь, что классическая модель уп-ругопластической среды (тело Прандтля — Рейса) не содержит в себе других постоянных, кроме упругих модулей и предела текучести, и поэтому удобна для практического использования.

Построения теории пластического течения чаще всего использует связь тензора скоростей пластических деформаций с пластическим потенциалом, в качестве которого выступает условие пластичности. Теперь, определив (разделив) обратимые и необратимые деформации, следует указать тензор скоростей изменения необратимых. В классической теории при малых деформациях такой проблемы не возникает. С этой целью достаточно вычислить полную производную по времени от тензора необратимых деформаций. Когда же деформации большие, то для этой цели следует использовать объективную производную. Но объективная производная по времени не является единственной, их бесконечно много. Наиболее часто используются производные Яумана, Олдройда, Коттера — Ривлииа, Трусделла. Таким образом, выбор производной не однозначен и диктуется, по существу, вкусом автора создаваемой теории. Так В. Прагер считал [116 — 118], что для теории пластичности предпочтение следует отдать производной Яумана. Целый ряд авторов [77, 103] отдают предпочтение производной Коттера — Ривлина из-за того, что данное дифференцирование связывает тензор деформаций Альман-си с тензором скоростей деформаций Эйлера. В [4, 78, 124] предлагается использовать иные производные, но, главное, неоднозначность подобного выбора всегда присутствует. Великий Р. Хилл полагал [167, 168], что такой выбор не существенен, то есть может быть произвольным. В более поздних работах [148, 158, 159, 161 и др.] предлагается осуществлять данный выбор, следуя данным специально для этого проведенных опытов. Очевидно, что в таком случае будет отсутствовать полная уверенность, что «наилучшая» производная была использована и что выбранная в результате обработки экспериментов производная не приведет к противоречию с экспериментами для иных видов деформаций.

В работе [75] Кондауров В. И. и в работе [68] Кондауров В. И. и Кукуд-жанов В.Н. обобщают кинематику Е. Ли на случай учета вязких свойств материалов в условиях их пластического течения. Им удается конкретизировать модельные зависимости, изучить закономерности распространения волн напряжений в рамках модели и предложить методы расчетов в нестационарных задачах механики деформирования [76, 81].

Обобщение кинематики Е. Ли на термоупругопластические среды проводилось в [139, 182 — 183], а в работе [195] на такие же материалы обобщается кинематика А. Грина и Р. Нахди. Несомненно, что имеющиеся в данных подходах отмеченные недостатки не могут быть устранены добавлением еще и температурных и реологических эффектов.

Результаты исследования Киевской школы механиков [84 — 89, 104 -108] суммированы в монографии В. И. Левитаса [89]. Построенная в отмеченных работах кинематика больших упругопластических деформаций свободна от неточностей предшественников, однако основополагающей гипотезой построений, по существу, остается предложение Е. Ли о существовании разгрузочного состояния. Для выполнения условия независимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки оказались необходимыми дополнительные ограничения. Существенное внимание в [89] уделяется проблеме «выбора» объективной производной по времени от тензоров деформаций. Один из параграфов [89] так и называется: «Постановка и решение задачи выбора объективной производной». Из-за того, что также как и у Е. Ли разделение полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие производится алгебраически с использованием предположения о существовании единственного, соответствующего данному актуальному состоянию разгрузочного состояния, проблема «выбора» объективной производной с целью определения тензора скоростей необратимых деформаций возникает с необходимостью. Теория пластического течения строится таким образом, что напряжения в среде связываются как раз со скоростями пластических деформаций. Попытка обойти неоднозначность в таком выборе связана в [89] с введением в рассмотрение новой объективной производной, названной В. И. Левитосом R-производной. При помощи данной производной решается задача обобщения определяющих соотношений при исключенных конечных поворотах на общий случай. Таким способом предлагается строить теорию, исключая вращения при деформировании, и затем обобщать ее строго на случай конечных поворотов. В таком случае проблема неоднозначного выбора объективной производной из общетеоретических проблем переносится в задачу конкретизации определяющих соотношений модели на уровне простых нагружений. Известно, что последние задачи являются неполными и, следовательно, предложение В. И. Левитаса позволяет только «спрятать» проблему, а не дать ее полное разрешение.

В работах А. А. Рогового с учениками [80, 109, 126] в качестве разгрузочного состояния принимается то же, что и в [140]. Отмечается, что так же, как и в разложении Е. Ли [177 — 179] и многочисленных последователей Е. Ли [75, 140, 189 — 193, 209] разгрузочное состояние может не быть единственным, подчеркивается необоснованность принимаемого условия зануления неупругих конечных поворотов. Для целей уточнения кинематики больших упругопластических деформаций А. А. Роговой предлагает рассматривать процесс накопления деформаций в качестве последовательного наложения малых упругопластических деформаций на конечные. Это позволяет перенести все сложности, связанные с разделением полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие, на уровень приращений деформаций. Для последних появляется возможность считать их малыми и в своей сумме составляющими приращение полных деформаций. При этом считается, что упругие деформации не влияют на процесс накопления необратимых деформаций в малом из промежуточной конфигурации. Отметим, что в общем случае это противоречит данным экспериментов. Таким образом, процесс деформирования по А. А. Роговому представляется в форме бесконечно малых попеременных переходов из некоторой фиксированной конфигурации до некоторой промежуточной, когда необратимые деформации накапливаются при неизменных напряжениях, соответствующих поверхности нагружения, а упругие деформации связываются с переходом из промежуточной конфигурации в актуальную. В таком случае не возникает проблема выбора объективной производной и имеется возможность в получении замкнутой модели.

В.П. Мясников предложил общий подход к построению моделей больших упругопластических деформаций, основанный только на формализме неравновесной термодинамики [103]. Объявляя обратимые и необратимые деформации термодинамическими параметрами состояния, следует потребовать формулирования для них соответствующих уравнений изменения (переноса). Эти уравнения как раз обязаны связывать скорости составляющих деформаций с соответствующими тензорами деформаций, учитывать возможное взаимовлияние необратимых деформаций и обратимых и скоростей их изменения и наоборот. Именно на этапе записи дифференциальных уравнений переноса определяется механический смысл источников в этих уравнениях и потоковых слагаемых.

При таком подходе оказывается, что способ разделения деформаций на составляющие не принципиален, а является только способом задания потоков в уравнениях изменения тензоров упругих и пластических деформаций. Проблема «выбора» объективной производной отсутствует, так как сами дифференциальные уравнения переноса для тензоров составляющих полных деформаций выполняют связующую роль между этими тензорами и тензорами скоростей их изменения, которые в уравнениях переноса выполняют роль источников. Очевидно, что в таком случае основные допущения обязаны быть сформулированы при записи уравнений переноса, то есть на таком уровне и таким способом обязаны быть определены как обратимые, так и необратимые деформации. Таким образом, работой [103] В. П. Мясников указал механический и термодинамический смысл всех допущений, связанных с определениями модели упругопластической сплошной среды, определил место данных допущений при выписывании соотношений модели и, главное, показал, что определение обратимых и необратимых деформаций следует задавать дифференциальными уравнениями их изменения, а уже следствием этого предстают и способ разделения полных деформаций на составляющие и необходимая объективная производная для связи тензоров со скоростями их изменения. Это тем более важно, так как до сих пор публикуются статьи дискуссионного содержания об аддитивном и мультипликативном разделении полных деформаций на обратимые и необратимые [112, 148, 150 — 152] и о проблеме «выбора» объективных производных [152, 196, 208].

В замечательной работе Г. И. Быковцева и А. В. Шитикова [31] определение обратимых и необратимых деформаций основывается, по существу, на постулировании для них дифференциальных уравнений их изменения. Пусть данное обстоятельство в [31] прямо не декларируется, но оно находится как раз в полном соответствии с формализмом неравновесной термодинамики [103, 138]. В отличие от [103] в [31] конкретизируются и источники в данных дифференциальных уравнениях, и потоковые слагаемые.

Авторы работ [14, 15] в качестве их цели обозначают возможность построения наиболее простых и конкретных математических моделей больших упругопластических деформаций. Следуя формализму неравновесной термодинамики, обратимые и необратимые деформации определяются соответствующими уравнениями переноса. Полагается, что необратимые деформации в процессах разгрузки неизменны, а компоненты тензора необратимых деформаций меняются так же, как и при жестком вращении тела. Для того чтобы напряжения в среде определялись бы только уровнем и распределением обратимых деформаций, в [14, 15] вводится дополнительная гипотеза о независимости термодинамических потенциалов (внутренняя энергия, свободная энергия) от необратимых деформаций. Предполагается, что последние определяют только диссипативный механизм деформирования. Следующее при таких допущениях разделение деформаций на обратимую и необратимую составляющие оказывается более сложным, чем в кинематике Е. Ли, но в отличие от [103] вполне конкретным. Проблема же выбора объективной производной разрешается на пути задания дифференциальных уравнений изменения тензоров обратимых и необратимых деформаций. В настоящей работе при записи модельных соотношений будем следовать этому же пути.

Описанный подход получил дальнейшее развитие. Так, впоследствии математическая модель больших упругопластических деформаций, предложенная в [14, 15], J1.B. Ковтанюк была обобщена [67] на неизотермический случай, а работой [72] JI.B. Ковтанюк и А. В. Шитиков обобщили данную модель на случай учета реологических эффектов. В [22] вязкость материала учитывается только на стадии деформирования, предшествующей пластическому течению. Вариационные методы для построения моделей больших упругопластических деформаций использовались в работах [77, 145, 160].

Когда математическая модель процесса дополняется постановками и решениями в ее рамках краевых задач, тогда данную совокупность называют теорией. Уже подчеркивалось, что математическая модель больших упруго-пластических деформаций, предложенная А. А. Бурениным и JI.B. Ковтанюк [14, 15], является конкретной в том смысле, что не содержит новых постоянных материала, кроме упругих модулей и предела текучести. Это позволило в рамках данной модели поставить и решить ряд краевых задач. Прежде всего, следует отметить здесь решения одномерных задач о пластическом течении и формировании полей остаточных напряжений в окрестностях неоднородно-стей упругопластического материала [16 — 19, 22, 63 — 66, 73]. Обнаруженный эффект «приспособляемости» идеального упругопластического материала к циклическим эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка-разгрузка» [17] заставил изучить реологические механизмы, ответственные за развитие дефектов и их «залечивание» [22]. В цикле работ А. А. Буренина, Л. В. Ковтанюк и А. С. Устиновой [23, 25, 26, 28] изучались вискозиметрические течения упруговязкопластической среды. Заметим, что в этих работах использовалась та же математическая модель, что и в настоящей диссертации. Именно обнаруженная возможность получить точные решения в задачах прямолинейного вязкопластического течения с учетом упругих свойств материалов жестких ядер [21, 67, 69−71], чему посвящена настоящая работа, позволила перенести методы решения задач на вискозиметрические течения.

Задача о чистом сдвиге упругопластической среды рассматривалась в [196], в [208] рассмотрены задачи кручения стержней, в [175] получено точное решение в задачах равновесия полой толстостенной сферы под действием либо внешнего, либо внутреннего давления. Далее в простейших модельных задачах из-за их существенной нелинейности приходится обращаться к численным методам. Среди таких методов наиболее популярным остается метод конечных элементов [86, 105, 108, 161, 165].

Динамические задачи теории больших упругопластических деформаций рассматривались в [27, 74]. Оказалось, что движение среды за волной разгрузки можно описать уравнением в перемещениях. Скорость распространения волны разгрузки по несжимаемой упругопластической среде совпадает со скоростью распространения упругой эквиволюминальной волны. Для простейшего одномерного случая получено точное решение задачи.

Первая глава настоящей диссертационной работы является, по существу, вводной. В ней, следуя основным идеям [15, 72], выписываются основные соотношения модели больших упруговязкопластических деформаций. Считается, что вязкие свойства среды проявляются только при ее пластическом течении.

Во второй главе поставлена и решена краевая задача в рамках данной модели о продавливании на конечное расстояние упруговязкопластической пробки, расположенной в зазоре между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, за счет изменяющегося со временем перепада давления. Считается, что продавливание осуществляется за счет возникновения вязкопластического течения в приграничных областях продавливаемой пробки. Первоначально решается упругая задача с определением места зарождения течения. Оказывается, что такое течение возникает в окрестности внутренней жесткой цилиндрической поверхности и развивается при росте перепада давления. При достижении данным перепадом некоторого нового критического значения вязкопластическая область начинает развиваться со стороны внешней жесткой поверхности, и пробка начинает движение как упругое ядро (аналог жесткого ядра в теории Шведова — Бингама). После некоторого такого продвижения перепад давления снижается и пробка останавливается. После полного снятия нагружающих усилий рассчитывается уровень и распределение возникших остаточных напряжений. Вся серия описанных краевых задач теории решается в квазистатической постановке, то есть силами инерции пренебрегается.

В третьей главе рассмотрены вполне аналогичные задачи. Теперь только упруговязкопластическая среда заполняет всю область между цилиндрическими поверхностями, а ее движение вызывается перемещением жестких границ. Так же как и во второй главе рассмотрен последовательный ряд задач от упругого равновесия к возникновению приграничного течения, развитию последнего и торможения до полной остановки и разгрузки. Изучено влияние присутствия в зазоре слоя с отличными от основного материала механическими свойствами. Рассмотрен случай, когда материал слоя является более податливым по сравнению с основным материалом.

Заключение

.

Впервые точное решение краевой задачи теории больших упругопластических деформаций было получено JI.B. Ковтанюк [69]. Именно данное обстоятельство, по всей видимости, позволило академику Г. Г. Черному представить соответствующую работу для публикации в ДАН [69]. Настоящей диссертацией представляются еще два точных решения, по своей постановке обобщающие [69]. Представляется важным, что рассматривается не только развитое или развивающееся вязкопластические течение с упругим проде-формированным ядром, но и торможение его до остановки и последующей полной разгрузки с вычислением остаточных деформаций и напряжений. Таким образом, решение каждой краевой задачи данного ряда служит начальным условием для постановки следующей задачи. И так до полного снятия нагружающих усилий. При этом последующая краевая задача связана с возникновением и движением новой упругопластической границы. Условия возникновения и закономерности продвижения подобных границ, которые могут быть границами упругих ядер или застойных зон, следуют только в процессе решения соответствующих краевых задач. Следует особо подчеркнуть важный постановочный факт, который необходимо учитывать при составлении алгоритмов расчетов, состоящий в том, что упругопластическая граница, отделяющая область с накопленными необратимыми деформациями от области вязкопластического течения, необходимо оказывается поверхностью разрывов скоростей необратимых деформаций. Такие поверхности разрывов возникают при торможении течения, когда новая упругопластическая граница отделяется от существовавшей при остановке последней.

В качестве итога сформулируем основные результаты диссертации:

1. В рамках модели больших упруговязкопластических деформаций проведена постановка и получено точное решение задачи о конечном продвижении упруговязкопластической пробки, расположенной между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями за счет изменяющегося во времени перепада давления. Рассчитаны поля деформаций (как обратимых и необратимых), напряжений и скоростей движения среды на всех стадиях процесса, включающего развитие движения, последующее движение при постоянном перепаде давления, остановку и полную разгрузку при снятии перепада давления.

2. Указаны условия зарождения вязкопластических течений, закономерности возникновения и продвижения упругопластических границ, продвижения упругого ядра. Рассчитано итоговое поле остаточных напряжений и деформаций.

3. Проведены расчеты в цикле краевых задач теории больших упруго-вязкопластических деформаций, связанных с прямолинейным движением материала между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, включающем зарождение вязкопластического течения, его развитие, торможение до остановки и последующую разгрузку. Отдельно рассмотрен случай присутствия в среде слоя более податливого материала.

4. Показано, что в случае однородности материала вязкопластическое течение всегда начинается в окрестности внутренней жесткой цилиндрической поверхности, как при ее задаваемом движении, так и при задании движения внешней цилиндрической поверхности. Получена закономерность продвижения упругопластической границы, как при развитии течения, так и при его торможении. Показано, что в условиях торможения упругопластиче-ская граница, отделяющая область продолжающегося вязкопластического течения от области, где накопленные необратимые деформации не изменяются, оказывается поверхностью разрывов скоростей необратимых деформаций.

5. При наличии в материале более податливого слоя установлены критерии зарождения течения либо на границе слоя, либо на внутренней границе основного материала. То же относится и к условиям остановки вязкопластического течения. Установлено, что вязкопластическое течение при его развитии может одновременно происходить и в слое, и в основном материале, но при торможении данная ситуация невозможна, то есть вязкопластическое течение присутствует либо в слое, либо в основном материале.