Классификация нормальный и сопряженно-нормальных теплицевых и ганкелевых матриц

Описание пересечения двух матричных классов — типичная задача линейной алгебры. Известным примером служит критерий Сильвестра ([1]), устанавливающий условия, при которых вещественная симметричная матрица является одновременно положительно определенной.

Множество нормальных матриц представляет собой матричный класс, обладающий целым рядом замечательных свойств. Это унитарная диагонализуемость, существование ортонормированного базиса из собственных векторов, наличие известных оценок на возмущение спектра через возмущение элементов, на спектральный радиус (см. [4, 10, 6]). Иметь дело при вычислениях с такими матрицами намного приятнее.

Вместе с этим на практике часто приходится иметь дело с матрицами, имеющими определенную структуру. Это могут быть ленточные, теплицевы, ганкелевы матрицы и т. д. Как правило, структурированные матрицы однозначно определяются значительно меньшим числом параметров по сравнению с общим количеством элементов в матрице. Это натолкнуло на мысль о возможной простоте множеств нормальных матриц, имеющих определенный вид, и привело к возникновению чисто алгебраической задаче характериза-ции нормальных матриц среди матриц конкретной структуры. Решение этой проблемы для некоторых видов структурированных матриц, как получение классификаций, является главным результатом, представляемым в диссертации.

Основными видами структурированных матриц, рассматриваемых в работе, являются теплицевы, ганкелевы и (Т + Н)-матрицы. Также будут использованы частные их виды, как хорошо известные, так и недавно введенные в публикациях [28, 48, 49, 34].

Пусть И — множество действительных, а С — комплексных чисел. Обозначим через Мп (И) и Мп (С) — множества соответственно вещественных и комплексных п х п-матрицг — стандартное обозначение для мнимой единицы.

Теплицевой называется матрица Т Мп (И) или Т? Мп© вида.

0.1) к ?1 t2. ?n! t-1 ?0 tl ¦ • • tn-2.

Т = t-2 t-1 to ¦ • • tn-3 t-n+1 t-n+2 t-n+3. t0 J теплицева матрица имеет элементы, зависящие столбцового и строчного индексов,.

T}k, j = tj-k, k, j = 1,2,.

0.2) и, поэтому, однозначно определяется элементами первой строки и первого столбца.

Впервые эти матрицы были исследованы немецким математиком Отто Теплицем (01.08.1881 — 15.02.1940), проводившем свои разработки в Бонне. Основные его труды относятся к теории интегральных уравнений, линейной и полилинейной алгебре (см. [65, 66]). Также в 1911 году Теплиц нашел необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять бесконечная треугольная матрица ||amn|| (где атп = 0 при п > т) для того, чтобы метод суммирования расходящихся числовых' рядов т.

S = lim ат, т—¥оо ^ ^ Q’rrin Sri п—1 где 8п = ао + • • • + ап — частичная сумма рассматриваемого ряда, был регулярен. Однако, среди объектов, связанных с именем Теплица, основной интерес будут представлять именно теплицевы матрицы.

Различные вопросы, относящиеся к теплицевым матрицам и их роли в математических проблемах, исследовались многими авторами и нашли свое отражение в многочисленных статьях и хорошо известных монографиях [3, 38, 15, 7]. Последние десятилетия были отмечены активным интересом к численному решению задач с теплицевыми матрицами и «близкими» к ним [3, 39, 40, 41, 42, 9]. Эти задачи связаны с актуальными вычислительными проблемами прикладной электродинамики, акустики, оптики, автоматического регулирования, обработки изображений, дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей ([62, 61, 2, 51, 36]). В ряде случаев требовалось получить максимально быстро решение, в других — необходимо было рассматривать матрицы большого порядка и, следовательно, решать сложные вопросы экономного расходования машинной памяти и, конечно, времени.

Исследование задач с матрицами типа теплицевых и разработка методов их решения продолжают активно развиваться ([63, 64]). Существует множество задач, которые ждут своего решения. Так, в задачах дифракции на пространственно-ограниченных неоднородностях, в тех случаях, когда длина падающей волны соизмерима с характерными размерами рассеива-теля, как правило, решают численно интегральные уравнения или системы уравнений. Обычно эти уравнения сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, и в случае сравнительно больших неоднородностей, особенно в трехмерных задачах, необходимо решать системы очень высокого порядка. В большинстве публикаций описываются расчеты либо для тел малых размеров, либо для особых типов возбуждений ([18]). Однако, для тел специальной формы путем подходящего выбора узлов можно свести задачу к «решению системы линейных алгебраических уравнений весьма специального типа. На этом пути увеличение размеров тел находится в прямой зависимости от того, насколько эффективно применяемые численные методы линейной алгебры работают с соответствующими матрицами.

Помимо решения систем, здесь возникают и другие задачи алгебры. Чтобы исследовать зависимость токов и полей от большого числа различных возбуждений, нужен эффективный способ решения систем с большим числом правых частей ([9, 37]). Для выявления резонансных случаев требуется решать спектральные задачи ([13, 14]). При рассмотрении интегральных уравнений 1-го рода возникают некорректные задачи ([51, 36]). Кроме того, специфика матриц вносит нередко дополнительные особенности (симметрию, ленточность и т. д.), которые позволяют строить еще более эффективные методы. В упомянутых задачах и возникают теплицевы матрицы.

Хорошо известными частными случаями теплицевых матриц являются циркулянты и косые циркулянты. Теплицева матрица (0.1) называется циркулянтом., если ?0 ?1 ?2 • • • ¿-п-1 ^ ¿-п-1 ?0 ?1 • • • ¿-тг-2 ¿-п-2 ¿-п-1 ?0 • • • ¿-п-3 т =.

0.3) ?1 ?2 ?3 • • • ?0 / или поэлементно t—j ?71—) = 1,2,. ., 71−1.

0.4).

Косым циркулянтом называется теплицева матрица (0.1), записанная как.

Т = ?0 ?1 ?2 • • • ¿-тг-1 тг-1 ?0 ?1 • ¦ • ¿-тг—2 п-2 -¿-тг-1 ¿-о' • •• ¿-п-3 ?1 -?2 -¿-з.

0 /.

0.5) или t—j ?71—- = 1,2,., п-1. (0.6).

Обобщением циркулянтов и косых циркулянтов служат ф-циркулянты теплицевы матрицы вида к фЬп-1 ?0 г= 1.

2 ?1.

ФК-2 фЬп-1 ¿-о.

I Л.-/. Л.4. 1 </^2 </^3 га-1 1>п-2 ¿-п-3.

0 /.

0.7) или.

0.8) э = 1,2, ., п- 1, где ф? С.

Новыми частными случаями теплицевых матриц будут двухпараметри-ческие и разделяющиеся циркулянты, а также Л-симметричные матрицы. Теплицеву матрицу вида (0.1) будем называть двухпараметрическим (или (ф, ¦0) -) циркулянтом, характеризуемым (вещественной) 2×2-матрицей.

И/ = а ?3 с определителем если выполнены соотношения.

7 <5 а5 — (3^ = 1, фЬп-4 + фЬп7, = 1, 2,. п — 1, где, а + 5 ./9 — 7 ф = —=—Ь г.

3 + 7 Ф = —~—Ь г.

0.9).

0.10).

0.11).

0.12).

2 ' 2 г 2 ' 2 Множество таких матриц будем обозначать символом С (0, ф). При ф = 0 формулы (0.11) описывают хорошо известный класс ^-циркулянтов.

Пусть фиксирована вещественная невырожденная 2×2-матрица.

V =.

УП Уи У21 ^22.

0.13).

Скажем, что к классу С (ф, ф) применено^{-преобразование,} если всякая матрица.

Т = Т + гТ2, Т Е С (ф, ф), (0.14) заменена матрицей.

Т = Т1 + гТ2 = (уцТг + ^21²) + г (ииТ1 + ^22²).

0.15).

В диссертации показано, что Т будет принадлежать классу С (ф, ф), характеризуемому матрицей = У~1]УУ.

Теплицеву матрицу Т 6 Мп{С) назовем разделяющимся циркулянтом, если в представлении Т = Т + ъТ2 слагаемое Т является £-циркулянтом для некоторого числа? Е II,? 0, а Т2 — -циркулянтом.

Теплицеву матрицу (0.1) будем называть X-симметричной, если.

— 7 = А£7, ] = 1,2,., п- 1.

0.16).

Это своеобразное обобщение определений симметричной (А = 1) и кососим-метричной (А = —1) теплицевых матриц.

Другим множеством структурированных матриц, рассматриваемым в работе, является совокупность ганкелевых матриц.

Ганкелевой называется матрица Н? МП (Г1) или Н Е Мп©, элементы которой зависят лишь от суммы строчного и столбцового индексов:

Н = КНп-2 ?10.

Нп-2 з.

Нп-4 Нп-5 ¦¦ Н-2 Н0 к-1.

0.17).

-(п-1) / или.

Щк,] = К+1-{3+к)1 к, 2 = 1, • • •, П. (0.18).

Ганкелева матрица однозначно определяется элементами первой строки и последнего столбца.

Эти матрицы связаны с именем немецкого математика Германа Ганкеля (14.02.1839 — 29.08.1873), работавшего в Эрлангене и Тюбингене. Ему принадлежит ряд формул теории цилиндрических функции. Ганкель известен работами в области основания арифметики, комплексного анализа, кватернионов, интегральных преобразований, линейной алгебры ([57, 58]). Однако, для меня наибольший интерес представляют сами ганкелевы матрицы.

В журнальной литературе накопилось большое количество результатов, относящихся к алгебре ганкелевых матриц и форм. Эти результаты складываются в довольно стройную теорию, истоки которой находятся еще в мемуарах Г. Фробениуса [53, 54]. О матрицах вида (0.17) некоторые сведения можно почерпнуть из работы Ф. Р. Гантмахера [4].

Ганкелевы матрицы широко используются в алгебре, теории вероятностей, в анализе и теории функций ([7, 15, 38, 43]) .

Важную роль в теории динамических систем играет интеграл свертки, связывающий реакцию динамической системы с входным сигналом. Если эту связь записать в матричных обозначениях, то вход и выход будут связаны именно ганкелевой матрицей ([19]).

В последние годы обнаружились глубокие аналогии, а также прямые связи между теплицевыми и ганкелевыми матрицами. Именно эти аналогии явились тем ориентиром, который помог разобраться в сложных вопросах, затрагиваемых в диссертации.

Для ганкелевых матриц тоже, как и для теплицевых, определены понятия ганкелевого циркулянта, если з = 1,2,., п- 1.

0.19) ганкелевого косого циркулянта при.

0.20) и ганкелевого ф-циркулянта, когда фК-з, з = 1,2,., п — 1.

0.21) фе с.

Т + Н) -матрицей является матрица, представимая в виде суммы теп-лицевой и ганкелевой. Если при этом оба слагаемых являются соответствующими циркулянтами, то такую (Т + Н) -матрицу будем называть (Т + Н)-циркулянтом, а когда теплицева и ганкелева матрицы представляют собой косые циркулянты, — косым (Т + Н) -циркулянтом.

Для указанных основных типов структурированных матриц в диссертации будут исследованы вопросы, связанные с их пересечением с множеством нормальных матриц. Все результаты представляют собой критерии нормальности в некотором конкретном множестве структурированных матриц. Условимся доказательства этих критериев называть решением нормальной задачи для исследуемого типа матриц.

Самой простой среди задач классификации нормальных матриц, обладающих определенной структурой, является нормальная теплицева задача (НТЗ), заключающаяся в описании матриц, являющихся теплицевыми и нормальными одновременно, т. е. матриц Т, подчиняющихся условию.

ТТ* = Т*Т. (0.22).

Решению НТЗ посвящена глава 1 диссертации. Сначала, в первом разделе, дан экскурс в историю исследования рассматриваемой задачи, приведены формулировки критериев нормальности теплицевой матрицы как в вещественном, так и в комплексном случае, а также их бесконечномерный аналог. В конечномерном случае эти критерии представляют собой краткое описание четырех видов вещественных нормальных теплицевых матриц и двух классов их комплексных обобщений. Хотя существуют различные решения НТЗ, о которых обязательно упомянем, в оставшейся части главы приведем еще одно решение НТЗ, основанное на теории множеств.

В отличие от НТЗ более сложной является нормальная ганкелева задача (НГЗ), в которой требуется указать все виды комплексных матриц, являющихся одновременно нормальными и ганкелевыми, т. е. матриц Н с условием.

НН* = #*#. (0.23).

Подчеркнем, что данная задача имеет смысл лишь в поле комплексных чисел, так как произвольная вещественная ганкелева матрица всегда является нормальной в силу симметричности. Получению решения НГЗ отведена глава 2.

Процесс нахождения требуемых ганкелевых матриц отражен в первом разделе второй главы. В этой части диссертации сформулированы десять классов нормальных ганкелевых матриц.

На самом деле, НГЗ эквивалентна системе квадратичных уравнений относительно элементов двух вещественных теплицевых матриц. Поэтому для нахождения нормальных ганкелевых матриц нужно определить все случаи, когда соответствующая система разрешима, и в каждом из них найти решения. Приведенное во втором разделе полное решение НГЗ представляет из себя изложение подхода, позволившего получить все классы нормальных ганкелевых матриц в рамках единой схемы и доказать отсутствие других подходящих матриц. Данный подход основан на переходе от ганкелевых матриц к теплицевым путем перестановки столбцов в обратном порядке и переформулировании условия нормальности ганкелевой матрицы в эквивалентное соотношение для полученной теплицевой матрицы. На основании нового условия удалось сформировать такие две (п — 1) х 2-матрицы Т и 0, что для всех возможных соотношений между их рангами эти матрицы позволили выделить такие подмножества теплицевых матриц, в которых оказалось не сложно найти классы, дающие при перестановки столбцов все нормальные ганкелевы матрицы. Перебор всех случаев соотношений между рангами Т и 0 гарантирует построение полного решения НГЗ.

Наряду с нормальными матрицами, т. е. диагонализуемыми унитарными подобиями, в алгебре определенный интерес вызывают матрицы, которые могут быть приведены к диагональным унитарными конгруэнциями, т. е. преобразованиями типа, А с унитарной матрицей (5. Такие матрицы удовлетворяют условию.

АА* = Ж4 (0.24) и называются сопряженно-нормальными. Исследованию их свойств посвящены работы [25], [35].

Получив пересечение множеств нормальных и некоторых видов структурированных матриц, встал вопрос о том, какие матрицы, обладающие специальной структурой, будут также сопряженно-нормальными. И первая рассматриваемая в диссертации задача этого типа — сопряженно-нормальная теплицева задача (СНТЗ), определяемая как проблема описания матриц, являющихся теплицевыми и сопряженно-нормальными, или матриц Т с условием (0.24). Решение СНТЗ, а также рассмотрение пересечения нормальных, сопряженно-нормальных и теплицевых матриц являются целями главы 3. В отличие от двух предыдущих глав здесь не дается исторического экскурса, поскольку СНТЗ была поставлена и полностью решена в [49], а пересечение множеств нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц представлено в [32].

В первом разделе третьей главы формулируются семь классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц и описывается способ их получения, как полное решение СНТЗ. Сущность решения данной задачи заключается в выделении подмножеств теплицевых матриц, для которых матрица ТТ* — Т*Т сама является теплицевой. В этом помогает работа [56], где для теплицевых матриц А, В, С и В формулируются условия теплицевости АВ — СО. Для каждого из выделенных подмножеств нахождение в них сопряженно-нормальных теплицевых матриц становится несложной задачей.

Для ганкелевых матриц подобная задача не имеет смысла, так как любая ганкелева матрица в силу симметричности будет сопряженно-нормальной.

Имея два класса нормальных и семь сопряженно-нормальных теплице-вых матриц, во втором разделе третьей главы строятся шесть классов матриц, являющихся нормальными, сопряженно-нормальными и теплицевыми одновременно. Построение такого пересечения оказалось возможным из-за простоты классов нормальных теплицевых матриц.

В заключительной четвертой главе рассматриваются еще две задачи классификации. Это нормальная теплиц-плюс-ганкелева задача (НТ+ГЗ), заключающаяся в классификации нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой, и сопряженно-нормальная теплиц-плюс-ганкелева задача (СНТ+ГЗ) описания соответствующих (Т + Н)-матриц. Последние две задачи — самые сложные среди описываемых в диссертации. Они пока не имеют полного решения и представляют собой огромное поле деятельности для дальнейших исследований.

Несложно видеть, что классы нормальных теплицевых и нормальных ган-келевых матриц являются частными классами нормальных теплиц-плюс-ганкелевых матриц. Действительно, любая нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая нормальная ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой являются подходящими (Т + Н) -матрицами. Аналогичное можно утверждать и о СНТ+ГЗ. Любая сопряженно-нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой дают сопряженно-нормальные (Т + Н) -матрицы. Такие классы разумно назвать тривиальными. Множество нетривиальных классов пока мало. В разделах втором и третьем данной главы сформулированы и доказаны теоремы, дающие условия, при которых (Т + Н)-циркулянты и косые (Т + Я)-циркулянты являются нормальными и сопряженно-нормальными соответственно. Эти теоремы предварены небольшими несложными выкладками, которые упрощают условия нормальности и сопряженно-нормальности (Т + Н)-матрицы в случае (Т—Н)~ циркулянтов и косых (Т + Я)-циркулянтов.

Важно отметить, что формулировки всех представленных в диссертации классов можно рассматривать как конструктивные процедуры. В заключительных разделах первых трех глав и во втором и третьем параграфах четвертой даны алгоритмы построения матриц из всех классов решений рассматриваемых задач. Для каждого класса определена размерность многообразия решения? как минимальное число вещественных параметров, по значениям которых можно однозначно вычислить все элементы матрицы в рассматриваемом классе.

При изложении материала будем использовать несколько видов специальных матриц. Так как они встречаются в разных местах вынесем их определение во введение. Обозначим через Рп матрицу-перестановку.

Рп =.

1 1.

0.25) называемую перъединичной матрицей. Введем Qj, ^ = 1, 2, — пхп-матрицы вида.

Яз = ?3®Тп-з- (0−26).

1п — стандартное обозначение для единичной матрицы порядка п. Опт — нулевая матрицы размера п х га.

Условимся считать, что, а означает вещественную часть а, 3 а — комплексную. Для комплексных п-мерных векторов х и у определим х<�Э у как одноранговую матрицу с элементами х®у}ъ = ЗДя = 1,2, ., п.

Матрица, А называется пер симметричной, если.

0.27).

— 11.

0.28) и центросимметричной при г,] — Q" n+l—i, n+l—j ¦

0.29).

Для ганкелевой матрицы эти два вида симметрии совпадают и означают симметрию относительно побочной диагонали.

Упомянем некоторые хорошо известные факты, которые будут использоваться в тексте диссертации. Согласно [3], если С — циркулянт, то для него справедливо спектральное разложение вида.

С = F*DFn,.

0.30) где И = diag (.

Fn = п 1 1 1 1 1.

1 п-1.

2(п-1).

0.31) 1 еп~1 e2(n1). e (n~1)2 / б = ехр (^) — первообразный корень п-ой степени из единицы. При этом если, а — первый столбец циркулянта С, а, d вектора вида 4= (.

0.33).

Согласно [9], вычисление, а по d и d по, а можно осуществить достаточно быстро, затратив 0(п log п) арифметических операций.

В случае, если С — ф-циркулянт, вместо разложения (0.30) справедливо соотношение.

C^G^nDFnG^ (0.34) где.

0.35) зень 72-ой степени из ф такой, что если ф = фег аг§-(?:>, то. Так же для ф-циркулянта справедливо представление в виде.

0.36) где С — циркулянт.

При ф = 1, выражение (0.34) можно записать как.

С —.

0.37).

Основным научным результатом диссертации является получение классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, обладающих определенной структурой. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:

1. разработка единого подхода для нахождения всех десяти классов нормальных ганкелевых матриц;

2. получение семи классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц;

3. вычисление пересечения нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц;

4. нахождение некоторых частных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганке левой.

По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 16 в рецензируемых журналах, 1 в материалах конференций.

Автор сердечно благодарит X. Д. Икрамова за многолетнюю поддержку и плодотворное обсуждение многих научных вопросов.

Выводы главы 4.

Перечислим основные результаты четвертой главы:

1. выведены уравнения, котором должны удовлетворять нормальные и сопряженно-нормальные (Т + Н)-матрицы;

2. получено частное решение нормальной НТ+ГЗ в случае, когда тепли-цево и ганкелево слагаемые являются циркулянтами или косыми циркулянтами;

3. получено частное решение нормальной СНТ+ГЗ в случае, когда тепли-цево и ганкелево слагаемые являются циркулянтами или косыми циркулянтами.

Заключение

.

Основными научными результатами диссертации являются решения следующих классификационных задач: во-первых, получение полной характеризации нормальных ганкелевых матриц как результат разработки подхода, позволившего в рамках единой схемы вывести известные и новые классы нормальных ганкелевых матрицво-вторых, получение всех семи классов сопряженно-нормальных тепли-цевых матрицв-третьих, вычисление пересечения нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матрицв-четвертых, нахождение частных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой.