Мультипликативные интегралы, связанные с нелинейными операторными эволюционными уравнениями

Нелинейные эволюционные уравнения с операторными коэффициентами часто встречаются в математической физике, что определяет важность их изучения.

Приведем некоторые из таких уравнений, включающиеся в рассматриваемый класс.

В нелинейной теории диффузии хорошо известно уравнение Бюргерса к + dl да*- (I) см., например, книгу Уизема [I]).

Другим примером может служить уравнение Кортевега-де-Фргаа (КдФ), популярное сейчас в связи с развитием теории солитонов.

Ж ' IP + * Si ' W.

Отметим еще важные уравнения другого типа — нелинейное уравнение Шредингера.

1II в + *rfz Ы.

I Ж дне? flf (3) и его интегральный аналог — уравнение типа Хартри.

Ы Н.

4).

Известно 2 ], что решение линейных эволюционных уравнений.

AtyaCt) (5) при некоторых условиях разлагаются в мультипликативный интеграл.

— йт п eA (ik)Hk. <6).

J K-t-Oo Ь&bdquo-/ г.

Для неограниченных операторов подобные результаты были получены Т. Като 1 3] и его последователями (см. книгу С. Г. Крейна У4 «J, где имеется подробная библиография).

Если производящий оператор в (5) представим в виде суммы двух слагаемых.

A (l) = А0(1) + в со, то при определенных условиях можно видоизменить формулу (6) и получить представление lint П еА° $ к ^ В (к ^.

Когда A0(t) и В СО — линейные неограниченные операторы, в этом направлении имеются известные результаты Х. Троттера [b], Ю. Л. Далецкого [б], В. П. Маслова и И. А. Шишгларева [7 ] .

В такой постановке эта задача тесно связана с представлением решения задачи Коши в виде континуального интеграла (интеграла по пространству ветвящихся траекторий), — строгим обоснованием формулы Фейнмана-Каца [ 8 ] .

На случай нелинейных уравнений эти результаты были обобщены А. Т. Заплитной и Ю. Л. Далецким I 9 ], которые построили аналог представления (7) и показали, что он приводит к континуальному интегралу по пространству ветвящихся траекторий (деревьев).

Последний факт тесно связан с исследованиями А. В. Скорохода по ветвящейся диффузиии 110 ] .

Мультипликативные представления в нелинейном случае были развиты Дж. Марсденом [II] и П. Черновым [ 12 ], а теория континуального интеграла в работах В. П. Маслова и А. М. Чеботарева [15 J (для уравнения Хартри).

Однако, перечисленные случал не охватывают уравнений с нелинейностью в производной, таких как уравнение Еюргерса или КдФ. В связи с этим представляет интерес более общая постановка, охватывающая и эти важные случаи.

Перейдем к изложению содержания работы. В банаховом пространстве X рассмотрим задачу Коши: f = A0(i)n + в (9(«), «(0) — ^ еХ, (8) где и. — вектор-функция со значениями в X > А0 60 — линейный, а В (*0 — нелинейный оператор, представленный радом вах» — Jо) в котором ВСО^ - Ц.-линейный оператор в X. Напомним, чтолинейный оператор определен на ккратном произведении X со значениями в X и линеен по каждой переменной, т. е. для всякого индекса i и элементов xJr., j отображение (я>, ^vy) является линейным отображением X в X .

Если задача Коши в (8) корректна на интервале 10, Т], то решение в ряде случаев аналитически зависит от 4tf :

17(0,1)^ =? U (Orl (Ю) k=j.

Получающиеся таким образом нелинейные операторы обладают эволюционным свойством, играющим важную роль как при изучении структуры решений, так и с вычислительной точки зрения.

В диссертации изучаются некоторые аспекты, связанные с этими свойствами. При этом оказывается, что иногда полезно, не думая о сходимости ряда вида (10), проводить вычисления на формальном уровне.

В линейном топологическом пространстве (л.т.п.) JC определяется формальный оператор (ф.о.) А (= как набор полилинейных операторов в X (компонент). Выражение i (f)-? A yk, где — клинейный оператор из <гГ? в ыС, наk зывается формальным степенным рядом в X., соответствующим ф.о. А.

Очевидно, что совокупность ^^ ф.о. является л.т.п. (топология задается покомпонентной сходимостью).

Определим на -^Г^ операцию умножения (композицию), соответствующую подстановке ряда в ряд.

Таким образом, по определению.

Ао* -ir^r. (II) где.

А.)Сгк>—, hx'), *-Щ /> ¦

Эта операция ассоциативна, удовлетворяет левому соотношению дистрибутивности и непрерывна в топологии пространства Определенное равенством (8) умножение задает на л.т.п. структуру, которую назовем композиционной алгеброй с единицей I-где «тождественный оператор в? .

Помимо композиции в определяется операция дифференцирования (по направлению С е ^^).

Заметим, что tft^ с операцией.

A, B}(0 — SA (c, B) — тс, А) является бесконечномерной алгеброй Ли.

С самого начала задача (8) рассматривается в классе формальных степенных рядов. Для уравнения (8) строится хронологический мультипликативный интеграл типа (7), причем мультипликативность понимается в смысле, определяемом композицией (II), что связано с переходом от умножения линейных операторов к суперпозиции нелинейных отображений.

Для вычисления мультипликативного интеграла предлагается специальная техника, состоящая в следующем. Каждой комопненте ставится в соответствие множество ветвящихся диаграмм, причем число вершин в каждой из них определяется порядком компоненты. По каждой диаграмме строится ветвящаяся композиция набора отображений.

Решение задачи (8) будет представлять собой сумму всех таких вкладов от всевозможных ветвящихся диаграмм. При этом оказывается, что можно получить оценку числа диаграмм определенного порядка, а также при определенных условиях, и величину каждого вклада, что позволяет в конкретной ситуации (имеются в виду уравнения (1)-(4) и др.) получить условия «неформальной» сходимости ряда (10), представляющего решение задачи (8).

Это решение может быть представлено в виде континуального интеграла, то есть интеграла от некоторого функционала по специальной функции множеств — квазимере. Ее конечномерные проекции задаются на алгебре цилиндрических множеств в пространстве ветвящихся траекторий.

Существование континуального интеграла обеспечивается существованием композиционного мультипликативного интеграла.

Для уравнений с локальными нелинейностями (I)—(3) и для уравнений с нелокальными нелинейностями вида (4) описана процедура построения континуального интеграла.

1. Уизем Да. Линейные и нелинейные волны.- М., Мир, 1977.2. ^е^гшъалъ R. Р., -^эвиуг, ~ :&-ггиг, ~tcrTTfotl. Рку*., £О, SL, 36?~387.

2. X тЮхХв-, cMl^sctt&ens of tfajL. емалХоен.

3. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве.- М., 1967.5. Ш. 7 ObVxJLf^U^t ofof q^jjO^a.- fizsc. t&nJUt, 545.

4. Далецкий Ю. Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюционными уравнениями. Успехи мат. наук, т. ХУЛ, вып.5 (107).

5. Маслов В. П., Шшпмарев И. А. О Т-произведении гипоэлипти-ческих операторов.- Совр.пробл.мат., 8, 1976, с.137−197.8. &0LC. OnCL СЯЛ&ЫЖ. 2I/(JZ^1J2SI,.

6. Далецкий Ю. Л., Загоштная А. Т. Интегралы по пространству деревьев, связанные с нелинейными параболическими уравнениями.Укр.матем.яурн., 5, 1965, с. ПО-114.

7. Скороход А. В. 0 дифференцируемости мер, соответствующих случайным процессам.- Теор. вероятн. и ее применен, т.5 (I960), Ш I.

8. Оп^^sMcct шхн,-e^JLO^ of Fa^bct.

9. Ыаслов В. П., Чеботарев А. И. Континуальный интеграл Фейнма-на по ветвящимся траекториям, — Усп.мат.наук, 34, 5, 1979, с. 237−238.

10. Хилл Э. Функциональный анализ и полутруппы.- М., Издат. М, 1957.15. /Ve?^yt Iti^IqsuzJL сииЛ.

11. Гельфанд И. М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике.- Усп. мат. наук, II, I, 1956, с.77−114.17. ^cx^kjitt -^у^^пАЛ ОУИА ъел±саА pz&yyu&zg., Рът. of 1976, ?4,.

12. Хазан М. И. Нелинейные эволюционные уравнения в локально выпуклых пространствах, ДАН СССР, 1973, т.212, с.1309−1312.19. -SxyksJi&SL,, J979, -/79-ZOO.jscc-aРъст. JU^szn,. /LcauH., лГб, 2 $ 621. JOetjto .

13. Далецкий 10.JI. Композиционный мультипликативный интеграл формального степенного ряда.-Функц.анализ и прил., 1980 г.с. 75−76.

14. Ttfcvbfdu^ 77?* 4/. QLMLM.- &ru2uzsz.. ГТтиьнЛ.1Я?, &, -/96?, ал sr.- ±-ш.

15. Гавришова Н.й., Далецкий Ю. Л. Об одной конструкции нелинейных эволюционных систем.- Граничные задачи математической физики, Киев, 1981, с. 21−25.

16. Гавришова Н. И., Далецкий Ю. Л. Диаграммный метод построения решений эволюционных уравнений с аналитическими нелинейнос-тями. IX Международная конференция по нелинейным колебаниям (тезисы докладов), Киев, 1981, с. 91 92.

17. Гавришова Н.й. Построение мультипликативного интеграла на пространстве ветвящихся траекторий, связанного с задачей Коши для некоторого класса эволюционных уравнений с аналитическими нелинейностями. Деп. в УкрНИИНТЙ, 1982, JS 5 (127), 21с.

18. Гавришова Н.й. Мультипликативная теорема для нелинейных эволюционных систем. Деп. в УкрНИИНТЙ, 1982,& 5, (127), 14 с.