Конечные группы с ограничениями на классы сопряженных элементов

Исследование конечных групп часто приводит к необходимости изучения конечных р-групп. В связи с этим знания о детальном строении р-групп могут быть полезны при решении различных задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.

Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка рп возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые с одной стороны представляют интерес для теории конечных групп, а с другой стороны — поддаются детальному описанию.

Э.М. Жмудь в [3] ввел понятие АМ-групп и изучил некоторые их свойства. Этот класс групп связан с известным из теории представлений (см. [5], [1]) понятием А^-сопряженности элементов группы (2, где К — некоторое поле. Пусть характеристика поля К не делит порядок группы <2. Тогда из А'-сопряженности элементов х и у группы С следует, что х сопряжен с уа, а взаимно просто с у. Если при этом поле К алгебраически замкнуто, то Х-сопряженность эквивалентна обычной сопряженности элементов. Если К — поле действительных чисел, то А-сопряженность элементов х та у равносильна сопряженности х с у или у-1.

— сопряженность элементов х и у всегда влечет равенство их нормальных замыканий. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. (Э.М. Жмудь [3]) Конечная группа С? называется КМ-группой, если из равенства нормальных замыканий (х°) — (ус) следует К-сопряженность элементов х и у.

Другими словами, если нормальная подгруппа порождается элементом х, то этот элемент ® КМ-труипе определяется однозначно с точностью до А'-сопряженности. Характеризацию КМ-групп дает следующая теорема, доказанная в [3].

Теорема (Э.М. Жмудь). Конечная группа? тогда и только тогда является КМ-группой, когда каждая ее нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма не более одного (с точностью до эквивалентности) неприводимого линейного представления группы С над полем К.

Для полей К характеристики нуль наиболее широким классом КМ-групп являются $М-группы (С} - поле рациональных чисел), ЯМ-группы вкладываются в этот класс (Л — поле действительных чисел), С-М" -группы содержатся в любом классе КМ-трупи (С — поле комплексных чисел). Будем называть СМ-группы (М)-группами.

Поскольку, по определению (М)-группы (?, из (х°) = (ус) следует сопряженность х и у в (2, то в (М)-группе порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Но это означает, что (М)-группы содержатся в классе так называемых ф-групп, то есть в классе конечных групп для которых характер любого линейного представления над полем С принимает только рациональные значения.

Из [12] известно, что свойство быть (^-группой эквивалентно условию: порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Класс С}-групп довольно широк и изучался многими авторами (см., например, [5], [17]).

Перечислим основные известные результаты об (М)-группах (см. 3], [8], [9]).

I. Всякая нетривиальная (М)-группа является либо 2-группой, либо расширением 3-группы при помощи нетривиальной 2-группы (последняя является (М)-группой).

II. Всякая фактор-группа (М)-группы является (М)-группой.

Первая глава диссертации посвящена дальнейшему исследованию (М)-групп.

Другой тип ограничений на классы 'сопряженных элементов — ©-граничения на их мощности или, что равносильно, на порядки централизаторов элементов. Одним из таких условий является условие равномощности классов сопряженности нецентральных элементов. Такими группами являются, например, группы ширины один (см. [16]). Конечные группы с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов изучались Ито в [15], где была доказана теорема.

Теорема (Ито). Если <2 — конечная группа с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов, то изоморфна прямому произведению р-группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов и абелевой р'-группы (р — некоторое простое число).

Эта теорема сводит вопрос об изучении конечных групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов к изучению конечных р-групп с этим свойством. Некоторые общие свойства групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов изучались Верарди в [21], [20]. Вообще этот класс групп довольно широк. В него входят, например, экстраспециальные группы, полуэкстраспециальные группы (введены и изучались Бейзигелем в [10]), 2-группы Судзуки, то есть конечные неабелевы 2-группы с более, чем одной инволюцией, обладающие разрешимой группой автоморфизмов, действующей транзитивно на множестве инволюций ([13], [19]).

Бертрам в [11] доказал следующую теорему.

Теорема (Бертрам). Если С — неабелева группа порядкарп, то в найдется нецентральный элемент х такой, что Сс{х) > Р1.

В силу теоремы Бертрама, р-группы с равномощными централизаторами минимального возможного порядка — это группы С порядка рп с условием: |Сс (ж)| = р^^ для всякого нецентрального элемента х? (?.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию р-групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка.

Основные результаты данной диссертации связаны с результатами, приведенными выше. Диссертация состоит из двух глав и приложения. Первая глава разбита на пять параграфов, вторая — на три. Нумерация определений, лемм, предложений, теорем ведется отдельно. Номер а. Ь включает номер главыа и номер утверждения — Ъ.

Первая глава диссертации посвящена конечным группам с условием: равенство нормальных замыканий двух элементов влечет их сопряженность (мы называем эти группы (М)-группами).

В первом и втором параграфах изучается строение непримар-ных (М)-групп. В частности, доказывается, что изучение конечных (М)-групп сводится к изучению (М)-2-групп (теоремы 1.1,1.2).

Теорема 1.1 Конечная (М)-группа раскладывается в полупрямое произведение элементарной абелевой 3-подгруппы 5 на (М) -2-группу Т, причем если 5¹, то 5 раскладывается в прямое произведение нормальных в подгрупп, изоморфных либо Е9 .

Теорема 1.2 Для того, чтобы конечная группа, где (7 = 5ЛТ, 5 € € обладала свойством (М) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. Т — (М)-группа;

2. если 5 ф 1, то С/Со{3) есть прямое произведение групп Фробениуса вида Е&^ъ, п > 1, или. ЕдАфв/.

3. для всякого набора F,., Fm минимальных нормальных в G 3-подгрупп, для любого, t € Т/ f™i Ст№), и любого и € CT (Fi), имеем t П Ст (и) ф 0. ^.

Эти теоремы уточняют результаты из [3] и получены другими методами.

В параграфе три изучаются общие свойства (М)-2-групп, а также строится серия (М)-2-групп неограниченного класса нильпотентности (теорема 1.4) Для конечных 2-групп найдены условия, эквивалентные свойству (М).

Теорема 1.3 Пусть G — конечная 2-группа. Тогда следующие свойства равносильны:

1) G — (М)-группа;

2) для всякого неединичного элемента х? G выполнено равенство 1(^)1 = 2х°[,.

3) для всякого х € G элемент х сопряжен с ж3, и для любых элементов д и из G найдется такой элемент? G, что [x, gi][x, g2] = |>, 0з];

4) существует такая инволюция z в Z (G), что G/{z) — (М)-группа, а условие z? (xG), х Е G, х ф z влечет х сопряжен с.

XZ.

Теоремы 1.5,1.6,1.7 из параграфа четыре дают описание (М)-2-групп с циклическим коммутантом, с максимальной абелевой подгруппой, с абелевой подгруппой индекса 4 и центром порядка 2, соответственно.

Теорема 1.5 Пусть неабелева 2-группа G содержит абелеву подгруппу, А индекса 2 и является (М)-группой. Тогда G = х Н, т > 0, а Н — одна из следующих групп:

1) ((ai) х (zi) х. х (ak) х {zk))X (u), где.

М = zi = |w| = 2, [а,-,"] = z^ [zi, u] =1, 1 < г < k;

2) ((aj) x. x (ak))X{u), где а,-| — 4, = 2, [а{, и] =, 1 < i < k;

3) ((ai) x. x {ак))(и), где ja,-| = 4, и2 == aj, [a, i, u] = a2, 1 < г < к.

Обратно, каждая из указанных группG является (М)-группой.

Теорема 1.6 Пусть G — 2-группа, в которой ?^(G) П G' - циклическая подгруппа. Тогда G обладает свойством (М) в том и только том случае, когда G ~ Е%п х (В * D), где п > О, В — либо единичная, либо экстраспециальная группа (В П D = Z (B)), Dлибо единичная, либо Н, либо Н-2, где.

Нг = «а>А (и"А (г->, а| = 8, |м| — |г>| = 2, [а, и] = a2, [a, v] = а4, [и, г/] = 1, (Hi — голоморф циклической группы порядка 8);

Н2 = ((а) {и))(v), |а| = 8, = 2, и2 = а4, [а, и] = a2, [a, v] — а4, [и, v] = 1.

Теорема 1.7 Пусть G — (М) -2-группа с абелевой подгруппой индекса ^ и с центром порядка 2. Тогда G изоморфна либо Н, либо Щ, либо экстраспециальной группе порядка не выше 32.

Пятый параграф посвящен изучению (М)-2-групп класса нильпотентности два.

Во второй главе диссертации изучаются р-группы с равномощ-ными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка. Основные свойства таких групп сформулированы в следующей теореме.

Теорема 2.1 Пусть G — неабелева группа порядка рп, п > 3, и для всякого нецентрального элемента х G G верно неравенство: CG (x) < рааг. Тогда Сс{х) = хр 6 Z (G) для любого элемента х и справедливо одно из следующих утверждений:

1. G класса нильпотентности два, п четное и либо Z{G) — элементарная абелева группа порядка, либо п = 4 и Z (G) — циклическая группа порядка р2, либо п = б и Z{G) — элементарная абелева группа порядка р2.

2. G класса нильпотентности три, р > 2, и п = 5,6,10.

В параграфе два уточняется случай 2 из заключения теоремы 2.1. Дадим понятие изоклинизма, которое используется в формулировке теоремы.

Определение. Будем называть две группы G и Н изокли-ничными, если существует два изоморфизма ф и rj такие что ф: G/Z (G) H/Z (H), rj: G' Н' и для любых элементов х, у eG если <(>(xZ (G)) = xZ{H) и ф (yZ (G)) = yZ (H), тогда rj ([x, y]) = [х, у.

Теорема 2.3 Если G — группа класса нильпотентности 3, порядка рп и для всякого нецентрального элемента х верно равенство.

CG (x) =р№, то р > 2, п = 5,6,10, и G изоклинична одной из следующих групп:

1)Gi = ((zi) х (z2) х (c))(ai)(a2), где аь а2] = с, [аъ с] = z, [а2, с] = г2, [zh ai] = [zh «2] = 1, г = 1, 2, а — а = с? = z{ = z = 1;

2)G2(a, f3, z^, z (2)) = ((?i) x (z2) x (23) x (z4) x (ci) x (С2"(а1,а2,аз, а4), где ai, a3] = ci, [aba4] = c2, [a2,a3] = c2z (1 [a2, a4] = c*c$z (2 [aha2] = 1, [a3,a4] = 1, [cbai] = zh [cba2] = z2, [cba3] = z3, [cba4] = 2-, [c2, aj = ?2, [c2, a2] = z? z$, [c2, a3] = 24, [c2, a4] = 23 [zi, aj] = 1, api = cf = z? = 1, i, j = 1,2,3,4, a ^ 0 (mod p), 2(1), G = г2, *3,24).

В третьем параграфе доказано следующее предложение.

Предложение 2.1 Группа Сг класса нильпотентности два с условием: |Ст| = рп, п — четное число, п < 8, = рз, любого х? Z (G), изоклинична одной из следующих групп:

1. прямое произведение неабелевой группы порядка р3 и группы порядка р, п — 4;

2. ((гг) х (г2) х (23))(аьа2,а3), где аь а2] = ["1, «з] = ?2, [а2, «з] = ?3, К| = |а2| = |а3| =р, п = 6;

5. х <22) х (?3) х (24)){аьа2,аз, а4), где аь а2] = [аз, ¿-ч] = ¿-ъ ["ь «з] = ["2, ¿-ч]7 = ["2, аз] = ?3, И, 04] = ?4 |а1| = |а2| = |а3| = |а4|=р, 7 = ^+1,.

О — примитивный элемент поля > 2, гс = 8.

Заметим, что множество групп класса нильпотентности два с рассматриваемым ограничением на порядок централизаторов бесконечно. В качестве примера можно привести бесконечную серию силовских 2-подгрупп простых групп Судзуки = 22к+1. Порядок этих 2-групп д2, порядок центра д, порядок централизатора любого нецентрального элемента 2д ([2]).

В прилоожении приводится список неизоморфных (М)-2-групп порядка не более, чем 26, полученный с помощью атласа [18].

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференци по теории групп, посвященной памяти С. Н. Черникова, (Пермь, 1997) — Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А. Г. Куроша, (Москва, 1998) — Маль-цевских чтениях (Новосибирск, 1998) — заседаниях алгебраического семинара ИММ УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]—[29].

Обозначения.

В работе используются следующие обозначения: Zn — циклическая группа1 порядка щ $ 2″ группа кватернионой порядка 2п ;

— диэдральная группа порядка 2П- (ах,., а&-) — подгруппа, порожданная элементами а,., ак — а ~ Ь — элементы группы, а и Ь сопряжены посредством элемента с ;

Ега — симметрическая группа степени п — <�р (п) — функция Эйлера, п Е Л/т;

— множество силовских р — подгрупп группы С] ААВ — полупрямое произведение групп, А и В — А * В — центральное произведение групп, А и В. х° - класс сопряженных с х в группе С? элементовх ~ у — элементы х и у сопряжены в группе;

— множество всех неединичных элементов группы С?- Ерп — элементарная абелева группа порядка рп- /2п — единичная матрица размерности 2™ х 2″. Остальные обозначения соответствуют принятым в [14].

1. Берман С. Д. К теории представлений конечных группп// ДАН СССР. — 1952. — Т.86,К 6 — С.885−888.

2. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука 1968, 109 С.

3. Жмудь Э .М. О конечных группах с однозначно порождаемыми нормальными делителями //Мат. сб. 1967. — Т. 72, N 1. С. 135−147.

4. Жмудь Э .М. О строении конечных групп с однозначно порожденными нормальными делителями //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. Ярославль: Изд-во Ярсл. Ун-та, 1977, С. 59−71.

5. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука 1969, 668 С.

6. Шериев В. А. Конечные 2-группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами // Сиб. матем. ж. 1967. — Т.8, N 1 -С. 95−212.

7. Юрченко В. И. О конечныых (М) 2-группах // Всесоюзный алгебр, симпозиум: Тезисы докладов. Гомель. 1975. часть первая. С. 85.

8. Юрченко В. И. О бесконечных периодических М-группах // Укр.мат.ж. 1972. 2. — С.282−283.

9. Юрченко В. И. Про один клас скинченшх груп // ДАН УРСР- 1972. А, Ы 9. — С.811−813.

10. Beisiegel B. Semi-extras ezkelle p-gruppen // Math.Z. 1977. -Vol.156. — P. 247−254.

11. Bertram E.A. Large centralizers in finite solvable groups // Isr. J. Math.- 1984. ^ V.47, N 4. P. 335−344.

12. Brauer R. On groups whose order contains a prime number to the first power I// Am.J.Math. 1942. — Vol.64. — P. 401−420.

13. Higman G. Suzuki 2-groups // Illinois J. Math. 1963. — Vol.7. -P. 79−96.

14. Huppert B. Endliche Gruppen I.- BerlinHeidelbergNew York: Springer-Verlag, 1976.-793p.

15. Ito N. On finite groups with given conjugate types I // Nogoya Math. J. 1953. — Vol.6. — P. 17−28.

16. Knoche H.G. Uber den Frobeniusschen Klassenbegriff in nilpotenten Gruppen// Math.Z. 1951. — Vol.55. — P. 71−83.

17. Kletzing D. Structure and representations of Q groups// Lecture Notes in Maht. — BerlinHeidelbergNew York-Tokio: SpringerVerlag, 1984.-282p.

18. Hall M., Senior J. The Groups of order 2n (n < 6) // New York. 1964.

19. Shaw D. The Sylow 2-subgroups of finite soluble groups with a single class of involutions //J. Algebra. 1970. — Vol.16. — P. 1426.

20. Verardi L. Gruppi semiextraspeciali di esponente p// Ann. Mat. Pura Appl. 1987. — V.148. — P. 131−171.

21. Verardi L. On groups whose noncentral elements have the same finite number of conjugates // Bollettino U.M.I. 1988. — Vol.7,2-A. — P. 391−400.

22. Голикова Е. А., Старостин А. И. Конечные 2-группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами //Подгруп-повая структура групп. Свердловск: Ин-т математики, 1988, С. 45−54.

23. Голикова Е. А. О конечных непримарных группах с однозначнопорожденными нормальными подгруппами//Алгебраические системы и их многообразия. Свердловск. 1988. С.76−85.

24. Голикова Е. А. О конечных 2 группах с однозначно порожденными нормальными замыканиями//Деп. в ВИНИТИ N 5057-В89, 17 с.

25. Голикова Е. А. О р-группах с ограничением на порядки централизаторов элементов // Деп. в ВИНИТИ N 1939;В98, 13 с.

26. Голикова Е. А. О непримарных группах с однозначно порожденными нормальными подгруппами//XIX Всесоюзная алгебр. конференция: Тезисы сообщений. Львов. 1987. часть II. С. 68.

27. Голикова Е. А. Об одном классе 2 групп ступени нильпотентности два// Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С. Н. Черникова: Тезисы докладов. Пермь. 1997. С. 21.

28. Голикова Е. А. / Фомин А. Н. Об одном свойстве конечных примарных групп// Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С. Н. Черникова: Тезисы докладов. Пермь. 1997. С. 22.

29. Голикова Е. А. О р-группах с ограничением на порядки централизаторов элементов // Kurosh Algebraic Conference '98: Abstracts of Talks. Москва. 1998. С. 160.