Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Конечные группы с ограничениями на классы сопряженных элементов

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Другой тип ограничений на классы 'сопряженных элементов — ©-граничения на их мощности или, что равносильно, на порядки централизаторов элементов. Одним из таких условий является условие равномощности классов сопряженности нецентральных элементов. Такими группами являются, например, группы ширины один (см.). Конечные группы с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов изучались… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Конечные непримарные группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами
    • 1. 1. Строение конечных непримарных (М)-групп
    • 1. 2. Критерий свойства (М) для непримарных групп
    • 1. 3. Общие свойства (М)-2-групп
    • 1. 4. (М)-2-группы с абелевыми подгруппами индекса два и индекса четыре
    • 1. 5. Конечные (М)-2-группы класса нильпотентности два
  • 2. Группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов
    • 2. 1. Некоторые предварительные результаты
    • 2. 2. Группы класса нильпотентности три
    • 2. 3. Группы класса нильпотентности два

Конечные группы с ограничениями на классы сопряженных элементов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Исследование конечных групп часто приводит к необходимости изучения конечных р-групп. В связи с этим знания о детальном строении р-групп могут быть полезны при решении различных задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.

Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка рп возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые с одной стороны представляют интерес для теории конечных групп, а с другой стороны — поддаются детальному описанию.

Э.М. Жмудь в [3] ввел понятие АМ-групп и изучил некоторые их свойства. Этот класс групп связан с известным из теории представлений (см. [5], [1]) понятием А^-сопряженности элементов группы (2, где К — некоторое поле. Пусть характеристика поля К не делит порядок группы <2. Тогда из А'-сопряженности элементов х и у группы С следует, что х сопряжен с уа, а взаимно просто с у. Если при этом поле К алгебраически замкнуто, то Х-сопряженность эквивалентна обычной сопряженности элементов. Если К — поле действительных чисел, то А-сопряженность элементов х та у равносильна сопряженности х с у или у-1.

— сопряженность элементов х и у всегда влечет равенство их нормальных замыканий. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. (Э.М. Жмудь [3]) Конечная группа С? называется КМ-группой, если из равенства нормальных замыканий (х°) — (ус) следует К-сопряженность элементов х и у.

Другими словами, если нормальная подгруппа порождается элементом х, то этот элемент ® КМ-труипе определяется однозначно с точностью до А'-сопряженности. Характеризацию КМ-групп дает следующая теорема, доказанная в [3].

Теорема (Э.М. Жмудь). Конечная группа? тогда и только тогда является КМ-группой, когда каждая ее нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма не более одного (с точностью до эквивалентности) неприводимого линейного представления группы С над полем К.

Для полей К характеристики нуль наиболее широким классом КМ-групп являются $М-группы (С} - поле рациональных чисел), ЯМ-группы вкладываются в этот класс (Л — поле действительных чисел), С-М" -группы содержатся в любом классе КМ-трупи (С — поле комплексных чисел). Будем называть СМ-группы (М)-группами.

Поскольку, по определению (М)-группы (?, из (х°) = (ус) следует сопряженность х и у в (2, то в (М)-группе порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Но это означает, что (М)-группы содержатся в классе так называемых ф-групп, то есть в классе конечных групп для которых характер любого линейного представления над полем С принимает только рациональные значения.

Из [12] известно, что свойство быть (^-группой эквивалентно условию: порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Класс С}-групп довольно широк и изучался многими авторами (см., например, [5], [17]).

Перечислим основные известные результаты об (М)-группах (см. 3], [8], [9]).

I. Всякая нетривиальная (М)-группа является либо 2-группой, либо расширением 3-группы при помощи нетривиальной 2-группы (последняя является (М)-группой).

II. Всякая фактор-группа (М)-группы является (М)-группой.

Первая глава диссертации посвящена дальнейшему исследованию (М)-групп.

Другой тип ограничений на классы 'сопряженных элементов — ©-граничения на их мощности или, что равносильно, на порядки централизаторов элементов. Одним из таких условий является условие равномощности классов сопряженности нецентральных элементов. Такими группами являются, например, группы ширины один (см. [16]). Конечные группы с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов изучались Ито в [15], где была доказана теорема.

Теорема (Ито). Если <2 — конечная группа с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов, то изоморфна прямому произведению р-группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов и абелевой р'-группы (р — некоторое простое число).

Эта теорема сводит вопрос об изучении конечных групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов к изучению конечных р-групп с этим свойством. Некоторые общие свойства групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов изучались Верарди в [21], [20]. Вообще этот класс групп довольно широк. В него входят, например, экстраспециальные группы, полуэкстраспециальные группы (введены и изучались Бейзигелем в [10]), 2-группы Судзуки, то есть конечные неабелевы 2-группы с более, чем одной инволюцией, обладающие разрешимой группой автоморфизмов, действующей транзитивно на множестве инволюций ([13], [19]).

Бертрам в [11] доказал следующую теорему.

Теорема (Бертрам). Если С — неабелева группа порядкарп, то в найдется нецентральный элемент х такой, что Сс{х) > Р1.

В силу теоремы Бертрама, р-группы с равномощными централизаторами минимального возможного порядка — это группы С порядка рп с условием: |Сс (ж)| = р^^ для всякого нецентрального элемента х? (?.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию р-групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка.

Основные результаты данной диссертации связаны с результатами, приведенными выше. Диссертация состоит из двух глав и приложения. Первая глава разбита на пять параграфов, вторая — на три. Нумерация определений, лемм, предложений, теорем ведется отдельно. Номер а. Ь включает номер главыа и номер утверждения — Ъ.

Первая глава диссертации посвящена конечным группам с условием: равенство нормальных замыканий двух элементов влечет их сопряженность (мы называем эти группы (М)-группами).

В первом и втором параграфах изучается строение непримар-ных (М)-групп. В частности, доказывается, что изучение конечных (М)-групп сводится к изучению (М)-2-групп (теоремы 1.1,1.2).

Теорема 1.1 Конечная (М)-группа раскладывается в полупрямое произведение элементарной абелевой 3-подгруппы 5 на (М) -2-группу Т, причем если 51, то 5 раскладывается в прямое произведение нормальных в подгрупп, изоморфных либо Е9 .

Теорема 1.2 Для того, чтобы конечная группа, где (7 = 5ЛТ, 5 € € обладала свойством (М) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. Т — (М)-группа;

2. если 5 ф 1, то С/Со{3) есть прямое произведение групп Фробениуса вида Е&^ъ, п > 1, или. ЕдАфв/.

3. для всякого набора F,., Fm минимальных нормальных в G 3-подгрупп, для любого, t € Т/ f™i Ст№), и любого и € CT (Fi), имеем t П Ст (и) ф 0. ^.

Эти теоремы уточняют результаты из [3] и получены другими методами.

В параграфе три изучаются общие свойства (М)-2-групп, а также строится серия (М)-2-групп неограниченного класса нильпотентности (теорема 1.4) Для конечных 2-групп найдены условия, эквивалентные свойству (М).

Теорема 1.3 Пусть G — конечная 2-группа. Тогда следующие свойства равносильны:

1) G — (М)-группа;

2) для всякого неединичного элемента х? G выполнено равенство 1(^)1 = 2х°[,.

3) для всякого х € G элемент х сопряжен с ж3, и для любых элементов д и из G найдется такой элемент? G, что [x, gi][x, g2] = |>, 0з];

4) существует такая инволюция z в Z (G), что G/{z) — (М)-группа, а условие z? (xG), х Е G, х ф z влечет х сопряжен с.

XZ.

Теоремы 1.5,1.6,1.7 из параграфа четыре дают описание (М)-2-групп с циклическим коммутантом, с максимальной абелевой подгруппой, с абелевой подгруппой индекса 4 и центром порядка 2, соответственно.

Теорема 1.5 Пусть неабелева 2-группа G содержит абелеву подгруппу, А индекса 2 и является (М)-группой. Тогда G = х Н, т > 0, а Н — одна из следующих групп:

1) ((ai) х (zi) х. х (ak) х {zk))X (u), где.

М = zi = |w| = 2, [а,-,"] = z^ [zi, u] =1, 1 < г < k;

2) ((aj) x. x (ak))X{u), где а,-| — 4, = 2, [а{, и] =, 1 < i < k;

3) ((ai) x. x {ак))(и), где ja,-| = 4, и2 == aj, [a, i, u] = a2, 1 < г < к.

Обратно, каждая из указанных группG является (М)-группой.

Теорема 1.6 Пусть G — 2-группа, в которой ?^(G) П G' - циклическая подгруппа. Тогда G обладает свойством (М) в том и только том случае, когда G ~ Е%п х (В * D), где п > О, В — либо единичная, либо экстраспециальная группа (В П D = Z (B)), Dлибо единичная, либо Н, либо Н-2, где.

Нг = «а>А (и"А (г->, а| = 8, |м| — |г>| = 2, [а, и] = a2, [a, v] = а4, [и, г/] = 1, (Hi — голоморф циклической группы порядка 8);

Н2 = ((а) {и))(v), |а| = 8, = 2, и2 = а4, [а, и] = a2, [a, v] — а4, [и, v] = 1.

Теорема 1.7 Пусть G — (М) -2-группа с абелевой подгруппой индекса ^ и с центром порядка 2. Тогда G изоморфна либо Н, либо Щ, либо экстраспециальной группе порядка не выше 32.

Пятый параграф посвящен изучению (М)-2-групп класса нильпотентности два.

Во второй главе диссертации изучаются р-группы с равномощ-ными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка. Основные свойства таких групп сформулированы в следующей теореме.

Теорема 2.1 Пусть G — неабелева группа порядка рп, п > 3, и для всякого нецентрального элемента х G G верно неравенство: CG (x) < рааг. Тогда Сс{х) = хр 6 Z (G) для любого элемента х и справедливо одно из следующих утверждений:

1. G класса нильпотентности два, п четное и либо Z{G) — элементарная абелева группа порядка, либо п = 4 и Z (G) — циклическая группа порядка р2, либо п = б и Z{G) — элементарная абелева группа порядка р2.

2. G класса нильпотентности три, р > 2, и п = 5,6,10.

В параграфе два уточняется случай 2 из заключения теоремы 2.1. Дадим понятие изоклинизма, которое используется в формулировке теоремы.

Определение. Будем называть две группы G и Н изокли-ничными, если существует два изоморфизма ф и rj такие что ф: G/Z (G) H/Z (H), rj: G' Н' и для любых элементов х, у eG если <(>(xZ (G)) = xZ{H) и ф (yZ (G)) = yZ (H), тогда rj ([x, y]) = [х, у.

Теорема 2.3 Если G — группа класса нильпотентности 3, порядка рп и для всякого нецентрального элемента х верно равенство.

CG (x) =р№, то р > 2, п = 5,6,10, и G изоклинична одной из следующих групп:

1)Gi = ((zi) х (z2) х (c))(ai)(a2), где аь а2] = с, [аъ с] = z, [а2, с] = г2, [zh ai] = [zh «2] = 1, г = 1, 2, а — а = с? = z{ = z = 1;

2)G2(a, f3, z^, z (2)) = ((?i) x (z2) x (23) x (z4) x (ci) x (С2"(а1,а2,аз, а4), где ai, a3] = ci, [aba4] = c2, [a2,a3] = c2z (1 [a2, a4] = c*c$z (2 [aha2] = 1, [a3,a4] = 1, [cbai] = zh [cba2] = z2, [cba3] = z3, [cba4] = 2-, [c2, aj = ?2, [c2, a2] = z? z$, [c2, a3] = 24, [c2, a4] = 23 [zi, aj] = 1, api = cf = z? = 1, i, j = 1,2,3,4, a ^ 0 (mod p), 2(1), G = г2, *3,24).

В третьем параграфе доказано следующее предложение.

Предложение 2.1 Группа Сг класса нильпотентности два с условием: |Ст| = рп, п — четное число, п < 8, = рз, любого х? Z (G), изоклинична одной из следующих групп:

1. прямое произведение неабелевой группы порядка р3 и группы порядка р, п — 4;

2. ((гг) х (г2) х (23))(аьа2,а3), где аь а2] = ["1, «з] = ?2, [а2, «з] = ?3, К| = |а2| = |а3| =р, п = 6;

5. х <22) х (?3) х (24)){аьа2,аз, а4), где аь а2] = [аз, ¿-ч] = ¿-ъ ["ь «з] = ["2, ¿-ч]7 = ["2, аз] = ?3, И, 04] = ?4 |а1| = |а2| = |а3| = |а4|=р, 7 = ^+1,.

О — примитивный элемент поля > 2, гс = 8.

Заметим, что множество групп класса нильпотентности два с рассматриваемым ограничением на порядок централизаторов бесконечно. В качестве примера можно привести бесконечную серию силовских 2-подгрупп простых групп Судзуки = 22к+1. Порядок этих 2-групп д2, порядок центра д, порядок централизатора любого нецентрального элемента 2д ([2]).

В прилоожении приводится список неизоморфных (М)-2-групп порядка не более, чем 26, полученный с помощью атласа [18].

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференци по теории групп, посвященной памяти С. Н. Черникова, (Пермь, 1997) — Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А. Г. Куроша, (Москва, 1998) — Маль-цевских чтениях (Новосибирск, 1998) — заседаниях алгебраического семинара ИММ УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]—[29].

Обозначения.

В работе используются следующие обозначения: Zn — циклическая группа1 порядка щ $ 2″ группа кватернионой порядка 2п ;

— диэдральная группа порядка 2П- (ах,., а&-) — подгруппа, порожданная элементами а,., ак — а ~ Ь — элементы группы, а и Ь сопряжены посредством элемента с ;

Ега — симметрическая группа степени п — <�р (п) — функция Эйлера, п Е Л/т;

— множество силовских р — подгрупп группы С] ААВ — полупрямое произведение групп, А и В — А * В — центральное произведение групп, А и В. х° - класс сопряженных с х в группе С? элементовх ~ у — элементы х и у сопряжены в группе;

— множество всех неединичных элементов группы С?- Ерп — элементарная абелева группа порядка рп- /2п — единичная матрица размерности 2™ х 2″. Остальные обозначения соответствуют принятым в [14].

1. Берман С. Д. К теории представлений конечных группп// ДАН СССР. — 1952. — Т.86,К 6 — С.885−888.

2. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука 1968, 109 С.

3. Жмудь Э .М. О конечных группах с однозначно порождаемыми нормальными делителями //Мат. сб. 1967. — Т. 72, N 1. С. 135−147.

4. Жмудь Э .М. О строении конечных групп с однозначно порожденными нормальными делителями //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. Ярославль: Изд-во Ярсл. Ун-та, 1977, С. 59−71.

5. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука 1969, 668 С.

6. Шериев В. А. Конечные 2-группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами // Сиб. матем. ж. 1967. — Т.8, N 1 -С. 95−212.

7. Юрченко В. И. О конечныых (М) 2-группах // Всесоюзный алгебр, симпозиум: Тезисы докладов. Гомель. 1975. часть первая. С. 85.

8. Юрченко В. И. О бесконечных периодических М-группах // Укр.мат.ж. 1972. 2. — С.282−283.

9. Юрченко В. И. Про один клас скинченшх груп // ДАН УРСР- 1972. А, Ы 9. — С.811−813.

10. Beisiegel B. Semi-extras ezkelle p-gruppen // Math.Z. 1977. -Vol.156. — P. 247−254.

11. Bertram E.A. Large centralizers in finite solvable groups // Isr. J. Math.- 1984. ^ V.47, N 4. P. 335−344.

12. Brauer R. On groups whose order contains a prime number to the first power I// Am.J.Math. 1942. — Vol.64. — P. 401−420.

13. Higman G. Suzuki 2-groups // Illinois J. Math. 1963. — Vol.7. -P. 79−96.

14. Huppert B. Endliche Gruppen I.- BerlinHeidelbergNew York: Springer-Verlag, 1976.-793p.

15. Ito N. On finite groups with given conjugate types I // Nogoya Math. J. 1953. — Vol.6. — P. 17−28.

16. Knoche H.G. Uber den Frobeniusschen Klassenbegriff in nilpotenten Gruppen// Math.Z. 1951. — Vol.55. — P. 71−83.

17. Kletzing D. Structure and representations of Q groups// Lecture Notes in Maht. — BerlinHeidelbergNew York-Tokio: SpringerVerlag, 1984.-282p.

18. Hall M., Senior J. The Groups of order 2n (n < 6) // New York. 1964.

19. Shaw D. The Sylow 2-subgroups of finite soluble groups with a single class of involutions //J. Algebra. 1970. — Vol.16. — P. 1426.

20. Verardi L. Gruppi semiextraspeciali di esponente p// Ann. Mat. Pura Appl. 1987. — V.148. — P. 131−171.

21. Verardi L. On groups whose noncentral elements have the same finite number of conjugates // Bollettino U.M.I. 1988. — Vol.7,2-A. — P. 391−400.

22. Голикова Е. А., Старостин А. И. Конечные 2-группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами //Подгруп-повая структура групп. Свердловск: Ин-т математики, 1988, С. 45−54.

23. Голикова Е. А. О конечных непримарных группах с однозначнопорожденными нормальными подгруппами//Алгебраические системы и их многообразия. Свердловск. 1988. С.76−85.

24. Голикова Е. А. О конечных 2 группах с однозначно порожденными нормальными замыканиями//Деп. в ВИНИТИ N 5057-В89, 17 с.

25. Голикова Е. А. О р-группах с ограничением на порядки централизаторов элементов // Деп. в ВИНИТИ N 1939;В98, 13 с.

26. Голикова Е. А. О непримарных группах с однозначно порожденными нормальными подгруппами//XIX Всесоюзная алгебр. конференция: Тезисы сообщений. Львов. 1987. часть II. С. 68.

27. Голикова Е. А. Об одном классе 2 групп ступени нильпотентности два// Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С. Н. Черникова: Тезисы докладов. Пермь. 1997. С. 21.

28. Голикова Е. А. / Фомин А. Н. Об одном свойстве конечных примарных групп// Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С. Н. Черникова: Тезисы докладов. Пермь. 1997. С. 22.

29. Голикова Е. А. О р-группах с ограничением на порядки централизаторов элементов // Kurosh Algebraic Conference '98: Abstracts of Talks. Москва. 1998. С. 160.

Показать весь текст
Заполнить форму текущей работой