Зависимость критических степеней некоэрцитивных краевых задач от граничных условий

Общая характеристика работы.

В настоящее время большой интерес вызывают задачи, связанные с исследованием отсутствия нетривиальных глобальных решений нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств. Данная тема разрабатывается, в частности, группами под руководством чл.-корр. РАН С. И. Похожаева (Математический институт им. В.А. Стек-лова РАН), проф. В. А. Кондратьева (Московский государственный университет). Ряд прикладных аспектов исследуется коллективом ученых, возглавляемого одним из крупнейших британских специалистов в области прикладной и вычислительной математики проф. Крисом Баддом (Chris Budd), University of Bath.

В диссертации установлены следующие результаты :

1. Метод пробных функций разработан применительно к изучению краевых задач во внешности шара.

2. Методом пробных функций найдены необходимые условия существования глобальных решений для нелинейных краевых задач во внешности шара.

3. Изучена зависимость критических показателей краевой задачи от условий на границе области. При этом рассмотрены различные варианты краевых условий.

Во всех основных теоремах приведены примеры, демонстрирующие неулучшаемость полученных условий существования решений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].

В целом результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ под руководством проф. A.A. Амосова и Ю. А. Дубинского, на семинаре математического института В. А. Стеклова под руководством проф. С.И. По-хожаева и В. А. Кондратьева, на научном семинаре кафедры высшей математики РГСУ, отдельные части диссертации доложены на международных конференциях: «Современные проблемы математики, механики и информатики» в ТулГУ, Тула, 2002; «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», памяти И. Г. Петровского, МГУ, Москва, 2007; а также на всероссийских конференциях: «Современные проблемы математики, механики и информатики», ТулГУ, Тула, в 2001 и в 2002 годахна ежегодных математических чтениях «Математические методы и приложения», Руза, в 2005 и 2006 годах- «Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии» в рамках VII Международного социального конгресса, Москва, РГСУ, 2007.

Тематика диссертации очень актуальна, ей посвящено множество работ. Исторически одной из первых была изучена задача Коши для параболического уравнения в пространстве M. N х (0, оо), N ^ 3, ди ". .. ~Au = uq, ut=o = щ (х) > 0. (0.1).

Здесь, А — оператор Лапласа: А =^Zili ?f?

Часто рассматриваются положительные решения данной задачи, что, в частности, диктуется и реальным физическим смыслом (например, температура и (х, t) всегда больше абсолютного нуля).

Классический результат (Фужита [6], 1966 г.), положивший начало всей теории отсутствия решений уравнений с частными производными, формулируется так.

Предложение 0.1. 1) Если l.

2) Если q > 1 + то глобальные решения существуют..

Позже Хаякава [7] для N — 1, 2 показал, что при <7 = 1 + -^ глобальные решения также отсутствуют. Для старших размерностей N этот факт был установлен в [8, 9]..

Таким образом, появляется так называемый критический показатель нелинейности, разделяющий области значения степени д, в которых задача имеет или не имеет глобального решения..

Отметим, что оказалось также возможным исследовать более общий объект, чем уравнение, а именно — неравенство диАи^ и4, = ио (ж) > 0. (0.2).

Для задачи (0.2) предложение 0.1 также остается справедливым, т. е. мы сталкиваемся с довольно неожиданным фактом: задача для более общего объекта — неравенства — имеет тот же ответ, что и задача для менее общего объекта — уравнения..

В классической теории дифференциальных уравнений с частными производными принято различать три основных типа — эллиптические, параболические и гиперболические задачи. Приведенное выше неравенство (0.2) относится к параболическому типу. Та же терминология сохранилась и используется для неравенств..

Для эллиптического неравенства.

-Аи ^ и4 (0.3).

Бидо-Верон [10] доказала отсутствие глобального решения при q ^ ^ Данный результат является точным, т. е. для ц > требуемым решением служит функция при малых е > 0. Задачи, более общие, чем (0.3), рассмотрены в книге [11] и в статьях [12, 13, 14]..

Наконец, для гиперболической задачи отметим результат Като [15] об отсутствии глобального решения при Я ^^гр Необходимо подчеркнуть, однако, что Като доказал свое утверждение при некоторых дополнительных условиях, при которых полученный критический показатель не является неулучшаемым..

Все три приведенных выше результата доказывались разными методами. Тем не менее можно заметить некоторую общность данных результатов в плане структуры критических показателей: они получаются друг из друга, если просто добавлять единичку к числителю и знаменателю. Данный факт не является случайным, и, по-видимому, впервые это было отмечено в работах С. И. Похожаева с соавторами [16, 17]. Там же был предложен достаточно универсальный метод, позволяющий в едином ключе получить результаты об отсутствии глобальных решений для всех трех типов дифференциальных неравенств. Этот метод и многие результаты на его основе детально изложены в монографии Э. Митидиери и С. И. Похожаева [11]. Монография уже стала классической. Её развитие можно найти в новых работах указанных авторов [18, 19, 20, 21, 22, 23]. и{х) —.

1 + М2)1/^-!).

0.4).

0.5).

Содержание диссертации.

Цель диссертационной работы состоит в получении необходимых условий существования глобальных решений полулинейных дифференциальных неравенств и систем полулинейных дифференциальных неравенств с частными производными высокого порядка, рассматриваемых во внешности шара. Основной интерес представляло изучение зависимости критических показателей от условий на границе области..

Для иллюстрации изучаемых в диссертации проблем обратимся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и рассмотрим следующую простую задачу: пусть в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся вдоль прямой линии, и пусть она равна /(?). Будем считать также, что известна начальная координата по в начальный момент времени Ь = 0. Закон движения точки, т. е. её координата и{Ь), определяется задачей Коши о.

Предположим, что скорость непрерывна, тогда формула (0.6) даёт нам непрерывно дифференцируемое решение, определенное при любых сколь угодно больших значениях времени t. Аналогичная задача когда тело разгоняется пропорционально пройденному расстоянию, также очевидно имеет явное решение, определенное для всех ?..

Решения, определенные для всех? ^ 0, называются глобальными..

0.6) и'{&euro-) = ?х (0) = щ,.

0.7).

Теперь обратимся к внешне, казалось бы, не намного отличающемуся случаю задачи (0.7):.

Проинтегрировав это уравнение, находим решение в явном виде.

Данная функция при любых сколь угодно малых начальных данных имеет вертикальную асимптоту при (конечном) значении^ = l/^o, т. е. решение всегда имеет бесконечный разрыв. Таким образом, можно сформулировать.

Предложение 0.2. При любых положительных начальных данных задача (0.8) не имеет глобального решения, определенного для всех значений t > 0..

С математической точки зрения исследование такого рода дифференциальных уравнений опирается на теорему Пеано, которая устанавливает существование решения задачи на некотором малом участке [to, to+e), и так называемую «теорему о продолжении решения», которая дает условия, при которых решение можно продолжать неограниченно по t —> оо. В случае задачи (0.8) решение нельзя продолжить после определенного момента, оно устремляется к бесконечности, иными словами, происходит «взрыв» решения. В зарубежной литературе часто применяют английское словосочетание «blow-up». В задаче (0.8) локальное (т.е. существующее при t < to = 1/щ) решение есть всегда (при любых положительных начальных данных щ). В общей постановке, когда мы не знаем явного вида решения, естественно возникает вопрос о максимальном времени существования этого локального решения, т. е. об оценках для ¿-оu'(t) = u2(t), гг (0) = u0 > 0..

0.8).

0.9).

С физической точки зрения полученный результат означает, что какую бы малую начальную скорость не имело тело, мы можем разогнать его до бесконечной скорости за конечное время (что, очевидно, нереально), если сообщать ему скорость, пропорциональную квадрату расстояния..

Диссертация состоит из введения и трёх глав..

1. Володин Ю. В. Об отсутствии глобальных решений полулинейных эллиптических неравенств и систем неравенств / / Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Инф. 2001. Т. 7. Вып. 1. 61−68..

2. ВОЛОДИН Ю. В. Об отсутствии глобальных решений эллиптических неравенств во внешности шара. Диф. уравн. и прикл. зад. Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 2001. 35−36..

3. ВОЛОДИН Ю. В. Критические показатели для сингулярных полулинейных бигармонических неравенств в шаре // Труды одиннадцатых математических чтений МГСУ: Математические методы и приложения. 26−29 января 2003 г./ МГСУ. — М.: Изд-во РГСУ, 2003. 54−59..

4. ВОЛОДИН Ю.В. О критических показателях некоторых полулинейных краевых задач с бигармоническим оператором во внешности шара // Матем. заметки. 2006. Т. 79. Вып. 2. 201−212..

5. ВОЛОДИН Ю. В. Об отсутствии глобальных решений систем дифференциальных неравенств высокого порядка / / Труды семнадцатых математических чтений РГСУ: Математические методы и приложения. 31 января — 3 февраля 2008 г./ РГСУ. — М.: РГСУ, 2008. 27−37..

6. FUJITA Н. On the blowing up of solutions of the Cauchy problems for щ = Аи + и1+а И J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA. 1966. V. 13. P. 109−124..

7. HAYAKAWA K. On the nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic equations // Proc. Japan Acad. 1973. V. 49. P. 503−505..

8. KOBAYASHI K., SIRAO Т., TANAKA H. On the blowing up problem for semilinear heat equation // J. Math. Soc. Japan. 1977. V. 29. P. 407−424..

9. ARONSON D., WEINBERGER H.F. Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics // Adv. Math. 1978. V. 30. P. 33−76..

10. КУРТА В.В. О единственности решений задачи Дирихле для уравнений типа средней кривизны / / Матем. заметки. 1993. Т. 53, № 4. 53−61..

11. КУРТА В.В. К вопросу об отсутствии положительных решений у эллиптических уравнений / / Матем. заметки. 1999. Т. 65, № 4. 552−561..

12. КОНЬКОВ А.А. О поведении на бесконечности решениях одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 1. 30−39..

13. КАТО Т. Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations // Commun. Pure and Appl. Math. 1980. V. 33. P. 501−505..

14. POHOZAEV S., TESEI A. Blow-up of nonnegative solutions to quasilinear parabolic inequalities // Rend. Mat. Ace. Lincei. s. 9. 2000. V. 11. P. 99−109..

15. POHOZAEV S.I., VERON L. Blow-up results for nonlinear hyperbolic inequalities // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2000. V. 29, N 2. P. 393−420..

16. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И. Лиувиллевы теоремы для некоторых классов нелинейных нелокальных задач // Тр. МИ АН. 2005. Т. 248. С 164−184..

17. ГАЛАКТИОНОВ В.А., ПОХОЖАЕВ С И. Отсутсвие глобальных решений нелинейных смешанных задач / / Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 4. С 444−447..

18. ПОХОЖАЕВ С И. О разрушении решений нелинейных смешанных задач // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. 213−226..

19. ПОХОЖАЕВ С И. О разрушении решений уравнения Курамото-Сивашинского // Машем, сб. 2008. Т. 199, № 9. 97−106..

20. ГАЛАКТИОНОВ В.А., ПОХОЖАЕВ С И. , МИТИДИЕРИ Э. Существование и отсутсвие глобальных решений уравнения Курамо-то-Сивашинского // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 4. 439−442..

21. КАРИСТИ Г., ПОХОЖАЕВ С И. , МИТИДИЕРИ Э. Локальные оценки и теоремы Лиувилля для одного класса квазилинейных неравенств // Докл. РАН. 2008. Т. 418, № 4. 453−457..

22. ЛАПТЕВ Г. И. Критические степени для полулинейных эллиптических задач в RN, содержащих градиент. Диф. уравн. и прикл. зад. Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 1999. 88−96..

23. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в M. N // Тр. МИАН. 1999. Т. 227. 192−222..

24. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И. Свойство положительности решений некоторых нелинейных эллиптических неравенств в M. N // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 2. С 159−164..

25. КУРТА В. В. Об отсутствии положительных решений у полулинейных эллиптических уравнений / / Тр. МИАН. 1999. Т. 227. 162−169..

26. ЛАПТЕВ Г. Г. Об отсутствии решений эллиптических дифференциальных неравенств в конических областях / / Матем. заметки. 2002. Т. 71, № 6. 855−866..

27. ЛАПТЕВ Г. Г. Отсутствие решений дифференциальных неравенств и систем гиперболического типа в конических областях / / Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, № 6. 65−90..

28. LAPTEV G.G. Some nonexistence results for higher-order evolution inequalities in cone-like domains / / Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2001. V. 7. P. 87−93..

29. ЛАПТЕВ Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств / / Тр. МИАН. 2001. Т. 232. 223−235..

30. DATTI P. Nonlinear wave equations in exterior domains // Nonlin. Anal. 1990. V. 15. P. 321−331..

31. LEVINE H.A., ZHANG Q.S. The critical Fujita number for a semilinear heat equation in exterior domains with homogeneous Neumann boundary values // Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. 2000. V. 130. P. 591−602..

32. ЛАПТЕВ Г. Г. Отсутсвие решений эволюционных дифференциальных неравенств высокого порядка / / Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 1. 143−159..

33. GIDAS В., SPRUCK J. Global and local behaviour of positive solutions of nonlinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1981. V. 34. P. 525−598..

34. ВОЛОДИН Ю. В. Об отсутствии глобальных решений полулинейных краевых задач с полигармоническим оператором / / Труды четырнадцатых математических чтений РГСУ: Математические методы и приложения. 28−31 января 2005 г./ РГСУ. — М.: РГСУ, 2005. 16−19..

35. Володин Ю. В. Об отсутствии глобальных решений полулинейного дифференциального неравенства / / Труды шестнадцатых математических чтений РГСУ: Математические методы и приложения. 1−3 февраля 2007 г./ РГСУ. — М.: РГСУ, 2007. 43−44..

36. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств / / Докл. РАН. 1998. Т. 359, № 4. 456−460..

37. ПОХОЖАЕВ С И. Общий подход к теории отсутсвия глобальных решений нелинейных уравнений и неравенств с частными производными // Тр. МИАН. 2002. Т. 236. С 285−297..

38. ПОХОЖАЕВ С И. Свойство положительности решений некоторых нелинейных эллиптических неравенств в WLN // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 2. С 159−164..

39. ЛАПТЕВ Г. Г. Отсутствие глобальных положительных решений систем полулинейных эллиптических неравенств в конусах // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, № 6. 107−124..

40. ЛАПТЕВ Г. Г. Отсутствие решений полулинейных параболических дифференциальных неравенств в конусах // Матем. сб. 2001. Т. 192. 60−76..

41. LAPTEV G.G. Absence of solutions to evolution-type differential inequalities in the exterior of a ball / / Russ. J. Math. Phys. 2002. V. 9, N 2. P. 180−187..

42. LAPTEV G.G. Nonexistence results for higher-order evolution partial differential inequalities / / Proc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 131, N 2. P. 415−423..

43. ЛАПТЕВ Г. Г. Априорные оценки сильных решений полулинейных параболических уравнений // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 4. 564−572..

44. ЛАПТЕВ Г. Г. Об отсутствии глобальных решений квазилинейных эллиптических неравенств, содержащих градиент / / Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Инф. 1999. Т. 5. Вып. 1. 135−143..

45. ЛАПТЕВ Г. Г. Об отсутствии глобальных решений нелинейных разностных неравенств // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Инф. 2001. Т. 7. Вып. 1. 101−109..

46. Коньков А. А. О неотрицательных решениях квазилинейных эллиптических неравенств // Изв. РАН. Сер. матем. 1999. Т. 63, № 2. 41−127..

47. KON’KOV A.A. Behavior of solutions of nonlinear second-order elliptic inequalities // Nonlinear Anal. 2000. V. 42, N 7. P. 1253−1270..

48. КОНДРАТЬЕВ В.А., Коньков А. А. О свойствах решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 9. 81−94..

49. НГУЕН МАНЬ ХУНГ. Об отсутствии положительных решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в конических областях // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 4. 533−539..

50. КОНДРАТЬЕВ В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды ММО. 1967. Т. 16. 209−292..

51. CARISTI G., D’AMBROSIO L., МИТИДИЕРИ Э. Liouville Theorems for Some Nonlinear Inequalities / / Тр. МИАН. 2008. T. 260. С 97−118..

52. БЕСОВ О.В., Ильин В. П., Никольский С М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996..

53. САМАРСКИЙ А.А., ГАЛАКТИОНОВ В.А., КУРДЮМОВ С П. , МИХАЙЛОВ А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987..