Метод частичного обращения интегрального оператора в задачах о собственных волнах полосковых и щелевых линий передачи

Актуальность темы

.

Создание современной радиотехнической аппаратуры для радиосвязи, радиолокации, радионавигации, радиоастрономии и других областей техники базируется на технологии плоскостных и объёмных интегральных схем (ИС) СВЧ [1−3]. Использование ИС СВЧ позволяет уменьшить габариты и массу, повысить надёжность и улучшить ряд электрических характеристик СВЧ узлов. Основу ИС СВЧ составляют полосковые и щелевые линии передачи. Поэтому проблемы реализации систем математического моделирования и автоматизированного проектирования ИС СВЧ в значительной степени определяются наличием эффективных вычислительных алгоритмов для расчёта параметров собственных волн полосково-щелевых направляющих структур.

Базовым элементам интегральных схем, как правило, отвечают краевые задачи, неразрешимые в аналитическом виде. Для моделирования электромагнитных полей в направляющих структурах, образованных линейными средами, используются прямые методы, приводящие к однородным системам линейных алгебраических уравнений. Наиболее универсальными являются дискретизационные методы. Сюда, прежде всего, относятся разностные схемы [4], применяемые непосредственно к дифференциальным уравнениям электродинамики и предполагающие замену пространственных производных конечными разностями значений искомых функций в узлах сетки, покрывающей рассматриваемую область. Метод коллокаций подразумевает выполнение решаемых уравнений (дифференциальных или интегральных) в выбранной определённым образом системе точек. При этом неизвестные компоненты напря-жённостей поля представляются в виде рядов по некоторым базисным функциям. Относительно коэффициентов этих разложений и записываются получаемые в конечном счёте алгебраические уравнения. Метод коллокаций, так же как и разностные схемы, может быть использован для решения задач с некоординатными границами. В качестве примера можно привести работу Дж. Гоелла [5], в которой исследуются собственные волны открытого прямоугольного диэлектрического волновода. Радиальные изменения продольных составляющих напряжённостей во внутренней и внешней областях представляются суммами цилиндрических функций. При этом согласование полей осуществляется в точках, расположенных на прямоугольном контуре, ограничивающем диэлектрический стержень.

Группу декомпозиционных алгоритмов составляют метод минимальных автономных блоков и метод автономных многомодовых блоков [6], разработанные В. В. Никольским для решения электродинамических задач. Данные методы предполагают возможность разбиения поперечного сечения направляющей структуры на области, имеющие однородное диэлектрическое заполнение и координатные границы. (Чаще всего это — области прямоугольной формы.) Волновые каналы, соответствующие каждой из таких областей, рассматриваются как независимые электродинамические объекты, описываемые матрицами проводимости или матрицами рассеяния. Математическая модель исходного объекта строится посредством рекомпозиции, т. е. объединения отдельных блоков, дескрипторы которых предварительно найдены.

В настоящее время в электродинамике полосковых и щелевых структур СВЧ наибольшее распространение получили проекционные методы [6−9], в разработке которых большую роль сыграли исследования Г. И. Веселова, А. С. Ильинского, Л. Левина, А. М. Лерера, В. С. Миха-левского, Е. И. Нефёдова, В. В. Никольского, А. Г. Свешникова, Я. Н. Фельда. В процессе исследования волн в полосковой или щелевой линии передачи краевая задача формулируется в виде векторного интегрального уравнения первого рода относительно компонент тока на полосках или составляющих напряжённости электрического поля в щелях. Среди всех описанных численных методов, проекционную схему выделяет возможность учёта особенностей поля на геометрических сингулярностях, — рёбрах проводящих полосок и диэлектрических стержней. Это даёт возможность оптимизировать вычислительный процесс с точки зрения временных затрат и использования машинных ресурсов. При решении задач о собственных волнах направляющих структур, содержащих бесконечно тонкие проводящие полоски, в качестве проекционных базисов обычно применяются системы многочленов Чебышёва первого и второго рода. Исследование волновых полей в линиях передачи с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением проводится с использованием многочленов Гегенбауэра.

К преимуществам проекционных методов можно отнести их универсальность и относительную простоту численной реализации. Однако практическое использование таких методов наталкивается на определённые трудности. Ядра интегральных уравнений первого рода, к которым приводятся внутренние задачи электродинамики, задаются тригонометрическими рядами, содержащими в неявном виде сингулярности Коши и логарифмические особенности. В процессе алгебраизации интегрального уравнения производится усечение данных рядов, в результате чего ядра утрачивают особенности. Но решение интегрального уравнения первого рода с ограниченным ядром представляет собой некорректно поставленную задачу [10, 11]. Это приводит к неустойчивости соответствующих алгоритмов и относительной сходимости приближённых решений.

Пусть, например, 7МЛГ — значение постоянной распространения собственной волны рассматриваемой линии передачи, полученное с учётом М слагаемых в каждом из элементов ядра интегрального уравнения и N слагаемых в проекционных разложениях искомых функций. Явление относительной сходимости [12] заключается в том, что при неограниченном увеличении индексов М и N последовательность 7МЛГ не сходится к точному решению краевой задачи. В качестве истинного значения постоянной распространения 7 выбирают предел некоторой подпоследовательности 7Л/Лг.

При этом различным зависимостям М (1V) соответствуют различные пределы, причём задать априори оптимальный закон, связывающий предельные индексы суммирования М и ТУ, не представляется возможным. Аналогичным образом будет вести себя последовательность приближённых значений любого другого расчётного параметра волны. Явления расходимости приближённых решений свойственны также дис-кретизационным и декомпозиционным методам. В частности, в работе [13] указывается на расходимость коллокационного алгоритма Гоелла, упоминавшегося выше. Поэтому численные результаты, полученные с помощью таких методов, требуют проверки на достоверность.

В связи с этим резко возрастает роль аналитических и численно-аналитических методов решения краевых задач электродинамики, опирающихся на учёт специфики исследуемых структур и возможность существенного аналитического преобразования первоначально получаемых интегральных уравнений первого рода. К таковым относится метод частичного обращения оператора (МЧОО), суть которого состоит в следующем. В ядре интегрального уравнения выделяется в явном виде особенность. Пусть, А — соответствующий ей интегральный оператор.

Л j.

Применение оператора А~ преобразует интегральное уравнение первого рода в уравнение второго рода, решение которого математически корректно.

Разработку численно-аналитических методов решения краевых задач можно рассматривать как отдельное направление в прикладной электродинамике. МЧОО применялся В. В. Малиным при решении задачи дифракции волн на периодической системе проводящих лент [14]. В работах В. П. Шестопалова, А. А. Кириленко, JI. Н. Литвиненко, С. А. Масалова, С. JI. Просвирнина [15−18] использовались алгоритмы, основанные на решении задачи Римана — Гильберта. С их помощью было решено большое количество задач, включая задачи дифракции волн на решётках, волноводные задачи дифракции, задачи о собственных волнах открытых цилиндрических направляющих структур. Применению метода механических квадратур к решению интегральных уравнений теории дифракции на бесконечно тонких цилиндрических экранах посвящены работы В. В. Панасюка, М. П. Саврука, 3. Т. Назарчука [19, 20]. Данные методы, так же как и МЧОО, основываются на теории сингулярных интегральных уравнений, развитой в работах Н. И. Мус-хелишвили, Ф. Д. Гахова, С. М. Белоцерковского [21−24].

Построение электродинамической теории экранированных полоско-вых и щелевых направляющих структур на основе численно-аналитических методов впервые предпринято в работах В. А. Неганова, Е. И. Нефёдова [25−32]. С помощью МЧОО были разработаны математические модели ряда линий передачи, произведена оценка приближённых решений. Рассмотренный класс электродинамических структур ограничивался планарными линиями передачи на многослойных подложках, содержащими не более одной щели или проводящей полоски. Однако решение целого ряда важных с практической точки зрения задач потребовало снятия данных ограничений.

Следует также отметить, что для задач о собственных волнах направляющих структур со сложной формой поперечного сечения характерно нелинейное вхождение искомого спектрального параметра в ядро интегрального уравнения. Это существенно осложняет теоретическое обоснование сходимости приближённых решений к точному, доказательство устойчивости, непрерывности и других свойств решений, рассматриваемых как функции исходных параметров краевой задачи.

Наряду с совершенствованием характеристик полосковых и щелевых линий передачи, традиционно используемых в интегральных схемах СВЧ, в последние десятилетия интенсивно ведётся поиск направляющих структур, на базе которых могут быть выполнены как отдельные устройства, так и интегральные схемы КВЧ и ГВЧ диапазонов. С этой точки зрения перспективным является применение прямоугольных диэлектрических волноводов (ПДВ), к преимуществам которых относятся относительная простота изготовления и малые массогабаритные параметры. Кроме того, на частотах выше 100 ГГц суммарные потери в ПДВ оказываются малы в сравнении с металлическими волноводами и полосковыми линиями передачи.

Если в интегральной оптике ПДВ давно рассматривается как основная направляющая структура, то в КВЧ диапазоне всё ещё ведётся поиск соответствующей конфигурации линии передачи и материала для неё [33]. Между тем, известно большое количество устройств миллиметрового диапазона, выполненных на основе ПДВ [34]. Это — направленные ответвители, делители и сумматоры мощности, фильтры, устройства сопряжения активных полупроводниковых приборов с вол-новедущими структурами. Диэлектрические направляющие структуры могут также использоваться при построении различных невзаимных устройств.

Исследованию открытых прямоугольных диэлектрических волноводов посвящены работы Г. И. Веселова, Дж. Гоелла, Л. Н. Дерюгина, А. И. Клеева, А. Б. Маненкова, Маркатили, Шлоссера [5, 35−39]. Наиболее эффективной из существующих в настоящее время экранированных моделей ПДВ является модель, использованная в работах В. А. Кузнецова и А. М. Лерера [8, 40]. Поперечное сечение линии передачи разбивается на частичные области, одна из которых имеет многослойное диэлектрическое заполнение. Сшивание продольных составляющих напряжённос-тей электрического и магнитного полей на границе областей приводит к системе интегродифференциальных уравнений относительно оставших —* ся тангенциальных к границе компонент векторов Е и Н. Полученная система решается методом Галёркина с учётом особенностей неизвестных функций на ребре диэлектрического стержня. При этом компоненты напряжённостей разлагаются в ряды по многочленам Гегенбауэра. В [41] данный подход использован для исследования собственных волн ПДВ на диэлектрической подложке.

В настоящей работе излагается метод решения задач о собственных волнах направляющих структур с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением. Предложенный алгоритм предполагает выделение особенностей в ядре интегрального уравнения первого рода и последующее его решение с учётом поведения компонент напряжённостей поля вблизи рёбер диэлектрических стержней.

Цель работы.

Разработка численно-аналитических методов исследования собственных волн в регулярных экранированных направляющих структурах, содержащих геометрические сингулярности. Построение на электродинамическом уровне строгости математических моделей и расчёт параметров волн в линиях передачи указанного класса.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложена классификация электромагнитных волн, распространяющихся в регулярных экранированных линиях передачи с неоднородным диэлектрическим заполнением и обладающих отличными от нуля критическими частотами. Классификация основана на особенностях в распределении полей волн на критических частотах. Преимущество введённого классификационного признака заключается в том, что его применение не предусматривает исследования предельных переходов для геометрических и физических параметров направляющей структуры.

2. Разработана процедура обращения сингулярного интеграла Коши и интеграла с логарифмическим ядром, определённых на объединении интервалов, позволившая обобщить метод частичного обращения оператора на задачи о собственных волнах связанных полосковых и щелевых линий передачи.

3. Разработан математически обоснованный способ оценки особенностей в ядре интегрального уравнения первого рода, описывающего собственные волны прямоугольного волновода с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением.

4. Впервые проведено исследование сходимости приближённых решений, полученных с использованием метода частичного обращения оператора, в окрестностях критических частот собственных волн экранированной щелевой линии передачи. На основе численных экспериментов получено аналитическое соотношение, связывающее абсолютную погрешность вычисления постоянной распространения волны и саму постоянную распространения. Проведено теоретическое обоснование выявленной закономерности.

Обоснованность и достоверность результатов работы.

Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических моделей. Использованные при этом приближенные методы расчёта, основанные на аппарате интегральных уравнений второго рода, корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся:

• путём исследования внутренней сходимости решений;

• сравнением полученных результатов с расчётными данными, приведёнными в работах других авторов;

• согласием полученных в диссертации численных решений в предельных случаях геометрии краевых задач с известными аналитическими решениями.

Практическая ценность работы состоит:

• в получении формул обращения сингулярных интегралов Коши и интегралов с логарифмическими ядрами, определённых на объединении интервалов, позволяющих разработать новый метод решения уравнений, содержащих подобного рода интегралы;

• в разработке математически обоснованного численно-аналитического метода решения задач о собственных волнах регулярных экранированных полосковых и щелевых направляющих структур с произвольным количеством поверхностей частичной металлизации и произвольным числом токонесущих полосок на каждой из этих поверхностей;

• в построении на основе МЧОО математических моделей полосковых и щелевых линий передачи, не требующих в своей реализации значительных затрат вычислительных ресурсовданные модели могут быть использованы при проектировании различных функциональных элементов плоскостных и объёмных интегральных схем СВЧ;

• в обнаружении явления выравнивания фазовых скоростей квазипоперечных волн в экранированных двухпроводных полосковых линиях передачи, которое может найти применение при построении направленных ответвителей, делителей и сумматоров мощности;

• в выявлении закономерностей в изменении абсолютных погрешностей вычисления спектральных параметров волн в линиях передачи в окрестностях критических частот, учёт которых может существенно упростить процесс исследования сходимости при построении дисперсионных характеристик;

• в разработке обоснованной математической модели экранированной направляющей структуры с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением, пригодной для исследования собственных волн ряда базовых элементов диэлектрических интегральных схем миллиметрового диапазона.

Апробация работы.

Диссертационная работа выполнена в рамках НИР «Разработка электродинамических методов анализа полосково-щелевых структур СВЧ с учётом анизотропии и нелинейности параметров среды и создание новых принципов обработки и передачи информации в системах связи.

СВЧ и КВЧ диапазонов" (тема N35/93, шифр «Аспект-ПИИРС», 19 992 001 гг.), НИР «Исследование импедансных свойств нерегулярной многопроводной направляющей структуры сложной конфигурации» (шифр «МНС», 1998 г.), а также гранта ТОО-2.4−2171 Минобразования РФ «Разработка методов решения внутренних и внешних задач электродинамики на основе сингулярных интегральных уравнений для проектирования волноведущих и излучающих полосково-щелевых структур» (2001;2002 гг.).

Результаты исследований докладывались на VIII Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г. Охо-тино, 1996 г.), IX Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г. Самара, 1997 г.), VI Международной конференции «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г. Самара, 1999 г.), I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2001 г.), а также научных конференциях профессорско-преподавательского состава ПГАТИ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Обобщение метода частичного обращения интегрального оператора на случай задач о собственных волнах регулярных направляющих структур с многоуровневым расположением токопроводящих полосок.

2. Классификация собственных волн, обладающих отличными от нуля критическими частотами, в регулярных экранированных линиях передачи с неоднородным диэлектрическим заполнением, основанная на учёте особенностей в распределениях полей волн на критических частотах.

3. Формулы обращения сингулярных интегралов Коши и интегралов с логарифмическими ядрами, определённых на объединении интервалов.

4. Разработка метода частичного обращения оператора для решения задач о собственных волнах связанных полосково-щелевых структур с размещением нескольких полосок или щелей в одной плоскости, основанного на использовании авторских формул обращения интегралов.

5. Математические модели ряда экранированных полосковых и щелевых линий передачи, основанные на процедуре обращения операторов и переходе к интегральным уравнениям второго рода.

6. Метод решения задач о собственных волнах направляющих структур с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением, основанный на выделении особенностей в ядре интегрального уравнения первого рода и последующем его решении с учётом поведения компонент напряжённостей поля вблизи рёбер диэлектрических стержней.

7. Закономерности изменения абсолютных погрешностей численного определения постоянных распространения волн вблизи критических частот.

8. Обоснование внутренней сходимости метода частичного обращения оператора применительно к исследованию собственных волн экранированных полосковых и щелевых линий передачи.

9. Новые физические закономерности, установленные в процессе математического моделирования исследуемых направляющих структур:

• вывод о том, что требования непрерывной зависимости постоянных распространения волн от геометрических параметров направляющей структуры и непрерывной дифференци-руемости их критических частот по соответствующим параметрам в ряде случаев оказываются взаимоисключающими;

• эффект выравнивания фазовых скоростей квази-поперечных волн в связанных полосковых линиях передачи с планарным и двухсторонним размещением проводников за счёт подбора размеров экрана;

• эффект выравнивания групповых скоростей квази-поперечных волн в экранированных двухпроводных полосковых линиях передачи с планарным и двухсторонним расположением проводников и произвольными значениями геометрических и физических параметров.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 45 научных работ, в том числе 1 монография, 19 статей, 9 тезисов докладов на международных научных конференциях и семинарах.

5.3. Выводы.

1. Разработан метод исследования собственных волн экранированных линий передачи с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением. Он включает в себя процедуру выделения особенности в ядре интегрального уравнения первого рода. Развитый подход позволяет избежать относительной сходимости численных решений.

2. На основе данной методики построена математическая модель экранированного прямоугольного диэлектрического волновода. Проведено исследование параметров собственных волн данной направляющей структуры.

Основные результтаты главы опубликованы в работе [174].

Заключение

.

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

1. Метод частичного обращения интегрального оператора обобщён на случай задач о собственных волнах регулярных направляющих структур с многоуровневым расположением токопроводящих полосок.

2. Предложена классификация электромагнитных волн, распространяющихся в регулярных экранированных линиях передачи с неоднородным диэлектрическим заполнением и обладающих отличными от нуля критическими частотами. Классификация основана на особенностях в распределении полей волн на критических частотах. Преимущество введённого классификационного признака заключается в том, что его применение не предусматривает исследования предельных переходов для геометрических и физических параметров направляющей структуры.

3. Разработана процедура обращения сингулярного интеграла Коши и интеграла с логарифмическим ядром, определённых на объединении интервалов, позволившая обобщить метод частичного обращения оператора на задачи о собственных волнах связанных полосковых и щелевых линий передачи.

4. Построены математические модели ряда экранированных полосковых и щелевых линий передачи, основанные на процедуре обращения операторов и переходе к интегральным уравнениям второго рода.

5. Разработан математически обоснованный способ оценки особенностей в ядре интегрального уравнения первого рода, описывающего собственные волны прямоугольного волновода с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением.

6. Проведено исследование сходимости приближённых решений, полученных с использованием метода частичного обращения оператора, в окрестностях критических частот собственных волн экранированной щелевой линии передачи. На основе численных экспериментов получено аналитическое соотношение, связывающее абсолютную погрешность вычисления постоянной распространения волны и саму постоянную распространения. Проведено теоретическое обоснование выявленной закономерности.

Выявлен ряд физических закономерностей:

• вывод о том, что требования непрерывной зависимости постоянных распространения волн от геометрических параметров направляющей структуры и непрерывной дифференци-руемости их критических частот по соответствующим параметрам в ряде случаев оказываются взаимоисключающими;

• эффект выравнивания фазовых скоростей квази-поперечных волн в связанных полосковых линиях передачи с планарным и двухсторонним размещением проводников за счёт подбора размеров экрана;

• эффект выравнивания групповых скоростей квази-поперечных волн в экранированных двухпроводных полосковых линиях передачи с планарным и двухсторонним расположением проводников и произвольными значениями геометрических и физических параметров.

Рис. П1.1. Прямоугольный волновод с двухслойным диэлектрическим заполнением.