Детерминированные и индуцированные шумом колебательные режимы в ансамблях осцилляторов со связью по цепи распределения энергии

Понятия автоколебаний и автоколебательной системы являются одними из важнейших фундаментальных понятий теории колебаний и нелинейной динамики. Впервые в русскоязычной литературе понятие автоколебаний ввёл в 1928 году А. А. Андронов [1−3] для самоподдерживающихся периодических колебаний. С течением времени исследования в области теории колебаний породили необходимость как уточнения определения понятия «автоколебания», так и расширения такого понятия, как «автоколебательная система». Если А. А. Андронов применял понятие «автоколебания» только к периодическим колебаниям, то в настоящее время этот термин применяется и к квазипериодическим, и к хаотическим колебаниям.

Без уточнения не осталось и определение автоколебательной системы. Неизменными остаются требования нелинейности системы, наличия диссипа-тивного элемента, а также требование к автономности системы, т. е. к независимости существования автоколебаний от внешнего источника энергии. Вкупе с наличием внутренней диссипации данное требование автоматически приводит к необходимости наличия внутреннего источника энергии, поддерживающего автоколебания. Однако требования к характеру внутреннего источника энергии были откорректированы. Если в классическом случае внутренний источник предполагался постоянным, то в работах П. С. Ланда [4,5] было предложено скорректировать определение автоколебательной системы таким образом, чтобы при наличии внутреннего непостоянного (например, пульсирующего) источника энергии можно было говорить о существовании автоколебаний.

Вопрос заключается в том, как при наличии приносимого извне (от источника энергии) ритма отличить автоколебания от вынужденных колебаний. Заметим, что вынужденные колебания имеют такие же (или кратныегармоники) временные масштабы, что и вынуждающая сила. Спектр вынужденных колебаний содержит частоты их источника их гармоники и субгармоники, как результат действия нелинейного элемента. П. С. Ланда говорит о том, что при наличии собственной динамики системы в выходном спектре будут содержаться частоты, отличные как от собственных частот источника энергии, так и от гормоник и субгармоник возникающих за счёт нелинейного элемента системы. Таким образом, если в выходном спектре будут обнаружены частоты, которые не могут быть получены путём нелинейного преобразования частот колебаний источника энергии, то можно говорить о наличии автоколебаний в системе.

Заметим, что в приведенном выше примере источник энергии и нелинейный преобразователь хотя и принадлежат одной и той же автоколебательной системе, но рассматриваются как её отдельные взаимодействующие элементы. Подобный подход будет использован и в данной диссертационной работе.

Как правило источник энергии, входящий в состав автоколебательной системы, предполагается а) постоянным и б) идеальным. Примером такого источника в радиофизике может служить батарея, аппроксимируемая в математических моделях идеальным источником напряжения с нулевым внутренним сопротивлением. При этом в математической модели источник питания представлен постоянной величиной (напряжение батареи) и его, как правило, просто «прячут» в параметры и нелинейности системы (рисунок 1). В частности при выводе уравнений Ван-дер-Поля центр падающего участка вольт-амперной характеристики нелинейного элемента предполагают совпадающей с нулями переменных напряжения и тока, что в реальном эксперименте достигается только при наличии источника мощности. Тем самым в уравнениях Ван-дер-Поля источник энергии «спрятан» в выражении для нелинейного эле.

F (U, I).

Рис. 1: Примеры вольтамперньгх характеристик абстрактного двухполюсника, (а) ВАХ пассивного нелинено элемента, в характеристиках вида (Ь) и © неявно заложено наличие источника энергии. мента [6,7].

Зачастую, в реальном эксперименте сталкиваются с неидеальными источниками энергии. При моделировании системы с питанием от такого источника его можно представить в качестве совокупности идеального источника энергии и некоей дополнительной цепи, представляющей конечные сопротивление, индуктивность, ёмкость и т. д. Полученную «неидеальность» обычно можно включить в состав нелинейности осциллятора, тем самым сведя задачу к ранее рассмотренному случаю идеального источника энергии.

Когда автоколебательных систем более чем одна, описанный выше подход приводит к совершенно определённой парадигме, когда в ансамбле взаимодействующих осцилляторов каждый из них имеет свой индивидуальный, скрытый в нём источник энергии. Очевидно при удалении связи система распадается на набор индивидуальных автоколебательных систем. Подобный, ставший классическим, подход весьма удобен, в частности, тем, что при слабой связи можно описывать динамику такой большой системы с точки зрения индивидуального поведения каждого осциллятора, используя понятия собственной частоты и амплитуды. Именно в рамках такого приближения и говорят, например, о захвате частот взаимодействующих автоколебательных систем.

Однако такой модельный подход не всегда адекватен реальности. В качестве примера можно привести ситуацию, когда несколько электронных устройств подключены к общему источнику питания. Очевидно, что если считать источник напряжения идеальным (нулевое внутреннее сопротивление, что эквивалентно бесконечной мощности), то ситуация отвечает классическому подходу: каждый осциллятор обладает как бы независимым источником энергии, никак не влияя на остальные и не воспринимая их наличие. Однако для радиотехнических схем типичным является наличие фильтрующего элемента в цепи питания. Это означает, что по крайней мере в определённом частотном диапазоне источник питания па практике не может считаться идеальным.

Учёт этих факторов позволяет предложить несколько иное, альтернативное модельное описание ансамбля автоколебательных систем. При неидеальном источнике энергии в общем случае имеет смысл говорить о системе из источника энергии и ансамбля нелинейных преобразователей, использующих этот источник совместно для генерации автоколебаний. Таким образом, ансамбль представляется не набором индивидуальных автоколебательных систем, но системой осцилляторов, св51занных посредством неидеального источника энергии.

Такое рассмотрение не отменяет и не заменяет классического подхода, но в ряде ситуаций оно может оказаться более удобным и физически прозрачным за счёт более адекватного выбора управляющих параметров и фазовых переменных модели. Таким образом мы получаем как бы другую «проекцию» исходной задачи.

Примеры таких систем далеко не ограничены радиотехникой. Подобного рода взаимосвязи могут быть обнаружены в экологии, в динамике иопуляций бактерий и вирусов в одной питательной среде и многих других ситуациях.

Заметим, что в общем случае у каждого нелинейного преобразователя может присутствовать как свой (локальный), так и внешний источник энергии. Например, в экосистему озёр питание поступает как локально (мошкара на поверхности озера), так и извне (ручьи и реки приносят питательные вещества). Радиотехнические генераторы, подключённые к источнику питания могут иметь дополнительные внутренние источники энергии (батареи). Таким образом, примеры с чисто внутренними (по отношению к нелинейным преобразователям-осцилляторам) или чисто внешними источниками энергии следует рассматривать как предельные случаи.

Стоит ещё раз отметить, что не во всех приведённых примерах энергия привносится в систему прямо в том виде, в котором она порождает колебания, как это имеет место для радиофизического осциллятора. В приведённом нами примере с экологией это может быть питательный ресурс, который преобразуется живыми организмами в необходимый им вид энергии. В частности, для популяций бактерий и вирусов в общей питательной среде [8,9], или для сети газопроводов распределяемое вещество не является энергией в прямом смысле этого слова, но используется конечными потребителями для её выработки. В области физиологии типичным представителем описанных систем является ансамбль нефронов (структурных элементов почки), расположенных на общем кровеносном сосуде: так называемое «нефронное дерево» [10]. Энергия для активности нефронов берётся не из крови непосредственно, а из иных источников. Однако в плане динамики нефронов давление крови функционально играет ту же роль, что и энергия в радиофизических осцилляторах и питательные вещества в популяции бактерий и вирусов [11,12]: его наличие необходимо для возбуждения автоколебаний.

С самых общих позиций можно определить величину, приносящую в систему энергию, как энергонесущий ресурс (ЭНР). Его определяющие признаки следующие: а) его приток рождает колебания в системеб) этот ресурс расходуется (электрический ток рассеивается в тепло, органический ресурс преобразуется в энергию, необходимую для поддержания жизни экосистемы).

Само понятие «ресурс» означает «любые средства, позволяющие с помощью определённых преобразований получить желаемый результат» [13]. В контексте диссертационной работы под эиергонесущем ресурсом (ЭНР) подразумевается некая величина, входящая в уравнения модельного осциллятора в качестве параметра, задающего приток энергии, необходимой для существования автоколебаний (параметра питания).

Под понятием ЭНР-связь будем подразумевать взаимодействие осцилляторов, обусловленное наличием и системой распределения ЭНР. При этом ЭНР является с одной стороны — одним из управляющих параметров индивидуального осциллятора, а с другой стороны — его величина зависит от активности осциллятора (потребление ресурса, например, втекающий электрический ток) и, значит, сам по себе он является переменной модельной системы.

Для ансамблей радиотехнических осцилляторов естественным будет употребление термина «энергия» вместо ЭНР ввиду того, что электрическая энергия (электрический ток) распределяется по цепи непосредственно и её величина может быть посчитана как интеграл по времени от произведения тока на напряжение (мощность).

Применительно к предложенному способу рассмотрения динамики ансамбля автоколебательных систем естественным образом возникает ряд вопросов по сопоставлению с тем, что мы называем классическим подходом.

А. Выбор модельной системы.

Как говорилось выше, для простоты исследований внутренний источник энергии, как правило, вводится в нелинейность и в уравнениях математической модели в явном виде не присутствует. Однако подход, при котором источник энергии является общим и неидеальным, требует описания цепи питания в явном виде. С этой точки зрения существующие модельные системы автоколебательных систем существенно различны. Если из уравнений, описывающих осциллятор Ван-дер-Поля [7,14], выделить параметр отвечающий за подкачку энергии оказывается проблематично, то использование модели типа FitzHugh-Nagumo [15,16] эту проблему снимает.

В данной диссертационной работе исследование динамики ансамблей осцилляторов со связью посредством распределения ресурса основано на использовании RLC-цепи с туннельным диодом в качестве модельной системы. Преимущества такого выбора заключаются в простоте описания и наличии источника питания в явном виде. В то же время, математическая модель такой радиофизической системы в упрощенном и безразмерном виде отвечает требованиям, предъявляемым к «базовым» моделям теории колебаний и нелинейной динамики. Кроме максимально упрощенной модели, легко реализуемой в радиофизическом эксперименте, была предложена модель двумодового осциллятора, основанная на безразмерной имитационной модели нефроиа.

Б. Модельное представление топологии связи.

Наряду со свойствами самих осцилляторов, способ их организации в ансамбль во многом определяет результирующую динамику. При этом, можно выделить как сам тип взаимодействия осциллятора с остальными (в нашем случае он предопределен выбором модельной системы и происходит по цепи питания), так и структурную огранизацию ансамбля — «топологию связи». Хорошо изученные ее варианты включают, например, локальную связь [17], когда осцилляторы в решетке (или иной структуре) взаимодействуют лишь с ближайшими соседями, а также глобальную связь [18,19], когда каждый осциллятор ансамбля связан со всеми остальными его элементами. Для живых систем примером первого типа связи может служить взаимодействие в кластере бета-клеток поджелудочной железы посредством т.н. щелевых контактов [20]. Примерами систем с глобальной связью могут служить системы электрохимических осцилляторов [21] или же колонии дрожжевых клеток [22]. В последние годы популярным объектом исследования становятся т.н. «small-world networks» [23,24], как системы, сочетающие в себе свойства локальных и дальних взаимодействий. В случае локально-связанных осцилляторов характерной топологией в одномерном варианте является топология типа «цепь», или «кольцо», если конечные элементы связаны между собой.

Для реальных систем с распределением ЭНР топология связи представляет собой, как правило, достаточно сложную структуру. Однако можно выделить несколько предельных случаев, полезных для модельного описания. Аналогом глобально связанных осцилляторов может служить структура, где потребители подключены к неидеальному источнику эперго-несущего ресурса в одной точке. В радиофизическом эксперименте такая структура может быть представлена «пучком» осцилляторов, подключенных к источнику питания через разветвитель. Аналогом другой хорошо исследованной топологии связи в виде цепочек осцилляторов служит система потребителей, расположенных вдоль некоего общего канала распределения ЭНР, имеющего собственные характеристики диссипации и реактивности. Помимо упомянутых, для систем распределения ресурсов имеется специфический тип топологии, не характерный и потому практически не изученный применительно к ансамблям автономных автоколебательных систем. Речь идет о топологии связи типа «дерево», образе ветвящейся иерархической структуры, которую в природе можно наблюдать повсеместно: от путей доставки питательных веществ в кронах деревьев и кровоснабжения тканей живых организмов до созданных человеком сетей распределения электроэнергии, а также газои водоснабжения.

Поскольку само понятие ЭНР-связи предполагает наличие нескольких осцилляторов, центральным вопросом в изучении таких систем является сопоставление их динамики с известными и изученными аспектами такого фундаментального нелинейного явления, как синхронизация. Данный эффект впервые был описан Гюйгенсом [25] еще в XVII веке и привлёк пристальное внимание ученых с первой половины XX века. Первый шаг в развитии теории синхронизации был сделан Э. Эпплтоном и Б. Ван-дер-Полем на примере синхронизации триодного генератора слабым внешним воздействием [6,7]. Позже теоретическое рассмотрение Эпплтона и Ван-дер-Поля было расширено и обосновано с точки зрения теории нелинейных колебаний А. А. Андроновым и А. А. Виттом [1,2]. За прошедшие десятилетия исследований в этой области интерес ученых к вопросу синхронизации год от года только возрастает. Причина такого интереса кроется как в широком распространении колебаний, как фундаментального явления природы, так и в многообразии способов взаимодействий колебательных структур. Явление синхронизации было хорошо освещено во множестве научных работ, ряде монографий [26−28], позднеев [29−32].

Явление синхронизации имеет множество разнообразных проявлений в природе, технике, экономике и обществе, поэтому ему трудно дать максимально общее, но достаточно строгое и полное определение. Удачным представляется определение, данное в монографии И. И. Блехмана [26]: «синхронизацию можно определить как свойство материальных объектов самой различной природы вырабатывать единый ритм совместного существования, несмотря па различие индивидуальных ритмов и на подчас крайне слабые взаимные связи» .

Природа взаимодействующих автоколебательных систем не является обуславливающим фактором ни наличия, ни отсутствия проявлений синхронизации. Так в радиотехнике это могут быть триодные генераторы, синхронизацию которых слабым внешним воздействием описывали в своих работах Э. Эпплтон и Б. Ван-дер-Поль [6,7]. В последнее время большой интерес привлекают сверхпроводящие электронные устройства — контакты Джозеф-сона. В [33] описывается синхронизация «вращения» в ансамбле контактов Джозефсона периодическим внешним током, либо посредством связи двух контактов. В 1994 году экспериментально и теоретически исследовались явления захвата частоты в рубиновом лазере на ядерном магнитном резонансе с задержанной обратной связью [34]. Благодаря высокой стабильности колебаний и большого отношения сигнал/шум наблюдались синхронные режимы высоких порядков.

В области биологии и медицины можно отметить работы по синхронизации сердечного ритма слабым внешним воздействием на примере работ [35−37] по периодической стимуляции спонтанно сокращающихся клеток, выделенных из предсердий куриного эмбриона. Было показано, что периодическое воздействие с различными частотами приводит к устойчивым режимам захвата фаз. Кроме того проводились эксперименты по захвату частоты спонтанного дыхания пациентов, находящихся под наркозом, установкой искусственного дыхания [38]. В работе отмечалось, что для эффективного проведения процедуры искусственной вентиляции легких пациент не должен «бороться» с машиной. Поэтому должно быть достигнуто определённое соотношение между фазами, так чтобы механическое расширение совпадало бы со вдохом.

В популяциях живых существ эффект сиихронизации можно проиллюстрировать наблюдениями голландского врача Э. Кэмпфера [39], который ещё в XVIII веке описывал синхронное поведение популяции светлячков. «Светлячки. время от времени прекращают своё свечение и моментом позже заставляют его проявляться с высочайшей регулярностью и точностью.» Проводились также исследования по синхронизации внешним сигналом песни сверчков [40]. В своей работе Уолкер продемонстрировал синхронизацию пения сверчка записанным заранее стрёкотом. Модуляцией частоты и длительности отдельных записей была показана синхронизация порядка 1:1 и 1:2.

В работе [41] описывается синхронизация колебаний размера популяций бактерий и вирусов в общей питательной среде.

Сколь различными могут быть колебательные системы из различных областей естествознания, столь многообразными могут быть и механизмы их связи [42,43]. Так, в задачах взаимодействия химических осцилляторов связь осуществляется посредством диффузии химических веществ. Хорошим примером может служить реакция Белоусова-Жаботинского. В работе [44] с помощью переменного освещения осуществлялось периодическое воздействие на тонкую мембрану, что приводило к различным захваченным и асинхронным режимам. В работе [6] Е. В. Эпплтон систематически исследовал свойства синхронизации триодпых генераторов. В его работе связь между генераторами осуществлялась посредством взаимной индукции.

В других задачах можно встретить диссипативиую связь, или более сложные, опосредованные связи, как в случае синхронизации ритмов дыхания и ритмов движения конечностей. Например, в работе [45] рассматривалась взаимосвязь между сердечным ритмом, частотой дыхания и частотой взмахов крыльев свободно летящих уток. Эксперименты не обнаружили взаимосвязи между какой-либо из регистрируемых частот и скоростью полёта, а так же между сердцебиением и дыханием. В то же время, частота взмаха крыльев и частота сердцебиения находились в соотношении 3:1, что позволяет предположить наличие некоего канала связи между водителями ритма локомоции (движения конечности) и сердцебиения.

Существует ряд задач в которых эффект синхронизации выражен не только в подстройке ритмов колебаний (синхронизация через захват частот и фаз), но и существенном изменении их амплитуды (синхронизация через подавление колебаний). В частности синхронизация может приводить к полному гашению колебаний. В работах [46−48] было обнаружено явление гашения автоколебаний, когда в цепочке осцилляторов появляются области с пренебрежимо малой амплитудой колебаний. Это явление получило название «вымирание автоколебаний» или «амплитудная смерть». Ранее подобный эффект описывался в трудах лорда Рэлея [49] в акустической системе органных труб. Он описывает, что в случае близкого расположения труб с одинаковой частотой звука может наблюдаться эффект при котором трубы могут заставить друг друга почти замолчать.

Синхронизация колебаний в ансамблях осцилляторов с регулярным поведением — одна из традиционных областей исследований для радиофизики. Первые работы в этом направлении известны с середины прошлого века [50] и рассматривали, как правило, задачу частотной синхронизации в цепочке осцилляторов с гармоническим поведением [51−54]. В работе [52] было обращено внимание, что в подобных системах возможны режимы с разными фазовыми сдвигами между осцилляторами — то есть сосуществуют разные пространственные моды. Исследование мультистабильных состояний в ансамбле идентичных замкнутых в кольцо осцилляторов подробно описано в монографии П. С. Ланда [55]. Свойство нескольких синхронизованных осцилляторов демонстрировать состояния с различным сдвигом фаз позволило выдвинуть гипотезу, что этот эффект используется центральной нервной системой для реализации различных походок [56,57]. Согласно гипотезе, каждая нога контролируется своим центральным генератором ритма (ЦГР). В случае двуногой ходьбы синфазное и противофазное движение соответствует прыжкам и ходьбе, а в случае четвероногих животных различные аллюры будут соответствовать различным синхронным состояниям для системы четырёх осцилляторов.

В динамике больших популяций наблюдаются эффекты синхронизации подансамблей. Так в [58] показано, что самцы светлячков, испускающие свет вспышками для привлечения самок, могут синхронизовать свои ритмы с соседями. Для изучения этого эффекта в [59] исследовали, как изменяются вспышки одного светлячка Pteropsyx malaccae под действием периодической последовательности световых импульсов. При изменении периода воздействия наблюдались как синхронные, так и асинхронные режимы. В работе [60] показан эффект синхронизации в ансамблях связанных нейронов.

В экспериментах с цепочкой СОо-лазеров [61] так же были обнаружены эффекты синхронизации. В этих экспериментах связь между пятью лазерами осуществлялась путём расположения пространственного фильтра между цепочкой и внешним зеркалом. Результаты показали неоднородность распределения интенсивности излучения, в то время как в случае отсутствия синхронизации в дальних областях наблюдалась бы однородное распределение, как сумма некогерентных колебаний.

Эта же группа исследователей провела эксперимент с многопучковым СО2-лазером, состоящим из 61 стеклянной трубки. Трубки были расположены в виде сот [62]. Связь осуществлялась через внешнее зеркало. В этом случае индикатором синхронизации также служило неравномерное распределение излучения в дальней зоне.

Несомненно, при анализе динамики ансамблей осцилляторов с ЭНР-связью следует опираться на установленные ранее закономерности и типичные проявления синхронизации. В то же время, некоторые из традиционных подходов могут стать нефункциональными. Так, например, исследование режимов динамики ансамбля осцилляторов с ЭНР-связью на плоскости параметров «степень связи — расстройка по частотам» порождает ряд сложностей, так как для таких систем изменение силы связи неизбеждно сдвигает и режим (амплитуду и частоту) колебаний осциллятора. При слишком слабой, или слишком сильной связи колебания могут попросту отсутствовать, так как величина подкачки энергии в осцилляторы и распределение ЭНР между ними непосредственно зависит не только от свойств самих осцилляторов, но и от степени связи между ними. Кроме того, за счёт потребления ЭНР осцилляторами и наличием зависимости силы связи от величины ЭНР взаимодействие осцилляторов ансамбля оказывается модулировано во времени их собственной динамикой. Выше сказанное свидетельствует о важности адекватного выбора управляющих параметров, в плоскости которых исследование динамики было бы наиболее информативно.

С точки зрения топологии связи, представляется целесообразным выделить небольшое число вариантов, характеризующих полярные ситуации. Такими вариантами представляются:

1) Конфигурация ансамбля типа «цепь»: осцилляторы расположены последовательно с удалением от источника ЭНР на общем канале распределения. Подобная аппроксимация применялась, например, для анализа динамики нефронов, расположеных последовательно на общем кровеносном сосуде [11,12]. В предварительных расчетах в работе [10] было показано, что связанные в цепочку осцилляторы с ЭНР-связью могут демонстрировать эффект, при котором в режиме генерации находится только часть осцилляторов ансамбля. Актуально детальное изучение природы этого эффекта, частотных и фазовых характеристик режимов генерирующих осцилляторов.

2) Конфигурация ансамбля типа «дерево»: состоит из разветвляющихся элементов, все осцилляторы равноудалены от источника питания и расположены па оконечностях ветвей. На интуитивном уровне предполагается отсутствие различий в динамике отдельных осцилляторов при данной топологии связи ввиду равноудалёпности осцилляторов от источника ЭНР, а следовательно, равномерности распределения питания между осцилляторами. Однако, наличие влияния динамики отдельных осцилляторов на уровень ЭНР в цепи распределения, на практике приводит к множественным (мультиста-бильность) и сложно организованным (различные фазовые соотношения) режимам функционирования таких систем. Динамика ансамблей осцилляторов с топологией связи типа «дерево» вызывает особый интерес, так как данный вопрос практически не исследован с точки зрения проявлений синхронизации.

Все вышесказанное позволяет сформулировать следующую актуальную цель диссертационной работы:

Исследовать динамические и индуцированные шумом колебательные режимы и нелинейные эффекты, характерные для ансамблей осцилляторов с различной топологией ЭНР-связи.

Для достижения поставленной цели, в рамках диссертационного исследования, необходимо было решить следующие основные задачи:

1. Выбор адекватных модельных систем и исследование их динамики на плоскости управляющих параметров, отвечающих за приток и диссипацию энергии.

2. Исследование особенностей генерации и синхронзации колебаний в малых ансамблях из двух и трех осцилляторов, в том числе — при наличии более одного канала связи.

3. Изучение характеристик и механизмов трансформации амплитуднонеоднородных колебательных режимов (осцилляторных кластеров) в ансамбле осцилляторов с топологией связи типа «цепь» .

4. Выявление и классификация множественных (одновременно устойчивых) режимов колебаний в ансамбле с топологией ЭНР-связи в виде двоичного дерева, анализ действия флуктуаций как со стороны источника питания, так и в индивидуальных осцилляторах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложены и исследованы модели осцилляторов, отвечающие целям диссертационного исследования. Для модели двумодового осциллятора показано наличие режимов хаотической динамики с синхронизованными и рассинхронизованными модами.

2. Исследованы типичные динамические режимы и переходы между ними для малых (два и три элемента) ансамблей осцилляторов, подключенных к одному источнику питания. Показано, что в случае изначально идентичных осцилляторов ансамбля типичным режимом являются колебаний с равномерным сдвигом фаз по ансамблю. Так, два осциллятора стремятся к сдвигу фаз иа половину периода, а три осциллятора — на треть периода.

3. Выявлен эффект «взаимопомощи» осцилляторов, выраженный в том, что два связанных по цепи питания осциллятора могут находиться в режиме генерации, в то время как отключение одного из них гасит колебания и в оставшемся. Механизм данного эффекта заключается в выравнивании динамики энергопотребления при увеличении числа осцилляторов.

4. Исследованы типичные динамические режимы и переходы между ними в условиях одновременного действия двух каналов связи в малых ансамблях осцилляторов, изучены реализующиеся при этом сценарии перехода между синхронизацией в фазе и противофазе. Показано, что одновременное действие связи по цепи питания и связи через взаимную индукцию приводит к появлению областей мультистабильности, а также к хаотизации колебаний. Для двумодовых осцилляторов совместное действие двух каналов связи приводит к возникновению режима фазовой мультистабильности.

5. Показано, что ансамбль осцилляторов, последовательно подсоединенных к общему источнику питания (структура типа «цепь»), функционирует в режиме осцилляторного кластера, когда лишь часть осцилляторов находится в режиме генерации. Исследованы сценарии перемещения кластера при вариации управляющих параметров. Установлено, что данные сценарии определяются особенностями графика усредненного потребления тока отдельным осциллятором.

6. Для режима осцилляторного кластера в условиях низких потерь в цепи распределения энергии установлено наличие многочастотных режимов, на уровне точности вычислительного эксперимента соответствующих многомерному тору в фазовом пространстве математической модели. Как удалось установить, формирование такого режима определяется противоположно направленным действием двух факторов, а именно, рост взаимовлияния осцилляторов усиливает тенденцию к синхронизации, в то время как увеличение степени индуцированной связью расстройки по частотам ей препятствует.

7. Показано, что наличие некореллированных источников шума в осцилляторах структуры типа «цепь» приводит к увеличению размеров осцилляторного кластера. При этом с увеличением уровня шума наблюдается уменьшение регулярности колебаний в осцилляторах, изначально находившихся в режиме генерации, в то время как в остальных осцилляторах регулярность колебаний растёт до достижения максимального значения при оптимальном уровне шума, после чего начинает уменьшаться.

8. На примере цепочки двумодовых осцилляторов показано, что наличие дополнительной связи приводит к более регулярной динамике ансамбля с возникновением внутри осцилляторного кластера области с синфазной синхронизацией колебаний. Возникновение такого режима приводит к большему потреблению питания системой и, как следствие, сдвигу кластера к началу цепочки (к точке приложения питания).

9. Установлено, что для ансамбля осцилляторов с топологией связи по цепи питания типа «дерево» характерно наличие множественных синхронных режимов, различающихся фазовыми соотношениями. С увеличением размера «дерева» количество режимов возрастает. Показано, что основная часть режимов «дерева» является комбинацией режимов «деревьев» меньшей размерности. Для «деревьев» из восьми и шестнадцать осцилляторов обнаружены квазипериодические режимы.

В целом, запланированные задачи по диссертационной работе выполнены и основные вопросы изучены. Естественно, исследования, проведённые при выполнении данной диссертационной работы нельзя считать исчерпывающими. За рамками рассмотрения остались многие эффекты, связанные с релаксационными свойствами самих осцилляторов и реактивностью цепи связи. Кроме того, рассматриваемые топологии связи хоть и являются основными, однако далеко не исчерпывают встречающиеся случаи систем с распределением ЭНР.

С этой точки зрения, представленная диссертационная работа может служить основой для будущих исследований в области нелинейной динамики.

Заключение

.

Согласно поставленным во введении задачам, исследования в рамках диссертационной работы включали:

• Изучение собственной динамики выбранных моделей осцилляторов.

• Исследование динамики взаимодействующих по каналу распределения энергии ансамблей из двух и трёх осцилляторов.

• Исследование собственной и индуцированной шумом динамики одномерного массива осцилляторов? связанных по каналу распределения энергии.

• Изучение динамики ансамбля осцилляторов с древовидной топологией связи по цепи распределения энергии.