Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии

Диссертационная работа посвящена существованию и построению частных точных решений уравнения нелинейной диффузии и некоторого класса параболических систем нелинейной теплопроводности с источником (стоком). Данная проблема является очень актуальной в теории дифференциальных уравнений с частными производными и математической физике. Этой задаче посвящено большое количество публикаций. Укажем, только, наиболее близкие к теме настоящей диссертации [Баренблатт, 1952, 1954; Галактионов, 1981; Галактионов, Дородницын, Еленин, и др., 1986; Галактионов, Посашков, 1986, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1995; Мартинсон, 1976, 1979, 1986; Овсянников Л. В., 1959; Пухна-чев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов и др., 1987; Самарский, Соболь, 1963; Сидоров, 1985; Титов, 1988; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.

Точные аналитические решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений играют огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях современного естествознания.

Точные решения нелинейных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как пространственная локализация процессов переноса, режимы с обострением (blow-up), то есть когда решение за конечное время уходит в бесконечность, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных условиях и т. п.

Следует отметить, что даже частные точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, играют важную роль «тестовых» примеров при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Например, частные точные решения нашли широкое применение в методах сравнения, когда исследование многих важных аспектов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными опирается на специальное «сравнение» с пространственно временной структурой построенного точного решения.

Задача нахождения точных решений (в замкнутом виде) нелинейных уравнений математической физики является очень трудной и порой непреодолимой. Сложность обусловлена, главным образом, либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования опирающиеся на знание отдельных классов частных решений. Оказалось, что многие важные нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными обладают некоторой внутренней структурой, знание которой позволяет отыскивать точные решения исходя из соображений симметрии. Одним из таких уравнений является уравнение нелинейной теплопроводности.

Щ = V -(К (и)Чи) + С}(и), и = м (х, ¿-), х Е п > 1, (0.1) описывающее процесс распространения тепла в однородной среде. Для уравнения (0.1) в [Овсянников Л.В., 1959] впервые решена задача групповой классификации в одномерном случае и отсутствии объемных источников тепла. В работах [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983] проведен групповой анализ уравнения (0.1), соответственно в одномерном и многомерном случаях (п = 2, п — 3).

С помощью групповых свойств уравнений можно строить классы инвариантных решений, частным случаем которых являются широко используемые в задачах механики и гидродинамики автомодельные решения и нелинейные бегущие волны [Седов, 1965; Баренблатт, 1978]. Для уравнения (0.1) в случае, когда коэффициент нелинейной теплопроводности и объемный источник (сток) зависят степенным образом от температуры, то есть К (и) = их, Сд (и) = известен широкий класс автомодельных (самоподобных) решений (см. например [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Зайцев, Полянин, 1996]).

В работе одним из основных объектов исследования является уравнение нелинейной диффузии вида: щ = /-(и^и), ийи (х^), хе$п, п> 1, (0.2) которое обладает различными, в зависимости от знака параметра, А? А ф 0, свойствами. Если, А > 0, тогда (0.2) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [Калашников, 1987]. Другими словами, уравнение (0.2) является параболическим при и > 0, а при и = 0 вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка (типа Гамильтона-Якоби) [Самарский, Галактионов, Курдюмов и др., 1987;]. Исследованиями [Олейник, 1957; Олейник, Калашников, Чжоу Юй-Линь, 1958] было начато построение математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, а затем продолжено в монографиях [Антонцев, 1986; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др. 1987] и обзорных работах [Кершнер, 1978; Мартинсон, 1986; Калашников, 1987; Агошоп, 1988]. С вырождением уравнения (0.2) связаны некоторые особые свойства его решений. Например, при определенных предположениях уравнение с неявным вырождением может обладать неограниченными решениями или режимами с обострением [Галактионов, Дородницын. Еленин б и др. 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др., 1987], когда lim supwfx, t) = +00, где Т~ G момент обострения. При этом т-, хезг" v точка х = х* G в которой происходит неограниченное возрастание решения при t Т~ называется точкой обострения (сингулярности). Причем при временах близких к моменту обострения Т~ слева, для многих неограниченных решений вырождающегося параболического уравнения (0.2) типичным является свойство локализации [Антонцев, 1986; Галактионов, Дородницын, Еленин и др., 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др., 1987] режимов с обострением в некоторой ограниченной области Q С Следует отметить, что это свойство в той или иной мере присуще неограниченным решениям уравнений различных типов [Галактионов, Курдюмов, Самарский, 1983]. Уравнение (0.2) при Л > 0 описывает процесс ньютоновской фильтрации и называется уравнением пористой среды (нестационарной фильтрации). Если в уравнении (0.2) параметр Л < 0, тогда коэффициент нелинейной теплопроводности К (и) — их неограниченно возрастает при и —" 0. Другими словами, коэффициент нелинейной диффузии К {и) = их будет при Л < 0 сингулярной функцией: К (0+) = -foo. что определяет высокую интенсивность передачи тепла из областей с повышенной температурой в те части пространства, где она близка к нулю. При этом интенсивность теплового поглощения либо на границе области, где u (x, t) ее 0, либо в бесконечно удаленных точках может быть столь высока, что наступает эффект полного остывания за конечное время: м (х, t) = 0 для всех t > Го, где-То < +оовремя остывания. Итак, в этом случае типичным свойством решений уравнения (0.2) при Л < 0 является свойство обращения их в нуль за конечное время. Эффект полного остывания для уравнения (0.2) при Л < 0, рассматриваемого в ограниченной области Q, —" ?ft", м (х, t) = 0 на dQ, известен сравнительно давно [Сабинина, 1962, 1965]. Уравнение (0.2) при Л < 0 описывает диффузионные процессы в полимерах, полупроводниках, пористых средах, кристаллическом водороде, плазме [Галактионов, Дородницын, Еленин и др. 1987; Калашников, 1987; Пухначев, 1994, 1995; Peletier, Zhang, 1995]. Отметим, что явление стабилизации решений за конечное время исследовалось и для других классов дифференциальных уравнений с частными производными [Антонцев, 1986, с.36−50- Калашников, 1987, с.154−156]. Наконец, при Л = — 1 уравнение (0.2) запишется как щ = Апщ и = w (x,/), x G > 1, (0.3) которое является предельным случаем (при п — 2) уравнения быстрой диффузии и описывает [Пухначев, 1995] процесс растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван-дер-Ваальса. Для п — 3 уравнение (0.3) описывает эволюцию плотности электронного пучка, подчиненного распределению Максвелла. Отметим, что уравнение (0.3) при п = 2 является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа допустимых преобразований бесконечномерна.

Несмотря на большое число работ, посвященных построению точных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной теплопроводности со степенным коэффициентом нелинейной теплопроводности (0.2), большинство из них относится к случаю, когда Л > 0. Известных нам работ, в которых строятся частные точные неотрицательные решения многомерного уравнения быстрой диффузии значительно меньше. Поэтому, основное внимание в диссертации уделено построению точных неотрицательных решений уравнения нелинейной диффузии с отрицательным показателем Л.

Теперь перейдем к краткому содержанию работы. Первая глава посвящена исследованию одномерного уравнения нелинейной диффузии.

И = ?(иА?И)' (0.4) для которого строятся новые точные решения вида.

1/А.

I/ К к=о.

0.5) при т € N, 171 > 2. Если т = 2, то получаем хорошо известное автомодельное решение уравнения (0.4) для любого Л ф —2. При т = 3, для уравнения нелинейной диффузии с показателем Л = —3/2, выражение (0.5) дает новое точное решение, в котором функции выражаются через специальные функции Вейерштраса [Уиттекер, Ватсон, 1963]. В случае га = 4, подстановка соотношения (0.5) в уравнение (0.4) с параметром Л = —4/3 приводит к системе четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В диссертации найдены три частных решения полученной системы ОДУ, два из которых являются новыми. Отметим, что одно из этих решений выражается в эллиптических функциях Якоби [Ахиезер, 1948]. Для т > 5, уравнение (0.4) в общем случае сводится к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Исследование таких систем сопряжено с большими трудностями, так как, известно [Рождественский, Яненко, 1968]. что переопределенные системы (число уравнений больше числа искомых функций) могут вообще не иметь решений. В работе доказана разрешимость нелинейной системы АДУ, и как следствие получено новое точное автомодельное решение уравнения (0.4) для произвольного Л 6 Л ф —2, что является одним из основных результатов данной главы. Случай Л = — 2 является особым, поскольку, при этом уравнение нелинейной диффузии (0.4) некоторыми нелокальными преобразованиями независимых переменных можно свести к линейному уравнению теплопроводности [В1итап, Клипер 1980].

Во втором параграфе первой главы решения вида (0.5) строятся для одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), в частности для семейства уравнений и —и I + аи.

1~х, АеЭМ^О.

0.6).

Аналогично, рассмотрены некоторые частные случаи т Е N. Так, при т = 3ига = 4 В явном виде найдены новые точные неотрицательные решения уравнения (0.6), для Л = -3/2 и, А — —4/3 соответственно. В случае т > 5, как и следовало ожидать, исследование свелось к вопросу о разрешимости нелинейной переопределенной системы АДУ большой размерности.

В третьем разделе найдены новые точные решения нелинейного уравнения тепломассопереноса вида (0.5). Приведены преобразования эквивалентности для последнего уравнения. Так, например, показано, что уравнения сводятся к линейному уравнению теплопроводности УТ — Ууу.

Наконец, в последнем параграфе предлагается отыскивать решения уравнения (0.4) в более общем виде:

В качестве примера, построено новое точное решение (0.7) для уравнения нелинейной диффузии (0.4) с показателем, А = —½.

Во второй главе исследуется многомерное уравнение нелинейной теплопроводности которое представлено в виде следующей эквивалентной системы:

0.7).

Щ = V • (К (и)Уи) и = и (х, (), хег, п> 2, (0.8) щ + V • (^(х, *)) = 0, 10.

0.9) f (x, t) = -I^-Vu. (0.10) и.

Соотношение (0.9) при заданной вектор-функции f (x, t) является уравнением Лиувилля (уравнением неразрывности). Показано, что функция u (x, t), определяемая из выражения (0.10) с использованием теоремы о потенциальных операторах [Вайнберг, 1956] и удовлетворяющая линейному уравнению Лиувилля (0.9) является точным решением уравнения нелинейной теплопроводности (0.8). Рассмотрены некоторые частные случаи вида f (x, t). Особый интерес представляет пример, когда f (x, t) является линейной вектор-функцией. В этом случае решение исходного уравнения (0.8) представимо как и (х, t)=F Q (x, A (t)x) + (х, B (t)) + C (t)J, (0.11) где F (-) — некоторая функция зависящая от вида коэффициента нелинейной теплопроводности К (и). Эта конструкция решения оказалась очень плодотворной, поскольку все последующие результаты опираются на форму (0.11), либо её обобщения (см. главу 3). Например, показано, что решениями вида (0.11) обладает такой важный класс уравнений, как уравнения со степенным коэффициентом теплопроводности (0.2). Построены новые точные неавтомодельные решения (0.2) для различных значений параметра, А? А ф 0. Особенно, выделен случай, А = — 1, когда уравнение (0.2) принимает вид (0.3), для которого найдены новые точные неинвариантные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения, зависящие по времени от эллиптических функций Якоби.

Во втором параграфе выделено семейство квазилинейных уравнений теплопроводности с объемным источником (стоком), обладающих решениями вида (0.11). Доказаны соответствующие утверждения и теоремы. Приведены примеры новых нетривиальных решений для полулинейных параболических уравнений, не являющихся инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [Овсянников Л.В., 1962, 1978; Ибрагимов, 1984].

В третьем параграфе построены примеры параболических уравнений, в которых коэффициент нелинейной теплоповодности и объемный источник (сток) явным образом зависит от времени и имеют точные решения типа (0.11).

Наконец, в последнем разделе этой главы исследован случай, когда Г (х, является произвольной вектор-функцией. При этом показано, что в общем случае £(х, ?) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению типа нелинейной теплопроводности. В частности, рассмотрен пример, когда уравнение на вектор-функцию^х, ?) сводится к многомерному аналогу известного уравнения Бюргерса [Абловиц, Си-гур, 1987].

В третьей главе продолжено изучение многомерного уравнения нелинейной диффузии (0.2), точные решения которого отыскиваются в следующем виде и (х, г) = 1 1.

А[-(х, Л, (¿-)х) + (х, В1.(*)) + Сг{Щ+.

А[-(х, А2(<)х) + (х, В2(0) + С2(<)], , (0.12).

1/А где х € А^) — симметричные матрицы п х п с элементами аь—-(/) € С1^*), В*(0- вектор-столбцы с компонентами &-н (£) Е С1(3?+) и Ск (£) € С1⁴″) — скалярные функции, к = 1,2- г,] = 1,2,., п- (•, •)-скалярное произведение в 3?". Показано, что для указанной конструкции решения, исследование уравнения (0.2) свелось к переопределенной системе АДУ, разрешимой при определенных предположениях:

А2 = 2А1 + (КА2)А2, (0.13.1).

В2 = 2А2В2 + А (*гА2)В2, (0.13.2).

С2 =| В2 I2 +А (?гА2)С2, (0.13.3) л = 4А1А2 + т (^а2)а1 + а^га1)а2, (0.13.4) вх = 2(а1в2 + Л2В1) + т{^а2)в1 + (7(*ГА1)В2, (0.13.5) с = 2(ВЬ В2) + т (1га2)с1 + а^га!)с2, (0.13.6).

Х^гА^Ах + 2 = 0, (0.13.7).

Х^гАг) В! + 2^1В1 = 0, (0.13.8).

А (ггА1)С1+?|В1|2=0, (0.13.9) где (7 = рХ/&т = Х/рр, Х € ШX ф 0- р ф 0-? = р{Х + 1) — Ап ф 0- = аки (^У след матрицы к = 1,2. При этом отдель1 ное внимание уделено случаю, когда А^) = 0, В^/) = 0,= 0. В этой ситуации система АДУ (0.13.1)-(0.13.9) сводится к системе ОДУ (0.13.1)-(0.13.3), полученной и частично исследованной во второй главе. В работе получено общее решение задачи Коши для системы ОДУ (0.13.1)-(0.13.3), которое зависит от скалярной функции удовлетворяющей нелинейному ОДУ П[1−24(0М<)Га/2> (0.14).

С — 1 с начальным условием г (0) — 0, где ?4(0)? собственные значения матрицы ^2(0). В качестве примера, для трехмерного (п = 3) по пространственным переменным уравнения нелинейной диффузии (0.3), которое представляет большой практический интерес, выписаны все решения задачи Коши для уравнения (0.14), в зависимости от параметров ¿-¿-(0), к = 1,2,3. В общем случае, эти решения выражаются в эллиптических функциях Якоби и приводят к новым неавтомодельным, анизотропным по пространственным переменным, явным неотрицательным решениям уравнения (0.3). Дальнейшее исследование посвящено вопросу о существовании решений задачи Коши (0.13.4)-(0.13.6) и изучению свойств решений системы алгебраических уравнений (0.13.7)-(0.13.9). При этом отдельно рассмотрены два независимых случая: р = 2 и р ф 2. Для каждого случая сформулированы и доказаны соответствующие утверждения и теоремы, обеспечивающие существование решений системы АДУ (0.13.1)-(0.13.9), а также, решений исходного уравнения нелинейной диффузии (0.2).

В конце главы, конструкция точного решения (0.12) используется для семейства уравнений с источником (стоком).

Щ = V • (иЛУи) + сш1-А, (0.15) при этом функции С^) удовлетворяют системе АДУ.

0.13.1)-(0.13.9), в которой уравнение (0.13.3) принимает вид с2 =1 В2 I2 +Л (ггЛ2)С2 + а, а е, а ф 0.

Аналогично, доказаны соответствующие утверждение и теорема. Приведено много новых нетривиальных примеров с новыми точными неинвариантными решениями уравнений (0.2), (0.15) для различных значений параметра Л.

В последней главе выделен класс нелинейных параболических систем, обладающих точными решениями вида (0.11). Отметим, что все приведенные системы не являются «искусственными», а имеют большое число приложений [Галактионов, Курдюмов, Самарский, 1983; Самарский, Галактионов, Курдюмов, и др., 1987]. Кроме того, рассмотрены и исследованы системы нелинейной градиентной диффузии с линейными источниками (стоками) [Галактионов, Посашков, 1994].

Заключение

.

В заключении, кратко сформулируем основные результаты работы:

1. Построены новые частные точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии в виде полиномов по степеням пространственной переменной с коэффициентами зависящими от времени. Приведены преобразования эквивалентности и найдены новые точные автомодельные решения для одномерного уравнения нелинейного тепло-массопереноса зависящего от состояния. Выделены новые уравнения нелинейной диффузии, которые сводятся к линейному уравнению теплопроводности.

2. Изложен подход построения точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности, основанный на использовании уравнения Лиувилля (уравнения неразрывности). Найдены новые точные многомерные решения указанного уравнения для различных типов нелинейностей (в том числе, когда коэффициент нелинейной диффузии и объемные источники (стоки) явно зависят от времени), большинство из которых не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда.

3. Предложена новая нетривиальная конструкция точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии, с помощью которой исследование исходного уравнения свелось к разрешимости конечномерной переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций) системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Доказано существование и единственность классического решения задачи Коши для полученной системы АДУ. Исходя из предложенного анзатца построены новые точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения как класса многомерных уравнений пористой среды (нестационарной фильтрации), так и класса уравнений «быстрой» диффузии.

4. Выделен класс систем многомерных параболических уравнений и семейство нелинейных уравнений теплопроводности с объемными источниками (стоками), обладающих точными неотрицательными решениями указанной конструкции.