О дифференциальных уравнениях систем гистерезисного типа

Появление математических описаний гистерезисных явлений обусловливалось достаточно богатым набором прикладных задач (прежде всего в теории автоматического регулирования), в которых носители гистерезиса нельзя рассматривать изолированно, поскольку они являлись частью некоторой более сложной системы. Создание математической теории гистерезиса относится к 60-м годам XX века, когда в Воронежском государственном университете начал работать семинар под руководством М. А. Красносельского, посвященный «гистерезисной» тематике. В связи с семинаром было подготовлено и опубликовано несколько работ (см. [14] - [18], [28] и [2]). Позднее, в 1983 году появилась монография [19], в которой различные гистерезисные явления получили формальное описание в рамках теории систем: гистерезисные преобразователи трактовались как операторы, зависящие от своего начального состояния кь, к от параметра, определённые на достаточно богатом функциональном пространстве (например, пространстве непрерывных функций), действующие в некоторое функциональное пространство. Различным вопросам, связанным с гистерезисными нелинейностями, посвящены многие сотни статей и монографий. Информацию о подходах к изучению гистерезисных явлений, а также обширную библиографию можно найти в [47], [48], [3], [4], [24], [12], [5], [13], [36], [37], [29] - [31] и [1].

Реле рассматривается как преобразователь с произвольным непрерывным входом х (£) и выходом ?/(?). имеющим два возможных значения 0 и 1, причем при х{&euro-) < а — только 0, при ж (£) > ?3 — только 1. 0 скачком меняется на 1 при достижении входным сигналом значения /3, 1 на 0 — при достижении а. При этом а, /3 (а < (3) называются, соответственно, нижним и верхним пороговыми значениями реле. Таким образом, областью Г?(а-, (3) допустимых состояний реле с пороговыми значениями, а и /3 является множество точек (ж, у) плоскости, лежащих на двух полупрямых: у — 0 при х < /? и у — 1 при х > а. Различные формальные уточнения приведенного феноменологического описания реле рассматривались многими авторами (см., например, [44], [19], [13], [29] и [30]).

По Я. З. Цыпкину уравнение гистерезисного элемента в общем случае определяется не функцией от входа х, а оператором, определенным на входах х, и может быть представлено в виде.

Эта запись показывает, что выходная величина y (t) в момент t определяется значением входной величины x (t) не только в момент i, но и его значениями во все предыдущие моменты времени и, кроме того, y (t) зависит от некоторого параметра ст. Описания нелинейных элементов при наличии гистерезиса в общем случае можно найти в работах В. А. Якубовича [45], [46]. В цикле работ Я. З. Цыпкина (см. [40] - [43]) изучены различные аспекты теории релейных автоматических систем. Релейный элемент, отвечающий приведенному выше феноменологическому описанию, Я. З. Цыпкин называет элементом с положительным гистерезисом и без зоны нечувствительности (см. [44], с. 74). Если обозначим через ° — Ух? {ОД} значение выходного сигнала после последнего момента ?1 переключения реле, то уравнение такого элемента можно представить в следующем виде (приведем его в несколько измененной эквивалентной форме): y (t) = Ф (ж-2/1) =.

1, если х >? или? > x (s) > а при у = 1;

0, если х < а или, а < x{s) <? при у = 0.

В монографии М. А. Красносельского и A.B. Покровского [19] (см. также [13]) дано следующее явное описание такого реле (мы приводим его в несколько измененной эквивалентной форме). При каждом начальном состоянии (хо, уо) G О (се, ?) в момент времени t — to допустимыми являются непрерывные входы x (t) (t > ¿-о), удовлетворяющие условию x (to) = ЖоДопустимому входу х (t) отвечает выход y (t) (t > to), который определяется соотношениями: г.

О, если х (г) <аУ = а Л У (т е (£ь Ц)[х (т) < (3],.

2/(*) = 1, если х{&euro-) >(ЗУ З^г^х^г) — ¡-ЗА /(т Е г])[ж (т) > а]], т/о? если ж (г) € (а, (3) при всех т Е [¿-о?£].

1).

Нетрудно видеть, что при таком описании выходная функция меняет свое значение точно в моменты достижения входной функции пороговых значений, т. е. выходная функция непрерывна справа.

Следуя [29], в соответствии с приведенным феноменологическим описанием выходной сигнал можно записать локально явным уравнением: ей) = <

0, если х (£) < а,.

1, если > (3, (2) если, а < х (Ь) < (3.

Решение уравнения (2) определяется как непрерывная слева функция ?/(?), которая при каждом? из ее области определения удовлетворяет этому уравнению при достаточно малых положительных скЬ: <И Е (0,?(?)),.

ОД > 0.

Заметим, что для описания реле в виде локально явного уравнения (2) областью £1(а,/3) допустимых состояний реле с пороговыми значениями, а и (3 является множество точек (х, у) плоскости, лежащих на двух полупрямых: у — 0 при х < (3 и у = 1 при х > а. В дальнейшем, если (хо, Уо) лежит в этой области, то мы обозначим Щ (ос, /3,х)(уо) решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию у (Ьо) = т/оУтверждение о существовании и единственности такого решения доказано в [29].

В [30] показано, что при локально явном описании (2) реле обладает основными свойствами, отмеченными в [19], например, свойством монотонности по входам и монотонности по пороговым значениям. Кроме этого, доказана непрерывная зависимость выхода от входа при условии, что непрерывная входная функция в точках локального максимума не принимает значение ?, а в точках локального минимума — а. В локально явном уравнении (2) предполагается непрерывность выходной функции слева, что существенно связано со спецификой локально явных уравненийпрактически описания (1) и (2) эквивалентны.

Нелинейности люфт и упор широко используются в различных разделах физики, механики, теории управления и др. (см., например, [11], [3], [10] и [19]). Одномерный упор, соответствующий отрезку [0,1] - это преобразователь, который монотонно возрастающему входу x{t) (t > to) и начальному состоянию г/о € [0,1] сопоставляет выходной сигнал u (t), который возрастает с той же скоростью, что и вход x (t), до тех пор, пока u (t) не становится равным верхнему ограничению 1- после этого при дальнейшем возрастании входного сигнала, выход u (t) равняется единице, т. е. u{t) = min{l, a:(i) — x{to) -f it (io)}. Для убывающего входа x (t)(t > ¿-о) и начального состояния^о 6 [0,1] выход u (t) со скоростью входа убывает до достижения нижнего ограничения 0- после этого при дальнейшем убывании входного сигнала, выход u (t) не меняется, т. е. u (t) = max{0, x (t) — x (t0) 4- u (to)}.

Одномерный люфт, соответствующий отрезку [0,1] - это преобразователь, который монотонно возрастающему непрерывному входу x{t) и начальному состоянию г>о 6 [x (to), x (to) + 1] сопоставляет выход v (t), который равен Vq, пока x (t) < г>о, и x (t) в дальнейшем, т. е. v (t) = mdx{vo, x (t)}. Для убывающего входа x (t) и начального состояния vq? [&(io)> x (to) +1] выход определяется аналогично: г>о, пока x{t) 4−1 > vq, и x (t)~Ы в дальнейшем, т. е. v (t) = min{i-o, + Такие описания упора и люфта очевидным образом распространяются на кусочно монотонные непрерывные входы.

В монографии М. А. Красносельского и A.B. Покровского [19] дано следующее описание упора и люфта. Кусочно-гладкая входная функция x (t)(t > to) преобразуется в выходные упора функцию (p{t) и люфта функцию ф{Ь), определяемые соотношениями: г х, если ср е (0,1);

Ф — шах{0, ?}, если = 0- min{0, ?}, если <р = 1. ч.

О, если ф? (х, х + 1);

Ф — тах{0, ?}, если ф = ж;

4) min{0, ?}, если ф = х 4−1. V.

В этой монографии (с. 111) доказано, что при заданном начальном условии решения двух последующих дифференциальных уравнений существуют и единственны. Под решением любого из этих уравнений понимается локально абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая ему почти всюду. Из леммы 2.2 на с. 16 и формулы (16.25) на с. 111 вытекает, что соответствия х t—>• ip и х ь-> ф при фиксированных начальных значениях выходов удовлетворяют в норме пространства С условию Липшица с константами, соответственно, 1 и 2. Поэтому определения этих операторов распространяются по непрерывности на любые непрерывные входы. Кроме этого, доказано, что оператор люфта обладает свойствами детерминированности, статичности, управляемости, виброкоректности (с. 18) и самым важным свойством монотонности — люфт монотонен в том смысле, что увеличение (уменьшение) входного сигнала влечет увеличение (уменьшение) и выходного сигнала (с. 22). В силу связи между упором и люфтом (с. 111) получим, что преобразователь упора также обладает аналогичными свойствами.

В [30] даются математические описания упора и люфта в виде локально явных уравнений. Для монотонных входов x (t) выходные сигналы упора u (t) и люфта v (t) при малых dt > 0 можно задать локально явными уравнениями: х (Ь + ей) — х{Ь) -4- если? (0,1), ь (г + (И) = х (1 + - + если = и v (t + dt) = < x (t + dt) — min x (s)+u (t), если u (t) = 0. t.

6) v (t) в остальных случаях..

В [30] доказано, что описания упора (5) и люфта (6) имеют смысл для всех непрерывных входов и они эквивалентны, соответственно, приведенным выше феноменологическим описаниям. Кроме этого, доказана теорема о глобальной разрешимости и единственности сильного решения уравнений (5) и (6) с заданными начальными условиями..

Системы с диодными нелинейностями введены в рассмотрение [26], [27] в качестве математического описания электрических цепей с диодными преобразователями тока. С точки зрения теории цепей диод называется идеальным, если его ток I и напряжение и от анода к катоду удовлетворяет следующей системе: г > 0, и < 0, г — и = 0..

Геометрически эта система означает, что точка с координатами (г, и) в любой момент времени должна принадлежать линии, составленной из положительной полуоси г и отрицательной полуоси и. Цепи ЯЬСО и более широкие классы цепей изучались многими авторами (см., например, [8], [39], [38], [32], [33], [23], [6], [34], [7], [20], [21], [9], [25], [35] и [22]). Описание таких цепей сводится к изучению систем, называемых обобщенными системами с диодной нелинейностью. Пусть С} - непустое выпуклое замкнутое множество в Кп. Тогда обобщенная система с диодной нелинейностью имеет вид: х = тх/(г, х), (7) где тх/(Ь, х) — проекция вектора /(?, х) на Тх — касательный конус к в точке х (см. [19] с. 109)..

В работе [20] изучается вопрос о разрешимости системы (7): доказана теорема о существовании и единственности решения данной системы при некотором начальном условиив [9] получено достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия системы (7) — в [25] изучаются условия существования периодического решения данной системы, эта задача связана с вопросом о вынужденных колебаниях в электрических цепях, содержащих диодыв [22] доказывается обобщение известной теоремы Пуанкаре — Бендиксона о существовании замкнутой траектории и описана ситуация, в которой гарантируется существование единственного орбиталыго устойчивого в усиленном смысле цикла..

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Дадим краткое описание диссертации по главам..

1. Appell J. On the stability of some relay-type regulation system / J. Appell, 1.N. Pryadko, B.N. Sadovsky // Z. Angew. Math. Mech. 88. -2008. — № 10. — P. 808−816..

2. Владимиров A.A. Покровский A.B. Векторные гистерезисные нелинейности типа Мизеса Треска / A.A. Владимиров и др.] // ДАН СССР. — 1981. — Т. 257, № 3. — С. 506−509..

3. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления / A.A. Воронов. М.: Энергия, 1980. — 312 с..

4. Гильман Т. С. Вынужденные колебания систем с простейшими ги-стерезисными нелинейностями / Т. С. Гильман, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1982. — Т. 262, № 3. С. 437−450..

5. Golubev G. On the second order minimax estimation in partial linear models / G. Golubev, W. Hardie // Math. Methods of Stat. -2000. -V. 2. P. 160−175..

6. Данилов JI. В. Ряды Вольтерры-Пикара в теории нелинейных электрических цепей / JI.B. Данилов. М.: Радио и связь, 1987. — 224 с..

7. Данилов JI.B. Теория нелинейных электрических цепей / Л. В. Данилов, П. Н. Матханов, Е. С. Филиппов. Л.: Энергоатомиздат, 1990. — 256 с..

8. Дезоер Ч. А. Основы теории цепей / Ч. А. Дезоер, Э. С. Ку. М.: Связь, 1976. — 286 с..

9. Дробченко Е. Ю. Об устойчивости положения равновесия двумерной системы дифференциальных уравнений с фазовыми ограничителями / Е. Ю. Дробченко, Р. В. Нестеренко, Б. Н. Садовский // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2001. — № 1. С. 95−96..

10. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж. Л. Лионе. М.: Наука, 1980. — 384 с..

11. Емельянов C.B. Теория систем с переменной структурой / C.B. Емельянов. М.: Наука, 1970. — 592 с..

12. Зубов C.B. Устойчивость периодических решений в системах с гистерезисом / C.B. Зубов // Нелинейный анализ и его приложения: тез. докл. междунар. конгр, Москва, 1−5 сент. 1998 г. М., 1998. — С. 293−307..

13. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д. И. Рачинский // Доклады РАН. -2001. Т. 378, № 3. — С. 314−319..

14. Красносельский М. А. Оператор-гистерант / М. А. Красносельский и др.] // ДАН СССР. 1970. — № 1. — С. 29−33..

15. Красносельский М. А. Системы гистеронов / М. А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1971. — Т. 200, № 4, — С. 733−736..

16. Красносельский М. А. Периодические колебания в системах с релейными нелинейностями / М. А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1974. — Т. 216, № 4. — С. 733−736..

17. Красносельский М. А. Моделирование преобрзователей с гистерезисом континуальными системами реле / М. А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1976. — Т. 227, № 3. — С. 547−550..

18. Красносельский М. А. Правильные решения интегральных уравнений с разрывной нелинейностью / М. А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1976. — Т. 226, № 3. — С. 506−509..

19. Красносельский М. А. Системы с гистерерисом / М. А. Красносельский, A.B. Покровский. М.: Наука, 1983. — 272 с..

20. Лобанова O.A. О движении точки в ограниченном фазовом пространстве / O.A. Лобанова // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 1999. — С. 88−92..

21. Лобанова O.A. О существовании предельного цикла у линейной системы с ограничением / O.A. Лобанова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2001. — № 1. — С. 108−110..

22. Лобанова O.A. О двумерных динамических системах с ограничением /O.A. Лобанова, Б. Н. Садовский // Дифференциальные уравнения.- 2007. Том. 43, № 4. — С. 449−456..

23. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейныецепи / П. Н. Матханов. М.: Высшая школа, 1986. — 352 с. t.

24. Mayergoyz I.D. Mathematical Models of Hysteresis / I.D. Mayergoyz. -New York: Springer, 1991. 207 p..

25. Нестеренко P.B. О вынужденных колебаниях в двумерном конусе / Р. В. Нестеренко, Б. Н. Садовский // Автом. и телемех. 2002. — № 2. — С. 14−21..

26. Петрова Л. П. К математической теории электрических цепей с диодными преобразователями тока / Л. П. Петрова, Б. Н. Садовский. -Воронеж: ВорГУ, 1982. 27 с..

27. Прядко И. Н. О локально явных моделях некоторых негладких систем / И. Н. Прядко, Б. Н. Садовский // Автом. и телемех. 2004. -№ 10. — С. 40−50..

28. Прядко И. Н. О локально явных уравнениях /И.Н. Прядко // Диссертация канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2006. — 115 с..

29. Pryadko I.N. On locally explicit equations and systems with switching / I.N. Pryadko, B.N. Sadovsky // Func. Diff. Equat. 2006. — T. 13, № 3−4. — P. 571−584..

30. Садовский Б. Н. Системы с диодными нелинейностями и максимальные монотонные операторы / Б. Н. Садовский. В кн.: VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах, 2 часть. 1 Рига, 1983..

31. Садовский Б. Н. К математической теории цепей с тиристорами / Б. Н. Садовский, М. П. Соболевская // Сб. научных трудов Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. М.: ВНИИСИ, 1984. — С. 178−182..

32. Садовский Б. Н. О двумерных динамических системах с ограничением / Б. Н. Садовский, O.A. Лобанова // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. конф, 30 июня-4 июля, Воронеж, 2003 г. Воронеж, 2003. — С. 170−171..

33. Семенов М. Е. Математическое моделирование динамических систем с гистерезисными явлениями / М. Е. Семенов // Диссертация д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 2003. — 192 с..

34. Синицкий Л. А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей / Л. А. Синицкий. Львов: Вища школа, 1978. — 138 с..

35. Теоретические основы электоротехники. Том I. Основы теории линейных цепей / Под редакцией Ионкина П. А. М.: Высшая школа, 1976. — 544 с..

36. Цыпкин Я. З. Частотные характеристики релейных следящих систем / Я. З. Цыпкин // Автом. и телемех. 1959. -Т. 20, № 12. — С. 16 031 610..

37. Цыпкин Я. З. Влияние случайных помех на периодический режим в релейных автоматических системах /Я.З. Цыпкин // Доклады АН СССР. -1961. Т. 139, № 3. — С. 570−573..

38. Цыпкин Я. З. Об устойчивости релейных автоматических систем «в большом» / Я. З. Цыпкин // Известия АН СССР ОТН «Техника кибернетика». 1963. — № 3. С. 121−135..

39. Цыпкин Я. З. частотный метод анализа автоколебаний и вынужденных колебаний в релейных системах автоматического регулирования / Я. З. Цыпкин // под ред. Солодовникова «машиностроение». 1969. — Книга 3, ч. 2. — С. 101−104..

40. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы /Я.З. Цыпкин. -М.: Наука, 1974. 575 с..

41. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисным нелинейностями / В. А. Якубович // ДАН СССР. 1963. — Т. 149, № 2. — С. 288−291..

42. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезистными нелинейностями / В. А. Якубович // Автом. и телемех. 1965. — Т. 26, № 5. — С. 753−763..

43. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками / В. А. Якубович // Автом. и телемех. 1967. -Т.23, № 6. — С. 5−30..

44. Нгуен Тхи Хиен. Анализ автоколебаний в системе с двумя реле / Нгуен Тхи Хиен // Труды математического факультета. Воронеж: ВорГУ, 2006. — Вып. 10 (новая серия). — С. 112−118..

45. Нгуен Тхи Хиен. Анализ автоколебаний в системе с двумя реле / Нгуен Тхи Хиен // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2006 г. Воронеж: ВорГУ, 2006. — С. 69..

46. Нгуен Тхи Хиен. Гладкие модели упора и люфта / Нгуен Тхи Хиен // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2009. — № 2. — С. 92−95..

47. Нгуен Тхи Хиен. Гладкие модели упора и люфта / Нгуен Тхи Хиен // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2010 г. Воронеж: ВорГУ, 2010. — С. 108−109..

48. Нгуен Тхи Хиен. Гладкая модель реле с гистерезисом / Нгуен Тхи Хиен, Б. Н. Садовский // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2010 г. Воронеж: ВорГУ, 2010, с. 109−110..

49. Нгуен Тхи Хиен. Гладкая модель реле с гистерезисом / Нгуен Тхи Хиен, Б. Н. Садовский // Автом. и телемех. 2010. — № 11. — С. 100−111..

50. Нгуен Тхи Хиен. О точности гладкой модели системы с диодной нелинейностью / Нгуен Тхи Хиен // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. — № 2. — С. 240−243..