Программное обеспечение численного исследования автономных систем в приложениях и учебном процессе

Актуальность.

При изучении многих прикладных задач важную роль играет вычислительный эксперимент, предоставляя возможность более глубокого понимания существа изучаемых процессов через исследование соответствующей математической модели. Кроме того, в ряде случаев моделирование процессов в лабораторных или натурных условиях сложно и дорого.

Для проведения численного исследования физического процесса необходимо:

— построить физическую модель процесса, т. е. найти закономерности, позволяющие судить о характере протекания процесса (это, например, схемы кинетических реакций, уравнения теплового баланса, равновесия, законы сохранения и т. п.);

— построить математическую модель, в нашем случае в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

— найти решения системы дифференциальных уравнений, применяя методы численного интегрирования;

— провести численное исследование поведения решений в зависимости от параметров системы;

— сопоставить полученные результаты с известными качественными представлениями о характеристиках изучаемого физического процесса.

В работе предлагается пакет программ STEP, предназначенный для численного исследования автономных систем из п уравнений общего вида: = (0.0.1) где х = (si,. ,?")? Rn — фазовые (динамические) переменные, р = р1,.,^" 1) € Rm — скалярные параметры, от которых зависит модель, fi (x>p)i • • • > fn{x, p) ~ достаточно гладкие функции переменных и параметров.

Как отмечается, например, в [73], достаточно полное аналитическое исследование автономных систем (в том числе и бифуркационный анализ) возможно, как правило, лишь для систем специального вида. Поэтому важна роль численных методов, составляющих основу организации численного эксперимента при изучении качественных характеристик поведения решения, и разработок программного обеспечения, использующего эти методы.

Востребованность разработок программного обеспечения такого рода состоит в том, что многие математические модели из приложений формулируются в терминах автономных систем дифференциальных уравнений. Из литературы известен ряд программных комплексов типа пакета STEP, реализующих численные алгоритмы качественного анализа автономных систем. В частности, много работ было посвящено изучению бифуркаций в гидродинамике (см., например [5]). Для изучения бифуркаций в биологических системах были созданы (НИИВЦ АН СССР, Пущино) такие программные комплексы, как LINLBF [98] и более поздние его модификации, L0CBIF [99] и CONTENT [101]. Можно также назвать такие широко известные пакеты программ, как DERPAR [83] и AUTO [85]. Для интегрирования задачи Коши применяются, например, комплекс программ MADONNA, см. http://www.berkeleymadonna.com/, пакеты GEAR [82] и DIFFSUB [87].

Опыт работы с приложениями показывает, что решение конкретных задач на практике оказывается затруднительным в случае применения готовых комплексов программ, являющихся, как правило, коммерческим продуктом, закрытым для доступа к текстам программ. В этом случае применение так называемого «черного ящика» может вызвать затруднения при организации численного эксперимента. Кроме того, в рамках используемого комплекса программ может оказаться проблематичным и привлечение новых алгоритмов.

На основе вычислительных алгоритмов, разработанных в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, было создано программное обеспечение численного исследования автономных систем, включающее в себя, в частности, оригинальный вариант метода продолжения для решения систем нелинейных уравнений, зависящих от параметра, определение устойчивости стационарных решений по методу Годунова — Булгакова в зависимости от параметра, алгоритмы проведения однои двупараметрического анализа стационарных решений автономной системы.

Постановка задачи.

Приведем несколько определений, связанных с постановкой задачи. Пусть xi = ipi (t), x2 = (p2{t), txn = (pn (t),.

— какое-нибудь решение системы (0.0.1). Множество точек ip (t) = {.

По определению, фазовый портрет системы есть совокупность всех ее траекторий x (t).xn (t), изображенных в пространстве фазовых переменных Rn (фазовом пространстве) при фиксированных значениях параметров (см. [б], [7]). Решая задачу Коши с различных начальных данных, мы можем построить фазовый портрет системы при некоторых фиксированных параметрах модели.

При изменении какого-либо параметра системы может произойти качественное изменение — бифуркация — установившегося режима при некотором значении параметра, которое будем называть критическим. Очевидно, что фазовый портрет изучаемой системы при этом меняется. Так, в случае, когда стационарное решение теряет устойчивость при критическом значении параметра, может возникнуть замкнутая траектория (предельный цикл) — бифуркация Андронова — Хопфа или, иначе, комплексная бифуркация. Другим возможным проявлением нелинейности модели является существование критического значения параметра, при котором возникает множественность решений.

Говорят, что разбиение пространства параметров Rm на области с качественно различными типами динамического поведения определяет бифуркационную диаграмму.

Качественные, топологические перестройки фазовых портретов динамических систем уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров системы описываются теорией бифуркаций. Изложение основных методов теории бифуркаций и результатов, полученных в этой области, начиная с основополагающих работ А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре и А. А. Андронова, можно найти, например, в работах [2], [3], [б], [7], [73].

При проведении численного эксперимента наибольший интерес представляет качественная картина, сохраняющаяся при изменении фазового портрета системы. Это прежде всего вопросы о характере режимов, которые устанавливаются в системе по завершении переходного процесса: число состояний равновесия, отвечающих стационарным режимам данной системы, и их устойчивостьвозможность существования предельных циклов, отвечающих режимам периодических колебаний и т. п. Очевидно, что построение бифуркационной диаграммы в совокупности с соответствующими фазовыми портретами позволит ответить на вопросы о возможных в системе динамических режимах и их качественных перестройках.

Предметом диссертационной работы являются вопросы организации численного эксперимента с помощью вычислительных средств, которые позволяют проводить качественное исследование автономных систем вида (0.0.1) в зависимости от параметров и систем нелинейных уравнений, не обязательно являющихся правыми частями автономных систем. Применение пакета программ STEP при проведении численного эксперимента предоставляет следующие возможности.

• Численное интегрирование задачи Коши для автономной системы с целью выхода на стационарный режим, либо с целью получения колебательного режима. Определение периода колебаний в режиме диалога и нахождение решения задачи Коши при изменении значения параметра в процессе счета.

• Построение связных ветвей стационарных решений в зависимости от выбранного параметра модели методом продолжения по параметру, с учетом возможного существования точек ветвления типа поворот.

• Численное исследование устойчивости найденных стационарных решений на основе теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

• Обнаружение на диаграмме стационарных решений точек, в которых возможна бифуркация Андронова — Хопфа.

• Проведение двупараметрического анализа стационарных решений автономной системы.

Цели и задачи работы.

• Разработка пакета программ, предназначенного для численного исследования автономных систем ОДУ общего вида и систем нелинейных трансцендентных уравнений.

• Применение пакета STEP в качестве математического обеспечения учебного процесса в курсе «Инженерная химия каталитических процессов».

• Организация численного эксперимента с помощью пакета программ STEP для выявления качественных свойств конкретных математических моделей из приложений.

Научная новизна.

В работе представлено программное обеспечение численного исследования автономных систем ОДУ общего вида, оформленное в виде пакета программ STEP. В пакете STEP использованы вычислительные алгоритмы, ориентированные на изучение систем произвольной размерности. Применение этих методов дает возможность эффективно организовать численное исследование математических моделей в зависимости от параметров. Кроме того, указанные вычислительные алгоритмы учитывают возможность проявления нелинейных эффектов, которые, как правило, присутствуют в математических моделях, описывающих «нелинейные» процессы (гистерезис, сильная параметрическая чувствительность, возникновение автоколебаний и т. д.).

Предложен и программно реализован новый алгоритм, расширяющий возможности численного построения бифуркационных кривых для автономных систем из п уравнений.

Представленный в работе пакет программ STEP применялся для решения многих прикладных задач (см. [9], [26], [28], [33], [50], [57] - [68], [79], [88], [89], [91] - [95], [104]). Как показала практика, пакет легко адаптируется к моделям из различных приложений благодаря использованию в пакете алгоритмов универсального типа.

Применение пакета STEP в учебном процессе показано на примерах модельных задач вычислительного практикума учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов». Вычислительный практикум, в качестве программного обеспечения которого используется пакет STEP, разработан на кафедре катализа и адсорбции НГУ.

Проведено численное исследование математической модели, описывающей поверхностные процессы, протекающие в реакции окисления СО на иридии. Полученные для этой модели результаты являются новыми.

Проведено численное исследование математической модели, описывающей регуляцию внутриклеточного биосинтеза холестерина, в зависимости от параметров модели и построена матрица параметрической чувствительности.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц. Библиография содержит 108 наименований.

Заключение

.

В работе получены следующие основные результаты.

1. На основе эффективных вычислительных алгоритмов разработано программное обеспечение для численного исследования автономных систем ОДУ общего вида, зависящих от параметров, которое оформлено в виде пакета программ STEP. Базовые алгоритмы пакета программ включают в себя:

• методы интегрирования жестких задач: многошаговый метод Гира переменного порядка точности и полунеявный метод Розенброка 2-го порядка;

• метод продолжения по параметру для построения связных ветвей стационарных решений с учетом возможного существования точек ветвления типа поворот;

• метод Годунова — Булгакова для определения устойчивости по Ляпунову стационарных решений.

2. Разработан и программно реализован новый алгоритм построения бифуркационных кривых в параметрической плоскости двух параметров.

3. Представлен вариант пакета программ STEP, написанный на языке Microsoft FORTRAN и реализованный в операционной среде DOS. Пакет предназначен для работы на IBM-совместимых компьютерах в среде MS-DOS. Пакет может также работать в среде эмуляции MS-DOS под WINDOWS 95, 98. Модель для исследования формируется в текстовом редакторе (либо с помощью конвертор-программы) и сохраняется в «банке» моделей. Вход в пакет организован таким образом, чтобы существовала дополнительная возможность вводить данные, полученные вне рамок пакета STEP. Результаты расчетов на выходе оформляются в табличном и графическом виде. Трансляция и компиляция программы расчета для каждой модели осуществляется в автоматическом режиме. Многооконный графический интерфейс пакета позволяет проводить исследование моделей в режиме диалога.

4. Проведено численное исследование математической модели реакции окисления СО на иридии. Было обнаружено, что предложенная модель [25], описывающая модификацию поверхностных центров, приводит к таким кинетическим явлениям, как гистерезис сложной формы, ме-тастабильные состояния реакции, автоколебания и медленные релаксации скорости при резком изменении внешнего параметра реакции (давления или температуры). В реальном диапазоне параметров модели были найдены области возникновения автоколебаний и построены области множественности решений.

5. Проведено численное исследование математической модели, описывающей регуляцию биосинтеза холестерина в клетке крови. Построены зависимости концентрации холестерина от параметров модели, являющихся, в биологическом смысле, константами скоростей реакций элементарных процессов, происходящих в клетке. Для указанных параметров построена матрица параметрической чувствительности.

6. Подготовлена и внедрена версия пакета STEP, которая используется в качестве программного обеспечения компьютерного практикума учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов"на кафедре катализа и адсорбции факультета естественных наук НГУ. Пакет STEP в течение ряда лет применяется для научных исследований, о чем свидетельствует ряд публикаций (см. [9], [26], [28], [33], [50], [57] - [66], [68], [79], [88], [89], [91] - [95], [104]).

Всего список публикаций по теме диссертации включает в себя 31 работу: 8 статей, 2 препринта, учебное пособие и 20 тезисов.