Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли

Краткие форлгулировки полученных в диссертации результатов.

В главе 1 диссертации соискателем полностью доказана гипотеза Фоменко — Мищенко о коммутативных подалгебрах в алгебрах Пуассона алгебр Ли, поставленная в 1981 г. Доказанная формулировка: в алгебре Пуассона полиномов произвольной конечномерной алгебры Ли (над полем характеристики 0) конструктивно строится полный коммутативный набор. Полученные полные коммутативные наборы приводят к интегрируемым системам на алгебрах Ли. Из доказанной гипотезы о коммутативных подалгебрах вытекает полностью в исходной формулировке другая гипотеза Фоменко — Мищенко об эквивалентности коммутативной и некоммутативной интегрируемости, поставленная в 1978 г.

Доказательство гипотезы Мищенко — Фоменко опирается на предложенную соискателем конструкцию. Рассматриваются пуассоновые бирациональные изоморфизмы сопряженных пространств к алгебрам Ли. Затем производится локализация по центру нильрадикала и подполе расширяется. Приведенная конструкция итерируется.

В главе 2 получен ряд результатов, связанных с представлением уравнений механики в виде уравнений Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли, найдены интегрируемые случаи.

В § 2.1 установлено, что симплектическая структура на орбитах ко-присоединенного представления алгебраических алгебр Ли является дифференциалом рациональной 1-формы. Этот результат, в частности, свидетельствует в пользу того, что уравнения Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли, могут оказаться глобально лагранжевыми в подходящих координатах.

В § 2.2 построена редукция п-мерной задачи N + 1 тел при п, N > 2 по вращениям и сдвигам к уравнениям Эйлера — Пуанкаре на алгебре Ли вр{2М) с редуцированным гамильтонианом. В отличие от известных построенная редукция является гомеоморфной. Вычислен гомотопический тип орбит редуцированного фазового пространства в плоской и пространственной задачах трех тел. Для пространственной задачи трех тел, а также для плоской и пространственной задачи N + 1 тел в окрестности относительных равновесий полученная редукция может быть использована для повышения эффективности численных вычислений.

В § 2.3 получено продолжение общих интегрируемых случаев уравнений Эйлера — Пуассона при наложении постоянной в сопутствующих осях силы тяги. Обнаружена сохраняемая уравнениями движения гамильтонова структура, не являющаяся натуральной.

В § 2.4 установлена интегрируемость уравнений, описывающих свободное вращение вокруг неподвижной оси системы колеблющихся твердых и линейно упругих тел, при естественных условиях центрированности, уравновешенности и равночастотности. Рассматриваемое явление смещения масс при вращении широко встречается в технике.

В § 2.5 получено интегрируемое обобщение идеализации интегрируемой системы из § 2.4. А именно, введен дополнительный искривляющий параметр: прямолинейные траектории относительного движения колеблющихся материальных точек заменены коническими логарифмическими спиралями.

В § 2.6 установлено обобщение интегрируемого потенциала Якоби.

— Дарбу со случая плоскости на случай двумерной сферы Б2 и двумерного пространства Лобачевского Ь2. Обобщение удовлетворяет уравнению Лапласа. При этом к 4 парам антиподальных центров на 52, обобщающим классические 4 гравитирующих центра Г. Дарбу, добавляются еще две пары. Все 6 пар гравитирующих центров (из которых 2 — вещественные и 4 — комплексные) лежат по две в главных ортогональных плоскостях сфероконических координат и являются двенадцатью особыми точками некоторой комплексной кривой на комплексификации сферы 52. Эта комплексная кривая — носитель дивизора ветвления комплексных сфероконических координат. Если ограничиться двумя парами антиподальных центров, данный потенциал интегрируем и удовлетворяет уравнению Лапласа на трехмерной сфере 53 и в трехмерном пространстве Лобачевского Ь3.

В § 2.7 найдены новые серии рациональных (в том числе, регулярных) разделяющихся потенциалов в1″, на (п —1)-мерном эллипсоиде, на /¿—мерных конфокальных поверхностях при 2 < к < п — 1, на сфеш ре Найден базис в пространстве рациональных разделяющихся потенциалов па указанных поверхностях.

В главе 3 получены необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла в задачах:

1) Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости (§ 3.3),.

2) Якоби о движении точки по п-мерному эллипсоиду в квадратичном потенциале при наличии п + 1 взаимно ортогональной гиперплоскости симметрии (§ 3.2).

Те же условия § 3.1 на произвольном уровне энергии получены в задачах:

3) Хилла и.

4) плоской круговой ограниченной трех тел.

В задаче Кирхгофа в частном случае (при наличии осевой симметрии и трех взаимно ортогональных плоскостей симметрии) получен критерий интегрируемости. То есть, полученные необходимые условия интегрируемости совпадают с достаточными, найденными клас.

• сиками. Критерий интегрируемости получен и в задачах (2) — (4) в общей постановке. Попутно, в разделе 2 из § 3.1, в разделе 2.3 из § 3.2, в разделе 5 из § 3.3 получены упрощения и развития метода Гюссона. В разделе 4 из § 3.2 попутно установлена наследуемость интегрируемости по Лиувиллю на инвариантные 4-мерные симплектические многообразия в алгебраической категории. В разделе 3 из § 3.1 попутно получено обобщение результатов Ж. Лиувилля о невозможности выражения в алгебраических функциях и экспонентах интеграла от произведения алгебраической функции и экспоненты.

Связь между результатами такова. Изначально были получены результаты главы 3 по неинтегрируемости. Затем, на основе полученного опыта были найдены интегрируемые случаи главы 2. В частности, была получена производящая функция потенциалов, разделяющихся в эллиптических координатах и базис в пространстве рациональных разделяющихся потенциалов (§ 2.7). На их основе были получены интегрируемые случаи § 2.4 и § 2.6, в качестве обобщения первого из них был получен интегрируемый случай § 2.5. В качестве обобщения изоморфизма § 2.3, позволившего построить дополнительный интеграл в задаче о движении твердого тела в жидкости с постоянной в сопутствующих осях тягой, были получены рациональные изоморфизмы алгебр Ли, не вошедшие в диссертацию. В качестве их обобщений были получены:

— основное пуассоново отображение раздела 1 из § 2.2,.

— доказательство гипотезы Гельфанда — Кириллова (1966) после конечных расширений тел, не вошедшее в диссертацию, и.

— результат § 2.1.

В качестве следствия доказательства соискателем гипотезы Гельфанда — Кириллова (1966) после конечных расширений тел было получено доказательство гипотезы Фоменко — Мищенко (1981) § 1.1.

Ряд других результатов соискателя в диссертацию также не вошел: например, результаты по резонансам на показатели Ковалевской как необходимым условиям существования дополнительного мероморф-ного интеграла, необходимые условия существования дополнительного мероморфного интеграла на четырехмерных инвариантных поверхностях в уравнениях Кирхгофа и др.

Актуальность темы

Начиная с работ Эйлера 1758 г., внимание математиков и механиков было привлечено проблемой интегрируемости в квадратурах. Ряд важнейших интегрируемых случаев уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижной точки был найден Л. Эйлером [121], Ж. Л. Лаграшкем [132], С. В. Ковалевской [130], Д. Н. Горячевым [31], Ф. Вруном [115]. В задаче о движении твердого тела в жидкости — Г. Кирхгофом [129], А. Клебшем [119], В.А.Стекло-вым [89], А. М. Ляпуновым [59], С. А. Чаплыгиным [99]. В ограниченной задаче трех тел был известен лишь интегрируемый случай Кеплера.

5]. В задаче о движении точки по двумерному эллипсоиду в квадратичном потенциале при наличии трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии немецким ученым К. Г. Якоби [106] были получены достаточные условия разделения эллиптических координат.

В работах Брунса [116] и Пуанкаре [73, 147, 148] были получены первые препятствия, показывающие, что гамильтонова система общего положения с числом степеней свободы большим или равным двух является неинтегрируемой.

Тем не менее интерес к интегрируемым случаям не ослабел. Актуальность проблемы нахождения интегрируемых случаев в настоящее время состоит в следующем. Интегрируемые случаи и построенные на их основе теории возмущений позволяют качественно проанализировать динамику реальных систем на больших интервалах времени, что недоступно численным методам. Согласно теории КолмогороваАрнольда — Мозера при гамильтоновом возмущении невыро? кденной интегрируемой гамильтоновой системы большинство нерезонансных торов не исчезает, а лишь немного деформируется. Кроме того, классические системы часто оказываются модельными для возникающих в приложениях задач совершенно другой физической природы,.

В последние 30 лет были открыты новые механизмы, приводящие к интегрируемости, см. обзоры и монографии В. И. Арнольда, В. В. Козлова и А. И. Нейштадта [5]- В. В. Трофимова и А. Т. Фоменко [91]- О. И. Богоявленского [12]- А. М. Переломова [71]- М. А. Олыианецкого, А. М. Переломова, А. Г. Реймана, М.А.Семенова-Тян-Шанского [68].

В рассматриваемых в главе 3 диссертации задачах аналитические методы доказательства неинтегрируемости либо не применимы ввиду вырожденности системы, либо позволяют охватить лишь малые области в пространстве параметров, близкие к невозмущенным интегрируемым системам. Используемые алгебраические методы позволили установить критерии интегрируемости.

Аппарат алгебр Ли гармонично отражает скрытые симметрии идеализированных задач механики и физики и поэтому проникает во все новые области математики и других наук, см. [71, 12, 16]. Представления в виде уравнений Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли естественно возникают в задачах теории упругости, биологии и др.

Структура диссертации. Диссертация состоит из 12 параграфов, которые могут быть прочитаны независимо, и как правило, представляют собой отдельные статьи соискателя. Разбиение параграфов на разделы, нумерация в параграфах теорем, предложений, ., формул, обозначения совпадают с использованными в соответствующей статье. (Исключение составляет § 1.1, который отличается от соответствующей статьи более детальным изложением. В нем обозначения, все теоремы и предложения совпадают с приведенными в соответствующей статье [85], а 4 добавленных вспомогательных утверждения названы леммами.).

В целях лаконичности номер параграфа в указанной нумерации опущен. Ссылки между параграфами производятся с указанием номера параграфа и очень редки.

Каждый параграф, как правило, содержит краткий обзор предшествующих результатов, непосредственно связанных с результатами соискателя. Обзоры ни в коей мере не претендуют на полноту.

В каждом параграфе сначала следует раздел с формулировками всех основных результатов, затем — раздел доказательств, затем.

1. Аксенов E.H., Гребенников Е. А., Демин В. Г. Общее решение задачи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли. — В кн.: Искусственные спутники Земли., вып. 8. -М. 1961.

2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1989, 472 с.

3. Арнольд В. И., Гивенталь A.B. Симплектическая геометрия. Соврем, пробл. математики. Фундам. направления. Т.4 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985. 7- 139.

4. Арнольд В. И., Илъяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. I // Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. Т. 1, М., 1985, 7−149.

5. Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

6. Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1990. 320 с.

7. Беляев A.B. О движении многомерного тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести // Мат. сб. 1981. Т. 114, N 3. С. 465−470.

8. Березин Ф. А. Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функцион. анализ и его прилож. 1967. Т. 1, N 2, с. 1−14.

9. Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и интегрируемые системы на сферах Sn// Известия АН СССР, серия математическая, 1985. Т.49, N 5. С. 899−915.

10. Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики // Известия АН СССР. Сер. математич. (1984) Т. 48, N 5 С. 883−938.

11. Богоявленский О. И. Уравнения Эйлера на конечномерных ко-алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47, вып.1 (283). С. 107−146.

12. Болотин C.B. Неинтегрируемость задачи п центров при п > 2. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1984, № 3, с. 65−68.

13. Болсинов A.B. Вполне интегрируемые системы на сжатиях алгебр Ли // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ. 1985. Вып. 22. С. 8−16.

14. Болсинов A.B. О полноте семейств функций в инволюции, связанных с согласованными скобками Пуассона // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. Изд-во МГУ, 1988, вып. 23. С. 18−38.

15. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамилътоновой механике. Ижевск: РХД, 1999, 464 стр.

16. Борисов А. В., Мамаев И. Обобщенная задача двух и четырех центров в пространствах постоянной кривизны. В сб. «Классическая динамика в неевклидовых пространствах». Изд-во Института компьютерных исследований. Ижевск. 2004. С. 183 -193.

17. Браилов A.B. Полная интегрируемость некоторых геодезических потоков и интегрируемые системы с некоммутирующимиинтегралами // ДАН, 1983, т. 271, N 2, с. 273−276.

18. Бры-чков Ю.А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов // М.: Наука. 1986. 192 с.

19. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1988. 342 с.

20. Винберг Э. Б. Коммутативные однородные пространства и ко-изотропные симплектические действия // УМН. 2001. Т. 56. N 1. С. 3−62.

21. Винберг Э. Б., Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Строение групп и алгебр Ли. // Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т. 41 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1990. С. 5−258.

22. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Основы теории групп Ли. // Соврем. пробл. матем. Фундам. напр. Т.20 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1988. С. 5−101.

23. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам// М.: Наука. 1988. 344 с.

24. Винберг Э. Б., Попов В. Л. II. Теория инвариантов // Современ. пробл. матем. Фундам. направления. 1989. 55. С. 137 314.

25. Виро О. П., Фукс Д. В.

Введение

в теорию гомотопий. Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т.24 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1988. С. 5−121.

26. Гарди Г. Интегрирование элементарных функций. 1935, 81 с.

27. Гельфанд И. М., Кириллов A.A. Структура тела Ли, связанного с полупростой расщепимой алгеброй Ли // Функц. анализ и его прилож. 1969. Т. З, вып. 1. С. 7−26.

28. Голубев В. В. Работы П.Л.Чебышева по интегрированию алгебраических функций // Научное наследие П. Л. Чебышева. М.- Л.: Изд-во АН СССР. 1945. Вып.1. С. 88−121.

29. Горбацевич В. В. Онищик A.JI. Группы Ли преобразований. // Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. Т.20. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М., 1988, 103−204.

30. Горячев Д. Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае, А — В = АС // Матем. сб. 19 006 т. 21, N 3, с. 431−438.

31. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. 1. М. Мир, 1982, 496 с.

32. Демин В. Г., Косенко И. И., Красилъников П. С., Фурта С. Д. Избранные задачи небесной механики. РХД, Ижевск, 1999, 211 стр.

33. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М. Мир. 1964. 355 с.

34. Диксмъе Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир. 1978. 407 с.

35. Дирак JI.M. Обобщенная гамильтонова динамика // Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1959.

36. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. С.11−80.

37. Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. 1,11 // Функц. анализ и его прилож. 1982. Т.16. N 3. С.30−41- 1983. Т. 17. N 1. С. 8−23.

38. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. M.: Наука, 1984. 336 с.

39. Киттелъ Ч.

Введение

в физику твердого тела. М.: Физматгиз. 1978. 792 с.

40. Козлов В. В. Две интегрируемые задачи классической динамики // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1981. Вып. 4. С.80−83.

41. Козлов В. В. Интегрируемые случаи задачи о движении точки по трехмерной сфере в силовом поле с потенциалом четвертой степени // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ., 1985. N 3. С.93−95.

42. Козлов В. В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Известия АН СССР, МТТ, 1985. N С. С. 28−33.

43. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М. Изд-во МГУ, 1980, 232 с.

44. Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Яко-би о геодезических на эллипсоиде // ПММ, 1995. Т. 59. В. 1. С.3−9.

45. Козлов В. В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // Short communications ICM. Sect. 13. Warszawa. 1982. P.41.

46. Козлов В. В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела // ПММ. 1978. Т.42. N 3. С. 400−406.

47. Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. N 2. С. 2835.

48. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоно-вой механике. Ижевск. 1995. 432 с.

49. Козлов В. В., Онищенко Д. А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // Докл. АН СССР. 1982. Т.266. N 6. С. 1298−1300.

50. Козлов В. В., Трещев Д. В. Неинтегрируемость общей задачи о вращении динамически симметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. II // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1986. Вып.1. С.39−44.

51. Козлов В. В., Федоров Ю. Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия // Матем. заметки, 1994. Т. 56. В. 3. С. 74−79.

52. Козлов И. С. Задача четырех неподвижных центров и ее приложения к теории движения небесных тел. Астрой, ж. 1974, т. 51, вып. 1, с. 191−198.

53. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981. 542 с.

54. Колоколъцов В.H. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом//Известия АН СССР, сер. матем., 1982. Т. 46. N 5. С. 994−1010.

55. Олъшанецкий М. А., Переломов A.M., Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы. II. // Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т.16. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1987. С. 86−226.

56. Переломов A.M. Представление Лакса для систем типа С. Ковалевской// Функцион. анализ и его прил. 1982. Т. 16, N 2. С. 80−81.

57. Переломов A.M. // Функцион. анализ и его прил. 1981. Т. 15, N 2. С. 83−85.

58. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М., Наука. 1990. 238 с.

59. Постников М. М. Группы и алгебры Ли. М., Наука, 1982. 448 с.

60. Пуанкаре А. Избр. труды. Т.1−2.: Наука, 1971, 771 е., 1972, 9−356.

61. Рубоповский В. Н. О квадратичных интегралах уравнений движения твердого тела в жидкости // ПММ. Т.52. 1988. Вып. 3. С. 402−414.

62. Румянцев В. В. Об уравнениях Пуанкаре Четаева. Прикл. матем. и мех., т. 58, 1994, N 3, с. 3−15.

63. Садэтов С. Т. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа// Вестник МГУ. Сер. Мат. Мех. 1990. М" 3. С. 56−62.

64. Садэтов С. Т. Необходимые условия существования дополнительного мероморфного интеграла уравнений Кирхгофа на четырехмерных инвариантных поверхностях//В сб. Математические методы в механике. М.:Изд-во Моск. ун-та. 1990. С. 75−81.

65. Садэтов С. Т. О резонансах на показатели Ковалевской // Матем. заметки, 1993, Т. 54, С. 152−153.

66. Садэтов С. Т. Резонансы на показатели Ковалевской и их память о некоторых тензорных законах сохранения // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. 1994. № 1. С. 82−87.

67. Садэтов С. Т. Алгебраические интегралы и адиабатические инварианты уравнений Кирхгофа // ДАН РАН 342, 1995, N 2, 172−174.

68. Садэтов С. Т. Интегрируемые случаи движения твердого тела со связью // ДАН РАН 348, 1996, № 6, 733−735.

69. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука. 1989. 528 с.

70. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. 272 с.

71. Цыгвинцев A.B. La non-integrabilite meromorphe du probleme plan des trois corps, Comptes Rendus des Seances de l’Academie des Sciences Paris, 2000, t.331, Serie I, p. 241 244.

72. Чаплыгин С.A. Избранные труды. M.: Наука. 1976. 495 с.

73. Чебышев П. Л. Об интегрировании иррациональных дифференциалов // Чебышев П. Л. Поли. собр. соч. Т.2. 1947. С. 52−70.

74. Четаев Н. Г. Об уравнениях Пуанкаре. Прикл. матем. и мех., Т.5, 1941, N 2, с. 253−262.

75. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. В 2-х т. М.: Наука. 1985. T.I. С. 336. Т.2. С. 464.

76. Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука. 1966. Charlier C.L. Die Mechanik des Himmels. Wwalter de Gruyter. Berlin, Leipzig. 1927.

77. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т.11 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1986. С. 5−289.

78. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии: В 2-х т. T. I, Т.2. М.: Наука. 1988, 352 с, 304 с.

79. Лкоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ, 1936. Jacobi C.G.J. Vorlesungen uber Dynamik. G. Reimer Verlag. 1884.

80. Яхъя X.M. Новые решения задачи о движении гиростата в потенциальном и магнитном полях // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1985. С.60−63.

81. Abel N. Oeuvres completes. V. 2. Cristiania, Grondahe, 1881. 338 P.

82. Alev J., Ooms A. -Van den Bergh M. A class of counterexamples to the Gel’fand-Kirillov conjecture// Trans. Amer. Math. Soc., V. 348, N 5, (1996) P. 1709−1716.

83. Alev J., Ooms A. Van den Bergh M. The Gel’fandKirillov conjecture for Lie algebras of dimension at most eight// J. Algebra, V. 227, (2000) P. 549−581.

84. Bolsinov A. V., Borisov A.V., Mamaev I.S. Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics IV. Regular and Chaotic Mechanics, v.4, 1999, N. l, 23−51.

85. Bolsinov A.V., Taimanov I.A. Integrable geodesic flows with positive topological entropy, math. DG/9 905 078.

86. Borho W., Gabriel P., Rentschier R. Primideale in Einhullenden auflosbarer Lie Algebren, Lecture Notes in Math., vol. 357, Springer, 1973.

87. Braden H.W. // Lett. Math. Phys. 1982. Vol.6, P.449.

88. Brun F. Rotation kring fix punkt // Ofversigt at Kongl. Svenska Veteskaps Akad. Forhadl. Stokholm, 1983, v.7, p. 455−468.

89. Bruns H. Uber die Integrale des Vielkorper-Problems. 'Acta math.', 1888, v. 11, S. 25−96.

90. Chenciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses// Annals of Mathematics, 152 (2000), 881−901.

91. Choodnovsky D.V., Choodnovsky G. V.//Lett. Nuovo Cimento, 1978. Vol. 22. P. 31.

92. Clebsch A. Ueber die Bewegung eines Koerpers in eines Flussigkeit // Mat. Ann. 1870. B. 3. S. 238−262.

93. Darboux G. Sur un probleme de mecanique. Archives Neerlandaises de Sciences. 1901. Ser. 2, Vol. VI, p. 371−376.

94. Euler L. Decouverte d’une nouveau principe de Mecanique // Memoires de l’Acad. des Se. de Berlin, 1758, v. 14, p. 154−193.

95. Gelfand I.M. and Kirillov A.A. Sur les corps lies aux algebres enveloppantes des algebres de Lie// IHES, Publications Mathematiques, 31, 1967, pp. 5−19.

96. Gordon W.B. A minimizing property of Keplerian orbits// Amer. J. Math. 99 (1970), 961−971.

97. Joseph A. A generalization of Gelfand-Kirilov conjecture. // American Journal of mathematics, V. 99. No. 6, (1977) P. 11 511 165.

98. Joseph A. Proof of the Gelfand-Kirillov conjecture for solvable Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc., V. 45, N 1, July, (1974) P. 1−10.

99. McConnell J.C. Representations of solvable Lie algebras and the Gelfand-Kirillov conjecture // Proceedings of London Math. Soc., V. 29, N 3, (1974) P. 453−484.

100. Neumann J. De problemate quado mechanico, quad ad priman integralium ultraellipticorum classem revocatur // J. Reine Angew. Math., 1859. V.56. P.46−63.

101. Nghiem-Huan Hai Reduction de produits semi-directs et conjecture de Gelfand et Kirillov // Bull. Soc. math. France, V. 107, (1979) P. 241−267.

102. Painleve P.M. Bull. Astr., 1898, V.15, p.81.

103. Painleve P. Sur les integrales, uniformes du probleme des n corps // Compt. Rendus, 1900, V.130, p. 1699−1701.

104. Poincare H. non-existence des integraes niformes // In work: Poincare H. Sur le Probleme des Trois Corps et le Equations de la Dynamique Acta Math. 1890, V.13. P. 259−265.

105. Poincare H. Sur le methode de Bruns // C. R. Acad. Sei. Paris, 1896, V. 123, p. 1224−1228.

106. Radau R. Ann. de l’ecole Norm. Sup. 5, 1868, P. 311.

107. Rais M. L’indice des produits semi-directs E x G. // C. r. Acad. Sei. Paris. 1978. V. 287, Jfe 4. P. 195−197.

108. Rosochatius E. Ueber die Bewegung eines Punktes. Inaugural Dissertation, Univ., Gottingen. Gebr. Unger, Berlin. 1877.

109. Sadctov S. T. On algebraic integrals of the motion of a point over a quadric in quadratic potential // Regular and Chaotic Dynamics, 2000, V. 5, N 2. P. 201−212.

110. Sadetov S.T. On the reduction of n-dimensional problem of N+l bodiesto Euler Poincare equations on Lie algebra sp (2N) // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, v.7, N 3, 337−350.

111. Sadetov S.T. On algebraic integrals of Hill problem and restricted circular planar three-body problem on a level of energy // Regular and Chaotic Dynamics, 2005, v. 10, N 3. P.323−332.

112. Siegel C.L. Uber die algebraischen Integrale des restringierten Dreikorperproblems // Trans. Am. Math. Soc. 1936, v. 39, p. 225−233.

113. Siegel C.L., Moser J.K. Lectures on celestial mechanics, SpringerVerlag, 1971.

114. Slawianowski I.I.// Bul.Acad. Pol. Sei. Ser. Sei. Math., Astron., Pliys. 1980, vol. 28, no. 2, pp. 83−94.

115. Smale S. Topology ang Mechanics- ?//Invent. Math. 10:4, 1970, 305−331.

116. Smale S. The Planar n-body Problem I//Invent. Math. 11:1, 1970, 45−64.

117. Uhlenbeck K. Minimal 2-spheres and tori in Sk, informal preprint. 1975.

118. Veselov A.P. Two remarks about the connection of Jacobi and Neumann integrable systems// J. Mathem. Zeitschrift., 1994. V. 216. P.337−345.

119. Weierstrass K. Uber die geodatischen Linien auf dem dreiachsigen Ellipsoid // In: Mathematischen Werke I, 257−266.

120. Wojciechowcki S. Integrable one-particle potentials to the Neumann system and the Jacobi problem of geodesic motion on an ellipsoid. //Phys. Lett. A, 1985. V.107, no.3. P.106−111.

121. Wojciechowski S. On a Lax-type representation and separability of the anisotropic harmonic oscillator in a radial quartic potential// Lett. Nuovo Cimento (2). 1984. V. 41, no. 11. P. 361−369.