Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем

Понятие производных в среднем было введено Э. Нельсоном (см. [1], [2], [3]) для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Затем было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описывается движение вязкой несжимаемой жидкости (см., например, [4, 5, б]), а также вихри в ней (см., например, [7]). В работах Ю. Е. Гликлиха [8, 9] (см. также [6]) было начато изучение уравнений с производными в среднем как отдельного класса стохастических дифференциальных уравнений.

Во всех указанных выше случаях решения уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом, так как классические производные в среднем по Нельсону описывают только снос диффузионного процесса. Поэтому возникает задача построения иной производной в среднем, связанной с коэффициентом диффузии, что позволило бы корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.

Начиная с работ Э. Д. Конвея [10], Ж. П. Обена и Дж. Да Прато [11] и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи М. Киселевича, М. Михты и Е. Мотыля и литературу в них в специальном выпуске журнала Dynamic Systems and Applications 2007 г., [12, 13]). Однако ранее не рассматривались дифференциальные включения с производными в среднем, несмотря на то, что они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.

В связи с заданием сложных физических процессов уравнениями и включениями с производными в среднем, отметим уравнение и включение Ланжевена на римановых многообразиях, которые описывают движение механической системы на нелинейном конфигурационном пространстве в случае, когда силовое поле системы подвержено случайным возмущениям (в случае включений — сила существенно разрывна или содержит управляющий параметр). В работах [14, 15, 16] эти уравнения и включения были описаны в интегральной форме, поскольку не был известен дифференциальный вариант этих уравнений и включений, основанный на производных в среднем. Во многом по этой причине в работе [16] была доказана теорема существования слабого решения включения Ланжевена только в предположении, что диффузионный член этого включения однозначен и непрерывен. Так что возникла задача об описании этого включения в терминах производных в среднем и о разрешимости указанного включения в случае многозначной диффузии.

Укажем также, что в современных струнных теориях квантовой физики активно используются бесконечномерные многообразия петель. Поэтому важной задачей является исследование уравнений с производными в среднем на указанных многообразиях, что дало бы возможность применения в струнных теориях аппарата стохастической механики Нельсона.

Цель работы. Модификация теории производных в среднем таким образом, чтобы по заданным производным можно было бы найти соответствующий случайный процесс. Описание уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем) как в линейных пространствах, так и на многообразиях, в том числе на бесконечном многообразии петель соболевского класса Я1, и доказательство существования их решенийприменении описанных методов исследования к задачам математической физики, в частности, исследование дифференциальных включений Ланжевена с многозначной диффузией на римановом многообразии.

Методика исследований состоит в использовании идей и методов функционального анализа, современного глобального анализа, стохастического анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными из них являются следующие:

1. На основе модификации одной идеи Э. Нельсона построена новая производная в среднем (названная квадратичной), которая для диффузионного процесса описывает его коэффициент диффузии. С использованием этой производной и классических производных в среднем по Нельсону описаны и исследованы дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем).

2. Доказаны теоремы существования решений для дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями в конечномерных линейных пространствах (для включений — с различными типами непрерывности правых частей, имеющих выпуклые значения). Получены обобщения этих утверждений на случай дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.

3. В терминах ковариантных производным в среднем описаны дифференциальные включения второго порядка типа Ланжевена на рима-новых многообразиях и получена теорема существования слабых решений для таких включений с многозначными сносом и диффузией.

4. Описаны и исследованы дифференциальные уравнения с производными в среднем на бесконечномерном многообразии петель и доказаны теоремы существования их решений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты важны для исследования задач математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004, 2006) — международной научной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005) — Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна 2006; на семинаре «Modelling Cellular Systems with Applications to Tumour Growth» (Бедлево, Польша, 2006) — на международной школе «IX Diffiety School» (Санто Стефано дел Соле, Италия, 2006) — на международном семинаре «Stochastic Analysis, Stochastic Differential Geometry and Applications» (Свонзи, Уэльс, 2007) и на научных сессиях Воронежского государственного университета 2004;2007 годов.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [17]-[29]. Из совместных работ [17, 22, 25, 27, 28] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы. Общий объём работы — 114 страниц. Библиография содержит 54 наименования.

1. Nelson, Е. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews. — 1966. Vol. 150. — № 4. P. 1079−1085.

2. Nelson, E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson. -Princeton: Princeton University Press. 1967. 142 p.

3. Nelson, E. Quantum fluctuations / E. Nelson. Princeton: Princeton University Press, — 1985. 147 p.

4. Гликлих, Ю. Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю. Е. Гликлих.- М.: Комкнига, 2005.416 с.

5. Gliklikh, Yu.E. Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. Dordrecht: Kluwer. — 1996. 205 p.

6. Gliklikh, Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods / Yu.E. Gliklikh. New York: Springer-Verlag, 1997. 229 p.

7. He, X. A probabilistic method for Navier-Stokes vorticies / X. He // J. Appl. Probab. 2001. — P. 1059−1066.

8. Гликлих, Ю. Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. I / Ю. Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия МММИУ.- 1997. Т. 1, № 4. С. 26−52.

9. Гликлих, Ю. Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. II / Ю. Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия МММИУ.- 2000. Т. 4, № 4. С. 17−36.

10. Conway, E.D. Stochastic equations with discontinuous drift / E.D. Conway // Trans. Amer. Math. Soc.- 1971. vol. 157, № 1. P. 235−245.

11. Aubin J.P. Stochastic viability and invariance /J.P. Aubin, G. Da Prato // Annali Scuola Normale Superiore di Pisa. 1990. Vol. 17.-P. 595−613.

12. Kisielewicz, M.L. (Backward Stochastic Differential Inclusions / M.L. Kisielewicz // Dynamic Systems and Applications. 2007. -Vol.16. № 1. P. 121−139.

13. Michta, M. Set Valued Stratonovich Integral and Stratonovich Type Stochastic Inclusion / M. Michta, J. Motyl // Dynamic Systems and Applications. 2007. — Vol.16. № 1. P. 141−154.

14. Гликлих, Ю.Е. О геометризации одного класса механических систем со случайными возмущениями силы / Ю. Е. Гликлих, И. В. Федоренко. Воронеж: Воронежск. гос. ун-т, 1980. — Деп. в ВИНИТИ 21.10.80, № 4481. 10 с.

15. Гликлих, Ю. Е. Об уравнениях геометрической механики со случайными силовыми полями / Ю. Е. Гликлих, И. В. Федоренко //Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1981. — С. 64−72.

16. Gliklikh, Yu.E. Stochastic differential inclusions of Langevin type on Riemannian manifolds / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization.- 2001. V. 21, № 2. P. 173−190.

17. Азарина, С. В. Об уравнениях Ито на многообразии петель / С. В. Азарина, Ю. Е. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2004. — № 8. — С. 25−39.

18. Азарина, С. В. Об уравнениях Ито на многообразии соболевских петель / С. В. Азарина // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова.-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2004. С.3−11.

19. Азарина, С. В. Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на многообразии петель / С. В. Азарина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу.-Воронеж: ВГУ, 2005.-Вып.1.-С.З-11.

20. Азарина, С.В. О дифференциальных уравнениях второго порядка на многообразии петель / С. В. Азарина // Материалы международной научной конференции Топологические и вариационные методы нелинейного анализа.- Воронеж: ВГУ, 2005. С. 13−14.

21. Азарина, С.В. О дифференциальных включениях в производных в среднем / С. В. Азарина // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2006. Воронеж: ВГУ, 2006. С. 4. .

22. Азарина, С. В. Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа в Rn / С. В. Азарина, Ю. Е. Гликлих // Вестник ВГУ. Серия Физика, Математика.- 2006. № 2. С. 138 146.

23. Азарина, С. В. Исследование дифференциальных включений с производынми в среднем / С. В. Азарина // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова.-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2006.-С.213−215.

24. Azarina, S.V. Differential Inclusions with Mean Derivatives / S.V. Azarina, Yu.E. Gliklikh // Dynamic Systems and Applications.-2007.-Vol.16. № 1. P. 49−72.

25. Азарина, С. В. Включения типа Ланжевена на римановом многообразии в терминах производных в среднем / С. В. Азарина, Ю. Б. Гликлих, А. В. Обуховский // Препринт НИИ Математики ВГУ.-2007. № 23,-16 с. .

26. Азарина, С. В. Ковариантные производные в среднем на римано-вых многообразиях и интегральные операторы с параллельным переносом / С. В. Азарина, Ю. Е. Гликлих // Семинар по глобальному и стохастическому анализу.- Воронеж: ВГУ, 2007. Вып.2-С. 4−10.

27. Азарина, С. В. Стохастические дифференциальные уравнения с производынми в среднем на многообразии петель / С. В. Азарина // Труды математического факультета ВГУ.- 2007. № 11. С.3−9.

28. Brzezniak, Z. Stochastic differential equations on Banach manifolds / Z. Brzezniak, K.D. Elworthy // Methods of functional analysis and topology.-2000. Vol. 6. № 1. P. 43−84.

29. Гихман, И. И. Теория случайных процессов. В 3 т. T. III / И.И. Гих-ман, А. В. Скороход. М.: Физматлит, 1975. — 496 с.

30. Борисович, Ю.Г.

Введение

в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, Обуховский В.В.-М.: КомКнига, 2005.-216 с.

31. Клингенберг, В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клин-генберг. Пер. с англ. М.:Мир, 1982. — 416 с.

32. Далецкий, Ю. Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю. Л. Далецкий, Я. И. Белопольская. Киев: Выща Школа, 1989. — 296 с.

33. Gliklikh, Yu.E. Riemannian parallel translation in non-linear mechanics / Yu.E. Gliklikh // Lect. Notes Math. 1984. — Vol. 1108.-P. 128−151.

34. Бишоп, P.JI. Геометрия многообразий / Р. Л. Бишоп, Р.Дж. Криттенден.- М.: Мир, 1967.-336 с.

35. Партасарати, К.

Введение

в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати.- М.: Мир, 1988. 343 с.

36. Шутц, Б. Геометрические методы математической физики / Б. Шутц.- М.: Мир, 1984. 303 с.

37. Желобенко, Д. П. Компактные группы Ли и их представления / Д. П. Желобенко. М.: Физматлит, 1970 — 554 с.

38. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Физматлит, 1967. — 575 с.

39. Островский, A.M. Решение уравнений и систем уравнений / A.M. Островский.- М.: Изд-во Иностранной литературы, 1 963 219 с.

40. Фрейдлин, М.И. О факторизации неотрицательно определенных матриц / М. И. Фрейдлин // Теория вероятностей и ее применения.- 1968. Т. 13, № 2. С. 375−378.

41. Гельман, Б. Д. Непрерывные аппроксимации многозначных отображений и неподвижные точки / Б. Д. Гельман // Математические заметки. 2005. — Вып. 78. — № 2. С. 212−222.

42. Aubin, J.-P. Differential Inclusions. Set-valued maps and viabiity theory / J.-P. Aubin, A. Cellina. Berlin et al.: Springer-Verlag, 1984. 350 p.

43. Крылов, M.B. Уравляемые процессы диффузионного типа / М. В. Крылов. М.: Физматлит, 1977. — 400 с.

44. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин.- М.: Наука, 1968 496с.

45. Гихман, И. И. Теория случайных процессов. В 3 т. T. I / И.И. Гих-ман, А. В. Скороход.- М.: Физматлит, 1971. 664 с.

46. Ширяев, А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. М.: Физматлит, 1989. 640 с.

47. Pollard, D. Convergence of stochastic processes / D. Pollard.- Berlin ect.: Springer-Verlag, 1984. 215 p.

48. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин.- М.: Физматлит, 1980. 495 с.

49. Канторович, JI.B. Функциональный анализ / JI.B. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Физматлит, 1977. 744 с.

50. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли.- М.: Физматлит, 1977. 351 с.

51. Nash, J. The Imbedding Problem for Rimannian Manifolds / J. Nash // The Annals of Mathematics. 1956. — Vol.63. — № 1. — P. 20−63.

52. Гликлих, Ю.Е. О стохастических дифференциальных уравнениях Ито на бесконечных произведениях римановых многообразий / Ю. Е. Гликлих, JI.A. Морозова // Известия РАЕН, 1998. Т. 2.-№ 1. С. 71−79.