Явление бокового смещения светового пучка (сдвиг Федорова)

Поведение света, падающего под углом к поверхности раздела двух сред — задача давно решенная и описанная в учебниках, но малоизвестным остается тот факт, что при преломлении света две его поляризованные по кругу составляющие оказываются пространственно разделенными. Данный эффект, был предсказан Фёдоровым в 1955 г., а экспериментально обнаружен Имбертом в 1968 г. Что заставляет преломленный луч расслаиваться и смещаться в сторону от плоскости падения, вопреки устоявшимся представлениям геометрической оптики? Преломление нарушает закон сохранения момента количества движения. Из симметрии задачи следует, что нормальная к поверхности компонента момента импульса должна сохраняться. При падении луча света под прямым углом к поверхности с этим проблем не возникает, однако при скользящем освещении, когда направления падающего и преломленного луча сильно отличаются, разница в моментах импульса становится явной, и чтобы ее скомпенсировать преломленный луч с круговой поляризацией смещается в сторону от точки падения.

Толчок к обнаружению сдвига пучка дали исследования, проводимые по изучению материалов, имеющих одновременно отрицательные значения диэлектрической и магнитной проницаемостей е < 0, µ < 0. Напряженности электрического и магнитного полей и волновой вектор в таких материалах образуют левую тройку, в то время как в средах с положительным показателем преломления — правую тройку. Это позволяет разделить среды на «правые» и «левые». Особенность «левых» сред заключается в том, что для плоской электромагнитной волны вектор Умова-Пойнтинга и волновой вектор антипараллельны, либо, другими словами, групповая и фазовая скорости направлены противоположно друг другу.

Дальнейшее изучение отражения на границе раздела «правой» и «левой» сред привело к обнаружению отрицательного сдвига Гуса-Хэнхен. Как известно, продольный сдвиг пучка (сдвиг Гуса-Хэнхен) на границе обычных сред с положительными показателями преломления объясняется тем, что пучок проходит дополнительный путь в среде с меньшим показателем преломления. Оказалось, что при полном внутреннем отражении от границы раздела «правой» и «левой» сред пучок смещается в направлении, противоположном обычному сдвигу Гуса-Хэнхен, а эффективная граница располагается выше настоящей. При полном внутреннем отражении пучок подвергается не только продольному, но и боковому смещению, которое и было предсказано Федоровым.

Целью моей курсовой работы является подробное изучение бокового смещения светового пучка при полном отражении.

1. КОМПЛЕКСНЫЙ ВЕКТОР РЕФРАКЦИИ

Электрическое и магнитное поле плоских волн задаётся выражениями:

(1.1)

где , — постоянные комплексные векторные амплитуды, а — переменная фаза, определяемая выражением

(1.2)

(k — волновой вектор). Подставляя (1.1) и (1.2) в уравнения Максвелла, , получим,. В эти основные соотношения вектор k входит только в сочетании с множителем, ввиду чего целесообразно ввести обозначение

(1.3)

Вектор m мы будем называть вектором рефракции. В случае однородных волн он выражается в виде:

(1.4)

где n — показатель преломления, n — единичный вещественный вектор волновой нормали. С помощью (1.1) — (1.3) уравнения Максвелла могут быть написаны в виде:

(1.5)

(1.6)

(- скалярные проницаемости). Исключая из этих уравнений E (или H), получим

(1.7)

Последнее соотношение выражает условие, при котором в данной среде возможны плоские волны вида (1.1), (1.2). Несмотря на вещественность, этому условию можно удовлетворить в предположении, что m является комплексным вектором

(1.8)

если имеют место равенства

(1.9)

. (1.10)

Таким образом, вещественная и мнимая части комплексного вектора рефракции в изотропном диэлектрике должны быть взаимно ортогональны. С помощью (1.8) получим

. (1.11)

Здесь л₀ — длина волны в вакууме. Вследствие (1.10) представление (1.4) для полного вектора рефракции m невозможно, т. е. m нельзя выразить в виде произведения скаляра n и вектора n, имеющих прямой физический смысл. Тем не менее, для вещественной и мнимой частей m по отдельности можно написать аналогично (1.4):

(1.12)

Очевидно, уравнения и будут определять соответственно плоскости равной фазы и равной амплитуды (фазовая и амплитудная плоскости), ввиду чего, естественно, назвать фазовой (волновой) нормалью, а — амплитудной нормалью. На основании (1.10) мы приходим к выводу, что в изотропном диэлектрике затухающая волна всегда неоднородна, причём фазовая и амплитудная скорости взаимно перпендикулярны. Абсолютные величины вещественной и мнимой частей комплексного вектора рефракции m имеют следующий смысл: есть показатель преломления для фазовой скорости, а — коэффициент экстинкции; отношение есть коэффициент поглощения. Будем называть — вещественным вектором рефракции, а — вектором экстинкции.

Хотя волна (1.11) при условиях (1.9), (1.10) формально удовлетворяет уравнениям Максвелла, тем не менее, в неограниченной среде такие волны невозможны, так как где-либо на бесконечности их амплитуда становится сколь угодно большой. Решение (1.11), удовлетворяющее требованию конечности амплитуды (а, следовательно, и энергии) волны, возможно лишь в среде, ограниченной в направлении, обратном вектору. В этом случае к соотношениям (1.9), (1.10) добавляются условия на граничной поверхности, в результате чего и могут быть определены однозначно.

2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН

2.1 Возникновение неоднородных волн

вектор рефракция световой поляризация

Представляя собой более общий тип электромагнитных полей, неоднородные волны обладают по сравнению с однородными волнами значительно более сложными свойствами, поэтому при их рассмотрении существенно усложняются все расчеты и соотношения. В особенности это относится к волнам в анизотропных средах. При полном отражении света, падающего на одноосный прозрачный кристалл, в последнем может возникнуть неоднородная волна особого вида. Амплитуда ее, наряду с экспоненциальной, содержит также линейную зависимость от координат, а поляризация изменяется с глубиной проникновения. Плоскими неоднородными волнами называются волны, у которых плоскости равных фаз и равных амплитуд не совпадают, т. е. векторы m' и m" непараллельны. При этом. Неоднородные волны могут возникать при отражении и преломлении волны, падающей на границу двух сред. Наиболее изучены неоднородные волны, возникающие в изотропной среде при полном отражении. Однако они могут возбуждаться на границе двух сред и другим образом, например упругими волнами за счет пьезоэффекта (если одна из граничных сред — пьезоэлектрик). Поскольку обычно энергия неоднородных волн локализована вблизи граничной поверхности, их в ряде случаев называют также поверхностными волнами.

2.2 Поляризация волн

Поляризация световой волны определяется видом кривой, которую описывает конец электрического или магнитного вектора в фиксированной точке пространства. Обычно о поляризации судят по комплексному отношению Е_у/Е_х проекций вектора Е на декартовы оси, взятые в фазовой плоскости волны или по разности фаз тех же проекций вещественной части вектора Е. Эти признаки поляризации обладают тем недостатком, что для их формулировки необходимо определенным образом выбрать систему координат, т. е. они неинвариантны. Во многих случаях гораздо более удобными являются инвариантные признаки поляризации. Для получения их будем рассматривать вещественную часть вектора Е (1.1) как радиус-вектор R:

(2.1)

Это соотношение можно рассматривать как уравнение кривой, описываемой радиус-вектором R, написанное в параметрической форме. Вектор R будет описывать прямую линию только в том случае, если его изменение будет параллельно самому R, т. е. если [RR] = 0. Так как, то с помощью (2.1) получаем отсюда следующее условие, характеризующее линейную поляризацию:

(2.2)

Кривая (2.1) будет окружностью, если длина R постоянна, т. е. R² не зависит от ц. Так как

(2.3)

то последнее условие выполняется лишь в том случае, если

(2.4)

Таков критерий круговой поляризации. Очевидно, (2.4) равносильно условиям В общем случае, исключая ц из (2.1), получим уравнение эллипса. Для нахождения его полуосей ищем экстремум R². Условие дает:

(2.5)

Подставляя в (2.3), получим для полуосей a, b:

(2.6)

Отсюда

. (2.7)

Параметр определяет форму эллипса и позволяет судить о поляризации: для линейной поляризации (2.2), для эллиптической поляризации и для круговой поляризации. Для определения направлений полуосей нужно подставить в (2.1) из (2.5). Получим:

(2.8)

Таким образом, большая и малая полуоси эллипса по величине и направлению совпадают соответственно с вещественной и мнимой частями комплексного вектора

(2.9)

Правое (левое) направление обращения соответствует условию антипараллельности (параллельности) вектора вектору волновой нормали n. Отсюда вытекают условия:

(2.10)

Замена на изменяет направление вращения на обратное Из (2.9), (2.10) следует, Что умножение E на произвольный комплексный скаляр б изменяет лишь размеры эллипса в |б| раз, но не меняет формы, положения эллипса и направления обращения к нему.

Полученные соотношения можно применять не только к вектору электрического (или магнитного) поля плоской волны, но и вообще к любому постоянному комплексному вектору А. В частности, умножение на множитель приведет последний к «каноническому» виду, который характеризуется ортогональностью вещественной и мнимой частей. В связи с этим целесообразно ввести следующие определения. Комплексный вектор, А будем называть линейным, если, и нелинейным, если. Нелинейный вектор, А назовем круговым (циклическим), если А² = 0, и эллиптическим, А² 0. С помощью этих понятий, например, однородную плоскую волну можно определить как волну с линейным вектором рефракции .

Рассмотрим вопрос о поляризации неоднородных волн. Из (1.6) следует

. (2.11)

Условие совпадения плоскостей Е и Н имеет вид H[ЕЕ*] = 0 (или Е[НН*] = 0). С помощью (1.6) это условие можно написать в виде

. (2.12)

В случае однородных волн mE*=0, следовательно, условие (2.12) выполняется, т. е. плоскости E и Н всегда совпадают.

Эти свойства, общеизвестные для однородных волн, не имеют места для неоднородных волн, поскольку теперь и в общем случае. Невыполнение условия (2.12) означает, что в неоднородных волнах кривые, описываемые E и Н, не только не совпадают, но и лежат в разных плоскостях. Поэтому обычное понимание поляризации как некоторого свойства электромагнитной волны в целом для неоднородных волн неприменимо. Единственным исключением является случай круговой поляризации. Действительно, возводя в квадрат (1.5) или (1.6), получим:

. (2.13)

Следовательно, условия всегда имеют место одновременно. С другой стороны, при = = 0 условие (2.12) удовлетворяется, т. е. имеет место не только совпадение формы кривых Е и Н, но и совпадение их плоскостей.

Условие Е² = 0 можно трактовать как условие ортогональности комплексного вектора Е к самому себе. С другой стороны, вектор Е ортогонален к комплексному вектору рефракции m, поскольку mE = 0. Отсюда следует, как и в случае вещественных векторов, что Е может быть представлен в виде

(2.14)

где в — некоторый комплексный скаляр. Умножая последнее уравнение векторно на m, получим

. (2.15)

Сравнивая (2.14) и (2.15), находим, следовательно,

. (2.16)

В таком виде может быть выражено условие для круговой поляризации в случае неоднородных волн. С помощью уравнения Максвелла (1.6) это соотношение можно написать в виде:

(2.17)

т.е. в случае круговой поляризации комплексные векторы Е и Н отличаются лишь скалярным множителем. Отсюда снова следует, что Е и Н одновременно являются круговыми векторами и плоскости их совпадают. Мы видим, что при заданном векторе рефракции m существуют два вида круговой поляризации неоднородной волны соответственно двум знакам в соотношениях (2.16), (2.17).

Особая роль круговой поляризации проявляется также в том, что всякая неоднородная волна E, аналогично однородной, однозначно может быть представлена в виде суммы правой и левой круговых неоднородных волн с тем же комплексным вектором рефракции, что у исходной волны. Напишем искомое представление в виде

(2.18)

причем

. (2.19)

Умножая (2.18) векторно на, получим с помощью (2.19)

. (2.20)

Последнее соотношение вместе с (2.18) дает

. (2.21)

Как следует из этого вывода, разложение (2.18), (2.21) является совершенно однозначным.

(2.22)

. (2.23)

Эти выражения тождественны, т. е. при любых значениях скалярных комплексных параметров удовлетворяют основным уравнениям (1.5), (1.6). Они дают, следовательно, общее решение уравнений Максвелла для плоских неоднородных волн с заданным вектором рефракции m.

Рисунок 2.1 — случай круговой поляризации Если произвольную неоднородную волну разложить на сумму двух круговых волн (2.18), (2.21), то на основании вышесказанного можно заключить, что поля E и H слагаемых волн расположены в плоскостях S⁺, S^- (рис. 2.1), симметрично ориентированных относительно плоскости общего вектора рефракции m. При уменьшении коэффициента затухания ч до нуля угол? возрастает до, плоскости S⁺ и S^- сливаются между собой и направления обращения обеих круговых волн становятся противоположными, как и должно быть для однородных волн.

3. ПЛОТНОСТЬ И ПОТОК ЭНЕРГИИ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН

Часть полного вектора плотности потока энергии P, связанная с P', изменяясь со временем в плоскости векторов, m' и m", в заданной точке пространства с частотой 2щ описывает эллипс. Если провести усреднение вектора P по времени, то эта быстропеременная часть вектора P обращается в нуль. Следовательно, есть усредненное значение вектора плотности потока энергии P. Поскольку m’m" = 0, то m" = 0. Полный вектор P дважды за период колебаний описывает эллиптический конус, осью которого является вектор. Существенная особенность неоднородных волн заключается в том, что как мгновенный, так и средний по времени векторы плотности потока энергии зависят от поляризации волн.

Плотность электрической и магнитной энергии и вектор Умова-Пойтинга выражаются формулами:

(3.1)

. (3.2)

Учитывая соотношения (1.11) можем написать

(3.3)

где

. (3.4)

Очевидно, среднее от равно нулю (. Аналогичным образом можно представить магнитную энергию, где

. (3.5)

Умножая (1.5) на E и (1.6) на H и сравнивая, получаем, т. е. переменные части электрической и магнитной энергии равны между собой.

(3.6)

В общем случае. В зависимости от значений б и в отношение (3.6) может меняться от при в = 0 до при б = 0. Таким образом, наименьшее возможное отношение энергий (3.6) соответствует линейному вектору E. Наоборот, при линейном H магнитная энергия будет наименьшей по сравнению с электрической.

Частный случай равенства имеет место при условии (т.к.). Тогда эллипсы для E и H имеют одинаковую форму. Наоборот, из совпадения формы эллипсов следует равенство энергий. Таким образом, в неоднородных волнах в отличие от однородных соотношение между электрической и магнитной энергиями зависит от характера «поляризации» волны.

Подставляя в (3.1), (3.2) из (1.6), получим для плотности и потока энергии неоднородных волн следующие выражения:

(3.7)

(3.8)

(3.9)

. (3.10)

Очевидно,. Легко убедиться, что

(3.11)

где — фазовая скорость неоднородных волн. Следовательно, средний поток энергии в неоднородной волне всегда направлен перпендикулярно вектору экстинкции. Проекция же вектора на вектор рефракции удовлетворяет соотношению, которое в случае однородных волн справедливо для вектора P в целом: .

Переменная часть вектора потока энергии P' исчезает в случае круговой поляризации рассматриваемой неоднородной волны (Е² = 0). В общем же случае, согласно (3.9), Р' представляет собой вещественную часть комплексного вектора Е:

. (3.12)

Так как вектор Е₀, играющий роль векторной амплитуды для E, лишь скалярным множителем отличается от m, то вид кривой, описываемой концом вектора P' (отложенного от конца вектора Р), определяется комплексным вектором рефракции m. Следовательно, P' описывает эллипс, большая и малая полуоси которого по величине и направлению задаются соответственно вещественным вектором рефракции m' и вектором экстинкции m''. Направление обхода по отношению к вектору n'", перпендикулярному к плоскости эллипса, определяется знаком выражения, или, что-то же, знаком выражения

.

Следовательно, направление обращения вектора P' по эллипсу всегда образует левый винт с направлением n''' = [n'n'']. Полный вектор будет в общем случае описывать конус с эллиптическим сечением.

4. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

Прежде всего, мы рассмотрим явление полного отражения, представляющее большой принципиальный и практический интерес. Вначале мы ограничимся случаем полного отражения на границе двух прозрачных изотропных сред. Будем обозначать через е (е₁) диэлектрическую проницаемость первой (второй) среды и предположим, что обе среды немагнитны. В таком случае для вектора рефракции m и показателя преломления n плоских волн в первой среде будет справедливо известное равенство

(4.1)

и соответственно для вектора рефракции m" и показателя преломления n" во второй среде

. (4.2)

Эти соотношения справедливы во всех случаях, т. е. как для однородных, так и для неоднородных волн.

Пусть из первой среды наклонно падает на поверхность второй среды плоская однородная световая волна с вектором рефракции m. Очевидно, при этом должно выполняться условие

(4.3)

т. е. волновая нормаль n (m = nn) должна составлять острый угол с вектором q нормали к границе, направленным во вторую среду. Мы имеем

(4.4)

причем из условий (4.1), (4.3) следует (поскольку)

. (4.5)

Вектор рефракции отраженной волны m' удовлетворяет тому же условию (4.1):

.

Однако в соответствующем выражении (4.4)

(4.6)

параметр должен быть отрицательным:

. (4.7)

Что касается преломленной волны, то нас здесь будет интересовать случай, когда она является неоднородной. Плоские неоднородные волны возникают при полном отражении, когда параметр является чисто мнимым, что возможно при условии. Поскольку

где — угол падения, то должно быть. Следовательно, полное отражение возможно только в том случае, когда показатель преломления второй среды (n") меньше показателя преломления первой среды (n). Кроме того, должно быть

(4.8)

т. е. угол падения должен быть больше фиксированного угла, называемого предельным углом полного отражения для данных двух сред. Введем для этого случая обозначение

. (4.9)

Подчеркнем, что двузначность этого выражения имеет принципиальный характер. Она связана с тем, что вектор рефракции должен удовлетворять уравнению второй степени. В общем случае кристалла вектор рефракции внутри среды при всех обстоятельствах должен удовлетворять уравнению нормалей (4.7), то упомянутая неоднозначность параметра з" для преломленной волны неизбежно имеет место в любой граничной задаче. Следует отчетливо представлять себе, что, используя только граничные условия, невозможно сделать выбор между различными значениями з". Для такого выбора необходимо привлекать дополнительные соображения, независимые от граничных условий. Одним из наиболее общих и естественных условий, позволяющих сделать указанный выбор, является требование, чтобы средний вектор потока энергии преломленной волны S" был направлен внутрь второй среды, т. е. чтобы было

. (4.10)

Для обычного преломления однородных волн на границе двух изотропных сред, когда S" ||m", последнее условие равносильно неравенству. Однако в случае полного отражения условие (4.10) не приводит к цели, поскольку, как можно показать, при этом S" q = 0.

Имеем

. (4.11)

Таким образом, при полном отражении плоской волны в преломленной волне фазовая нормаль всегда направлена параллельно границе раздела (и плоскости падения), а амплитудная нормаль перпендикулярна к границе раздела, следовательно, плоскости равных амплитуд параллельны границе.

Для того чтобы более подробно рассмотреть случай полного отражения, представим общие выражения для электрического поля отраженной и преломленной волн в ином виде. А именно в формулы

(4.12)

(4.13)

подставим для выражения

(4.14)

.

В результате получим соотношения

из которых следует

(4.15)

. (4.16)

Иначе эти равенства можно написать в виде

(4.17)

. (4.18)

Последнее соотношение принимает форму

. (4.19)

В случае полного отражения от прозрачной немагнитной изотропной среды, используя (4.17), (4.19), (4.11), получаем для соотношений между амплитудами электрического вектора, перпендикулярными и параллельными плоскости падения:

(4.20)

. (4.21)

Эти соотношения представляют собой формулы Френеля для случая полного отражения. Из (4.11) вытекает, во-первых, что при полном отражении волна во второй (менее оптически плотной) среде будет неоднородной, поскольку. Во-вторых, плоскость комплексного вектора рефракции m" параллельна плоскости падения, причем вещественный вектор рефракции направлен вдоль линии пересечения плоскости падения и плоскости раздела сред, а вектор экстинкции направлен по нормали q внутрь второй среды.

Обращаясь к вектору Умова-Пойнтинга, заключаем, что средний поток энергии во второй среде всегда параллелен поверхности раздела сред. Что же касается переменной части потока энергии, то, этот вектор изменяется в плоскости вектора m", параллельной плоскости падения. Таким образом, средний поток энергии не имеет компоненты, нормальной к поверхности раздела, а это означает, что в среднем энергия не проходит во вторую среду, т. е. отражение действительно является полным. Но вектор в общем случае не лежит в плоскости падения, поскольку,

(4.22)

а это выражение в общем случае отлично от нуля. Выражение (4.22) определяет «боковую» компоненту потока энергии. Поскольку, согласно общим законам электромагнитного поля, импульс поля пропорционален вектору Умова-Пойнтинга, то появление боковой компоненты S" в преломленной волне при условии ее отсутствия в падающей и отраженной волнах означает несохранение импульса поля. Так как справедлив закон сохранения полного импульса, то отсюда вытекает, что избыточный импульс должен компенсироваться механической отдачей среды.

При полном отражении ограниченного светового пучка, линейно поляризованного нормально или перпендикулярно плоскости падения, должно иметь место смещение его вдоль линии пересечения плоскостей падения и раздела, т. е. в направлении вектора b. Это смещение связано с формой кривых потока энергии во второй среде.

Наличие боковой компоненты у вектора S" означает, что в общем случае поляризации падающей волны кривые потока энергии во второй среде не лежат в плоскости падения, но проходят (в среднем) под некоторым углом к ней. Отсюда следует, что в общем случае наряду с продольным смещением отраженного пучка (в направлении b) аналогичным образом должно иметь место поперечное или боковое смещение пучка (в направлении а), приводящее к выходу его из первоначальной плоскости падения.

Из (4.22) следует, что боковой поток исчезает при

(4.23)

Это условие выполняется при или, чему соответствует, согласно (4.20), (4.21), или, т. е. падающая волна, линейно поляризованная в плоскости падения или перпендикулярно к ней. Кроме того, условие (4.23) имеет место при, чему соответствует, согласно (4.21),

. (4.24)

Заметим, что это условие определяет только разность фаз амплитуд A, B. Действительно, обозначив, получим из (4.24)

.

Поскольку B/A не есть вещественное число, то мы получаем эллиптическую поляризацию падающей волны. При этом отношение |B|/|A| может быть произвольным.

В выражении (4.22) для бокового потока энергии, полагая, множитель (4.23) можно выразить через амплитуды падающей волны A, B с помощью соотношений (4.20), (4.21). В результате получим

. (4.25)

Отсюда ясно, что боковой поток энергии преломленной волны зависит не только от угла падения (,, а) и энергии падающей волны (|A|, |B|), но и от ее поляризации. Чтобы определить, при какой поляризации боковой поток имеет наибольшую величину, нужно найти максимум выражения

(4.26)

при заданной энергии падающей волны, т. е. при условии

(4.27)

и при постоянных а,,. Вводя переменную о = В/А, находим из (4.27), после чего функция F принимает вид

. (4.28)

Условие экстремума приводит к соотношению. Отсюда следует =1, т. е. =. Далее,

. (4.29)

Для экстремального значения F получаем (см.(4.26))

. (4.30)

Два знака соответствуют двум противоположным направлениям бокового потока. Отметим, что из (4.29) следует

. (4.31)

Сравнивая с (4.24), видим, что в этом случае разность фаз B и A отличается на р/2 от разности фаз, соответствующей случаю отсутствия бокового потока.

Таким образом, максимальное значение бокового потока достигается при вполне определенной эллиптической поляризации падающей волны. При этом образует с плоскостью падения угол и, определяемый соотношением:

. (4.32)

Поскольку опыты с эллиптической поляризацией гораздо сложнее, чем с линейной, то выясним, при какой линейной поляризации падающего луча боковой поток энергии будет максимален. Для этого в выражении (4.26) положим, где — угол, образуемый вектором E падающей волны с плоскостью падения. Поскольку (см. (4.27)), то из (9.32) легко получаем, что максимум бокового потока при линейной поляризации падающего света достигается, когда. При этом A = B и, согласно (4.22), (4.25), имеем

.

Поскольку при полном отражении средний поток энергии через границу раздела отсутствует, то поле во второй среде с присущей ему энергией может создаваться лишь за счет переменной составляющей вектора Умова-Пойнтинга.

В связи с этим общепринятое понимание процесса полного отражения было таково: полнота отражения обусловлена тем, что энергия в среднем не проходит через границу раздела, наличие же поля во второй среде объясняется тем, что поток энергии на время заходит во вторую среду. При круговой поляризации неоднородной волны во второй среде полностью отсутствует не только средний, но и мгновенный поток энергии через границу раздела. В то же время поле во второй среде не равно нулю, что вытекает из соотношений (4.20), (4.21).

В таком случае приведенное выше объяснение наличия поля во второй среде становится несостоятельным. Отсюда следует принципиальная недостаточность теории полного отражения, не учитывающей ограниченности падающей волны в пространстве или во времени. Рассмотрим, какова должна быть при этом поляризация падающей волны. Из следует. Поэтому, согласно (4.21),

. (4.33)

Таким образом, падающая волна должна быть поляризована эллиптически. Для отношения полуосей эллипса получаем после некоторых вычислений .

Это отношение для рассматриваемого случая не зависит от угла падения и равно относительному показателю преломления обеих сред. Можно определить угол, образуемый большой осью эллипса колебаний с плоскостью падения. Он определяется соотношением

(4.34)

где — угол падения; — относительный показатель преломления.

Для крайних случаев предельного угла полного отражения и скользящего падения с помощью (4.33) получаем соответственно. Для отраженной волны в этом случае, согласно (4.21), получим

. (4.35)

Следовательно, эллипс колебаний отраженной волны будет иметь ту же форму (и размеры), что и для падающей, но угол и направление обращения будут иметь противоположный знак.

В рассматриваемом случае для полного вектора плотности потока энергии во второй среде получается после некоторых вычислений простое выражение

(4.36)

и соответственно для полной плотности энергии

. (4.37)

Таким образом,

(4.38)

где вектор u следует рассматривать как скорость течения энергии. Простое вычисление показывает, что, т. е. равно фазовой скорости однородных волн во второй среде. Направление течения энергии образует в данном случае с плоскостью падения угол, тангенс которого равен .

Пусть однородная световая волна падает из изотропной прозрачной среды на поверхность изотропной поглощающей среды. Будем считать обе среды немагнитными (). Вводя комплексную диэлектрическую проницаемость поглощающей среды, получим

. (4.39)

В отличие от границы двух прозрачных сред теперь не будет ни вещественным (обычное отражение), ни чисто мнимым (полное отражение). Таким образом,

. (4.40)

Очевидно, вектор рефракции m" всегда будет нелинейным, за исключением единственного случая b = a = 0, т. е. m||q. Следовательно, при падении света на поглощающую среду в ней будет возникать неоднородная волна во всех случаях, кроме нормального падения. При этом плоскость комплексного вектора m" всегда совпадает с плоскостью падения. Написав

(4.41)

Получим

. (4.42)

Согласно (4.42), для того, чтобы энергия волны убывала при углублении в среду, необходимо, чтобы. Этим условием определяется знак корня из комплексного числа (4.39). Кроме того, очевидно, при непрерывном переходе к прозрачной второй среде, т. е. при мы должны получить обычные формулы Френеля на границе двух прозрачных сред. Отсюда следует, что также должно быть положительной величиной (). Таким образом, требование, чтобы при предельном переходе к случаю получались известные формулы для прозрачных сред, позволяет решить принципиальный вопрос о выборе знака при извлечении корня для определения (см. (4.9), (4.39), (4.40)) в поглощающих средах.

Таким образом, вектор экстинкции и амплитудная нормаль преломленной неоднородной волны, как и в случае полного отражения на границе прозрачных сред, перпендикулярны к границе. Что же касается вещественного вектора рефракции (фазовой нормали), то он образует с q угол ш", причем

. (4.43)

Обращаясь к вектору потока энергии, заключаем, что переменная во времени часть потока параллельна плоскости падения и описывает эллипс, лишь размерами отличающийся от эллипса, соответствующего комплексному вектору m". Постоянная во времени часть потока, наряду с компонентой, параллельной плоскости падения, в общем случае может содержать слагающую, перпендикулярную к этой плоскости. Эта компонента отлична от нуля при условии. Использовав (4.19), находим

. (4.44)

Поскольку, то условия отсутствия бокового потока аналогичны соответствующим условиям (4.23), (4.24) для случая полного отражения. В частности, боковой поток преломленной волны во второй (поглощающей) среде также будет отсутствовать при линейной поляризации падающей волны параллельно или перпендикулярно плоскости падения. Последнее, впрочем, можно было предвидеть исходя из соображений симметрии. Условие (4.24) для отсутствия бокового потока теперь запишется в виде (см. (4.44))

. (4.45)

В общем случае поляризации падающей волны при отражении от поглощающей изотропной среды также должно иметь место боковое смещение отраженного луча. Оно обусловлено наличием перпендикулярной к плоскости падения компоненты среднего потока энергии неоднородной преломленной волны (см. (4.39), (4.42))

. (4.46)

Зависимость этого выражения от поляризации падающей волны может быть исследована по аналогии со случаем полного отражения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для плоской неоднородной волны поверхности равных фаз и равных амплитуд не совпадают. Неоднородные волны могут возникать при отражении и преломлении волны, падающей на границу двух сред. Плоские неоднородные волны наблюдаются, например, в металле при падении на него электромагнитной волны. А также в случае полного отражения электромагнитной волны на границе раздела двух диэлектриков. Наиболее изучены неоднородные волны, возникающие в изотропной среде при полном отражении. Поляризация световой волны определяется видом кривой, которую описывает конец электрического или магнитного вектора в фиксированной точке пространства. В случае однородных волн плоскости E и Н всегда совпадают. Эти свойства, известные для однородных волн, не имеют места для неоднородных волн и кривые, описываемые E и Н, не только не совпадают, но и лежат в разных плоскостях. Поэтому обычное понимание поляризации как некоторого свойства электромагнитной волны в целом для неоднородных волн неприменимо. Единственным исключением является случай круговой поляризации. При полном отражении ограниченного светового пучка, линейно поляризованного нормально или перпендикулярно плоскости падения, должно иметь место смещение его вдоль линии пересечения плоскостей падения и раздела, т. е. в направлении вектора b. Это смещение связано с формой кривых потока энергии во второй среде.

Таким образом, в своей работе я, на основе работ Фёдорова, описала случай поляризации, плотность и поток энергии, и полное отражение для неоднородной волны.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Федоров Ф. И., Филиппов В. В., Отражение и преломление света прозрачными кристаллами. — Минск, «Наука и техника», 1976 — 224 с.

2. Федоров Ф. И., Теория гиротропии. — Минск, «Наука и техника», 1976 — 456 с.

3. Федоров Ф. И., Теория упругих волн в кристаллах. — Москва, «Наука», 1965 — 382 с.

4. Федоров Ф. И., Оптика анизотропных сред. — Минск, Изд-во АН БССР, 1958 — 281 с.

5. wikipedia.org