Теория и расчет конических оболочек сложной геометрической структуры

Оболочки, обладая высокой несущей способностью, минимальной материалоёмкостью, экономичностью, возможностью перекрытия больших пролетов и архитектурной выразительностью, нашли широкое применение в общем и химическом машиностроении, авиационной и ракетно-космической технике, промышленном и гражданском строительстве.

Современные тонкостенные конструкции, как правило, очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Поэтому построение их расчётных моделей тесно связано с исследованием оболочек сложной геометрии. Степень их разработки в отличие от достаточно исследованных оболочек простейших канонических форм значительно отстаёт от запросов инженерной практики. Этим, видимо, объясняется тот факт, что при создании новых типов геометрически сложных пространственных конструкций значительное место ещё занимают экспериментальные исследования и дорогостоящие натурные испытания. Ясно, что создание прикладных методов расчёта таких оболочек является одной из наиболее актуальных проблем, с решением которой связаны экономия материалов в промышленном производстве, повышение эксплуатационной надёжности и снижение себестоимости инженерных сооружений. Решению этой проблемы в рамках принятого объекта исследования и посвящена данная работа.

К настоящему времени общая теория оболочек разработана достаточно полно и представлена в известных монографиях [6, 60, 62, 63, 64, 69, 114, 122, 124, 130, 158, 162, 173] и др. Кроме того, в современной научной литературе имеются многочисленные статьи, материалы съездов, конференций, симпозиумов, посвящённые их теоретическим и экспериментальным исследованиямобширная библиография по вопросам прочности, устойчивости и колебаний содержится в опубликованных обзорах [71, 117, 118]. Из методов математической физики, эффективно используемых в решениях задач, следует отметить вариационные, асимптотические, комплексного преобразования, конформного отображения и др., из численных и экспериментальных — МКЭ, МКР, тензометрические, фотоупругости и топографической интерферометрии. Но в достаточно полной степени разработана проблема расчёта оболочек лишь простейших канонических форм: цилиндрических, конических, тороидальных и сферических. Однако современные оболочечные конструкции часто представляют собой комбинацию простых форм или очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Кроме того, наряду со сложным очертанием срединной поверхности, такие оболочки могут иметь переменную жёсткость, скошенность, подкрепления и другие особенности.

Применение геометрически сложных оболочек диктуется функциональным назначением изделия, конструктивными и аэродинамическими требованиями, необходимостью размещения оболочки в регламентированном объёме, приданием сооружению архитектурной выразительности, снижением металлоёмкости и т. д. Корпуса космических, надводных и подводных кораблей, фюзеляжи и крылья самолётов, покрытия спортивных и зрелищных сооружений представляют собой оболочки сложных форм самой различной геометрии. Исследование этих объектов связано со значительными математическими и техническими трудностями, обусловленными высоким порядком дифференциальных уравнений в двумерной области. Причём коэффициенты этих уравнений являются функциями координат сложного вида. Отмеченные трудности ограничивают возможности аналитического исследования некоторых типов оболочек и требуют привлечения численных методов, ориентированных на применение ЭВМ.

Остановимся на публикациях, имеющих непосредственное отношение к разрабатываемой теме. Начнём с работ, касающихся методов исследования. Наряду с известными [60, 69, 114, 124] работами, в которых рассматриваются методы асимптотического интегрирования уравнений в частных производных, отметим [183], в которой содержится обзор работ, связанных с применением этих методов к решению алгебраических уравнений и задач теории пластин и оболочек. Здесь же предложен подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Обсуждается решение одномерных сингулярных проблем применительно к задачам устойчивости и колебаниям тонких оболочек. Анализируется применение асимптотических методов к уравнениям в частных производных. Рассматриваются вопросы нелинейного деформирования тонких оболочек.

В монографии [129] рассмотрены асимптотические методы регулярных и сингулярных возмущений, осреднения, ВБК, возмущения формы границы и размера области. Обсуждаются методы возмущения вида граничных условий, составных уравнений, аппроксимаций Паде и синтеза напряжённого состояния. Рассматриваются вопросы, связанные с применением асимптотических методов к расчёту конструкций типа пластин и оболочек.

Наряду с асимптотическими методами широкое применение получил метод комплексного преобразования уравнений [124, 125], позволивший решить многие трудные задачи для классических оболочек, в том числе и конических оболочек переменной толщины [81].

Решения задач с помощью одинарных и двойных тригонометрических рядов представлены в [188, 194, 195], а в [10, 12, 187] - методом малого параметра и асимптотического интегрирования. В упрощённой постановке, когда подкреплённая оболочка интерпретируется как балка, тонкостенный стержень или анизотропная пластина, получены решения в [12, 13, 56, 57]. Причём в [12] безмоментная коническая оболочка предполагается скошенной типа кессона стреловидного крыла.

Многие статические и динамические задачи теории оболочек решены хорошо известным методом Канторовича-Власова [62], позволяющего привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе уравнений в обыкновенных производных. Дальнейшее своё развитие этот метод получил в работах [127, 130] применительно к расчёту подкреплённых оболочек скошенного типа. В постановке [130] крыло, фюзеляж и оперение летательного аппарата трактуется как подкреплённая коническая оболочка произвольного очертания. Рассмотрены также подкреплённые конические оболочки кругового очертания.

Из экспериментальных методов отметим методы фотоупругости [4, 76, 116] и голографической интерферометрии [98, 193]. Причём последний, как наиболее точный, позволяет решать задачи для оболочек сложных форм и проверить корректность тех или иных применяемых гипотез, в том числе и общепринятых гипотез Кирхгофа-Лява.

Обратимся к работам, касающимся расчёта оболочек. В монографии [147] выполнен расчёт геликоидальных, торсовых и псевдосферических оболочек, а также оболочек в форме поверхностей Монжа, циклических поверхностей и оболочек в форме отсеков циклид Дюпена. В зависимости от типа оболочки основные соотношения построены как в линиях главных кривизн, так и в криволинейных косоугольных координатах. Монография [73] посвящена решению задач устойчивости составных оболочек вращения, НДС и колебаниям трубчатых оболочек, обсуждаются также оболочки минимальных поверхностей. Основные соотношения теории тонких оболочек представлены в тензорной форме.

В работах [67, 68] для расчёта оболочек применён метод конечных элементов, а в статьях [102 — 106] развит сплайновый вариант МКЭ. В [163] при помощи функций комплексного переменного решена задача о кручении полого стержня с поперечным сечением типа профиля Чаплыгина-Жуковского, а в [176] построено приближённое решение для цилиндрической оболочки, защемлённой по косому срезу. При расчёте краевого эффекта использованы известные [62] уравнения В. З. Власова. К [176] примыкает и статья [83], где решается задача о стеснённом кручении тонкостенного стержня с однозамкнутым профилем произвольного очертания. Причём стержень трактуется как цилиндрическая оболочка, жёстко заделанная в концевых сечениях.

Из динамических задач отметим работы по собственным колебаниям оболочек классических форм [9, 14, 16, 20, 55, 70, 120, 157, 166, 190, 192, 196, 197], где решения строятся на основе рассмотренных выше методов: МКЭ [165], асимптотического интегрирования [55, 120] и т. д. Голографические методы исследования приведены в [98, 174] и других работах этих же авторов.

В предлагаемой работе объектом исследования является коническая оболочка с прямолинейной образующей, то есть нулевой гауссовой кривизны. Имея скошенность, одноили многосвязный опорный контур произвольного очертания, переменную толщину и площадь поперечного сечения продольного подкрепляющего набора, то есть, сложную геометрическую структуру, такая оболочка представляет собой универсальную расчётную модель различных типов тонкостенных конструкций, например, стреловидного крыла летательного аппарата.

В силу наличия переменной толщины собственно оболочки система разрешающих дифференциальных уравнений содержит переменные коэффициенты. Однако для прямых оболочек эту систему удалось проинтегрировать точно в рамках принятых гипотез, для скошенных — приближённо с применением аппарата специальных функций.

Из различных типов граничных условий в решениях задач отдано предпочтение жёсткому защемлению оболочки по косому срезу, не совпадающему с линиями главных кривизн, при свободном другом. Силовые воздействия предполагаются произвольными, в том числе и сосредоточенные в свободном концевом сечении.

Численные расчёты, выполненные на ЭВМ, представлены графически. Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов [7].

Предлагаемая работа состоит из двух частей.

В первой части выполнено обобщение известной теории [146] тонких оболочек на случай неортогональной криволинейной системы координат, позволяющее учесть постановку граничных условий по линиям, не совпадающим с главными кривизнами оболочки. Дан анализ выбора метода исследования рассматриваемых оболочек. Доказана идентичность метода криволинейных сеток [73] и метода конечных разностей, дано обобщение метода криволинейных сеток. В развитие работы [130] в общем виде построена математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрической структуры.

Вторая часть работы посвящена решениям статических и динамических краевых задач на основе [130]. Предложен новый подход, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций и опирающийся на интегрирование депланационного дифференциального уравнения в частных производных. Рассмотрены призматические, цилиндрические, конические оболочки с произвольным контуром поперечного сечения, переменной жёсткости, защемлённые по линиям главных кривизн и скошенному краю. Предложенная математическая модель является достаточно универсальной и может быть использована в расчётах прямых и стреловидных крыльев летательных аппаратов при рассмотренных граничных условиях, а также и иных объектов сложной геометрии при постановке других граничных условий. Достоверность полученных решений проверена предельным переходом к решениям для оболочек постоянной толщины [130] и численным решением двухточечных краевых задач.

Обратимся к содержанию отдельных глав диссертации.

В первой главе в отличие от традиционного подхода сведения трёхмерной задачи к двумерной, статические и геометрические зависимости теории тонких гладких оболочек получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме, что является определённым обобщением известной теории Э. Рейсснера [146] на случай неортогональной криволинейной системы координат. При этом учёт нормальных к срединной поверхности моментных составляющих позволяет получить полную статико-геометрическую аналогию в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин.

Во второй главе предложено уточнение известного вариационного подхода [130], позволяющего получить разрешающую систему в виде шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, и одного дифференциального уравнения в частных производных, отвечающего за депланационные смещения того же контура. Доказана идентичность методов криволинейных сеток и конечных разностей, а также дано обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей).

В третьей главе на основе [130] построена математическая модель подкреплённой конической оболочки произвольного очертания. На основе вариационного принципа Лагранжа получены естественные граничные условия и разрешающая система обыкновенных уравнений, а в уточнённой постановке смешанная система в обыкновенных и частных производных. Приведена общая система разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение конической оболочки произвольного очертания при воздействии аэродинамических сил и заданной внешней нагрузки.

Четвёртая глава, относящаяся ко второй части работы, посвящена расчёту прямых цилиндрических оболочек некругового очертания, переменной жёсткости как в продольном, так и в поперечном направлениях, жёстко защемлённых по одному торцевому сечению при свободном другом. Рассмотрены стеснённое кручение и изгиб оболочек с симметричным контуром, а также их свободные колебания. Получены таблицы собственных частот колебаний прямых оболочек при различных геометрических параметрах конструкции.

Пятая глава содержит решения краевых задач для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром сечения. Особенностью их расчёта является то обстоятельство, что разрешающая система уравнений не распадается отдельно на две подсистемы, одна из которых описывала бы изгиб, вторая — кручение. Получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа. При этом численные решения задач выполнены методом конечных разностей повышенной точности и методом двойной QR-итерации над матрицей Хессенберга, приведённой к верхней почти треугольной форме методом Хаусхолдера.

В шестой главе рассматриваются краевые задачи по определению НДС прямых и скошенных многозамкнутых оболочек переменной жёсткости с произвольным контуром поперечного сечения. Решения получены в специальных функциях. Приведены графические зависимости распределения напряжений в тонкостенных конструкциях при стеснённом кручении распределённым и сосредоточенным на свободном торце моментами, а также при изгибе распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Исследовано влияние на НДС оболочки различных законов изменения её толщины вдоль образующей.

Седьмая глава содержит решения краевых задач по определению НДС скошенных и прямых конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром выражается через гипергеометрические функции, численное решение в уточнённой постановке получено методом ортогональной прогонки краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Приводится сравнение результатов, полученных по приближённому аналитическому решению и численно. Показано, что в скошенных конических оболочках как постоянной, так и переменной толщины, краевой эффект имеет место по обоим концамв плоскости заделки — вследствие стеснения депланации и в концевом сечении — вследствие коничности. Причём величина нормальных напряжений в поперечных сечениях оболочки в значительной мере зависит от её безразмерной толщины. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, определены собственные частоты и получены формы собственных колебаний. Решены задачи вынужденных колебаний рассматриваемых тонкостенных конструкций. Результаты численных расчётов, выполненных по универсальной единой программе, табулированы и представлены графически.

В заключении даётся анализ теоретических исследований и рекомендации по их использовании в НИИ, конструкторских бюро и проектных организациях.

На защиту выносятся следующие положения: ¦S обобщённый вариант теории тонких упругих гладких оболочек [146] на случай пространственной неортогональной криволинейной системы координат;

S получение на основе предложенного варианта теории полной статико-геометрической аналогии в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин;

S доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей;

S обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей);

•S новый подход к решению краевых задач статики и динамики геометрически сложных оболочек, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций вариационного метода [130]- S аналитические решения с применением аппарата специальных функций задач по определению НДС прямых и скошенных, однои многосвязных, цилиндрических и конических оболочек переменной жёсткости при воздействии на них сосредоточенных и распределённых силовых факторовS разработка и реализация на ЭВМ универсального алгоритма расчёта НДС, свободных и вынужденных колебаний оболочек сложной геометрии- •S качественный и количественный анализ работы оболочек переменной и постоянной толщины, численная оценка приближённых аналитических решений;

S рекомендации по использовании результатов исследований в проектных организациях и конструкторских бюро. Апробация работы. Основное содержание работы доложено на XIV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Тбилиси, 1987), международных конференциях по теории оболочек и пластин: XVI (Нижний Новгород, 1994), XVIII (Саратов, 1997), XX (Нижний Новгород, 2002) — международных конференциях «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1998 и 2000) — международных научно-практических конференциях «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 и 2003) — всероссийской XXXI научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства» (Пенза, 2001) — второй всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж, 2001) — школах-семинарах «Современные проблемы механики и математической физики» (Воронеж, 1994) и «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002).

Работа доложена на кафедре теоретической механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (Воронеж, 2002), на расширенном заседании кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета (Саратов, 2002), на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела при кафедре механики Казанского государственного университета (Казань, 2003).

Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 40 научных статьях [23 — 48, 84 — 97]. В совместно опубликованных статьях лично автору принадлежит выбор методов исследования, получение аналитических и численных решений, создание алгоритма и анализ полученных результатов.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. ОБЩИЙ ВИД РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ.

УРАВНЕНИЙ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В части первой работы предложен вариант теории тонких гладких оболочек, в котором статические и геометрические зависимости получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме. Построение выполнено для общего случая в пространственной косоугольной системе координат, что повлекло за собой применение аппарата тензорного исчисления. При этом основные соотношения теории оболочек обладают значительной общностью и имеют компактный вид. С помощью некоторых преобразований и упрощений эти соотношения сводятся к уравнениям классической теории тонких упругих оболочек. Удерживая, в отличие от классических теорий, в векторах погонных моментов составляющие, направленные по нормали к срединной поверхности, а в векторах изгибной деформации соответствующие им компоненты кручения, получена полная статико-геометрическая аналогия теории тонких оболочек. То есть каждой статической величине соответствует геометрическая и каждому однородному уравнению равновесия — уравнение совместности деформаций. В известных теориях оболочек компонентам поперечной сдвиговой деформации по нормали к срединной поверхности не ставятся в соответствие какие-либо компоненты статических величин, а поперечным сдвиговым силам соответствуют некоторые формально вводимые величины. В предлагаемом варианте эти величины также присутствуют, но имея конкретный физический смысл, — это нормальные к срединной поверхности компоненты вектора изгибной деформации. Соотношения упругости помимо традиционной скалярной формы представлены также и векторными равенствами.

Предложено уточнение известного [130] вариационного подхода, позволяющего получить разрешающую систему шести уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, в обыкновенных производных и одного дифференциального уравнения, отвечающего за депланационные смещения того же контура, в частных производных. И хотя подход [130] позволяет получать систему лишь обыкновенных дифференциальных уравнений, но здесь точность решения задач всецело зависит от удачного выбора координатных вектор-функций, определяющих депланационные смещения контура поперечного сечения оболочки. Уточнённый вариационный подход, в котором депланационные смещения не представляются в виде разложений по координатным функциям, свободен от этого недостатка. Кроме того, в последнем случае система обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура как твёрдого тела, интегрируется независимо от депланационного уравнения в частных производных. При применении подхода [130] в общем случае получаем связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, причём перемещения, отвечающие смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, выражаются через депланационные смещения этого контура.

Доказано, что схемы дискретизации векторных дифференциальных соотношений по методу криволинейных сеток (МКС) [73] и скалярных уравнений теории оболочек методом конечных разностей (МКР) идентичны между собой, то есть МКС представляет собой тот же МКР применительно к векторной форме уравнений теории оболочек. Дано обобщение метода криволинейных сеток на случай приближения ковариантной производной в векторной форме конечно-разностным выражением r-го порядка точности (метод векторных разностей).

Построена математическая модель конструктивно ортотропной конической оболочки, имеющей такие особенности, как подкрепляющий поперечный и продольный силовой набор с переменной площадью сечения стрингеров и лонжеронов по размаху, переменную толщину собственно оболочки, скошенность, многосвязность и некруговой контур поперечного сечения. Рассматриваемые оболочечные конструкции достаточно широко применяются в промышленности и особенно в авиационной и ракетно-космической технике. Известным подходом получена разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющая в отличие от [130] переменные коэффициенты в силу изменения толщины по размаху. В уточнённой постановке получена смешанная разрешающая система шести обыкновенных дифференциальных уравнений и одного уравнения в частных производных.

Результаты исследований части первой могут быть использованы научными работниками, занимающимися как чисто теоретическими исследованиями, так и проблемой непосредственного расчёта прочности, устойчивости и колебаний геометрически сложных тонкостенных конструкций.

2. Часть вторая работы посвящена решениям краевых задач статики и динамики конструктивно ортотропных оболочек сложной геометрии.

Исследовано НДС консольно защемлённых цилиндрических и призматических оболочек с некруговым контуром поперечного сечения, переменной толщины как в продольном, так и в поперечном направлениях, загруженных сосредоточенными и распределёнными нагрузками. Рассмотрены случаи стеснённого кручения и изгиба прямых оболочек, нагруженных сосредоточенными в концевом сечении соответствующими силовыми факторами. Результаты расчётов представлены графически. При решении задачи по определению собственных частот и форм свободных колебаний некруговой цилиндрической оболочки с переменной толщиной вдоль образующей получены таблицы собственных частот при различных геометрических параметрах конструкции. В предельном переходе к оболочкам постоянной толщины значения циклических частот совпадают при соответствующих геометрических и физических характеристиках с аналогичными величинами из [127], что свидетельствует о достоверности полученных результатов.

Решены краевые задачи для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения. В отличие от прямых оболочек, где система разрешающих уравнений распадается на две подсистемы, описывающих изгиб и кручение соответственно, в скошенных оболочках система является связанной, так как физически в них изгиб всегда сопровождается кручением. Поэтому аналитическое решение удалось получить лишь в случае, когда учитывалась только депланация контура поперечного сечения от кручения, как преобладающая над депланацией от изгиба. В задачах динамики получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа.

Исследовано НДС прямых и скошенных многозамкнутых цилиндрических оболочек некругового очертания переменной жёсткости. Решены задача стеснённого кручения распределённым по длине оболочки и сосредоточенным в концевом сечении моментами, а также задача стеснённого изгиба распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Распределение напряжений при различных случаях нагружения представлено графически. Исследовано влияние на НДС прямой многосвязной оболочки изменение её толщины вдоль образующей по линейному и кубическому законам. При этом закон изменения толщины сказывается существенно на распределение нормальных напряжений лишь при сравнительно большом перепаде толщины у заделки и на свободном конце оболочки.

Решены краевые задачи по определению НДС скошенных конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приводится сравнение результатов для оболочки с симметричным контуром поперечного сечения, полученных по приближённому аналитическому решению с учётом лишь депланации кручения этого контура и численно в уточнённой постановке с учётом ещё и депланации от изгиба. Отмечено, что в скошенных конических оболочках переменной толщины краевой эффект имеет место по обоим концевым сечениям, обусловленный жёстким защемлением на одном конце, стеснением депланации вследствие коничности и переменной толщины — на другом. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, собственные частоты табулированы, собственные формы колебаний представлены графически. Исследовано также влияние на НДС рассматриваемых оболочек вынужденных колебаний при различных значениях частоты возмущающего фактора гармонической возмущающей силой, а также гармоническим возмущающим моментом.

Аналитические решения краевых задач выражаются через специальные функции: для прямых и скошенных цилиндрических оболочек переменной толщины через модифицированные функции Бесселя и Струве, для скошенных конических — через гипергеометрические функции. Эти решения принципиально отличны от решений для оболочек постоянной толщины, где уравнения интегрируются в элементарных функциях. Необходимость в аналитическом решении данных краевых задач продиктована тем обстоятельством, что имеющиеся алгоритмы, реализующие комплексы программ на ЭВМ по расчёту НДС конструкций типа крыла не в полной мере отражают их истинное напряжённо-деформированное состояние и, как правило, дают заниженные значения напряжений в жёсткой заделке. Этого недостатка лишён применённый в работе аналитический подход, позволивший исследовать как быстро изменяющиеся поля напряжений в области заделки, так и в оболочке в целом. Кроме того, в практике линейный закон изменения толщины в ряде случаев не является оптимальным. В целях экономии металла, снижения массы изделия и повышения его эксплуатационных качеств, целесообразно назначать иной, например, степенной закон изменения толщины.

В задачах по определению собственных частот и форм свободных колебаний прямых и скошенных оболочек переменной толщины решений в замкнутой аналитической форме для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами получить не удалось. Поэтому при их интегрировании был применён метод конечных разностей. Причём с целью получения более точных значений вместо перехода к мелкому шагу использовался МКР повышенной точности, при котором в конечных выражениях отбрасываются члены порядка шага разбиения в четвёртой степени. В результате задача по определению собственных частот и форм колебаний сводится к отысканию собственных значений и векторов блочнодиагональной матрицы. При решении этой задачи на ЭВМ применён метод двойной QR-итерации над матрицей, приведённой к верхней почти треугольной форме (матрица Хессенберга) методом Хаусхолдера [167].

Численные решения статических задач выполнены методом ортогональной прогонки двухточечной краевой задачи.

Установлено, что НДС оболочек всех рассмотренных типов переменной и постоянной толщины различно и с увеличением коэффициента перепада толщины в заделке и на свободном конце это различие возрастает. Поэтому в расчётах реальных конструкций, например, линейчатого крыла, у которого толщина обшивки может одновременно меняться как по размаху, так и по хорде, фактическое напряжённое состояние должно определяться по предлагаемой в работе методике.

Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов.

Результаты исследований могут быть использованы научными работниками НИИ и КБ при разработке новых тонкостенных конструкций строительной индустрии, общего и специального машиностроения, авиационной и ракетно-космической техники. В последнем случае предлагаемые расчётные модели крыла, корпуса или оперения, соответствующие их конструктивно-силовым схемам, могут обеспечить оптимальные лётные, весовые и аэродинамические качества летательного аппарата. В промышленности это связано со снижением расхода энергоресурсов, в частности, топлива, конструкционных металлов и повышением эксплуатационной надёжности изделия.