Процедуры построения монотонных сингулярных функций и асимптотики их преобразований Фурье-Стилтьеса

Сингулярные функции, равно как и сингулярные меры считаются экзотическим математическим объектом, несмотря на их полноправное участие в разложении Лебега функции ограниченной вариации на три составляющих (см. [8]).

Сингулярные функции обычно ассоциируются с функциями типа кан-торовской лестницы, для которых множество точек роста имеет лебегову меру нуль. Однако существует широкий класс сингулярных функций, множество точек роста которых имеет положительную лебегову меру, например, сингулярные строго монотонно возрастающие функции, т. е. функции спектром которых является весь отрезок [а, Ь]. Первым примером сингулярной функции такого вида явилась функция Минковского [32] (см. так же [33]), достаточно полное исследование свойств которой, включая и доказательство сингулярности, было проведено А. Данжуа [29]. Другой пример приведен в книге Сакса [20, с. 155]. И, наконец, третий пример был построен Р. Салемом [33]. В книге Ф. Рисса, Б. Секефальви-Надя [15, с. 59] приведена несколько видоизмененная процедура построения этой функции. В ином контексте та же функция появляется б работе [28] в качестве решения одного функционального уравнения. Более подробно конструкция функции Салема, и связь ее с функциональными уравнениями описывается в параграфе 1.2.

Исследование сингулярных функций, долгое время не вызывало особого интереса, так как казалось, что нет практического применения функциям данного типа. В качестве подтверждения можно привести цитату из книги Лукача ([10]), которая была издана в 1979 г. «В приложениях мы почти всегда сталкиваемся либо с дискретными, либо с абсолютно непрерывными распределениями. Сингулярные распределения интересны с теоретической точки зрения, но едва ли встречаются в практической деятельности». Однако позднее появились работы, в которых указывается связь сингулярных функций (вероятностных распределений) с классической задачей теории вероятностей о разорении (см. [22]), а именно, показано, что вероятность выигрыша как функция от начального капитала при, так называемой стратегии смелой игры [26](см., также, [21, с. 187]), является сингулярной функцией Салема. Отсутствие прагматического интереса к сингулярным функциям (мерам) привело к тому, что на данный момент известно всего несколько конструкций сингулярных функций. Функция Лебега [7], функция Минковского [32], функция Салема [33] и конструкция описанная в [20] образуют практически полный список имеющихся процедур построения сингулярных функций.

Тем не менее существуют классические задачи обобщения, которых приводит к необходимости получения конструкций сингулярных функций в удобном для изучения виде. Так, например, в теории преобразования Фурье до сих пор полностью не решена задача об идентефикации целой функции экспоненциального типа как преобразования Фурье-Стилтьеса функции ограниченной вариации. Имеющиеся результаты в этом плане концентрируются вокруг известной теоремы Пэли-Винера [27, с. 103]. Эта проблема в ином контексте может быть интерпретирована как задача описания сопряженных пространств к тем или иным функциональным пространствам в терминах преобразования Фурье-Стилтьеса (см. [11],[6]). Результаты, представленные в настоящей диссертации, примыкают к исследованию упомянутой выше задачи в случае, когда расматривается преобразование Фурье-Стилтьеса сингулярных функций ограниченной вариации.

Результаты представленные в данной диссертации были опубликованы в работах [1], [2], [3], [4], [5], [17], [18], [19].

Структура диссертации.

Краткое содержание главы 1.

В главе 1 рассмотрены три классических процедуры построения сингулярных функций. Мы описываем исторически известные примеры, придавая им новое звучание в рамках той схемы, которая строится нами в главе 2.

Параграф 1.1.

В параграфе 1.1 приводится описание конструкции функции Лебега и обобщенной функции Лебега, соотнесенных к совершенному множеству с постоянным отношением разбиения (? < Это наиболее известный пример сингулярных функций, чаще всего рассматривается «канторовская лестница» — функция Лебега в случае, когда параметр? = В главе 2 будет описана вероятностная процедура, позволяющая строить и изучать все сингулярные функции ограниченной вариации со спектром из При помощи этой новой конструкции удобно исследовать преобразование Фурье-Стилтьеса, получаемых функций. Так же будет описано, как получить функцию Лебега в рамках новой конструкции.

Параграф 1.2.

В этом параграфе приводится описание процедуры построения функции Салема. Показано, что функция Салема является в некотором смысле предельным случаем обобщенной функции Лебега при? —> Справедлива следующая теорема о представлении функции Салема.

Теорема 1.2.1. Пусть х= ^ 4-||-1-. + ^ +. € [-1,1], tj = ±1, тогда пх)=ре (¦Ц1 п p-^u.

Эта теорема понадобиться нам в главе 3, чтобы указать при каких параметрах в новой конструкции, получается функция Салема.

В заключении параграфа показано, что функцию Салема можно получить как решение функционального уравнения.

Теорема 1.2.2. Функция Салема удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

F (x) = pF (2x + 1) + (1 — p) F (2x — 1), х Е [-1,1], где F{x) = 1, х > 1- F (x) = 0, х < -1.

Подробное доказательство единственности решения данного уравнения в классе ограниченных на отрезке [—1,1] функций, удовлетворяющих условиям F (x) = 1, х > 1 -F (x) = 0, х < —1 можно найти в работе Де Рама [28]. При этом в работе [28] доказательство сингулярности и строго монотонного возрастания, базируется только на том факте, что функция является решением функционального уравнения, но идентичность решения и функции Салема не устанавливается.

Параграф 1.3.

В данном параграфе описывается метод сгущения особенностей — процедура построения строго монотонно возрастающих сингулярных функций. В качестве исходной берется произвольная сингулярная, монотонно неубывающая на отрезке [0,1] функция F (x). Вначале F (x) распространяем на положительную полуось соотношением.

F{x + l)=F (x) + l, а затем определяем функцию которая является функцией построенной из F (x) методом сгущения особенностей. Свойства новой функции определены в теореме 1.3.1.

Теорема 1.3.1. Функция Н (х), х? [0,1], является непрерывной, строго монотонно возрастающей, сингулярной функцией и Н (0) = 0, Н (1) = 1.

Преобразование Фурье-Стилтьеса H (z) функции Н (х) тесно связано с преобразованием Фурье-Стилтьеса F (z) функции F (x), что находит отражение в следующей теореме.

Теорема 1.3.2. Пусть.

F (z) = С eiztdF (t) Jo и.

H (z) = f1 eiztdH (t) Jo преобразования Фурье-Стилтьеса функций F (x) и Н (х) соответственно, тогда.

00 F (Z H{z) = (1 — eiz) Y, ,/J ^ n=i п2п{1 — е") ряд в правой части сходится равномерно на компактах в С1.

Краткое содержание главы 2.

В главе 2 дается описание вероятностной процедуры, позволяющей получать сингулярные функции на отрезке. Основным результатом параграфа 2.1 является конструкция, позволяющая получить все сингулярные функции со спектром, принадлежащим совершенному множеству с постоянным отношением разбиения (0 <? < Отдельно получен критерий, позволяющий строить сингулярные функции, спектр которых в точности множество В параграфе 2.2 описана конструкция, позволяющая получить все сингулярные функции со спектром из отрезка, а так же указан критерий, при помощи которого можно выделить строго монотонные сингулярные функции.

И в первом, и во втором параграфе основой конструкции служит вероятностное пространство (О, Р) (см. [14]). Здесь П = {и): со = (ti, ., tn, .), tn = ±1} - множество, бесконечных наборов ±1, /3 — <�т-алгебра, порожденную цилиндрами {С"(<5ь6n)}?Li, где СП (5Ь., $п)={и: и = (.

Pn (ti ¦••itn) = Рп+1 Рп+1 (tu., tn, 4−1), так что:

Р (СП (5Ь ., 6п)) = Рп{6и., 5п), п= 1,2,.

То что Р заданная таким образом, действительно будет вероятностной мерой на (О, /3) следует из теоремы Колмогорова (см., например, [13], [14]).

Сначала на (О, /3) рассматривается отображение S: fi—1,1], определяемое посредством ряда оо.

S (U) = (1 — or1 Е CJ е О (1).

П=1 и изучаются свойства этого отображения. В параграфе 2.1 рассматривается случай? < а в параграфе 2.2 случай? =.

Определим на Р) набор координатных случайных величин.

Хк (и-) — tk-, to — (t,., tfc, и рассмотрим ряд со случайной расстановкой знаков: оо.

5(ш) = (1 — ое-1? Хп (и)С, сиеп (Г).

П=1.

Определим теперь функцию распределения ряда (1*).

Fs{x) = Р (ш: S{to) < х).

Так как |5(w)| < 1, то F5(a-) = 0, х < -1 и Fs (a-) = 1, аг > 1. Таким образом нами описана конструкция, позволяющая получать различные монотонно неубывающие функции на [—1,1]. Основной задачей главы 2 является изучение зависимости свойств получаемых функций от свойств набора {Pn{ti,., а также доказательство универсальности такой конструкции.

Параграф 2.1 (случай? <

Вначале мы приводим описание образов множества и цилиндров Сп (51,., 5&bdquo-) при отображении 5. Соответствующие результаты приведены в леммах 2.1.1 — 2.1.4.

Лемма 2.1.1. Образом множества Q при отображении S будетмножество канторовского типа отрезка [—1,1] с постоянным отношением разбиения т. е. = -Е^.

Вводя на Q лексикографическое упорядочивание, получим.

Лемма 2.1.2. Для любого цилиндрического множества Cn (5i,., 5п) имеем:

Сп (81,., 5п) = {о-: (<5Ь ., 6п, -1, -1,.) < и < {8и ., 8п, +1, +1,.)}.

Лемма 2.1.3. Отображение S, определяемое формулой (1) сохраняет порядок, т. е. если со' < со", то S (co') < S (oo").

Следующая лемма определяет структуру образов цилиндров Cn (5i,., 8п). В ней используется терминология и обозначения главы 1.

Лемма 2.1.4. Образом цилиндра Cn (8i,., 8п) при отображении S является порция множества Е^, расположенная на соответствующем «белом» отрезке, принадлежащем Е^п, а именно:

S (Cn (8ь 5п)) = Eln) п 6″) — С, Sn (8i,., 8п) + П где Sn (5i,., ?") = (1 — ~ частичная сумма ряда (1*).

Следует отметить, что в силу леммы 2.1.1 спектр функции Fg{x) целиком содержится в множестве мера Лебега которого равна нулю, так что F’s (x) = 0, почти всюду на [—1,1] и, таким образом, необходимым и достаточным условием сингулярности функции Fs (x) будет непрерывность данной функции. Следующая теорема дает ответ на вопрос — какими свойствами должен обладать набор {Pn (ti, •••> ?n)}?Li> чтобы Fs (x) была непрерывна.

Теорема 2.1.1. Пусть? G (0, а последовательность {Pn (h, ., tn)}^=1 удовлетворяет условию: mjPn{tu., tn)) = 0, Vcj = (*i,., tn,.) <= fi.

Тогда функция распределения Fs (x) непрерывна и является сингулярной функцией канторовского типа, т. е. Sp (Fs) С.

Следующая теорема устанавливает при каких условиях множество точек роста функции Fs (x) в точности совпадает с.

Теорема 2.1.2. Пусть последовательность {Pn (tx, удовлетворяет условию:

Pn{tu., tn) > 0, п = 1,2,., тогда Sp (Fs) = Е^.

Заключительная теорема дает ответ на вопрос, насколько универсальна процедура построения сингулярных монотонных функций, спектры которых принадлежат Епосредством функций распределения сумм случайных рядов.

Теорема 2.1.3. Пусть F (x), х (Е [—1,1], сингулярная монотонная функция такая, что F (-1) = О, F (1) = 1 и Sp (F) С? Е (0, Тогда на борелевском пространстве (О, (3) можно определить вероятность Р таким образом, что функция распределения Fs (x) суммы ряда (1*) равна F{x).

Параграф 2.2 (случай? =.

Первые две леммы схожи с леммами 2.1.1−2.1.4 параграфа 2.1 и дают ответ на вопрос о структуре образов множества О. и цилиндров Cn (Si,., ёп) при отображении S, в случае? =.

Лемма 2.2.1. Образом множества при отображении S будет весь отрезок [—1,1], т. е. S (Q) = [—1,1].

Лемма 2.2.2 Имеет место соотношение 8п)) = [-1,1] :| х — |< 1}, где хп — ~2~ ••• -Ь.

Следующая теорема является аналогом теоремы 2.1.1 параграфа 2.1 и указывает на условия, которым должен удовлетворять набор {Pn (ti, чтобы функция Fs (x) была непрерывна.

Теорема 2.2.1. Пусть последовательность {Pn (ti,., tn)}^ удовлетворяет условию lim = 0, Vw = (ti,., tn,.) е ft. п—юо.

Тогда функция распределения Fs (x) суммы ряда (1*) непрерывна.

Следующая теорема говорит о том, насколько универсальна процедура построения непрерывных монотонных функций с ограниченным спектром посредством функций распределения сумм случайных рядов.

Теорема 2.2.2. Пусть F (x), x 6 [—1,1] - непрерывная монотонно неубывающая функция, удовлетворяющая условиям F (—l) = Q, F (1) = 1. Тогда па боррелевском пространстве (Q, /3) можно определить вероятность Р таким образом, что функция распределения Fs{x) = P (w: S (u) < х) суммы ряда (1*) равна F (x).

Критерий строго монотонного возрастания функции F$(x) мы получаем в теореме 2.2.3, которая является аналогом теоремы 2.1.2 параграфа 2.1.

Теорема 2.2.3. Функция распределения Fs (x) суммы ряда (1*) строго монотонно возрастает на [—1,1] тогда и только тогда, когда Vn = 1,2,.- Vtk = ±1, 1.

Pn{tu., tn) > 0.

В отличии от процедуры построения сингулярных функций, представленных в параграфе 2.1., в данном случае непрерывность не является критерием сингулярности, поэтому для завершенности конструкции следует указать условия, которым должен удовлетворять набор конечномерных распределений {Pn (ti, .jin)}^, чтобы Fs{x) была сингулярна.

Теорема 2.2.4. Пусть выполнено условие теоремы 2.2.1. Функция распределения Fs (x) сингулярна, тогда и только тогда, когда для почти всех х = % + + $ + [-1,1].

Нш 2nPn (ti,., tn) = 0.

Tl —> оо.

Заметим, что последнее условие нельзя ослабить, в том смысле, что нельзя заменить 2″ на 5″, где 5 < 2, так как если Pn (t 1? ., tn) = то функция Fs (x) является абсолютно непрерывной (см. [31]).

Краткое содержание главы 3.

В главе 3 рассмотрены две системы конечномерных вероятностей, которые генерируют функции при помощи процедуры, описанной в главе 2. Изучение свойств полученных функций (в частности доказательство сингулярности) опирается на результаты предыдущей главы. Мы ограничиваем изучение случаем, когда параметр? = свойства функций генерируемых теми же стохастическим системами в случае, когда? < | были изучены в работе [16].

Параграф 3.1.

На борелевском пространстве (Г2,/5), описанном в главе 2, рассмотрим набор конечномерных вероятностей {Pn (t, таких что.

Чтобы данный набор определял на (Q. /3) вероятностную меру, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял условиям согласованности, доказательство данного факта содержит лемма 3.1.1.

Лемма 3.1.1. Система {Fn}^=i> заданная формулой (2) удовлетворяет условию согласованности,.

Pn (ti,., tn) = Pn+1(?i,., tn, —1) + P"+i (?i,., tn, +1), n = 1,2,.

Переходя к системе координатных случайных величин {Xfc (w) = tk, oj = (ti, ., tk, имеем следующую теорему.

Теорема 3.1.1. Система координатных функций {^(а")}^, является набором равнораспределенных, независимых случайных величин с распределением.

Следующие три леммы описывают свойства набора {-Pn}?Li и позволяют в дальнейшем описать свойства генерируемых этим набором функций.

Лемма 3.1.2. Система заданная формулой (2) удовлетворяет условию:

Лемма 3.1.3. Система заданная формулой (2) удовлетворяет условию: п.

P (w: = -1) = рP (cv: Хк (ш) = +1) = 1 — р, к = 1, 2,.

Pn (h, tn) > 0, п = 1, 2,., и = (tu ., tn,.) € Q n-> 00 lim Pn{tu., tn) =0, Vw = (.

1 l r-V4 4 ' ' ' ' /.

Лемма 3.1.4. Пусть р ф тогда для почти всех х = у +. + +. е [—1,1], tn = ±1 выполнено: lim 2nPn (ti, ., tn) = О.

Теперь на основании лемм 3.1.2−3.1.4 и, используя теоремы параграфа 2.2 относительно связи свойств набора конечномерных вероятностей со свойствами получаемых функций, имеем.

Теорема 3.1.2. Пусть F$(x) функция распределения суммы ряда (1*), a {P"(tx,., i")}~ х определяются соотношениями (2). Тогда Fs (x) непрерывна и строго монотонно возрастает на отрезке [—1,1]. А если дополнительно р ф то Fs (x) — сингулярна.

В заключении параграфа, показано, что функции генерируемые системой (2) являются функциями Салема с сответствующим параметром р

Теорема 3.1.3. Пусть F (x) — функция распределения суммы ряда (1*), заданного на вероятностном пространстве вероятность Р задается набором конечномерных распределений (2), и пусть р ф тогда F (x)~ функция Салема.

Таким образом, мы получили функцию Салема, как результат несомненно более общей вероятностной конструкции. При этом в главе 4 при помощи новой конструкции мы сможем изучить асимптотические свойства преобразования Фурье-Стилтьеса функции Салема, а так же получить некоторые обобщения этих результатов, основанные на вероятностном подходе.

Параграф 3.2.

На (Q, f3) зададим набор конечномерных вероятностей, п—1.

Pn (tu-, tk) = - Y[p{tk+bth), (3).

1 k=i где p (tk+i, tk) — элементы матрицы.

Ilp (ffc+l,*k)ll =.

1 — a a.

0 < a < 1, а Ф -. 2.

4) a 1 — a.

Данный случай является продолжением случая рассмотренного в предыдущем параграфе, в следующем смысле. Уже отмечалось (Теорема 3.1.1), что набор координатных функций в условиях параграфа 3.1, является набором независимых случайных величин, в данном же случае набор ! подчинен простой однородной марковской зависимости. Таким образом, воспользовавшись вероятностной природой конструкции, мы получили новый набор (в смысле зависимости от параметра а) сингулярных функций.

Дальнейшие исследования подчинены той же схеме, что и в параграфе 3.1. Вначале получим другое представление для Pn (ti, ., tn).

Лемма 3.2.1. Для (3) в котором набор p (tk+1,tk), k = 1 ,., п — 1 определяются при помощи (4) имеем.

Необходимо показать, что система конечномерных вероятностей удовлетворяет условию согласованности, тогда она действительно задает вероятностную меру на (Q, /5), для этого будет использовано только что полученное представление.

Лемма 3.2.2. Система {Рп}^, заданная формулами (3)-(4) удовлетворяет условию согласованности,.

Pnih,., tn) = Pn+i (ti,., tn, — 1) + Pn+i (ti,., tn, +1), n = 1,2,.

Следующие две леммы необходимы для изучения, функции распределения ряда (1*) на пространстве (ft,/5, Р).

Лемма 3.2.3. Система {Pn}?L1- заданная формулами (3)-(4) удовлетворяет условию: где J = In —.

L, а а.

Pn (ti,., tn) > о, n = 1,2,., oj = (ti,., tn,.) е ft.

Лемма 3.2.4. Система заданная формулами (3)-(4) удовлетворяет условию:

Km^Pnitu-.^tn) = 0, Vw = (tu., tn,.) G fi.

В заключении приведем теорему, которая следует из лемм 3.2.3- 3.2.4 и общих теорем параграфа 2.2.

Теорема 3.2.1. Пусть Fs (x) функции распределения суммы ряда (1*), а •••) определяются соотношениями (3)-(4) — Тогда Fs (x) непрерывна и строго монотонно возрастает на отрезке [—1,1]. А если дополнительно, а ф то Fs{x) — сингулярна.

Следует отметить, что в случае, а = | мы вновь получаем систему rn{ti,., tn) — —, которая, как уже отмечалось, генерирует абсолютно непрерывную функцию.

F (x) =^-, x€[-1,1].

Краткое содержание главы 4.

Основным математическим объектом главы 4 является преобразование Фурье-Стилтьеса.

Ф{г) = jiztdFs (t) (5) сингулярных функций, построенных в соответствии с процедурами главы 2. Изучается асимптотическое поведение ф{£) на мнимой оси и усредненная асимптотика на вещественной оси с точки зрения асимптотических свойств интеграла:

Ф{х)Чх. (6).

Априорную информацию о поведении интеграла (6) можно получить из теоремы Пэли-Винера, а именно для финитного преобразования Фурье-Стилтьеса сингулярной функции fR ф (х)]2йх —> оо, R —> со. J о.

Основная задача данной главы показать, что стохастическая конструкция, предъявленная в главе 2, позволяет успешно исследовать асимптотическое поведение преобразований Фурье-Стилтьеса сингулярных функций канторовского типа и строго монотонных сингулярных функций.

Рассматриваются следующие две модели.

Модель 1 .{Независимый, равнораспределенный, неравновероятный случай.).

Набор конечномерных распределений для р ф ½ определяется следующим образом:

JL. 1+tk i-tk.

Pn{ti,-, tn) = Пр 2 (1-р) *, n = l, 2,. fc=i.

Модель 2.(Случай простой однородной марковской зависимости.).

Набор конечномерных распределений для р ф ½ определяется следующим образом:

Pn (h,., tn) = - П 1 -р) 2, п = 1, 2, .

1 k=1.

В случае? — ½ свойства функции распределения суммы ряда (1*) Fs (:r) были изучены в параграфах 3.1 для вероятностной модели 1 и 3.2 для вероятностной модели 2. Свойства функции распределения ряда (1*) в моделях 1,2 при 0 <? < ½ были изучены в [16].

Параграф 4.1.

В этом параграфе, получен вид преобразования Фурье-Стилтьеса сингулярных функций, построенных с использованием стохастической процедуры, а так же получены оценки асимптотического поведения на мнимой оси преобразования Фурье-Стилтьеса сингулярных функций, генерируемых при помощи набора конечномерных распределений, подчиненных достаточно широким условиям (в частности этим условиям удовлетворяют модели 1 и 2).

Как и ранее, обозначим ф{г) = jizidFs{t), zeC1, преобразование Фурье-Стилтьеса функции Fs (x), а.

Ш = jiztdFn{t), г € Сп = 1,2,., преобразование Фурье-Стилтьеса функций распределения Fn{x), п = 1,2,. конечных сумм ряда (1*).

Леммы 4.1.1 и 4.1.2 определяют вид преобразования Фурье-Стилтьеса функции распределения Fs (x), который в дальнейшем будет удобно использовать для получения асимптотических оценок.

Лемма 4.1.1. фп{^ —Ф{%) при п —> оо равномерно на любом компакте в С1.

Лемма 4.1.2. Для фп (г) имеем следующее представление: фп (г) =? Pn{?)eizS^, z G С1, п = 1,2,., f=(ti,., t").

Следующая общая теорема дает ответ на вопрос о зависимости асимптотического поведения функции на мнимой оси, от свойств набора {Pn{ti, ¦¦¦, t")}, определяющих вероятностную меру.

Теорема 4.1.1.

1) Пусть существуют положительные < щ? N и d € (0,1), такие что, для любого п> щ имеет место формула.

A^d? < Рп (-1, .,-1) < тогда.

Ф (гу) х У-7^, 7i = тт, У >

2) Пусть существуют положительные А^Р < А22 П2? N и с?2 6 (0,1), такие что, для любого п > п? имеет место формула.

4ип2<�Рп{1,., 1)< A%>dn2,.

2)лп тогда ф (гу) х |уПеМ 72 = lnf.

У <0.

Символ х fz (t), t > 0 означает, что найдутся такие Ci, C2 > 0 и такое h > 0, что для t > h выполняется условие: cMt) < т < c2Mt).

В частности для моделей 1 и 2 справедливы следствия из этой теоремы.

Следствие 1. Для модели 1 имеют место следующие асимптотики на мнимой оси:

Ф{гу) х У 7ley, 7i =.

Ф{щ) х М У2ет, ъ =.

1п (1 -р).

1п£.

In р

72 = ы.

У> 0, у<0.

Следствие 2. Для модели 2 имеет место следующая асимптотика на мнимой оси:

Ф (гу) х у-*М — =.

Ь (1 — р) ine.

Параграф 4.2.

Хорошо известно (см., например, [7, Т.2, стр. 392]), что необходимым и достаточным условием непрерывности функции ограниченной вариации является выполнение следующего условия для ее преобразования Фурье-Стилтьеса.

R (f){x)2dx = o®.

Jo.

В данном параграфе, получены результаты относительно асимптотического поведения интеграла квадрата модуля преобразования Фурье — Стил-тьеса сингулярных функций на действительной оси.

V{R)= Гф{х)Чх J о в ситуациях моделей 1 и 2. Для этого мы вновь пользуемся стохастической конструкции главы 2.

Изучение асиптотического поведения V ® приходится проводить отдельно для случаев? < ½ и? = ½. Не смотря на кажущуюся очевидность предельного перехода >• ½, осуществить такой переход не удается, и исследования для? = ½ затрагивают существенно более тонкие детали стохастических свойств модели. Этот случай, несомненно, представляет наибольший интерес, так как ему соответствуют сингулярные функции строго монотонно возрастающие на [—1,1].

Для моделей 1 и 2 показано, что V® растет вместе с R со степенной скоростью, точнее.

V{R)^Rl~ 7 €(0,1), при этом изменяя параметр р, используемый в задании модели мы можем добиться сколь угодно малого показателя степени R и соответственно сколь угодно медленной степенной расходимости интеграла.

Основным результатом, позволяющим установить анонсированные оценки для случаев моделей 1 и 2, является следующая теорема.

Теорема 4.2.1. Пусть f: Э?1—^1 положительно определенная, монотонно неубывающая функция, такая, что f (x)-~>оо при х—>оо. Пусть {/п}≅1 последовательность функций, таких, что fn—*f при п —> оо и найдутся 0 < k < q < 1, для которых fn (x) — |/n-i (b)| <�С, хеШ1, п = 2,3,.

Тогда f{x) X a-1″ 5, (5 lng In*.

Следующая лемма определяет представление |0&bdquo-(а:)|2 в виде суммы (здесь фп (х) — преобразование Фурье-Стилтьеса частичных сумм ряда (1*)).

Лемма 4.2.1. Справедливо следующее представление:

Фп{х)2 =? Рп (Р)Рп (й) cos (x (Sn (P) -Sn (u))), п = 1,2,. u = (uj,., u П).

Дальнейшие исследования направлены на то, чтобы показать выполнение условий теоремы 4.2.1 для интеграла V® в случаях моделей 1 и 2. Доказательство результирующей теоремы 4.2.2 основывается на теореме 4.2.1 выполнение условий которой для моделей 1 и 2 будет показано в леммах 4.2.2 — 4.2.5.

Обозначим.

У"(Д)= [*фп{х)2йх, п = 1,2,.

J о.

V{R)= [Нф (х)2дх.

J о.

Лемма 4.2.2. Пусть вероятность Р задается конечномерными распределениями, определенными в модели 1 или 2, и пусть.

Qn (x) = Рп{?)Рп{й) cos (z (S"(t) — 5"(i2))), n = 1,2,., r=(t1,., t") u=(ui,., un) тогда.

1) в случае модели 1 jP + П p)2) rR.

Vn® = ^ Ч!(ДО + Уо Qn (a-)da-, n = 2, 3,.

2) e случае модели 2.

Vn{R) = {p2 + {] Р)2)Кх (ДО + ГQn{x)dx — (1 Г Qn^(x)dx, п = 2, 3,.

Лемма 4.2.3. Для? < | и для произвольного согласованного набора конечномерных распределений {Рп} имеет место следующая оценка rR Г Qn (x)dx J о С (£) > 0, га = 1,2,3,.

Замечание. Конкретное значение С (£) для исследуемых нами моделей имеет вид:

1) для модели 1 С (0 =.

2) для модели 2 С (£) = 4(1120 •.

Заметим, что при? = | справедливость оценки нарушается. В этом случае существенную роль будут играть свойства конечномерных распределений.

Лемма 4.2.4. Для? = ~ и для набора конечномерных распределений {Рп}, определяемых моделью 1, имеет место следующая оценка rR QJx) dx Jo.

С, п= 1,2,3,.

В случае модели 2 оценка будет выполнена не для всех р.

Лемма 4.2.5. Пусть? = | и набор конечномерных распределений {Рп}, определяется моделью 2. Пусть дополнительно р > 1 — тогда имеет место следующая оценка rR Qn (x)dx Jo.

С, п = 1,2,3,.

В заключительной теореме, используя общую теорему 4.2.1, представление, полученное в лемме 4.2.1 и результаты лемм 4.2.3−4.2.5, исследовано асимптотические поведение интеграла V® для случая моделей 1 и 2.

Теорема 4.2.2. Пусть выполнено одно из следующих трех условий:

1)? < | и вероятность Р определяется набором конечномерных распределений модели 1 или 2.

2)? = вероятность Р определяется набором конечномерных распределений модели 1 и параметр р модели удовлетворяет условию р ф |.

3)? = вероятность Р определяется набором конечномерных распределений модели 2 и параметр р модели удовлетворяет условию р Е.

1-^, 1), РТЦ тогда.

V® х Rl~ 7 = ln (p2 + (l-p)2) ln?

1. Быстрицкий В. Д. Об асимптотиках преобразования Фурье-Стилтьеса функции Салема. // Сборник «Исследования по теории функций и ее приложениям» ННГУ, Н. Новгород, 2001 г. Рук. деп. в ВИНИТИ РАН № 2174-В2001.

2. Зайцева А. В. Теоремы типа Пэли-Винера для весовых пространств последовательностей. Труды международной конференции. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы, Т.1 Комплексный анализ, ИМ с ВЦ РАН. Уфа. 2000.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1,2. М.:Мир, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, изд.4, 1976.

5. Ламперти Дж. Вероятность. М., Наука., 1973.

6. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

7. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства.// Матем. заметки, 1990, Т48, вып. 5, С.80−87.

8. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т.1 -М.: Наука, изд. 2, 1967.

9. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М., Мир, 1969.

10. Партасарати К.

Введение

в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983.

11. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. -М.: Мир, изд.2, 1979.

12. Рябинин А. А. Анализ Фурье в комплексной плоскости сингулярных мер. Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук. — Екатеринбург -1999.

13. Рябинин А. А., Быстрицкий В. Д., Ильичев В. А. О сингулярных строго монотонных функциях. // Сборник «Исследования по теории функций и ее приложениям» ННГУ, Н. Новгород, 2001 г. Рук. деп. в ВИНИТИ РАН № 2174-В2001.

14. Salem R. On some singular monotonic functions which are stricly increasing// TAMS, v.53 (1943), p.427−439focciicc:/. *s ГОСУДАГСТиБТГЛ/-.: J BEBJlHOWfOlbS-^-c^b.