О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций

Краткий исторический обзор

Геометрическая теория функций комплексного переменного является важной и содержательной частью математического анализа. Она изучает аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим свойством, а также геометрические свойства различных классов аналитических функций. Одним из таких свойств является конформность. Конформные отображения играют важную роль в математике и ее приложениях — теории упругости, гидромеханике, аэродинамике и др. Неудивительно, что голоморфные однолистные функции, реализующие такие отображения, подверглись многочисленным и интенсивным исследованиям. Фундамент этим исследованиям заложил Б. Риман, сформулировавший в 1851 году теорему о конформном изоморфизме односвязных областей [48]. Большой вклад в развитие зарождавшейся теории сделал К. Каратеодори. Он доказал теорему о сходимости областей к ядру, а в работах [25], [26] детально рассмотрел вопрос о граничном соответствии, предложив теорию простых концов и доказаз теорему о соответствии границ при конформных отображениях.

В теории однолистных функций значительное внимание уделяется исследованию геометрических свойств класса 5″ голоморфных однолистных в единичном круге функций /(г), нормированных тейлоровским разложением /{г) = г + с2г +. Многие вопросы здесь могут быть сформулированы либо в виде задачи исследования на экстремум некоторого вещественнозначного функционала, либо в виде задачи нахождения множества значений некоторого комплекснозначного функционала, определенного в этом классе. Класс 5″ не является линейным, и для решения в нем экстремальных задач методы классического вариационного исчисления оказываются неприменимыми. Поэтому математиками в теории однолистных функций были предложены различные тонкие методы. В работах К. Каратеодори, П. Кебе, Л. Бибербаха, Т. Гронуолла, К. Левнера 10-х, 20-х годов прошлого века были поставлены и решены первые экстремальные задачи геометрической теории функций, предложены первые методы исследования таких задач.

В 1914 году Т. Гронуолл [20] доказал теорему площадей, которую в 1916 году [11], [12] использовал Л. Бибербах для нахождения константы Кебе и оценки |сг|^2 коэффициента Сг в разложении в ряд Тейлора функций /(г) = 2 + с22 +. класса 5″. Он также предположил, что сп<�п. Это предположение стали называть гипотезой Бибербаха. Задача оценки коэффициентов на протяжении почти целого века оказалась неразрешимом и являлась пробным камнем для проверки эффективности новых методов теории однолистных функций.

В 1923 году К. Левнер [41] представил параметрический метод, получив с помощью теоремы Каратеодори о сходимости семейства областей к ядру дифференциальное уравнение для семейства функций, сходящегося к данной однолистной функции. Посредством этого уравнения он доказал гипотезу Бибербаха для третьего коэффициента. Систематически развил метод Левнера Г. М. Голузин, доказав, в частности, с его помощью теорему вращения. Параметрическим методом удалось получить ряд точных оценок, а в некоторых случаях, проинтегрировав уравнение Левнера, найти экстремальные функции. В 1943 году П. П. Куфарев [31] дал обобщение уравнения Левнера, названное уравнением Левнера-Куфарева, с помощью которого были решены многие трудные задачи теории однолистных функций. Метод продолжения по параметру использовали в своих работах Г. М. Голузин, И. Е. Базилевич, П. П. Куфарев, И. А. Александров,.

М.Р. Куваев, В. И. Попов, В. Я. Гутлянский и другие. А в 1984 году JI. де Бранж [13] с помощью уравнения Левнера решил проблему коэффициентов однолистных функций. С различными подходами к обоснованию и многочисленными применениями этого метода можно ознакомиться по монографиям Г. М. Голузина [19], В. К. Хеймана [49], И. А. Александрова [3,4].

В 1943 году М. Шиффер [53] предложил метод внутренних вариаций. Несколько позже Г. М. Голузин [16] усовершенствовал его, получив вариационные формулы при меньших предположениях об отображениях. Вариационный метод приводит при решении экстремальных задач к некоторому дифференциально-функциональному уравнению для каждой экстремальной функции. С помощью полученного уравнения во многих случаях были найдены точные оценки исследуемых на экстремум функционалов, а в некоторых были указаны и экстремальные функции. Такие примеры можно найти в работах Г. М. Голузина [17], H.A. Лебедева [39], В. В. Черникова [51] и других. Впрочем, часто интегрирование полученного дифференциального уравнения для экстремальной функции не удается, так как оно содержит параметры, зависящие от искомого решения. Тогда довольствуются качественной характеристикой экстремальной функции, а именно описанием образа канонической области (как правило, единичного круга, либо внешности единичной окружности) при отображении экстремальной функцией. В большом круге задач этим образом оказывается вся плоскость, разрезанная по кусочно-аналитической кривой. В таких случаях экстремальная функция является предельной для решений некоторого уравнения Левнера. Таким образом, возможным становится комбинировать метод внутренних вариаций и параметрический метод. Один из вариантов объединения методов был предложен H.A. Лебедевым [38]. Другой способ дал П. П. Куфарев [34−36]. Вариационно-параметрическим методом Куфарева томской школой математиков были решены многие трудные задачи геометрической теории функций.

Эти и другие методы решения экстремальных задач геометрической теории функций комплексного переменного (метод площадей, метод квадратичных дифференциалов, метод интегральных представлений, метод экстремальных метрик, метод симметризации и др.) составляют содержание многочисленных монографий и статей. Большое внимание различным методам уделено, например, в работах Г. М. Голузина [19], В. К. Хеймана [49], Дж. Дженкинса [23], H.A. Лебедева [40], И. М. Милина [42], И. А. Александрова [3, 4], В. Н. Дубинина [24], К. Поммеренке [47], К. И. Бабенко [8], В. Я. Гутлянского [21].

Цель работы.

Изучение взаимосвязей метода внутренних вариаций и метода параметрических представлений теории однолистных функцийпостроение вариационных формул в различных классах однолистных функцийнахождение новых случаев интегрирования уравнения Левнера-Куфареваисследование функционала, зависящего от значений функции и первых ее двух производных в фиксированной точке, и применение полученных результатов к исследованию задачи о кривизне линий уровня.

Методы исследования.

В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, методы геометрической теории конформных отображений, методы теории дифференциальных уравнений, вариационный и параметрический методы и их комбинации.

Научная новизна и практическая значимость.

Постановка темы диссертационной работы принадлежит И. А. Александрову. Оригинальные результаты получены под его руководством и при консультациях С. А. Копанева.

Основные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использоваться при чтении спецкурсов на механико-математических факультетах для студентов старших курсов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут быть полезны при решении экстремальных задач геометрической теории функций.

Основные результаты работы.

Следующие результаты автор считает основными и выносит на защиту.

Как следствие теоремы Голузина, выведена новая вариационная формула в классе 5.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получено интегральное представление подкласса класса 5*.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получена интегральная формула в некотором подклассе класса 5″ .

Приведена качественная характеристика граничных функций функционала, зависящего от значения функции класса 5″ и первых двух ее производных в фиксированной точке.

Представлена уточненная качественная характеристика экстремальной функции в задаче об оценке кривизны линий уровня функций класса Я.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций комплексного переменного в Томском государственном университете, на Международной конференции по математике и механике (г. Томск, 2003 г.), на молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения — 2003» (г. Казань, 2003 г.).

Основное содержание диссертации изложено в работах [1—4] из списка работ автора.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на четыре параграфа, списка литературы и списка научных работ автора. В работе содержится два рисунка.

1. БерЛ.М. Применение метода параметрических представлений к исследованию экстремальных задач теории отображений: Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. ТГУ, 2003.

2. Bieberbach L. Uber einige Extremalprobleme im Gebiete der konformen Abbildung//Math. Annalen. 1916. 77. P. 153−172.

3. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen weiche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln // Sitzgsher. Preuss Akad. Wiss. 1916. 138. P. 940−955.

4. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. 1−2. P. 137−152.

5. Волковыский Л. И., ЛунцГ.Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1961. 320 с.

6. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. 436 с.

7. Голузин Г. М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. № 2. С. 203−236.

8. Голузин Г. М. Метод вариаций в конформном отображении, II // Матем. сб. 1947. Т. 21. № 1. С. 83−117.

9. Голузин Г. М. Некоторые вопросы теории однолистных функций // Труды Матем. ин-та АН СССР. 1949. Т. 27. С. 1−109.

10. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

11. Gronwall Т.Н. Some remarks on conformal representation // An. of Math. 1914;1915. 16. P. 72−76.

12. Гутлянский В. Я. Параметрическое представление однолистных функций//ДАН СССР. 1970. Т. 194. С. 750−753.

13. Гутлянский В. Я. Теорема вращения в классе однолистных р-симметричных функций //Матем. заметки. 1971. Т. 10. С. 239−242.

14. ДженкинсДж. (Jenkins J.A.) Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.

15. Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49. Вып. 1(295). С. 3−76.

16. Caratheodory С. Untersuchungen uber die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten // Math. Ann. 1912. 72. P. 107−114.

17. Caratheodory C. Uber die Begrenzug einfach zusammenhangender Gebiete // Math. Ann. 1913. 73. P. 323−370.

18. Koebe P. Uber die Uniformisierung beliebiger analytischen Kurven // Nachr. Gess. Wiss. Gott., Math-Phys. К 1. 1907. Р. 191−210.

19. Koebe Р. Uber die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II // Math. Ann. 1910. 69. P. 1−81.

20. Корицкий Г. В. К вопросу о кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, вып. 5. С. 179−182.

21. Корицкий Г. В. К оценке кривизны линий уровня при однолистных конформных отображениях // Вопр. математики. Тр. Томск, ун-та. 1969. Т. 210, вып. 6. С. 34−36.

22. Куфарев П. П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем. сб. 1943. Т. 13. С. 87−118.

23. Куфарев П. П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части // Ученые зап. Томского ун-та. 1946. № 1. С. 35−48.

24. Куфарев П. П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения // Ученые зап. Томского ун-та. 1947. № 5. С. 20−21.34.