Модифицированный метод построения приближенных аналитических решений задач нестационарного теплопереноса

Общая характеристика работы Актуальность проблемы. Разработка, исследование, обоснование адекватности математических моделей теплопереноса, а также совершенствование методов, алгоритмов и программного обеспечения для их реализации важны как в теоретическом, так и прикладном аспектах. Сущность методологии математического моделирования процесса теплопереноса состоит в замене реального физического явления его идеализированными «образами» — физической и математической моделями с последующим изучением их аналитическими и (или) численными методами.

Очевидно, что аналитические методы дают полную всеобъемлющую картину моделируемого процесса или явления в отличие от численных методов, которые требуют огромной вариативной проработки искомой задачи, каждый раз при новом наборе исходных данных.

В этом плане следует отметить, что получение точных аналитических решений линейных и нелинейных задач теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными по координатам и во времени граничными условиями представляет серьезные математические трудности. Аналитические решения получены лишь для незначительного круга отдельных частных задач, к тому же, при весьма существенных допущениях. В связи с чем, важной научной и инженерной проблемой является разработка новых эффективных аналитических (приближенных аналитических) методов решения краевых задач.

В последнее время все большее применение получают приближенные аналитические методы (вариационные, взвешенных невязок, наименьших квадратов, кол-локаций и др.). Эти методы более универсальны и менее сложны, чем точные, в то же время они обладают преимуществом последних в том, что позволяют получать достаточно простого вида решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме.

Среди приближенных аналитических методов в последнее время все большее распространение получают ортогональные методы JI.B. Канторовича и БубноваГалеркина. Важнейшей особенностью этих методов является их универсальность, заключающаяся в возможности их применения практически к любым дифференциальным операторам, так как при их использовании составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям. Несмотря на достигнутые успехи в практическом использовании этих методов, они пока еще недостаточно разработаны применительно к решению задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи, задач теплопроводности для многослойных конструкций, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах.

Особое место среди приближенных аналитических методов занимают методы, в которых используется идея конечной скорости распространения теплового возмущения, согласно которой весь процесс нагрева или охлаждения формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая изменением температуры по всему объему тела. С помощью этих методов уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде. К их недостаткам следует отнести априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и приводит к низкой его точности. Очевидный путь повышения точности интегральных методов путем использования в температурных профилях полиномов более высокого порядка не всегда приводит к положительным результатам. Во многих случаях с увеличением степени полинома температурный профиль оказывается все дальше от истинного. Причиной этого является тот факт, что основные граничные условия и условия плавности на фронте теплового возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов полинома. В этой связи возникает проблема поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи.

Цель работы:

1. Разработка аналитических методов решения краевых задач на основе введения фронта температурного возмущения, с учетом конечной скорости распространения теплоты при использовании дополнительных граничных условий.

2. Разработка методов определения дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющих значительно увеличить степень алгебраического полинома, аппроксимирующего температурный профиль, и тем самым существенно улучшить выполнение исходного дифференциального уравнения по координате и во времени.

3. Разработка аналитических и приближенных аналитических методов решения краевых задач, на основе вариационного метода JI.B. Канторовича применительно к решению задач теплопроводности для однослойных и многослойных тел с переменными по координатам физическими свойствами среды, а также переменными во времени граничными условиями теплообмена.

4. Разработка приближенных аналитических методов решения задач теплопроводности на основе совместного использования метода разделения переменных (Фурье) и ортогонального метода Бубнова — Галеркина применительно к решению задач теплопроводности для многослойных конструкций, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах.

Научная новизна.

1. Разработан аналитический метод решения краевых задач на основе введения фронта температурного возмущения с учетом конечной скорости распространения теплоты, позволяющий получать высокоточные аналитические решения практически во всем диапазоне изменения временной координаты путем разделения процесса теплопроводности на две стадии по времени.

2. Разработан метод получения дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющий существенно увеличить степень полинома, аппроксимирующего температурный профиль и максимально учесть физические свойства дифференциального оператора краевой задачи.

3. На основе ортогонального метода JI.B. Канторовича при использовании предложенных в диссертации систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, получены новые аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями.

4. Путем совместного использования точных (Фурье) и приближенных аналитических методов (ортогональный метод Бубнова — Галеркина) получены новые аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием локальных систем координат, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах.

На защиту выносятся:

1. Результаты математического моделирования аналитического метода решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения с учетом конечной скорости продвижения теплоты путем разделения теплового процесса на две стадии по времени при использовании дополнительных граничных условий.

2. Результаты математического моделирования метода построения дополнительных граничных условий применительно к задачам теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса, позволяющего получать высокоточные решения практически во всем диапазоне времени нестационарного процесса за счет существенного увеличения степени аппроксимирующего температурный профиль полинома.

3. Результаты развития метода JI.B. Канторовича применительно к получению новых аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций на основе предложенных в диссертации систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.

4. Результаты получения новых эффективных аналитических решений задач теплопроводности для многослойных конструкций при использовании локальных систем координат, а также задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах и плоских каналах на основе совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова — Галеркина.

5. Результаты математического моделирования коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях барабанов паровых котлов путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации аналитических решений прямых задач теплопроводности путем совместного использования точных и приближенных аналитических методов.

6. Результаты математического моделирования по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива на стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных в диссертации методов решения задач теплопроводности для многослойных конструкций.

Практическая значимость работы:

1. Практическая значимость разработанных в диссертации аналитических и приближенных аналитических методов математического моделирования краевых задач в том, что полученные решения отличаются заметной простотой конструкции при точности, вполне достаточной для инженерных приложений. Такие решения особенно полезны в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией каких-либо других исследований, например, решение задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления, обратных задач теплопроводности. И, в частности, аналитические решения задач теплопроводности при ламинарном течении жидкостей, полученные в диссертации, были использованы при разработке компьютерных моделей теплосетей Самарской ТЭЦ и привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении приведены в приложениях диссертации).

2. С использованием разработанных в диссертации методов путем решения обратной задачи теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420−140 НГМ Самарской ТЭЦ в процессах планового или аварийного останова, сопровождающихся сбросом давления. Показано, что при сбросе давления происходит частичное вскипание жидкости, находящейся в барабане котла, при котором коэффициенты теплоотдачи возрастают до значений, равных, а = 470 Вт / м2К.

3. Путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности кипения топлива на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей. Показано, что продолжительность кипения холодного (20°С) топлива, поступающего в нагретый топливный коллектор (до 200°С), составляет от 8 до 12 секунд. Величина коэффициентов теплоотдачи при этом составляет около 600Вт/м2К. После прекращения пленочного кипения они возрастают до 2500Вт/м2К. Выданы рекомендации по уменьшению продолжительности кипения, путем применения низкотеплопроводных материалов в качестве покрытий внутренних поверхностей трубок коллекторов, а также путем турбулизации потока в областях трубопроводов, наиболее подверженных пленочному кипению.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность результатов исследований подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в конкретных теплотехнических установках, а так же сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями и с данными натурных экспериментов, а также с результатами расчетов численными методами.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета. Исследования проводились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ № 551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам ниокровских работ ОАО «Самараэнерго» за 2002 — 2004 г.г.

Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, в Самарских тепловых сетях. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 400 ООО рублей.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой Международной Конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». Москва, МАИ. 2003; Пятом Минском Международном форуме по тепло — и массобмену. Минск. АНБ. 2004; Всероссийской научно — технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, СамГТУ. 2004.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 20 научных работ, в том числе 5 статьи в центральных академических изданиях, 8 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета, напечатана одна монография в соавторстве и одно учебное пособие в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 184 страницах основного машинописного текста, содержит 62 рисунка, 8 таблиц. Список использованной литературы включает 91 наименование.

Выводы.

1. В диссертации представлены результаты разработки эффективного аналитического метода решения краевых задач, основанного на разделении процесса теплообмена на две стадии по времени. Используя идею конечной скорости распространения теплового возмущения, в рассмотрение вводятся понятия глубины проникания и фронта температурного возмущения, фиксирующего глубину проникания теплоты.