Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах

На современном этапе развития информационных технологий, включающего значительный прогресс средств переработки, передачи и хранения информации, проникновения их во все сферы жизни, математическое моделирование переживает очередную ступень своего формирования, «встраиваясь «в структуру информационного общества. Наличия информации, как таковой, зачастую недостаточно для анализа ситуации, принятия управленческих решений и контроля их исполнения. Необходимы адекватные и надежные способы обработки информации. История развития методологии математического моделирования показывает — именно она предоставляет такие способы, становясь, тем самым, ядром информационных технологий, процесса информатизации общества.

В общем перечне актуальных задач, решаемых с помощью математического моделирования, экологические проблемы занимают особое место. Увеличение антропогенного воздействия на окружающую среду, вызванное интенсивным использованием природных богатств, развитием материального производства, приводит к нарушению экологического равновесия как локально — в отдельных районах земного шара, так и глобально — в масштабах планеты в целом.

Естественным средством объективного анализа возникающих проблем являются методы, основанные на построении и совместном изучении математических моделей природных систем. Использование математического моделирования и проведение вычислительного эксперимента позволяют оценить все аспекты и последствия реализации любых проектов, связанных с воздействием на природную среду, как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций. Важность и актуальность этого направления исследований усиливается тем обстоятельством, что его результаты имеют непосредственный практический выход в сферу социальных и экономических отношений современного общества.

Сущность методологии математического моделирования, предложенной в работе А. А. Самарского [92], состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью — и в дальнейшем изучении модели с помощью вычислительно-логических алгоритмов, реализуемых на современной компьютерной технике. Процесс математического моделирования можно условно разбить на три этапа «модель — алгоритмпрограмма». При этом следует уделять внимание всем трем составляющим триады. Необходимо отметить, что нынешнее состояние вычислительной техники, современных численных методов позволяют осуществлять моделирование объектов, поведение которых описывается весьма сложными математическими зависимостями, например, нелинейными системами дифференциальных или интегральных уравнений. Но сложные вычислительные алгоритмы обладают своими внутренними свойствами, которые далеко не всегда аналогичны, даже с точностью до ошибок аппроксимации, свойствам исходной математической модели. Это может приводить к появлению эффектов, имеющих чисто вычислительную природу. Поэтому важной задачей теории численных методов является разработка вычислительных алгоритмов, исключающих или сводящих к минимуму появление подобных ситуаций. Но пока такая теория отсутствует, большое значение имеет качественное исследование модели и ее возможного поведения, возможность найти ответы на три вопроса: что в данной модели может быть, что будет обязательно и чего не будет никогда [36]. Таким образом, проблема разработки адекватных моделей, особенно для описания процессов окружающей среды, и методов, их реализующих, остается весьма актуальной.

При решении многих экологических проблем необходимо исследовать процессы в движущихся средах, основными компонентами которых являются диффузионный перенос той или иной субстанции и конвективный перенос, обусловленный движением самой среды. При моделировании процессов полагают рассматриваемую среду сплошной, т. е. представляющую собой непрерывное распределение вещества и физических характеристик его состояния. Во многих случаях можно не оговаривать, о какой именно среде идет речь, поскольку и жидкость, и газ обладают схожими свойствамисплошностью и текучестью. Сплошность — непрерывность распределения массы и физико-механических характеристик среды — является одним из основных свойств принятой модели жидкости или газа. Второе основное свойство — легкая подвижность или текучесть среды.

Обладая общими свойствами непрерывности и легкой подвижности, жидкости и газы отличаются друг от друга по физическим свойствам, связанным с различием их внутренней молекулярной структуры. Жидкости, в отличие от газов, можно считать малосжимаемыми, а иногда, в простейшей, достаточной для описания многих гидродинамических явлений схеме — просто несжимаемыми. В противоположность жидкостям, в газах межмолекулярные расстояния велики, а силы взаимодействия между молекулами сравнительно малы. В связи с этим, газы обладают свойством значительной по сравнению с жидкостями сжимаемостью. Однако, в случае слабых перепадов давлений, малых скоростей движения и отсутствия сколько-нибудь значительных нагревов и газ можно с достаточной степенью приближения рассматривать как несжимаемый.

В качестве базовых моделей многих процессов механики жидкости и газа выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции — диффузии. К ним можно отнести задачи гидрои газодинамики, распространение загрязнения и температурное распределение в водоемах и атмосфере, движение подземных вод, задачи магнитной гидродинамики и др. Среди экологических процессов, основой математических моделей которых является уравнение конвекциидиффузии, следует выделить распространение загрязняющих веществ в водной и воздушной средах, как особенно актуальные и востребованные задачи.

Несмотря на фактическую разницу в явлениях и описывающих их параметрах, коэффициентах уравнений, начальных и граничных условий каждая из указанных моделей имеет одинаковые члены, характеризующие два процесса — конвекцию (т.е. перенос субстанции за счет движения среды) и диффузию (т.е. вязкостные свойства среды). Изучая поведение уравнения конвекции-диффузии как модельной задачи, можно получить достаточно много информации о поведении решения конкретных практических задач.

При решении задач о переносе тепла с большими числами Пекле, о течениях жидкости, описываемых уравнениями Навье-Стокса с большими числами Рейнольдса или задач магнитной гидродинамики с большими числами Хартмана приходится часто сталкиваться с ситуацией, когда в уравнении конвекции — диффузии коэффициент при производной второго порядка мал по сравнению с коэффициентом при первой производной. Эти задачи ставятся на парабологиперболических или параболоэллиптических поверхностях и, таким образом, обнаруживают некоторые черты дифференциальных уравнений различных типов.

Известно [30], что когда параметр при старшей производной стремится к нулю и краевые условия не согласованы с правой частью уравнения, решения таких задач характеризуются появлением пограничных слоев, т. е. резкими изменениями решения в очень малой области расчета. Причем типы этих пограничных слоев могут быть различны (внутренний, приграничный, от начальных данных и т. д.) и зависят они как от граничных условий, так и от поля скоростей (коэффициентов при первых производных).

Трудности численного решения таких задач обусловлены их двойственной природой. Когда коэффициент при старшей производной становится достаточно малым, начальная эллиптическая задача ведет себя по существу как гиперболическая вне приграничных областей, в то время как диффузионный эффект наблюдается только в слоях. Однако, при стандартной численной аппроксимации подход к решению эллиптических и гиперболических задач различается.

Если задачи конвекции-диффузии с пограничными или внутренними слоями аппроксимируются с помощью центрально-разностной схемы, численное решение может быть «зашумлено» осцилляциями, так как соответствующий разностный оператор не является монотонным. Альтернативой является аппроксимация первых производных разностями «против потока» [90]. Тогда разностный оператор получается монотонным, и численное решение свободно от осцилляций, но порядок аппроксимации более низкий 0(h) и происходит «размазывание» пограничных слоев. Схемы с искусственной диффузией (streamline upwind scheme) [199] имеют более высокий порядок аппроксимации и меньше размазывают пограничные слоя, но недостатком их является то, что они не обеспечивают хороших оценок сходимости во всей области, и погрешность решения сильно возрастает в пограничных слоях, если сетка к ним не адаптирована [155]. Для решения проблем такого типа существуют так называемые глобально равномерно сходящиеся численные методы, т. е. методы, которые сходятся равномерно по малому параметру во всей области расчета. К таким методам относятся методы экспоненциальной подгонки [30], локального сгущения сетки [112], [195] и др.

При различных методах разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции — диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений различного типа. В случае преобладающей конвекции использование противопотоковых схем приводит к системе линейных алгебраических уравнений с монотонной М-матрицей и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости.

При использовании центрально-разностной аппроксимации и при желании сохранить монотонность разностного оператора приходиться накладывать ограничение на шаг сетки. Когда коэффициенты при первых производных достаточно велики, это ограничение становится существенным. Если эти ограничения не выполнены, то матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений не будет иметь диагонального преобладания, и использование для решения такой системы базовых итерационных методов [97] приведет к большим трудностям, т.к. условие диагонального преобладания в исходной матрице является для этих методов условием их эффективной сходимости.

Следует также учесть, что для задач конвекции — диффузии кроме метода разностной аппроксимации весьма важной является начальная форма записи уравнения [97]. Существуют три формы записи оператора конвективного переноса, которые эквиваленты для дифференциального уровня в несжимаемых средах, но после аппроксимации приводят к различным формам разностных уравнений, отличающихся по своим свойствам.

Таким образом, использование центрально-разностной аппроксимации при решении задач конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией сохраняет характер поведения решения, но в результате получается система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не имеющей диагонального преобладания. Для этого типа задач большинство классических методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Поэтому так актуальна проблема создания эффективных численных методов для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

В настоящее время для решения задач линейной алгебры существует множество различных численных методов, которые непрерывно усовершенствуются и модифицируются. Активно разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что значительная часть созданных методов имеет право на существование, обладая своей областью применимости. При решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых методов решения данной задачи. Этот метод, очевидно, должен обладать наилучшими характеристиками, такими как минимум времени решения задачи на компьютере (или минимум числа арифметических и логических операций при нахождении решения), вычислительной устойчивостью, т. е. устойчивостью по отношению к ошибкам округления и др. При выборе метода решения задач конвекции-диффузии необходимо учитывать перечисленные выше особенности рассматриваемого класса задач.

Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, необходимый для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, отказаться, выбрав более эффективный.

Примером «затратных» алгоритмов являются обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений, возникающих при численном решении уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений. Так, практически единственным, но наиболее существенным недостатком методов Якоби и Гаусса-Зейделя, используемых для решения эллиптических задач методом сеток, является их низкая скорость сходимости. Другим примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени (выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. То есть, в общем случае, «затратным» можно назвать такой алгоритм, который требует использования очень подробных сеток, там, где на большей части расчетной области величина шага по пространству или по времени много меньше, чем реальный масштаб изменения решения.

В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма, который позволит преодолеть главную трудность, возникающую при решении такого рода задачи — ее «жесткость». Жесткость задачи заключается в существовании нескольких компонент решения, которые имеют разный масштаб и конфликтуют друг с другом. Например, гладкие компоненты, которые можно эффективно аппроксимировать на грубых сетках, но которые плохо сходятся на мелких сетках, конфликтуют с высокочастотными компонентами, которые необходимо аппроксимировать с помощью мелких сеток. Используя несколько уровней дискретизации, многосеточный алгоритм решает конфликты такого рода, позволяя достигать большой эффективности, путем снижения объема вычислений, необходимых для получения численного решения.

Благодаря вышеуказанным свойствам многосеточный метод (Multi-Grid Method — MGM) стал в последние годы одним из эффективных и довольно универсальных итерационных методов решения задач. Он принадлежит к классу быстро сходящихся итерационных методов, является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Скорость сходимости многосеточного метода всегда независима от числа неизвестных в системе, полученной в результате аппроксимации дифференциального уравнения, то есть многосеточный метод обладает неулучшаемой оценкой сходимости. Другая особенность метода — то, что он является своего рода шаблоном. Не существует строго определенного многосеточного алгоритма, применимого ко всем краевым задачам. Многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

Обладая высокой эффективностью, многосеточные методы допускают наиболее естественное распараллеливание и векторизацию приложений, что позволяет отнести их к наиболее перспективному и быстро развивающемуся разделу высокопроизводительных алгоритмов.

Многосеточный метод может применяться к задачам, рассматриваемым в областях произвольной формы и с различными граничными условиями. MGM может быть использован при решении сложных, несимметричных и нелинейных систем уравнений. Он может применяться для решения нестационарных параболических уравнений. В последние несколько лет ведутся активные исследования использования многосеточного метода для гиперболических уравнений.

В настоящее время многосеточные алгоритмы эффективно применяются для решения задач динамики плазмы и гидродинамики, расчета собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, для расчета нейтронных полей в ядерном энергетическом реакторе, для решения задач теории упругости, а так же в задачах обтекания тел достаточно сложной формы.

Обобщая вышеизложенное, сформулируем основную цель и задачи исследования.

Целью работы является создание эффективных алгоритмов реализации математических моделей конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах и их использование в конкретных экологических задачах водной и воздушной среды.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

• разработать математическую модель динамики температурного распределения в Азовском море, определить вычислительные алгоритмы реализации созданной модели на высокопроизводительных вычислительных системах, разработать программный комплекс и провести численные эксперименты.

• разработать математическую модель распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС.

• разработать и исследовать эффективные разностные схемы для решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

• разработать модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных СЛАУ, возникающих после центрально — разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией.

• создать программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы для математической модели распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС и провести численные эксперименты.

Представим краткое описание содержания диссертационного исследования.

Во введении сформулирована цель и задачи работы, обоснованы актуальность исследуемой темы, кратко описано содержание работы. Обсуждаются полученные в диссертационном исследовании результаты.

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех разделов.

Первый раздел посвящен общему описанию математических моделей конвективно-диффузионного переноса в водных и воздушных средах. Особое внимание уделено моделям температурного распределения в водоеме и распространения примесей в атмосфере. Приведены три формы записи операторов диффузионного и конвективного переноса в используемом в данных моделях уравнении конвекции — диффузии. Обсуждаются особенности рассматриваемых процессов, влияние соотношения между процессами конвекции и диффузии на математическую постановку задачи и на дальнейший выбор методов решения.

Во втором разделе рассмотрена разностная аппроксимация задач конвекции — диффузии. Приведены разностные схемы для стационарной и нестационарной задачи. Описано влияние формы записи конвективных членов уравнения конвекции — диффузии на свойства матрицы, получаемой после разностной аппроксимации дифференциальной задачи.

В третьем разделе представлены методы решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекциидиффузии. Представлен обзор итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ. Приведены некоторые сведения из теории матриц и функционального анализа, необходимые в дальнейшем исследовании. Рассмотрены классические итерационные и вариационные методы решения СЛАУ.

Если при конструировании методов для решения задач с сильно несимметричными СЛАУ особое внимание уделять учету структуры оператора решаемой задачи, это позволяет строить и применять специальные итерационные методы, которые обладают более высокой скоростью сходимости, чем методы из общей теории. К таким методам относятся треугольные кососимметричные методы, впервые предложенные в работах JI.A. Крукиера [40]. Эффективность их применения достигается особым выбором операторов и итерационных параметров.

Треугольные кососимметричные методы могут быть использованы для решения несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, получаемых после центрально разностной аппроксимации уравнения конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией, в которых отсутствует диагональное преобладание. Однако при значительном доминировании конвекции в исходном уравнении мы приходим к сильно несимметричным системам, и треугольные кососимметричные методы, хотя и сходятся для этих случаев, но скорость сходимости невысока. Причем отмечено, что эти методы быстро сходятся на первых итерациях, замедляясь в дальнейшем. Это свойство методов называется сглаживающим и объясняется быстрым подавлением высокочастотных гармоник ошибки, но гораздо более медленным воздействием на низкочастотные составляющие. Именно этим свойством должны обладать итерационные методы, используемые в качестве сглаживателей в многосеточном методе. В работе автором диссертации впервые предложено использовать треугольные кососимметричные методы в качестве одной из компонент многосеточного метода.

Вторая глава посвящена описанию и исследованию модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, получаемых после разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией.

Глава состоит из пяти разделов.

В первых двух разделах приведены общее описание и этапы развития многосеточного метода, основная идея которого принадлежит Р. П. Федоренко. Многосеточный метод является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Другая особенность метода — то, что он является своего рода шаблоном. Многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче. Значительный вклад в теорию многосеточного метода внесли Р. П. Федоренко, Н. С. Бахвалов, Г. П. Астраханцев, A. Brandt, W. Hackbusch, P.O. Frederikson, P. Wesseling, P. Sonneveld, U. Trottenberg, B.B. Шайдуров, а также P. Bastian, I. Bey, D. Braess, J.H. Bramble, S.C. Brenner, M. Dryja, H.C. Elman, J.E. Pasciak, R.A. Nicolaides, A. Reusken, R. Sarazin, R. Stevenson, S. P. Vanka, J, Wang, G. Wittum, J. Xu, H. Yserentant, X. Zhang, M.A. Ольшанский и многие другие.

Многосеточный алгоритм позволяет значительно повысить эффективность базового итерационного метода, комбинируя обычный итерационный процесс с приемом, называемым грубосеточной коррекциейпоследовательным использованием в вычислениях более грубых сеток. Одна итерация метода включает в себя 4 наиболее важных этапа: сглаживание (smoothing), ограничение, проекция (restriction), продолжение, интерполяция (prolongation) и грубосеточная коррекция (coarse greed correction).

Сглаживающая процедура является важной компонентой многосеточного алгоритма, наиболее зависимой от решаемой задачи. В диссертационной работе приводится описание существующих сглаживателей многосеточного методаметоды Якоби, Гаусса — Зейделя, метод Якоби с весами. В работе впервые предложена новая модификация многосеточного метода, в которой используются специальные сглаживатели для решения сильно несимметричных СЛАУ, получаемых после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции — диффузии.

Третий раздел главы посвящен Фурье — анализу многосеточного метода, который является важным инструментальным средством для получения количественных оценок сходимости и оптимизации различных компонент многосеточного метода. Основная идея Фурье-анализа, изложенная в этом разделе, состоит в том, чтобы представить ошибку или невязку в виде суммы некоторых периодических функций, называемых компонентами Фурье или гармониками. При этом появляется возможность оценить воздействие составляющих многосеточного метода на каждый компонент Фурьеразложения.

В диссертации проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ предложенной модификации многосеточного метода, в которой в качестве сглаживателей используются методы из класса треугольных кососимметричных методов. При проведении односеточного анализа основное внимание в многосеточном цикле уделяется процедуре сглаживания, а влиянием грубо-сеточной коррекции пренебрегают или используют «идеальный» оператор грубо-сеточной коррекции. При проведении Фурье-анализа сглаживания важным моментом является вычисление коэффициента сглаживания, который показывает, насколько эффективным сглаживателем является рассматриваемый метод.

В работе проведен двухсеточный локальный Фурье-анализ (LFA). При проведении LFA были получены коэффициенты сглаживания для треугольных кососимметричных методов. Для оценки сходимости двухсеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями были вычислены коэффициенты асимптотической сходимости двухсеточного метода. Проведено сравнение результатов Фурье-анализа многосеточного метода, в котором в качестве сглаживателей выбирались треугольные кососимметричные сглаживатели с многосеточным методом со стандартными сглаживателями (методом Гаусса-Зейделя и методом Якоби).

С помощью Фурье-анализа в работе были проведены исследования треугольных кососимметричных методов, показано, что они обладают хорошим сглаживающим свойством. Для эффективной работы метода в качестве сглаживателя коэффициент сглаживания ц, ж должен быть меньше единицы.

Чем меньше коэффициент сглаживания, тем быстрее метод подавляет высокочастотные компоненты ошибки.

Четвертый раздел главы посвящен исследованию предложенных модификаций многосеточного метода для сильно несимметричных СЛАУ и доказательству их сходимости. В качестве исследуемой задачи рассматривается стационарное уравнение конвекции — диффузии.

Проведено исследование трех сглаживателей из рассматриваемого класса треугольных кососимметричных методов — ТКМ, ТКМ1 и ТКМ2. В диссертационной работе эти методы использованы в качестве сглаживателей многосеточного метода, который можно рассматривать как своего рода ускоряющую процедуру треугольных кососимметричных методов. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода.

В пятом разделе главы приведены результаты численных экспериментов использования многосеточного метода для задач конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией. Приведены результаты исследования зависимости эффективности многосеточного метода от числа сглаживающих итераций и количества уровней. Численные исследования подтвердили полученные ранее с помощью Фурье — анализа результаты об оптимальном количестве сглаживающих итераций в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем.

Были проведены вычислительные эксперименты для четырех модельных задач с различными векторами скорости движения среды на сетках разной размерности — от 32×32 до 512×512. Исследовалось поведение метода в зависимости от числа Пекле.

Проведенные численные исследования модификаций многосеточного метода подтвердили полученные ранее теоретические результаты и показали, что предложенная модификация многосеточного метода со сглаживателями.

ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 эффективна для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Третья глава содержит результаты моделирования динамики температурного распределения в Азовском море.

Первый раздел главы посвящен описанию программного комплекса для реализации гидрофизических моделей процессов переноса в водной и воздушной среде. В рамках диссертационной работы был разработан ряд модулей программного комплекса, реализующих предложенные подходы для математического моделирования экологических задач, основой которых являются процессы конвективно-диффузионного переноса в водной и воздушной среде. Разрабатываемый в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского госуниверситета программный продукт предназначен для решения задач экологии водной и воздушной сред и состоит, как и любой стандартный пакет прикладных программ, из функциональной и сервисной частей. Программный комплекс ориентирован на расчет движения среды (гидро-, газодинамика), решение задач конвекции-диффузии, что реализуется с помощью функциональных модулей. Сервисная часть включает модули генератора карт местности, БД с системой управления, модуль визуализации результатов расчета, генератор отчетов. В рамках диссертационного исследования созданы расчетные модули, реализующие многосеточный метод и треугольные кососимметричные схемы для решения задач конвекции — диффузии.

Второй раздел главы посвящен описанию гидрофизических характеристик Азовского моря — природного объекта исследования данной главы. Азовское море имеет важное хозяйственное значение для южных регионов России. Вследствие непродуманных действий по эксплуатации ресурсов Азовского моря за последние десятилетия, в настоящее время экосистема Азовского моря выведена из состояния равновесия. Поэтому особую актуальность приобретает работа по созданию инструмента исследования и прогнозирования состояния акватории моря. Важная гидрофизическая характеристика водоема — температурное распределениеявляется одной из компонент в задачах теории климата, прогноза погоды, расчета энергообмена и др. В работе представлена математическая модель температурного режима Азовского моря, в которой особое внимание уделено определению функции притоков — оттоков тепла. Проведен анализ компонентов теплового баланса, определены его составляющие, оказывающие наиболее существенно влияние на температурный режим водоема в рассматриваемый неледоставный период (апрель — октябрь). При численной реализации предложенной модели использовалась противопотоковая разностная схема, поскольку для данной задачи, в которой процесс конвекции не является преобладающим, это схема наиболее эффективна. Задача решалась на высокопроизводительных вычислительных системах с использованием пакета распараллеленных итерационных методов Aztec.

Проведен ряд вычислительных экспериментов, в которых исследовались зависимости функции F (x, y, z, t) притоков-оттоков тепла от пространственных координат и от времени, влияние поля скоростей течений моря, способа задания начального распределения температуры воды на результаты расчета динамики температурного распределения. Результаты численных экспериментов сравнивались с натурными наблюдениями, погрешность составила 5%-10% для разных вычислительных экспериментов.

На основе анализа результатов проведенных вычислительных экспериментов и сравнения их с натурными данными были сделаны выводы, которые можно использовать в качестве рекомендаций для практического использования созданной модели температурного распределения Азовского моря:

1. Способ задания начального распределения температуры воды не оказывает существенного влияния на расчет динамики температурного распределения в водоеме.

2. Суммарная солнечная радиация оказывает наиболее существенное влияние на процесс распределения температуры в водоеме в рассматриваемый период времени (апрель — октябрь).

3. Характерные ветровые ситуации оказывают определенное влияние на температурное распределение в Азовском море.

Четвертая глава содержит результаты численных экспериментов для математической модели распространения радионуклидных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС, проведенных на основе созданного программного комплекса, реализующего предложенные подходы к решению задач конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией.

Первый раздел главы посвящен анализу актуальности моделирования процессов распространения загрязняющих радиоактивных веществ в воздушной среде. Подчеркивается особая важность такого рода исследований для регионов юга России в связи с принятым в июле 2006 года решением о продолжении строительства второго энергоблока Волгодонской АЭС.

Второй раздел главы посвящен моделированию процесса распространения примесей в воздушной среде. Исследуется модель распространения радионуклидов в районе Волгодонской АЭС. Полученные в результате моделирования и вычислительных экспериментов данные дают возможность с их помощью анализировать экологическую безопасность штатного и нештатного режимов работы Волгодонской АЭС.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в разработке математических моделей температурного распределения в Азовском море и распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС. В работе предложен новый класс треугольных кососимметричных разностных схем для решения динамических задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, модификация многосеточного метода решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), где в качестве сглаживателя используется итерационный метод из класса треугольных кососимметричных методов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предложенных методов и алгоритмов, качественным совпадением результатов вычислительных экспериментов с натурными наблюдениями.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Разработана математическая модель динамики температурного распределения в Азовском море. Определены вычислительные алгоритмы реализации модели на высокопроизводительных вычислительных системах. Создан программный комплекс, проведены численные эксперименты динамики температурного распределения в Азовском море.

2. Предложен и исследован новый класс условно устойчивых и абсолютно устойчивых треугольных разностных схем решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

3. Предложена, теоретически и численно исследована модификация многосеточного метода решения сильно несимметричных СЛАУ, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода. На основе Фурье-анализа рассмотренных модификаций многосеточного метода исследованы способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных кососимметричных итерационных методов. Показана зависимость скорости сходимости многосеточного метода от количества сглаживающих итераций.

4. Разработана математическая модель переноса радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС. Создан программный комплекс, реализующий предложенные алгоритмы. Проведены вычислительные эксперименты на основе реализованных математических моделей переноса радионуклидов в районе Волгодонской АЭС.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Математическое моделирование процессов в окружающей среде в первую очередь решает экологические проблемы. Среди них способы защиты и сохранения водной и воздушной среды являются одними из наиболее актуальных, как задачи исследования основных сред обитания человека. Поэтому так важно создание моделей, описывающих основные процессы, происходящие в водной и воздушной среде. Как уже отмечалось выше, большое количество природных процессов и явлений описывается уравнением конвекции — диффузии.

Проведенные в диссертационной работе исследования математических моделей физических процессов, в основе которых лежит конвективно-диффузионный перенос, позволяют давать рекомендации при выборе той или иной модели, того или иного алгоритма для решения конкретной экологической задачи. Рассмотренные в работе модели температурного распределения в Азовском море и распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС позволяют получать оперативную оценку текущего состояния природных объектов и делать прогноз в случае возникновения нештатных ситуаций.

При решении уравнения конвекции — диффузии особую проблему составляют те задачи, в которых процесс конвекции преобладает. В этом случае необходимо правильно выбирать способ аппроксимации дифференциальной задачи. Предложенный и теоретически и численно обоснованный в диссертационной работе новый класс треугольных разностных схем решения задач конвекциидиффузии с преобладающей конвекцией дает экономичный инструмент решения данного класса задач.

При рассмотрении установившихся процессов в несжимаемых средах использована аппроксимация стационарного уравнения конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией центральными разностями, поскольку такой способ аппроксимации сохраняет характер поведения решения. В этом случае приходим к необходимости решения СЛАУ с сильно несимметричной матрицей. В работе предложена модификация многосеточного метода для решения сильно несимметричных СЛАУ, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии. Исследованы способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных кососимметричных итерационных методов. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода. Проведены теоретические и численные исследования поведения предложенных модификаций многосеточного метода.

В качестве способа исследования поведения многосеточного метода в диссертационной работе использован Фурье-анализ рассмотренных модификаций метода. В диссертации проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ предложенной модификации многосеточного метода. При проведении односеточного анализа основное внимание в многосеточном цикле было уделено процедуре сглаживания, влиянием грубо-сеточной коррекции мы пренебрегли. При проведении Фурье-анализа сглаживания важным моментом является вычисление коэффициента сглаживания, который показывает, насколько метод является хорошим сглаживателем.

Для лучшего понимания замысла и структуры многосеточного метода был проведен двухсеточный LFA, определен коэффициента асимптотической сходимости, по которому можно судить о сходимости двухсеточного метода.

В результате проведенных исследований многосеточного метода были сделаны следующие выводы:

• Предложенные модификации многосеточного метода со сглаживателями ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 эффективны для решения задач конвекции — диффузии с преобладающей конвекцией;

• При исследовании многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями лучшие результаты для исследуемой задачи показал многосеточный метод со сглаживателем ТКМ2;

• С помощью Фурьеанализа показано и численно проиллюстрировано существование некоторого оптимального количества сглаживающих итераций базового итерационного метода, превышение которого снижает эффективность многосеточного метода, так как ведет к увеличению времени счета.

• В случае усиления преобладания процесса конвекции (тем самым увеличения числа Пекле) требуется большее количество сглаживающих итераций в многосеточном методе.

• Наибольшее влияние на скорость сходимости многосеточного метода оказывает коэффициент кососимметрии К=Ре* h!2.

Следует отметить, что предложенные модификации многосеточного метода могут быть использованы для разных классов задач, в результате аппроксимации которых получаются сильно несимметричные системы линейных алгебраических уравнений, обладающих свойством диссипативности.

Для решения нестационарной задачи конвекции — диффузии в диссертационной работе предложен новый класс треугольных кососимметричных разностных схем (ТКС). Представленные треугольные кососимметричные разностные схемы относятся к классу экономичных (в смысле вычислительных затрат) схем решения задачи конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, т.к. треугольный оператор верхнего слоя легко обратим и не требует для обращения большого числа арифметических действий, а сами схемы, в зависимости от некоторых соотношений, условно, либо безусловно устойчивы.

В рамках диссертационной работы был разработан ряд модулей программного комплекса, реализующих предложенные подходы для математического моделирования экологических задач, основой которых являются процессы конвективно-диффузионного переноса в водной и воздушной среде. Разрабатываемый в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского государственного университета программный продукт предназначен для решения задач экологии водной и воздушной сред. В содержательном плане программный комплекс ориентирован на расчет движения среды (гидро-, газодинамика) и решение задач конвекции-диффузии, что реализуется с помощью функциональных модулей. Сервисная часть включает модули генератора карт местности, БД с системой управления, модуль визуализации результатов расчета, генератор отчетов. В рамках диссертационного исследования созданы расчетные модули, реализующие многосеточный метод и треугольные кососимметричные схемы для решения стационарной и нестационарной задач конвекции — диффузии.

В работе представлена математическая модель динамики температурного распределения Азовского моря. В качестве природного объекта исследования Азовское море рассмотрено не случайно. Оно имеет важное хозяйственное значение для южных регионов России. Вследствие непродуманных действий по эксплуатации ресурсов Азовского моря за последние десятилетия, в настоящее время экосистема Азовского моря выведена из состояния равновесия. Поэтому особую актуальность приобретает работа по созданию инструмента исследования и прогнозирования состояния акватории моря. Важная гидрофизическая характеристика водоема — температурное распределение, которое является одной из компонент в задачах теории климата, прогноза погоды и расчета энергообмена. При построении математической модели динамики температурного распределения Азовского моря особое внимание уделено определению функции притоков — оттоков тепла. Проведен анализ компонентов теплового баланса, определены его составляющие, оказывающие наиболее существенно влияние на температурный режим водоема в рассматриваемый неледоставный период (апрель — октябрь).

При численной реализации предложенной модели использовалась противопотоковая разностная схема, поскольку для данной задачи, в которой процесс конвекции не является преобладающим, это схема более эффективна.

Задача решалась на высокопроизводительных вычислительных системах с использованием пакета распараллеленных итерационных методов Aztec.

Проведен ряд вычислительных экспериментов, в которых исследовались зависимости функции притоков-оттоков тепла от пространственных координат и от времени, влияние способа задания начального распределения температуры воды, поля скоростей течений моря на характер температурного распределения. Результаты численных экспериментов сравнивались с натурными наблюдениями, погрешность составила 5%-15% для разных вычислительных экспериментов.

На основе анализа результатов проведенных вычислительных экспериментов и сравнения их с натурными данными были сделаны выводы, которые можно использовать в качестве рекомендаций для практического использования созданной модели температурного распределения Азовского моря:

1. Способ задания начального распределения температуры воды не оказывает существенного влияния на расчет динамики температурного распределения в водоеме.

2. Суммарная солнечная радиация оказывает наиболее существенное влияние на процесс распределения температуры в водоеме в рассматриваемый неледоставный период времени (апрель — октябрь) по сравнению с другими компонентами теплового баланса.

3. Характерные ветровые ситуации оказывают определенное, но не столь значительное как суммарная солнечная радиация, влияние на температурное распределение в Азовском море.

В диссертационной работе разработана модель распространения радионуклидов в районе Волгодонской АЭС.

Модель радионуклидного переноса в атмосфере основывается на трехмерном уравнении турбулентной диффузии в декартовых координатах.

В ходе проведения численных экспериментов изучена временная динамика аварийного выброса при запроектных авариях четырех типов. Для построенной модели компоненты вектора скорости среды вычисляются в отдельном блоке общего программного комплекса и являются входными данными.

Полученные в результате моделирования и вычислительных экспериментов данные позволяют с их помощью анализировать экологическую безопасности штатного и нештатного режимов работы Волгодонской АЭС. Результаты численных экспериментов для математической модели движения и химического взаимодействия радионуклидов в атмосфере могут быть применены при разработке мер по предохранению окружающей среды от воздействия радиоактивных веществ и при создании плана действий в случае возникновения аварийной ситуации на Волгодонской АЭС.