Стабилизация турбулентной спирально-волновой динамики возбудимых сред

Распределенные системы представляют собой достаточно широкий класс, включающий самые разные математические, физические, химические и биологические системы. Любой объект, если его компонента распределена в пространстве или времени по некоторому закону, является распределенным. К таким объектам относятся, например, жидкость или газ, популяция какого-либо вида, человеческий мозг или проводящая ткань сердца. Не удивительно, что уже очень давно данный класс систем привлекает исследователей из самых разных областей.

Однако настоящий прорыв в этой области произошел в конце 80-х — начале 90-х годов двадцатого столетия, когда стала бурно развиваться компьютерная техника. Это связано в первую очередь с тем, что из-за чрезвычайной сложности реалистичные модели распределенных систем почти не поддаются теоретическому исследованию. Ситуацию усложняет еще и тот факт, что подавляющее большинство таких моделей существенно нелинейны и при определенных условиях могут демонстрировать весьма сложное (хаотическое и квазипериодическое) поведение. Развитый математический аппарат нелинейной динамики оказывается зачастую неприменимым к распределенным системам по ряду причин, и поэтому необходимо разрабатывать новые методы исследования.

В последние годы развитие теории динамических систем и компьютерных методов моделирования позволило сформировать комплексный подход к исследованиям сложных распределенных систем разнообразной природы. Один из таких методов — представить исследуемую среду как совокупность автоколебательных или возбудимых элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Тогда использование комплексного подхода предоставит новые возможности для более глубокого понимания процессов и явлений, наблюдаемых в активных средах. Явления, к которым ранее был возможен только эмпирический подход, можно таким образом достаточно подробно исследовать теоретически.

Наиболее сложная проблема теории распределенных системуправление их динамикой и, в частности, стабилизация (подавление) сложных режимов поведения (квазипериодических или хаоса). Эта проблема возникла достаточно давно, и связана она с тем, что такие сложные режимы, как правило, являются крайне нежелательными. В особенности это касается реальных физических, экологических, химических или биологических систем.

Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических систем обычно понимается искусственное создание и поддержание в этих системах устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешнего воздействия. Эта задача, не смотря на простоту формулировки, оказывается весьма сложной научной проблемой, особенно в приложении к распределенным средам.

Актуальность такой задачи вполне очевидна. Рассмотрим несколько реальных примеров. В применении к сердечной ткани выведение системы на требуемый режим дает возможность влиять на сердечный ритм. Дело в том, что в настоящее время в теории возбудимых систем доминирует гипотеза, согласно которой возникновение фатальных сердечных аритмий — фибрилляций — есть следствие рождения в сердечной ткани большого количества автоволновых источников: спиральных волн или вихревых структур (т.е. пространственно-временного хаоса). Современные методы стабилизации таких режимов с помощью одиночных электрических импульсов (в том числе от имплантируемых дефибрилляторов) являются весьма жесткими и далеко не всегда приводят к успеху. Однако исследования самого последнего времени открывают новые возможности. Оказывается, что турбулентный режим во многих возбудимых средах может быть стабилизирован достаточно слабым периодическим параметрическим, или силовым воздействием, приложенным к некоторой области среды.

Для реакции Белоусова-Жаботинского такое воздействие позволяет создавать структуры нужного вида, получив таким образом систему, способную распознавать образы.

Помимо перечисленных здесь идей, результаты данной работы можно применить для исследования самых разнообразных реальных систем, описывающих полимеризацию, структурообразование, гранулярные среды, фракталы и т.н.

Цели работы:

Построение математической модели распределенной среды с различными граничными условиями, состоящей из автоколебательных элементов.

Исследование динамики системы в том числе со слабым почти точечным внешним воздействием.

Анализ поведения системы в зависимости от параметров возбудимости среды, а так же характеристик внешнего возбуждения.

Стабилизация сложных режимов поведения, связанных со спирально-волновой турбулентностью.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем.

1. Изучена динамика математической модели распределенной среды с внешним воздействием при различных граничных и начальных условиях и в широком диапазоне параметров как среды так и внешнего воздействия.

2. На основе теории динамических систем и новых результатов в области теории распределенных сред показана возможность управления динамикой представленной модели.

3. Показана принципиальная возможность выведения системы из состояния сложной (в том числе хаотической) динамики слабым почти точечным воздействием.

4. Исследована возможность одновременного воздействия иа все элементы среды, указаны преимущества и недостатки такого подхода.

5. Предложен новый метод подавления спирально-волновой турбулентности с помощью движущихся ведущих центров, позволивший заметно повысить эффективность стабилизации. Получена зависимость эффективности подавления от количества ведущих центров и их характеристик.

Практическая ценность работы вполне понятна и заключается в следующем:

1. Показана принципиально новая возможность подавления спирально-волновой турбулентности возбудимой среды внешним точечным воздействием малой амплитуды и выведения ее на периодический режим движения.

2. Разработаны практические методы, позволяющие вычислять наиболее предпочтительные для такой стабилизации частоты.

3. Найдено, что нестационарный пейсмекер, расположенный в среде, значительно повышает эффективность предложенного метода.

Работа состоит из введения, общих сведений (обзора литературы), четырех глав, посвященных результатам, заключения и списка литературы.

В первой главе, посвященной общим вопросам, содержится обзор литературы, вводятся необходимые математические понятия, и рассматриваются различные модели распределенных сред, как дискретные, так и континуальные, обсуждаются аспекты, касающиеся численного моделирования.

В следующей главе проводится предварительное теоретическое исследование моделируемой системы уравнений, приводятся результаты численного анализа системы с одним неподвижным внешним источником возбуждения и изучаются возможные режимы движения среды в зависимости от управляющих параметров. Подробно описан переход системы к режиму спирально-волновой турбулентности. Здесь же показана принципиальная возможность подавления сложной динамики слабым почти точечным воздействием, а также ставятся новые вопросы.

В третьей главе изучается силовое воздействие на все точки среды одновременно, обсуждаются преимущества и недостатки такого выведения среды из хаотического состояния, рассматриваются дополнительно некоторые любопытные аспекты поведения системы, которые были обнаружены в процессе исследования.

В четвертой главе рассматривается среда с несколькими неподвижными и движущимися ведущими центрами, обсуждаются преимущества и недостатки этого подхода, проводятся аналогии с результатами, полученными в предыдущих главах, производится оптимизация параметров внешнего воздействия, что позволяет обеспечить выведение из хаоса при любых начальных условиях.

В пятой главе рассматриваются и обсуждаются возможные механизмы подавления спиральных волн в исследуемой среде. Всего таких механизмов существует два: уничтожение спиральной волны при столкновении с границей области и взаимное уничтожение двух спиральных волн, обладающих противоположными хиральностями.

В заключении обсуждаются возможные приложения полученных в работе результатов, а также выносимые на защиту положения.

1. А. Ю. Лоскутов. Динамический хаос. Системы классической механики.— Успехи физ. наук, т. 177, N0 9, с. 989−1015, (2007).

2. Л.Больцман. Статьи и речи.— М., Наука, (1970).

3. Н. С. Крылов. Работы по обоснованию статистической физики.— М.-Л., Изд-во АН СССР, (1950).

4. Я. Г. Синай. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики.— Докл. АН СССР, т. 153, N0 6, с. 1261−1264, (1963).

5. В. И. Арнольд, А.Авец. Эргодические проблемы классической механики.— Редакция журн. «Регулярная и хаот. динамика», Ижевск, (1999).

6. Ю.Мозер. Лекции о гамилыпоновых системах — М., Мир, (1973).

7. А. Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика— М., Мир, (1984).

8. А. Н. Колмогоров. Об" энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов.— ДАН СССР, т. 124, N0 4, с. 754−755, (1959).

9. Я. Г. Синай. О понятии энтропии динамической системы — ДАН СССР, т. 124, N0 4, с. 768−771, (1959).

10. Н. Мартин, Дж.Ингленд. Математическая теория энтропии.— М., Мир, (1988).

11. С.Смейл. Дифференцируемые динамические системы.— Успехи матем. наук, т. 25, вып.1, с. 113−185, (1970).

12. З.Нитецки.

Введение

в дифференциальную динамику — М., Мир, (1975).

13. Д. В. Аносов. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.— М., Наука, (1967).

14. A. Lasota, M.C.Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics.— Springer, Berlin, (1994).

15. А. Б. Каток, Б.Хассельблат.

Введение

в современную теорию динамических систем — М., Факториал, (1999).

16. Динамические системы. Тома 1−9. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.— ВИНИТИ, (19 851 991).

17. Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории.— М., Наука, (1995).

18. Ргос. of the SPIE 1993 Annual Meeting «Chaos in Communications». — San Diego, California, 11−16 July, v. 2038, (1993).

19. A. Loskutov, V.M.Tereshko. Extraction of the prototypes encoded in a chaotic attractor. In: Artificial Neural Networks, eds. I. Alexander and J. Taylor.- Elsevier, North-Holland, pp. 449−452, (1992).

20. A. Loskutov, V.M.Tereshko. Processing information encoded in chaotic sets of dynamical systems.— SPIE, v. 2038, pp. 263−272, (1993).

21. S. Hayes, C. Grebogi, E.Ott. Communicating with chaos.— Phys. Rev. Lett., v. 70, No 20, pp. 3031−3034, (1993).

22. S. Hayes, C. Grebogi, E. Ott, A.Mark. Experimental control of chaos for communication.— Phys. Rev. Lett., v. 73, No 13, pp. 1781−1784, (1994).

23. H.D.I.Abarbanel, P. S.Linsay. Secure communications and unstable periodic orbits of strange attractors.— IEEE Trans. Circuits Systs., v. 40, No 10, pp. 643−645, (1993).

24. А. Ю. Лоскутов, С. Д. Рыбалко, А. А. Чураев. Система кодирования информации посредством, стабилизации циклов динамических систем,.— Письма в ЖТФ, т. ЗО, вып. 20, с. 1−7, (2004).

25. A. Loskutov, G.E.Thomas. On a possible mechanism of self-organization in a two-dimensional network of coupled quadratic maps — SPIE, v. 2037, pp. 238−249, (1993).

26. L. Bresler, G. Metcalfe, J.M.Ottino, T.Shinbrot. Isolated mixing regions: origin, robustness and control— Chem. Eng. Sci., v. 58, pp. 1671−1679, (1996).

27. T. Shinbrot, J.M.Ottino. A geometric method to create coherent structures in chaotic flows — Phys. Rev. Lett., v. 71, pp. 843−847, (1993).

28. А. Ю. Лоскутов, Г. Э. Томас. Хаос и дестохастизация в двумерной решетке сцепленных отображений— Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., т. 34, No 5, с. 3−11, (1993).

29. L.Glass. Cardiac arrhythmias and circle maps — A classical problem.— Chaos, v. 1, No 1, pp. 13−19, (1991).

30. A. Garfinkel, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling cardiac chaos— Science, v. 257, pp. 1230−1235, (1992).

31. А. Ю. Лоскутов, С. Д. Рыбалко. О динамике отображения окружности при параметрическом воздействии.— Вестн. Моск. ун-та, сср. Физ.-астр., т. 34, No 4, с. 19−27, (1993).

32. А. Ю. Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия.— Прикладная нелинейная динамика, т. 2, No 3−4, с. 14−25, (1994).

33. A. Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic cascades of chaotic deterministic automata.— Int. J. Neural Systems, v. 6, pp. 175−182, (1995).

34. R.V.Sole, L. Menendez de 1a. Prida. Controlling chaos in discrete neural networks.- Phys. Lett. A, v. 199, No 1−2, pp. 65−69, (1995).

35. S.J.Schiff, K. Jerger, D.H.Duong, T. Chang, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling chaos in the brain.— Nature, v. 370, pp. 615−620, (1994).

36. G. Chen, X.Dong. From chaos to order — Perspectives and methodologies in controlling chaotic nonlinear dynamical systems— Int. J. Bifurcation and Chaos, v. 3, No 6, pp. 1363−1409, (1993).

37. T.Shinbrot. Progress in the control of chaos — Adv. Phys., v. 44, No 2, pp. 73−111, (1995).

38. R. Lima, M.Pettini. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations.- Phys. Rev. A, v. 41, No 2, pp. 726−733, (1990).

39. J. Singer, Y-Z.Wang, H.H.Bau. Controlling a chaotic system— Phys. Rev. Lett,., v. 66, pp. 1123−1125, (1991).

40. L. Fronzoni, M. Geocondo, M.Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations — Phys. Rev. A, v. 43, pp. 6483−6487, (1991).

41. Y. Braiman, I.Goldhirsh. Taming chaotic dynamics with weak periodic perturbationsPhys. Rev. Lett., v. 66, pp. 2545−2548, (1991).

42. S. Rajasekar, M.Lakshmanan. Algorithms for controlling chaotic motion: application for the BVP oscillator.— Physica D, v. 67, No 1−3, pp. 282−300, (1993).

43. S. Bielawski, D. Derozier, P.Glorieux. Controlling unstable periodic orbits by a delayed continuous feedback.— Phys. Rev. E, v. 49, No 2, pp. 971−974, (1994).

44. Ph.V.Bayly, L.N.Virgin. Practical considerations in the control of chaos.— Phys. Rev. E, v. 50, Nol, pp. 604−607, (1994).

45. D.Vassiliadis. Parametric adaptive control and parameter identification of low-dimensional chaotic systems.— Physica D, v. 71, No 1−2, pp. 319−341, (1994).

46. B. Hiibinger, R. Doerner, W.Martienssen. Controlling chaos experimentally in systems exhibiting large effective Lyapunov exponents.— Phys.-Rev. E, v. 50, No 2, pp. 932−948, (1994).

47. R. Mettini, T.Kurz. Optimized periodic control of chaotic systems.— Phys. Lett. A, v. 206, No 5−6, pp. 331−339, (1995).

48. R.Chacon. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations— Phys. Rev. E, v. 51, No 1, pp. 761−764, (1995).

49. T.Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable?— Nonlinear Sci. Today, v. 3, No 2, pp. 1−8, (1993).

50. T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A.Yorke. Using small perturbations to control chaos — Nature, v. 363, pp. 411−417, (1993).

51. M.Pettini. Controlling chaos through parametric excitations. In: Dynamics and Stochastic Processes. Ed. R. Lima, L. Streit, R. Vilela Mendes — Springer, Berlin, pp. 242−250, (1990).

52. Yu.S.Kivshar, B. Rodelsperger, H.Benner. Suppression of chaos by non-resonant parametric perturbations— Phys. Rev. E, v. 49, pp. 319−324, (1994).

53. A.B.Corbet. Suppression of chaos in ID maps — Phys. Lett. A, v. 130, No 4−5, pp. 267−270, (1988).

54. E. A. Jackson, A. Hubler. Periodic entrainment of chaotic logistic map dynamics.— Physica D, v. 44, pp. 407−420, (1990).

55. E.A.Jackson. Control of dynamics flows with attractors — Phys. Rev. A, v. 44, pp. 4839−4853, (1991).

56. B.A.Huberman, E.Lumer. Dynamics of adaptive systems— IEEE Trans. Circ. Syst., v. 37, pp. 547−550, (1990).

57. K.Pyragas. Stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits of chaotic systems by s elf-controlling feedback.-— Z. Naturforsch A, v. 48, pp. 629−632- (1993).

58. R.Chacon. Geometrical resonance as a chaos eliminating mechanism.— Phys. Rev. Lett., v. 77, pp. 482−485, (1995).

59. R.Mettin. Control of chaotic maps by optimized periodic inputs.— Int. J. Bifurcation and Chaos, v. 8, No 8, pp. 1707−1711, (1998).

60. A. Hubler, R. Georgii, M. Kuckler, W. Stelzl, E. Lusher. Resonant stimulation of nonlinear damped oscillators by Poincare maps.— Helv. Phys. Acta, v. 61, pp. 897−900, (1988).

61. J.F.Linder, W.L.Ditto. Removal, suppression, and control of chaos by nonlinear design — Appl. Mech. Rev., v. 48, No 12, pp. 795−807, (1995).

62. E. Ott, M.L.Spano. Controlling chaos — Physics Today, v. 48, No 5, pp. 34−40, (1995).

63. E. Ott, C. Grebogi, J.A.Yorke. Controlling chaos — Phys. Rev. Lett., v. 64, pp. 1196−1199, (1990).

64. F.J.Romeiras, E. Ott, C. Grebogi, W.P.Dayawansa. Controlling chaotic dynamical systems — Physica D, v. 58, pp. 165−192, (1992).

65. А. Ю. Лоскутов, А. И. Шишмарев. Об одном свойстве семейства квадратичных отображений при параметрическом воздействии — Успехи матем. наук, т. 48, вып. 1, с. 169−170, (1993).

66. A. Loskutov, A.I.Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach.— Chaos, v. 4, No 2, pp. 351−355, (1994).

67. A.Loskutov. Non-feedback controlling complex behaviour: an analytic approach — In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed. J.Awreicewicz.— Springer, Berlin, pp. 125−150, (1995).

68. A.N.Deryugin, A. Loskutov, V.M.Tereshko. Inducing stable periodic behaviour in a class of dynamical systems by parametric perturbations.— Chaos, Solitons & Fractals, v.7, NolO, pp. 1555−1567, (1996).

69. A. Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-dimensional maps by a cyclic parametric transformation.— Int. J. Bif. and Chaos, v. 6, No 4, pp. 725−735, (1996).

70. А. Ю. Лоскутов. Хаос и управление динамическими системами.— В сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1. Ред. С. В. Емельянов, С. К. Коровин. Москва, Физматлит, с. 163−216, (2001).

71. А. Н. Дерюгин, А. Ю. Лоскутов, В. М. Терешко. К вопросу о рождении устойчивого периодического поведения параметрически возбуждаемых динамических систем, — ТМФ, т. 104, No 3, с. 507 512, (1995).

72. Z.Galias. New method for stabilization of unstable periodic orbits in chaotic systems.— Int. J. Bif. and Chaos, v. 5, No 1, pp. 281−295, (1995).

73. T. Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A.Yorke. Using chaos to direct trajectories to targetsPhys. Rev. Lett., v. 65, pp. 3215−3218, (1990).

74. T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A.Yorke. Using chaos to target stationary states of flows.— Phys. Lett. A, v. 169, pp. 349−354, (1992).

75. T. Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A.Yorke. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map.— Phys. Rev. A, 1992, v. 45, No 6, pp. 4165−4168.

76. E. Kostelich, C. Grebogi, E. Ott, J.A.Yorke. Higher dimensional targettingPhys. Rev. E, v. 47, pp. 305−310, (1993).

77. R. Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F.T.Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations.— Phys. Rev. E, v. 49, No 4, pp. 2528−2531, (1994).

78. Ю. И. Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы — М., Наука, (1978).

79. М.Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости.— М., Наука, (1971).

80. Е. Н. Дудник, Ю. И. Кузнецов, И. И. Минакова., Ю. М. Романовский. Синхронизация в системах со странным аттрактором.— Вестн. МГУ, сер. Физ.-астр., т. 38, No 4, с. 84−87, (1983).

81. Ю. И. Кузнецов, В. В. Милюлин, И. И. Минакова, Б. А. Сильнов. Синхронизация хаотических автоколебаний.— Докл. АН СССР, т.275, No 4−6, с. 1388−1391, (1984).

82. Ю. И. Кузнецов, П. С. Ланда, А. Ф. Ольховой, С. М. Перминов. Связь между амплитудным порогом синхронизации и энтропией в стохастических автоколебательных системах.— Докл. АН СССР, т. 281, No 2, с. 291−294, (1985).

83. Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда. Стохастические и хаотические колебания.— М., Наука, (1987).

84. В. В. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством, параметрического воздействия.— Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., т. 26, No 3, с. 40−44, (1985).

85. В. В. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. О возможности управления системой со странным аттрактором, — В сб. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Том VIII.— Ленинград, Гидрометеоизда. т, с. 175−189, (1985).

86. В. В. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. Управление системой со странным аттрактором¦ посредством периодического параметрического воздействия.—Л АН СССР, т. 293, вып. 6, с. 1346−1348, (1987).

87. P. So, E.Ott. Controlling chaos using time delay coordinates via stabilization of periodic orbits — Phys. Rev. E, 1995, v. 51, No -4, pp. 2955−2962.

88. G.A.Johnson, M. Locher, E.R.Hunt. Stabilized spatiotemporal waves in a convectively unstable open flow system: coupled diode resonators — Phys. Rev. E, v. 51, pp. 1625−1628, (1995).

89. D.Auerbach. Controlling extended systems of chaotic elements — Phys. Rev. Lett., v. 72, No 8, pp. 1184−1187, (1994).

90. M. Ding, E. Ott, C.Grebogi. Controlling chaos in a temporally irregular environment— Physica D, v.74, No 1−2, pp. 386−394, (1994).

91. J.E.S.Socolar, D.W.Sukow, D.J.Gauthier. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems — Phys. Rev E, v. 50, No 4, pp. 32 453 248, (1994).

92. A. Kittel, K. Pyragas, R.Richter. Prerecorded history of a system as an experimental tool to control chaos.— Phys. Rev. E, v. 50, Nol, pp. 262−268, (1994).

93. M.A.Matias, J.Guemez. Stabilization of chaos by proportional pulses in the system variables.— Phys. Rev. Lett., v. 72, Nol, pp. 1455−1458, (1994).

94. H. Zhang, Zh. Cao, N.-J.Wu, H.-P.Ying, G.Hu. Suppress Winfree Turbulence by Local Forcing Excitable Systems— Phys. Rev. Lett., v. 94, pp. 188 301, (2005).

95. А. Ю. Лоскутов, Р. В. Черемин, С. А. Высоцкий. Стабилизация '. турбулентной динамики возбудимых сред внешним точечнымвоздействием — ДАН, том 404, N 4, с. 1−4, (2005).

96. G. Yuan, G. Wang, S.Chen. Control of spiral waves and spatiotemporal chaos by periodic perturbation near the boundary.— Europhys. Lett., v. 72, pp. 908−914, (2005).

97. G. Tang, M. Deng, B. Hu, G.Hu. Active and passive control of spiral turbulence in excitable media.— Phys. Rev., v. 77, pp. 46 217, (2008).

98. Zh. Cao, P. Li, H. Zhang, F. Xie, G. Hu Turbulence control with local pacing and its implication in cardiac defibrillation.— CHAOS, v. 17, pp. 15 107, (2007).

99. T.K.Shajahan, A.R.Nayak, R. Pandit SpiralWave Turbulence and Its Control in the Presence of Inhomogeneities in Four Mathematical Models of Cardiac Tissue.- PLoS ONE, v. 4, pp. e4738, (2009).

100. A.Loskutov. Dynamics control of chaotic systems by parametric destochastization — J. Phys. A, v. 26, Nol8, pp. 4581−4594, (1993).

101. A. Loskutov, S.D.Rybalko. Parametric perturbations and suppression of chaos in n-dimensional maps — Preprint ICTP IC/94/347, Trieste, Italy, November, (1994).

102. Е. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колееов, Н. Х. Розов. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией — Физматлит, Москва, 2005.

103. Г. Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации.— Мир, Москва, 1979.

104. N. Wiener, A.Rosenblueth. The mathematical formulation of the problem of conduction of impulses in a network of connected excitable elements, specifically in cardiac muscle.— Arch. Inst. Cardiologiade, Mexico, v. 16, pp. 205−265, (1946).

105. Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.— М.: Наука, (1990).

106. Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной динамики.— (2002).

107. K. Nam, E. Ott, M. Gabbay, P.N.Guzdar. Spiral wave dynamics in the complex Ginzburg-Landau equation with broken chiral symmetry.— Physica D, v. 118, pp. 69−83, (1998).

108. R.FitzHugh. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane.— Biophysical Journal, v. 1, (1961).

109. J. Nagumo, S. Arimoto, S.Yoshizawa. An active pulse transmission line simulating nerve axon— Proc IRE. 50: 2061;2070, (1964).

110. F. Fenton, A.Karma. Vortex dynamics in three-dimensional continuous myocardium with fiber rotation: Filament instability and fibrillation.— Chaos, v. 8, No. 1, pp. 20−47, (1997).

111. C.-H.Luo, Y.Rudy. A Dynamic Model of the Cardiac Ventricular Action Potential: I. Simulations of Ionic Currents and Concentration Changes.- Circulation Research 74, 1071−1096, (1994).

112. G.W.Beeler, H.Reuter. Reconstruction of the action potential of ventricular myocardial fibres.— J. Physiol., V.268. pp.177−210, (1977).

113. A. Huxley, A. Hodgkin. Movement of Radioactive Potassium and Membrane Current in a Giant Axon— Journal of Physiology (London), (1953).

114. H. Zhang, B. Hu, G. Hu, Q. Ouyang, J.Kurths. Turbulence control by developing a spiral wave with a periodic signal injection in the complex Ginzburg-Landau equation — Phys. Rev. E, v. 66, pp. 46 303, (2002).

115. A. Panfilov, P.Hogeweg. Spiral breakup in a modified FitzHugh-Nagumo model— Phys. Lett. A, v. 176, pp. 295—299, (1993).

116. Р. В. Черемин. Стабилизация хаотических процессов в возбудимых средах.— Дипломная работа, Физический ф-т МГУ, (2004).

117. D. Allexandre, N.F.Otani, Preventing alternans-induced spiral wave breakup in cardiac tissue: An ion-channel-based approach — Phys. Rev. E, v. 70, pp. 61 903 (2004).

118. N.H.Packard, S.Wolfram. Two-dimensional cellular automata— J. Stat. Phys., v. 38. pp. 901−946, (1985).

119. T. Hogg, B.A.Huberman. Artificial intelligence and large scale computation: a physics perspective — Phys. Rep., v. 156. pp. 227−310, (1987).

120. В. И. Кринский, К. И. Агладзе. Вихри с топологическим¦ зарядом, 2, 3, 4 в активной химической среде.— ДАН СССР., т. 263. с. 335−337, (1982).

121. K. Agladze, Matthew W. Kay, V. Krinsky, N.Sarvazyan. Interaction between spiral and paced waves in cardiac tissue — Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 293: H503-H513, (2007).

122. С. А. Высоцкий. Анализ пространственно-временной динамики распределенных реакционно-диффузионных систем.— Дипломная работа, МГУ, (2005).

123. P. S.Hagan. Spiral waves in reaction-diffusion equations— SIAP v.41, No. 4, pp. 762−786, (1982).

124. S.Koga. Rotating spiral waves in reaction-diffusion systems — Progress of Theoretical Physics, v.67 No. l pp. 164−178, (1981).

125. В. Н. Ардашев, А. В. Ардашев, В. И. Стеклов. Лечение нарушений сердечного ритма — Медпрактика-М, Москва, (2005).

126. A. Pumir, V.I.Krinsky. How does an electric field defibrillate cardiac muscle?.— Physica D, v. 91, pp. 205−219, (1996).

127. J.P.Keener, A.V.Panfilov. A biophysical model for defibrillation of cardiac tissue.— Biophys. J., v. 71, pp. 1335−1345, (1996).

128. J.P.Keener, E.Cytrynbaum. The effect of spatial scale of resistive in-homogeneity on defibrillation of cardiac tissue — J. Theor Biol., v. 223, pp. 233−248, (2003).

129. M.G.Fishier. Syncytial heterogeneity as a mechanism underlying cardiac far-field stimulatioln during defibrillation-level shocks.— J. Cardiovascular Electrophysiology, v. 9, No., 4, pp. 384−394, (1998).

130. N. Trayanova, K. Skouibine, F.Aguel. The role of cardiac tissue structure in defibrillation— Chaos, v. 8, No. l, pp. 221−233, (1998).

131. A. Garfinkel, et. al. Quasiperiodicity and Chaos in Cardiac Fibrillation— Clin. Invest., v. 99, No. 2, pp. 305−314, (1997).

132. S.A.Vysotskiy, R.V.Cheremin, A.Loskutov. Suppression of spatiotemporal chaos in simple models of re-entrant fibrillations.— J. of Physics: Conference Series, v. 23, pp. 202−209, (2005).

133. S.A.Vysotskiy, R.V.Cheremin, A.Loskutov. Suppression of spiral-wave turbulence by point weak excitations.— IEEE XPlore, ISBN: 0−78 039 235−3, pp. 236- 239, (2005).

134. S. Takagi, A. Pumir, D. Pazo, I. Efimov, V. Nikolski, V. Krinsky, Unpinning and Removal of a Rotating Wave in Cardiac Muscle — Phys. Rev. Lett., v. 93, No. 5, pp. 58 101, (2004).

135. M.-A.Bray, et. al. Experimental and Theoretical Analysis of Phase Singularity Dynamics in Cardiac Tissue.— Journal of Cardiovascular Elec-trophysilology, v. 12, No. 6, (2001).

136. M.-A.Bray, J.P.Wikswo. Use of Topological Charge to Determine Filament Location and Dynamics in a Numerical Model of Scroll Wave Activity — IEEE Transactions on Biomediaca.1 Engineering, v. 49, No. 10, (2002).

137. V.I.Krinsky, A.Pumir. Models of defibrillation of cardiac tissue.— Chaos, v. 8, No. 1, pp. 188−203, (1998).

138. R. Zou, J. Kneller, L.J.Leon, S.Nattel. Development of a computer algorithm for the detection of phase singularities and initial application to analyze simulations of atrial fibrillation.— Chaos, v. 12, No. 3, (2002).

139. В. А. Давыдов, В. С. Зыков, А. С. Михайлов, П. К. Бражник. Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах.— Изв. вузов сер. «Радиофизика», т. 31, с. 574−582, (1988).

140. К. И. Агладзе, В. А. Давыдов, А. С. Михайлов. Наблюдение резонанса спиральных волн в возбудимой среде.— Письма ЖЭТФ, т. 45, стр. 601−603, (1987).

141. S. Schmidt, P.J.Ortoleva. A new chemical wave equation for ionic systems— J. Chem. Phys., v 67, pp. 3771−3776, (1977).

142. H. Sevcikova, M.Marek. Chemical waves in electric field.— Physica D, v. 9, pp. 140−156, (1983).

143. Я. Б. Зельдович. Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие — Москва, Наука, 1981.

144. В. С. Зыков, А. А. Петров. О роли неоднородности возбудимой среды в механизмах самоподдерживающейся активности.— Биофизика, т. 22, стр. 300−306, (1977).

145. В. С. Зыков, О. Л. Морозова. Скорость распространения возбуждения в двухмерной возбудимой среде— Биофизика, т. 24, стр. 717−722, (1979).

146. В. С. Зыков. Аналитическая оценка зависимости скорости волны возбуждения в двухм. ерной возбудимой среде от кривизны ее фронта.— Биофизика, т. 25, стр. 888−895, (1980).

147. P. Foerster, S.C. Viiller, В.Hess. Curvature and propagation velocity of chemical waves — Science, v. 241, pp. 685−687, (1988).

148. В. А. Давыдов, В. С. Зыков, А. С. Михайлов. Кинематика автоволновых структур в возбудимых средах— УФН, т. 161, стр. 45−85, (1991).

149. A.S.Mikhailov, V.A.Davydov, V.S.Zykov, Complex dynamics of spiral waves and motion of curves.— Physica D, v. 70, pp. 1−39, (1994).

150. M. Pascual Diffusion induced chaos in a spatial predator-prey system — Proc. R. Soc. Lond. B, 251, 1−7, (1993).

151. V. Rai, G. Jayaraman Is diffusion-induced chaos robust?.— Current Science, v. 84, N. 7, pp. 925−929, (2003).

152. И. М. Гельфанд, И. Л. Цетлин. О континуальных моделях управляющих систем— ДАН СССР, т. 131, стр. 1242−1245, (I960).

153. И. С. Балаховский. Некоторые режимы движения в идеальной возбудимой среде.— Биофизика, т. 10, стр. 1063−1067, (1965).

154. В. И. Кринский. Фибрилляции в возбудимых средах, — в сб. Проблемы кибернетики, N 20, Москва, Наука, стр. 59−80, (1968).

155. P.C.Fife. Propagator-conroller systems and chemical patterns— in Non-equilibrium dynamics in chemical systems, editor C. Vidal, A. Pacault, Springer-Verlag, Berlin, pp. 76−88, (1984).

156. П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии, — Москва, Физматгиз, (1956).

157. В. С. Зыков. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах, — Москва, Наука, (1984).

158. В. С. Зыков. Исследование на ГВС-100 некоторых характеристик самоподдерживающейся активности в возбудимой среде, — В сб. Управление сложными системами, Москва, Наука, стр. 59−62, (1975).

159. В. А. Давыдов, А. С. Михайлов. Спиральные волны в распределенных активных средах.— в сб. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации, Москва, Наука, стр. 261−279, (1987).

160. П. К. Бражник, В. А. Давыдов, В. С. Зыков, А. С. Михайлов. Вихревые кольца в распределенных возбудимых средах.— ЖЭТФ, т. 93, стр. 1725−1736, (1987).

161. D.P.Zipes, J.Jalife. Cardiac Electrophysiology from Cell to BedSide.— 4th ed. Philadelphia: W.B. Saunders, (2004).

162. Е. А. Жучкова. Исследование активных сред методами теории динамических систем, — Канд. дис., МГУ, (2006).

163. F. Fenton, A.Karma. Vortex dynamics in three-dimensional continuous myocardium with fiber rotation: Filament instability and fibrillation.— Chaos, v.8, pp. 20−47, (1997).

164. A.T.Stamp, G.V.Osipov, J. J.Collins. Suppressing arrhythmias in cardiac models using overdrive pacing and calcium channel blockers — Chaos, v. 12, pp. 931−940, (2002).

165. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. Основы теории сложных систем.— М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований,.

166. П. К. Бражник, В. А. Давыдов, В. С. Зыков, А. С. Михайлов. Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах— Изв. вузов. Сер. Радиофизика, т. 31, № 5, с. 574−584, (1988).

167. К. И. Агладзе, В. А. Давыдов, А. С. Михайлов. Наблюдение резол, анса спиральных волн в возбудимой распределенной среде.— Письма ЖЭТФ, т. 45, с. 601−603, (1987).

168. A.S.Mikhailov, A.Loskutov. Foundation of Synergetics. Chaos and Noise.— Springer, Berlin, (1996).

169. F. Fenton, E.M.Cherry, H.M.Hastings, S.J.Evans. Multiple mechanisms of spiral wave breakup in a model of cardiac electrical activity. — Chaos, v. 12, pp. 852−892, (2002).

170. Z. Cao, P. Li, H. Zhang, F. Xie, G.Hu. Turbulence control with local pacing and its implication in cardiac defibrillation.— CHAOS, v. 17, pp. 15 107, (2007).

171. А. Ю. Лоскутов, С. А. Высоцкий. Новый подход к проблеме дефибрилляции: подавление спирально-волновой активности сердечной ткани — Письма в ЖЭТФ, том 84, вып. 9, с. 616−621,.

172. A. Loskutov, S. Vysotskiy, S.Boccaletti. New Methods of Suppression of the Spiral Wave Activity in Cardiac Tissue.— Proceedings of 17th International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, pp. 153−156, (2009).2007).2006).