Применение обобщенных функций и кусочно-главных координат в задачах о колебаниях нелинейных дискретных систем

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Дальнейшее развитие научно-технической революции требует постоянного совершенствования математических моделей процессов, происходящих в различных механических системах. В утвержденных ХХУТ съездом КПСС «Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 19 811 985 годы и на период до 1990 года» предусмотрено, наряду с другими важными задачами науки, «. развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях» [I].

Известно, что в последнее время особое значение для инженерного дела приобрели проблемы нелинейных колебаний, решение которых представляет не только значительный теоретический интерес, но и бесспорную практическую ценность [74],.

3 настоящее время возрастает потребление железобетона на возведение фундаментов под машины с динамическими нагрузками. Так, по данным работы 89 отношение объема железобетона, расходуемого на строительство фундаментов под различные машины, к общему объему железобетона колеблется от 25 до 80 $ для различных производств.

Среди факторов, оказывающих влияние на прочностные и эксплуатационные характеристики строительных конструкций, все более важными становятся колебания, вызванные работой промышленного оборудования, транспорта и т. д. Это объясняется концентрацией машин на предприятиях при одновременной тенденции к увеличению их мощности. За последние 20−30 лет мощность крупных современных машин, устанавливаемых на одном предприятии, увеличилась примерно в 10 раз и одновременно в сотни раз возросло количество оборудования и приборов, чувствительных к динамическим воздействиям-вибрациям. Такая тенденция развития характерна в электронной, радиотехнической промышленности, при создании новейших предприятий точного приборостроения и особенно при строительстве крупных тепловых и атомных электростанций.

В большинстве случаев до настоящего времени расчет фундаментов под машины с динамическими нагрузками производится как для абсолютно твердого тела, опирающегося на линейно-деформируемое идеально упругое неинерциальное основание, свойства которого определяются коэффициентами упругого равномерного и неравномерного сжатия и упругого равномерного сдвига Е.89]. В практике же строительства реальные фундаменты, как правило, заглубляются в грунт. Известно, что защемление фундаментов в грунте с помощью устройства вокруг них боковой засыпки может вызвать изменение параметров колебательного процесса: в первую очередь уменьшать амплитуды резонансных колебаний и увеличивать их частоты. Защемление фундамента в грунте при определенных условиях может приносить экономический эффект, снижая его стоимость. Ряд авторов [101, 109, ПО] указывают, что изменение параметров колебаний фундаментов зависит от типа соприкосновения боковых стенок с грунтом, так как со временем происходит потеря контакта бокового заполнения с фундаментом, что может привести к снижению или даже исчезновению эффекта защемления в основании. Так, по исследованиям Уральского Промстрой-НИИпроекта, проведенным в 1965 г., в процессе эксплуатации массивных фундаментов с большими динамическими нагрузками вследствие вибрационного воздействия стенок фундамента на грунт засыпки нередко (в связных грунтах) происходит ее уплотнение и образуется щель между стенкой и грунтом, т. е. нарушается связь засыпки и фундамента. Нарушение контакта между боковыми стенками фундамента и грунтом обратной засыпки и образование зазоров между ними при действии периодической динамической нагрузки изучалось при проведении экспериментальных исследований [4, 7], однако применявшиеся до сих пор расчетные схемы в задачах о колебаниях фундаментов, защемленных в грунт, это явление не учитывали.

Кроме указанной расчетной схемы, нелинейность типа «зазор» нередко встречается в задачах о колебаниях других механических систем. Примерами таких систем могут быть: свайные фундаменты с динамическими нагрузками, виброамортизаторы, пружинно-фрикционные аппараты межвагонных соединений железнодорожных поездов, однои многоступенчатые зубчатые передачи и т. д.?2,16, 37,44,60]. Такая нелинейность относится к категории существенных и не может быть, как правило, линеаризована без искажения качественной стороны явления и количественных оценок. Задачи о динамическом расчете перечисленных систем обычно решаются численными методами. В выполненном исследовании применение сплайн-преобразования для систем с одной степенью свободы, линейных сплайнов и кусочно-главных координат для систем с двумя и многими степенями свободы позволяет получить решение, имеющее одно аналитическое выражение для всей области его определения с автоматическим припасовыванием на границах линейных интервалов. Такое решение позволяет также построить амплитудно-частотные характеристики нелинейных механических систем, что обычно представляет значительный интерес для инженера.

Актуальность проведенных исследований определяется также и тем, что диссертационная работа связана с решением проблемы 055.16Ц04.05СПг и Сд2 В «Провести исследования, разработать методы расчета и принципы конструирования фундаментов, воспринимающих динамические нагрузки, с использованием эффективных мероприятий по уменьшению уровня колебаний и выдать задание на проектирование в условиях комплексного строительства», по которой выполняются НИР № 536 и 812 кафедрой «Основания и фундаменты» и ОНИЛ ЛАШОТ при ДИСИ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ заключается в развитии методов исследования колебаний механических систем, содержащих нелинейность типа «зазор» — в получении с применением сплайн-преобразования (для систем с одной степенью свободы), обобщенных функций, линейных сплайнов и кусочно-главных координат (для систем с двумя и многими степенями свободы) решения, имеющего одно аналитическое выражение для всей области его определенияв разработке алгоритмов и составлении программ для численной реализации предлагаемых методик на ЭВМ и в получении по ним решений конкретных инженерных задач, относящихся главным образом к расчетам массивных заглубленных фундаментов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Диссертационная работа посвящена теоретическому изучению колебаний одномерных дискретных механических систем с нелинейностью типа «зазор». В работе развита методика решения дифференциальных уравнений колебаний, содержащих указанную нелинейность, с применением метбда сплайн-преобразования. Разработана методика решения нелинейных дифференциальных уравнений для цепочечных многомассовых систем с применением линейных сплайнов и метода кусочно-главных координат. Предлагаемые методики позволяют получать точные решения, имеющие одно аналитическое выражение для всей области изменения аргумента. Разработаны алгоритмы и составлены программы, позволяющие находить численные решения для свободных, а также стационарных и нестационарных вынужденных колебаний указанных механических систем на ЗВй типа ЕС. Разработаны методика расчета массивных фундаментов с учетом боковой засыпки на действие горизонтальной динамической нагрузки и методика расчета массивного заглубленного фундамента с присоединенными плитами. Предложена также исключающая численное интегрирование дифференциальных уравнений методика определения продольных усилий при переходных режимах движения железнодорожного поезда с зазорами в межвагонных соединениях.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:

— методика решения дифференциальных уравнений, содержащих нелинейность типа «зазор», с применением метода сплайн-преобразования;

— методика решения дифференциальных уравнений для цепочечных многомассовых систем с нелинейностями типа «зазор» с применением линейных сплайнов и метода кусочно-главных координат;

— алгоритмы и машинные программы решения задач о свободных, а также стационарных и нестационарных вынужденных колебаниях указанных выше механических систем;

— результаты решения инженерных задач для систем с одной, двумя и многими степенями свободы, моделирующих массивный фундамент с боковой засыпкой, фундамент с присоединенными плитами и железнодорожный поезд с зазорами в межвагонных соединениях;

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты исследований положены в основу двух предложенных методик инженерных расчетов:

— методики расчета массивных фундаментов с учетом боковой засыпки при динамическом действии горизонтальной динамической нагрузки;

— методики расчета колебаний заглубленных массивных фундаментов с учетом присоединенных плит.

Предложена также методика решения нелинейных задач динамики железнодорожного поезда, исключающая численное интегрирование систем дифференциальных уравнений.

ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЕ. По результатам выполненных исследований разработана методика расчета колебаний массивных фундаментов с учетом боковой засыпки при действии горизонтальной динамической нагрузки, а также методика расчета заглубленных фундаментов с присоединенными плитами. Предложенные методики внедрены в Харьковском отделении Атомтеплоэлектропроект и в ГПИ Приднепровский Промстройпроект (Днепропетровск) .

Результаты исследований, изложенные в диссертационной работе, могут быть использованы в практике конструкторских бюро и проектных организаций с целью:

— совершенствования расчетных схем и методов расчетов инженерных конструкций путем учета нелинейностей типа «зазор» ;

— более рационального по сравнению с существующим проектирования конструкций массивных фундаментов, позволяющего снизить их материалоемкость и трудозатраты на их возведение.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты исследований докладывались на:

— юбилейной научно-технической конференции кафедр института и специалистов железнодорожного транспорта. ДИИТ, Днепропетровск, 1980;

— XXXIX научно-технической конференции ДИСИ, Днепропетровск, 1982;

— У1 тематической конференции «Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций». Ленинград, 1983;

— областной научно-практической конференции «Научно-технический прогресс — на службу пятилетке». Днепропетровск, 1984;

— Всесоюзной конференции «Проблемы механики железнодорожного транспорта». Днепропетровск, 1984.

Диссертация доложена на заседании городского семинара секции строительной механики НТО Стройиндустрии (под руководством проф.А. П. Прусакова, Днепропетровск, ДИСИ, 1984).

ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликовано 5 статей.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из 6 разделов, включая введение и заключение, содержит № 0 страниц машинописного текста, рисунка, список литературы изIII наименований, приложение.

5.3. Выводы.

1. Изложенные в разделе 5 результаты показывают, что предлагаемый способ, основанный на применении метода кусочно-главных координат и линейных сплайнов, может быть применен к отысканию продольных усилий при переходных режимах движения поездов с зазорами в межвагонных соединениях.

2. Применение этого способа в связи с тем, что он позволяет избежать численного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений, может привести к значительному сокращению затрат машинного времени.

3. Результаты, приведенные в разделе 5, показывают, что является вполне допустимой (с инженерной точки зрения) аппроксимация зазора в межвагонном соединении достаточно малым углом наклона к оси абсцисс средней ветви характеристики восстанавливающей силы.

Однако предлагаемый подход содержит существенную идеализацию работы межвагонного соединения поезда, поскольку выделяет лишь одну ее главную особенность — зазор. Поэтому следует предполагать, что далеко не ко всем, а лишь к определенным нелинейным задачам динамики железнодорожного поезда целесообразно применять предлагаемый подход.

б.

Заключение

.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. С применением обобщенных функций, сплайнов и метода сплайн-преобразования разработана методика решения задач о свободных, затухающих и вынужденных (неустановившихся с выходом стационарный режим) колебаниях систем с одной степенью свободы, имеющих нелинейность типа «зазор». Зазор при этом аппроксимируется достаточно малым углом наклона средней ветви характеристики восстанавливающей силы к оси абсцисс. Методика исключает численное интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений и позволяет построить точное решение задачи, имеющее одно аналитическое выражение для всей области его определения.

2. Разработаны инженерные приложения этой методики, соответствующие алгоритм и программа .для динамического расчета массивного заглубленного фундамента с боковой засыпкой как нелинейной механической системы. Методика динамического расчета таких фундаментов внедрена в Харьковском отделении Атом-теплоэлектропроекта. Сравнение результатов расчета с данными экспериментов, описанных в литературе, показало достаточно хорошее их совпадение (расхождение максимальных значений амплитуд составило около 8 $).

3. Для систем с двумя степенями свободы, имеющих нелинейности типа «зазор», с использованием метода кусочно-главных координат разработаны отдельные вопросы теории, методика решения задач о свободных и вынужденных их колебаниях и соответствующие ей машинные алгоритмы и программы, также исключающие численное интегрирование систем дифференциальных уравнений. Дано обобщение понятия «пропорционального трения» на кусочно-линейные системы.

4. Разработаны инженерные приложения этой методики к задачам динамического расчета фундамента с присоединенными плитами как нелинейной системы, внедренные в ГПИ Приднепровский Промстройпроект (Днепропетровск). Сопоставление результатов расчета с опытными данными, описанными в литературе, показало, что расхождение максимальных значений амплитуд не превышает 6%.

5. Методика расчета, разработанная для систем с. двумя степенями свободы, обобщена на одномерные многомассовые цепочечные системы с нелинейностями типа «зазор». Соответствующие ей алгоритм и. программа позволяют избежать численного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений при решении задач о колебаниях таких систем и существенно уменьшить затраты машинного времени.

6. Методика расчета колебаний цепочечных систем с нелинейностями типа «зазор» применена к решению задач о переходных режимах движения железнодорожного поезда с зазорами в межвагонных соединениях. Затраты машинного времени при решении таких задач существенно меньше, чем при численном интегрировании систем нелинейных дифференциальных уравнений. Однако предлагаемая методика определения усилий при переходных режимах движения поезда учитывает далеко не все особенности работы межвагонных соединений, выделяя лишь главную из них — зазор. Сопоставление с данными, полученными численным интегрированием, вместе с тем показывает достаточно хорошее качественное (а при надлежащем подборе параметров и количественное) соответствие основных результатов и доказывает принципиальную возможность применения такого подхода при решении отдельных задач динамики поезда.

7. Проведенное исследование показало, что использование обобщенных функций, сплайнов и методов сплайн-преобразования и кусочно-главных координат может оказаться полезным при решении задач о колебаниях кусочно-линейных механических систем, в частности с нелинейностями типа «зазор» .