Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром

Интенсивное развитие теории оболочек и пластин обусловлено потребностями практики. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций возникают во многих отраслях современной промышленности, в том числе: авиации, ракетостроении, судостроении, химическом машиностроении, строительстве и т. д. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, отверстиями, включениями, накладками, подкрепляющими ребрами при действии на них распределенных и локальных нагрузок.

В публикациях А. Н. Гузя, В. В. Новожилова, Г. В. Новожилова, Н. Ф. Образцова, Г. Н. Свищева [114, 228, 229, 231, 271] указывается на необходимость совершенствования методов расчета тонкостенных конструкций.

В работе А. П. Филина [307] отмечается: «Наличие всевозможных невторостепенных конструктивных особенностей, как, например, элементы, подкрепляющие пластину или оболочку на контуре или в области, подкрепленные или неподкрепленные отверстия, местные утолщения и тому подобные нерегулярности, в ряде случаев приводят к необходимости их учета. Вместе с тем классические расчетные схемы, методы и алгоритмы расчета оказываются, как правило, в этих случаях малоэффективными» .

В работе Г. В. Новожилова [229] указывается: «. следует иметь в виду, что только 10%-ная погрешность в определении напряжений приводит почти к двойной погрешности в ресурсе» .

Одной из проблем механики тонкостенных конструкций является развитие методов исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, в частности, оболочек ступенчато-переменной жесткости, которые находят широкое применение в технике. Так, расчетная схема пластин и оболочек с широкими ребрами с учетом эксцентриситета (расстояния между срединными поверхностями ребер и оболочки) представляет оболочку ступенчато-переменной жесткости.

Оболочки ступенчато-переменной жесткости и оболочки, ограниченные сложным контуром>относятся к оболочкам сложной геометрии. По определению К. З. Галимова, В. Н. Паймушина [80] - это оболочки со сложной формой срединной поверхности, не описываемой простыми аналитическими выражениями и со сложной конфигурацией границы.

Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны, представленных в работе результатов, приводится краткий обзор литературы по теме исследования.

В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований задач линейного и нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек произвольной формы при действии распределенных и локальных нагрузок. Рассмотрены задачи изгиба пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, задачи расчета ортотропных и многосвязных пластин. Приведены интегральные уравнения изгиба и растяжения пластин. Для этого класса задач рассмотрены предельные значения основных потенциалов и вопросы вычисления сингулярных интегралов. Предложены итерационные алгоритмы расчета гибких пластин и пологих оболочек произвольной формы. Проведено численное исследование сходимости итерационных процессов. Приведены результаты решения задач о болыцих прогибах пластин и пологих оболочек сложной формы. Рассмотрены задачи о больших прогибах пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Решение этого класса задач выполнено методом Ритца с использованием специального представления приближенного решения, учитывающего разрывы в напряжениях и деформациях на линиях ступенчатого изменения жесткости. Приведены результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек различной формы.

Часть работ была вызвана потребностями производства.

Все вышеизложенные позволяет сделать заключение об актуальности темы исследования.

Обзоры публикаций по оболочкам сложной формы приведены в работах [76, 116, 168, 226, 249, 322].

Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей (МКР). В работах Баженова В. Г., ВайнберГа Д.В., Вольмира A.C., Гоцуляка Е. А., Григоренко Я. М., Мукоеда А. П., Корнишина М. С., Петухова Н. П., Положего Г. Н., Крысько В. А., Кар-мишина A.B., Столярова H.H. и др. изложены способы построения разностных схем [32, 43, 45, 46, 63, 65, 66, 111, 112, 152, 153, 156, 247, 248, 254, 181, 288, 224].

Для расчета пластин и пологих оболочек с отверстиями и выточками различной формы находит широкое применение метод разложения по параметру. Основные результаты по применению этого метода опубликованы в монографиях Гузя А. Н., Немиша Ю. Н., Каюка Я. Ф., Чернышенко П. С., Чехова Вал.Н., Чехова Вик.Н., Блошко Н. М. [115, 139, 203, 225].

Расчету перфорированных пластин и оболочек посвящены работы Гри-голюка Э.И., Фильштинского JT.A., Каюка Я. Ф., Пшеничного Г. Н. и др. [105, 140, 259].

Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии посвящен цикл работ Корнишина М. С., Паймуши-на В.Н., Петрушенко Ю. Я., Якупова Н. М. и их учеников [80, 157, 158, 246, 235, 236, 321 ]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.

Одним из универсальных методов решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. По этому методу опубликовано очень большое число работ, в том числе известные монографии и работы Бате К., Вилсона Е., Голованова А. И., Корнишина М. С., Зенкевича О., Моргана К., Норри Д., Ж. де Фриза, Образцова И. Ф., Савельева П. М., Хазанова Х. С., Постнова В. А., Розина JI.A., Рикардса К., Сахарова.

A.C., Кислоокого В. Н., Киричевского В. В., Стренга Г., Фикса Дж. и других [34, 81, 82, 83,129,130, 230, 232, 257, 266,264, 270, 291].

При применении для решения задач механики оболочек вариационных методов на основе функционала Лагранжа приближенные решения должны представляться в виде разложений в ряды по полным системам координатных функций, обладать достаточной гладкостью и удовлетворять геометрическим граничным условиям. Построение приближенного решения для оболочек сложной формы представляет определенную проблему. Одним из способов решения этой задачи является метод R — функций, предложенный.

B.Л. Рвачевым и получивший развитие в работах Курпы Л. В., Шевченко.

A.Н., Склепуса Н. Г. [261, 262, 263 ] и др. В работах [169, 200, 212, 263] успешно применялся способ построения систем координатных функций, основанный на умножении полных систем координатных функций на уравнение контура.

По расчету пластин и оболочек, подкрепленных ребрами различной конфигурации выполнены исследования Абовского Н. П., Амиро Н. Я., За-руцкого В.А., Паламарчука В. Г., Андрианова Н. В., Маневича Л. Н., Толока.

B.А., Жигалко Ю. П., Дмитриевой Л. М., Климанова В. И., Тимашева С. А., Сахарова A.C., Слезингера И. Н. и др. [2,4, 7, 8,9,127,128,270].

Значительное применение в теории пластин и оболочек получили методы коллокации. Их развитию и реализации посвящены работы Корнишина М. С., Рогалевича В. В., Григоренко Я. М., Попова Г. Я., Онищука О. В., Са-мерханова Р.З. [152, 165, 166, 265, 106, 256, 269 ] и др.

В работах Артюхина Ю. П., Серазутдинова М. Н. дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной формы, рассматриваются вопросы подкрепления пластин и оболочек сложной конфигурации ребрами, построения координатных функций для сложных областей [29−31, 274−277]. Серазутдиновым М. Н. предложен способ расчета оболочек сложной формы на основе соотношений для пластин [323].

Одним из эффективных методов исследования нелинейного деформирования пластин и оболочек является метод продолжения по параметру. Его развитию и применению посвящены работы Вольмира A.C., Воровича В. В., Григолюка Э. И., Шалашилина В. И., Баженова В. А., Валишвили Н. В., Петрова В. В., Крысько В. А., Корнишина М. С., Столярова H.H., Овчинникова И. Г., Танеевой М. С., Гуляева В. И., Кантора Б .Я. и др. [63−67, 107, 117, 48, 244,245,182,183,287−290, 78,79,137,120].

Для исследования статического и динамического поведения элементов конструкций широко применяются экспериментальные методы. Одним из них является метод голографической интерферрометрии с использованием которого Коноплев Ю. Г., Шалабанов А. К., Смирнов В. А., Нанасов М. П. и др. провели обширные исследования в области пластин и оболочек [144, 145, 279, 280].

В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений или методы потенциала. Они основаны на преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в систему граничных интегральных уравнений (ГИУ), из решения которой определяются некоторые определенные на границе функции плотности.

Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы. Это приводит к понижению на единицу размерности решаемой задачи.

Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905 г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [340].

До конца 50-х годов методы граничных интегральных уравнений интенсивно развивались математиками. Большой вклад в развитие этих методов был сделан Михлиным С. Г., Купрадзе В. Д., Мусхелишвили Н. И., Смирновым В. И. и др. [210, 211,187, 188, 220, 221, 281, 282].

Купрадзе В.Д. введены векторные интегральные уравнения методов потенциала в задачах теории упругости [187,188]. Он развил приближенные методы решения статических задач для однородных тел и динамических задач для кусочно-однородных тел. Сформулировал связь между перемещениями и напряжениями на границе среды, используя распределения поверхностной плотности источников.

В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С. Г., Гахова Ф. Д., Векуа Н. П., Пресдорфа 3., Чибриковой Л. И., Партона В. З., Перлина П. И., Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Барчуладзе Т. В. и др. [210, 211, 69, 49, 258, 318, 240, 241, 188].

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.

В этом направлении выполнены фундаментальные работы Иванова В. В., Корнейчука A.A., Белоцерковского С. М., Лифанова И. К., Габдулхаева Б. Г., Бойкова И. В., Плещинского Н. Б. [132,151,39,68,35,36,37, 227,392,393].

Методы решения граничных задач с помощью разложений по фундаментальным функциям разработаны в монографиях Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Барчуладзе Т. Г., Башелейшвили М. О., Алексидзе М. А. [188, 6]. Идейно эти методы близки к методам ГИУ, где уравнения рассматриваются, как правило, на основной поверхности граничной задачи. Это приводит к интегральным уравнениям второго рода, но при этом ядро интегрального уравнения становится сингулярным. Решения граничных задач методом разложения по фундаментальным решениям приводит к интегральным уравнениям первого рода.

В работах Гавели С. П., Мельникова Ю. А. [70−73] строятся интегральные представления, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных представлений принадлежит В. Д. Купрадзе и применялась С. П. Гавелей, Ю. А. Мельниковым и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В. З., Перлина П. И., Верюжского Ю. В., Угодчикова А. Г., Хуторянского Н. М., Бреббия К., Уокера С., Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела JL, Громадки Т., Лей Ч., Кузнецова C.B., Лившица И. М., Розен-цвейга Л.Н. и др [240,241,62, 302,41,42,180, 336, 295,184,185,113,196].

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод численного решения граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе.

Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основаный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения и усилия.

В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности не являются решениями задачи на границе, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов.

Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или по некоторому контуру, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении выполнены Кореневым Б. Г. [149] и дальнейшее развитие этот метод получил в работах Толкачева В. М., Артюхина Ю. П., Венцеля Э. С. и др. [297−299,10,22−27, 50−61, 33].

Монография Верюжского Ю. В. [62] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел при статическом нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплайновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.

Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В. М. [297−299], где особое внимание уделено теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения ядер в особых точках, определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей.

Работы Венцеля Э. С. и его соавторов [50−61] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сферических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [54].

Применение обобщенных функций для построения разрывных решений излагается в работах Дызова К. Г., Михайлова Б. К. [121, 206, 207].

Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Лукасевича С., Ольшанского В. П., Шевченко В. П., Белоносова С. М., Артюхина Ю. П., Гурьянова И. Н. [199,233, 234, 320,313, 33,28,118].

В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т. д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [313, 320] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.

В монографии Попова Г. Я. [255] на основе обобщенного метода интегральных преобразований дано решение широкого класса задач о напряженном состоянии упругих тел с дефектами. Использованный при этом подход состоит в интегральном преобразовании исходных уравнений в направлении, пересекающем дефект, и сохранением на нем скачков функций. Применение формул обращения позволяет получить решение, выраженное через эти скачки.

В работах Мораря Г. А. [215−218] разработан метод разрывных решений, который позволяет решать методом граничных интегральных уравнений задачи расчета пластин и пологих оболочек с дефектом типа трещин, включений. Для плоской задачи теории упругости этот метод излагается также в монографии [180].

Метод построения граничных интегральных уравнений теории оболочки сложной геометрии на основе формулы Самилиана предложен Паймушиным В. Н. и Сидоровым И. Н. [237].

Синтезу метода конечных и граничных элементов посвящена работы Серазутдинова М. Н., Банцарева К. Н. [278].

В работах Сеницкого Ю. Э. [272, 273] получил развитие метод конечных интегральных преобразований для различных задач механики оболочек.

В работе [320] отмечается, что для пологих оболочек двоякой кривизны получение фундаментальных решений в замкнутом виде связано с большими трудностями. Эта задача решалась различными методами: разложением в тригонометрические ряды [66−69], методом интегралов Фурье [379] и использовались также другие подходы [368, 52].

Для пологих сферических оболочек матрицы фундаментальных решений существенно упрощаются и выражаются через функции Кельвина-Томпсона [320,217].

В работах Хуанга М. [362, 364] построены фундаментальные решения пологих сферических оболочек теории Рейснера с учетом поперечного сдвига.

Фундаментальные решения для пластин средней толщины приведены в монографии Мораря Г. А. [217].

Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [205, 222, 238, 324, 325, 328, 329, 331, 334, 335, 337, 341, 344, 345, 348, 349, 351, 353, 356, 361, 365, 386, 388].

В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных на-груженияхрассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотностидан анализ ядер интегральных уравненийразработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения.

Вопросы применения МГЭ к решению задач плоского напряженного состояния пластины достаточно разработаны и отражены в многочисленных публикациях. Приведем лишь некоторые из них [126, 147, 148, 205, 329, 333, 336, 350, 354, 367, 369, 387].

Применение МГЭ в задачах расчета оболочек связано с определенными трудностями. Это во многих случаях — отсутствие фундаментальных решений в замкнутом виде или громозкие сложные выражения, определяющие матрицы фундаментальных решений.

Решению задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [22, 24, 54, 58, 301,70−73, 293,125, 343, 384, 352, 364].

В работах Артюхина Ю. П., Крамина М. В. [22, 24] рассматривается применение непрямого МГЭ к расчету пологих оболочек двоякой кривизны. Решение задач строится итерационным методом на основе применения матрицы фундаментальных решений пологой сферической оболочки. Приведены результаты решения широкого класса задач.

Применение непрямого МГЭ к расчету пологих сферических оболочек рассматривается в работах Венцеля Э. С., Трофимова М. А. [54, 58]. В работах [54, 301] используется фундаментальное решение, полученное на основе плосковолнового разложения дельта-функции Дирака. Оно характеризуется ал-горитмичностью и единообразной формой представления фундаментального решения и его производных, а также представлением последних в виде суммы регулярного быстро сходящегося ряда и расходящейся части, записанной в аналитическом виде.

В публикациях Гавели С. П., Мельникова Ю. А. [70−73] матрицы фундаментальных решений оболочек строятся в виде тригонометрических рядов. Решение задач сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Получено решение ряда задач статики и динамики оболочек .

В статье Сухорольского М. А. [293] решение уравнений пологих оболочек строится в виде тригонометрических рядов. В правых частях уравнений вводятся фиктивные усилия. Путем осреднения построенного решения по элементам контура устанавливается зависимость смещений и усилий на контуре от введенных фиктивных сил. На основе полученных зависимостей формируются системы алгебраических уравнений.

Работа Ермакова C.B. [125] посвящена применению метода компенсирующих нагрузок для задач расчета круговых цилиндрических оболочек. Фундаментальное решение для бесконечно длинной цилиндрической оболочки берется в виде тригонометрического ряда по окружной координате с выделением главного значения. Проведены расчеты Г-образных и X-образных узлов.

Gospodinov G.K. в статье [343] рассматривает применение МГЭ к решению линейных задач пологих сферических оболочек.

Tottenhem H. в работе [384] рассматривает применение различных вариантов МГЭ к расчету пологих оболочек.

Ivanova Jordanka, Valera Varbinka в статье [352] рассматривают МГЭ задачу изгиба пологой сферической оболочки. Приведен пример расчета пологой сферической оболочки с защемленными краями.

Lu Pin, Huang Mao-quang, а работах [364] рассматривают МГЭ задачу о напряженно-деформированном состоянии пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Используется уточненная теория с учетом поперечного сдвига.

Решению нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек методом граничных элементов посвящены работы [375, 381,362, 383, 359, 360, 355, 358, 376].

Schang Xin-chun, Cheng Chang-jun в работе [375] рассматривают осесим-метричную геометрически нелинейную задачу полярноортотропных круглых пластин. Линеаризированная задача решается с использованием обобщенных функций.

Tanaka Masatuka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong в работе [381] изучают нелинейное деформирование тонкой пластины на основе уравнений Кармана. Получены результаты для круглой пластины.

Lei Xiboyan, Huang Maokuang в статье [362] применили МГЭ к расчету геометрических нелинейных пластин Рейснера. Приведен пример расчета.

Tosaka N., Miyake S. в статье [383] на основе уравнений смешанного типа решают МГЭ линейные и геометрически нелинейные задачи пологих сферических оболочек.

Kamiya N., Sawaki Y. в статье [360] рассматривают МГЭ задачу о больших прогибах тонких линейно-упругих пластин. Представлены результаты решения для круглых и прямоугольных пластин. В работе [359] этих же авторов на основе уравнений Бергера рассматривается применение МГЭ к решению задач нелинейного изгиба пластин и пологих оболочек.

Katsikadelis J.T. в работе [355] рассматривает решение МГЭ задачи о больших прогибах пластин, на упругом основании. Выведены интегральные уравнения, которые решаются численными методами. В работе [358] этого же автора рассматривается задача изгиба тонких линейно-упругих пластин на упругом однородном и неоднородном основаниях. В основу расчета положен МГЭ.

Sladek V., Sladec J. в работе [376] рассматривают задачу о больших прогибах пластины на упругом основании. Для пластины взяты уравнения Бергера. Выведены интегральные уравнения МГЭ.

Приведем краткий обзор работ по расчету пластин и оболочек ступенчатопеременной жесткости.

Впервые задачу изгиба круглой пластинки с концентрической жесткой шайбой рассмотрел в 1929 г. Г. Рейснер [372]. Решение было получено интегрированием бигармонического оператора в полярных координатах.

Монография Вайнберга Д. В. [44] посвящена созданию единого метода решения прикладных задач теории упругости. Рассматривается плоская деформация неоднородных тел, состоящих из однородных цилиндров с параллельными образующими. Решение выполнено методами функций комплексного переменного.

В монографии Вайнберга Д. В., Вайнберга Е. Д. [45] приведены расчетные формулы для круглых пластин с жесткими включениями, нагруженных сосредоточенной нагрузкой или моментом.

Методом начальных параметров в работе [347] получено решение задачи изгиба круглой пластинки ступенчато-переменной толщины. По концентрическим окружностям возможно неограниченное число скачков толщины.

Круглая пластинка ступенчато-переменной толщины, находящаяся под действием поперечной нагрузки рассмотрена Ишмухаметовым Т. Х. [135]. На внешнем контуре задано условие защемления или свободного опирания. Исследовано влияние жесткости центральной части на прогиб. Решение получено интегрированием уравнения равновесия.

Изгиб ортотропной круглой пластинки о концентрической жесткой шайбой исследован Хотиным Я. Я. [315]. К шайбе приложен изгибающий момент. Решение выполнено в полярных координатах.

Задача изгиба эллиптической пластины ступенчато-переменной жесткости решена Старковым В. И. [285]. Исследованию изгиба пластин с круглыми жесткими шайбами посвящены также работы [201, 314]. В статье [316] приведен обзор по расчету пластин и оболочек с жесткими включениями.

Плоское напряженное состояние пластин с жесткими шайбами и подкрепленными отверстиями определяется МКЭ в работах [294].

Грилицким В.Д. в работах [109, 110] рассмотрено напряженно-деформированное состояние неограниченной анизотропной пластинки с впаянным круговым изотропным включением при наличии конечного числа разрезов на линии раздела материала. В области включения приложен силовой или моментный фактор. Решение задачи сведено к системе сингулярных уравнений.

Развитие приближенных методов решения краевых задач и внедрение ЭВМ позволило исследователям рассмотреть некоторые задачи изгиба прямоугольных пластин, состоящих из прямоугольных участков различной жесткости. Решение этой задачи на основе интегрирования уравнений равновесия в подобластях требует удовлетворения по линиям скачка жесткости условий сопряжения, которые сформулированы в работах [1,2,124] и др. Поэтому в такой постановке применение приближенных методов приводит к трудностям вычислительного характера.

При другом подходе ступенчатое изменение толщины представляется непрерывной функцией от некоторого параметра, при стремлении которого к нулю в пределе описывается скачок толщины [251−253, 197,198].

В работе [371] исследована методом конечных разностей (МКР) задача изгиба нормальным давлением прямоугольной пластинки с жестким прямоугольным включением. Пластина оперта на сосредоточенные опоры. Приведены теоретические и экспериментальные результаты.

Кривошеев Н.И. и Корнишин М. С. в работах [174, 175] исследовали МКР задачу изгиба прямоугольной в плане пластины, состоящей из двух подобластей различной жесткости. Численные результаты получены при различном отношении жесткостей подобластей. Условия сопряжения удовлетворены по линии скачка жесткости и в угловой точке.

Абовским Н.П., Енджиевским J1.B. [3] предложен порядок формирования системы конечно-разностных уравнений для расчета на изгиб пластинчатых систем. Установлена связь между предложенным порядком решения задач методом сеток с дискретными методами строительной механики. Для иллюстрации решена задача изгиба шарнирно-опертой прямоугольной плиты, состоящей из двух полос различной толщины.

В работе Корнишина М. С., Паршакова Е.В.и Рогалевича В. В. [165] исследована МКР задача изгиба пластины жесткости d0 с центральной полосой жесткости dl. Отмечается сильное влияние отношения жесткостей на прогибы и напряжения и возможность рационального проекта.

Исследование конечных прогибов пологого сферического купола ступенчато-переменной жесткости выполнено Корнишиным М. С., Сулеймано-войМ.М. [161].

В работе [162] Корнишина М. С., Сулеймановой М. М., Спиваковской А. Н. МКР рассмотрены большие прогибы круглой пластинки ступенчато-переменной жесткости.

В работах Подгородецкого А. Э. [251−253] ступенчатое изменение толщины в направлении одной из координат представлено непрерывной функцией, описывающей в пределе скачок толщины. Решение выполнено методом Бубнова — Галеркина.

В работе Михайлова Б. К. [209] получено точное решение задачи изгиба поперечной нагрузкой пластины со скачком жесткости в направлении одной координаты в случае, когда каждой гармонике нагрузки соответствует определенная гармоника прогиба.

Импульсные функции в задачах изгиба пластин ступенчато-переменной толщины использовались в работах [208, 330].

Исследование прочности длинных цилиндрических оболочек с круговыми вырезами и включениями выполнено Хазановым Х. С. [308−312]. Известное решение задачи о концентрации напряжений в зоне круглого отверстия на поверхности пологой цилиндрической оболочки в тригонометрических рядах, полученное А. И. Лурье, преобразовано к полярным на развертке цилиндра координатам. Выведены некоторые соотношения теории цилиндрических функций, с использованием которых исследованы интегральные уравнения равновесия круговой зоны оболочки и условия однозначности перемещений. Рассмотрены задачи осевого растяжения, кручения и нагруже-ния внутренним давлением цилиндрической оболочки с круговым жестким или упругим включением.

Работа Наймута Ю. С. [223] посвящена исследованию возможности расчета оболочки кусочно-постоянной толщины методом последовательных приближений, если известен тензор Грина для этой оболочки. Автор отмечает, что процесс последовательных приближений очень чувствителен к изменению толщины, поэтому практическое применение, по-видимому, возможно только для безмоментных оболочек.

В работе Коноплева Ю. Г., Саченкова A.B. [143] исследовано напряженно-деформированное состояние «круговой» цилиндрической оболочки с наплывом на ее наружной поверхности. Наплыв представляет жесткую прямоугольную площадку через которую передается нагрузка. Уравнения тонкой оболочки В. В. Новожилова преобразованы к системе дифференциальных уравнений, в которую входит коэффициент, подлежащий экспериментальному определению. Делается вывод, что при одинаковой площадке нагружения решение для гладкой оболочки можно трансформировать в искомое решение.

В работе Модестовой Р. В., Симакина A.M., Самойленко Е. П., Степановой Г. Н. [213] рассмотрено напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки конечной длины с шарнирно закрепленными краями со ступенчато-изменяющейся вдоль образующей толщиной стенки. Оболочка нагружена по двум симметрично расположенным площадкам локальными нагрузками. Напряженное состояние разделено на основное, с не-деформируемым контуром, и дополнительное, которое определяется из условия минимума энергии деформации. Помимо общих гипотез предполагается нерастяжимость в окружном направлении и отсутствие сдвигов в срединной поверхности.

Христенко A.C. [317] предложен инженерный подход к выбору подкрепляющих накладок при действии на ортотропную цилиндрическую оболочку локальных нагрузок. Толщина накладки определяется подбором по графикам для изгибающих моментов, вычисленных при различной толщине оболочки в зависимости от расстояния до центра площадки нагружения.

В работе [173] рассматриваются два алгоритма расчета оболочки цилиндрической части котла железнодорожной цистерны: методом начальных параметров и методом перемещений. Численные результаты не приводятся.

Исследованию изгиба и оптимального проектирования равномерно нагруженной цилиндрической оболочки кусочно-постоянной толщины посвящена работа Калабегашвили М. Г. [136]. Интегральное уравнение второго рода Вольтора, к которому приведено уравнение равновесия относительно прогиба, решается методом последовательных приближений. Ищется такое ступенчатое изменение толщины, при котором максимальный прогиб равен заданной величине.

Ишмухаметов Т.Х. [134] рассмотрел задачу прочности прямоугольной в плане цилиндрической панели, состоящей из трех параллельных полос о различными физическими и геометрическими характеристиками. В тригонометрических рядах им получено решение для шарнирно закрепленной панели и панели две кромки которой защемлены, а две другие — шарнирно закреплены.

Кроль А.П. [177] сравнил две схемы термоупругого расчета оболочки с дискретно расположенными ребрами одного направления: асимметричная оболочка (оболочка ступенчатого изменения толщины) и оребренная оболочка (ребро-криволинейный стержень работающий на изгиб, кручение и растяжение). С помощью вариационного метода Л. В. Канторовича задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих изменение решения в трансверсальном ребру направлении. Отмечается, что для узких ребер схемы дают близкие результаты, а для широких ребер теория оребренных оболочек дает завышенное значение напряжений на оси ребра.

В работе [176] Кроль А. П. исследует прочность цилиндрических оболочек с односторонним скачкообразным изменением толщины (разрыв в ограничивающей оболочку поверхности). Внешние усилия и моменты приводятся к базисной поверхности, за которую принимает срединная поверхность участка наименьшей толщины. Нагрузки и температурное поле произвольны.

Результаты экспериментального исследования изгиба пластин ступенчато-переменной жесткости приведены в работах [46,214, 252].

Заметим, что по линиям ступенчатого изменения толщины возникает концентрация напряжений. Влияние радиуса закругления на напряжения теоретическими и экспериментальными методами исследовано в работах [214, 346].

Для пластин со скачкообразным изменением жесткости в двух направлениях условия сопряжения в точках излома контура, по которому толщина меняется скачком, приведены в работах [371, 175]. Усилия и моменты в точках излома линии скачка толщины разрывны.

В работе Стаценко В. И., Шевченко В. П. [286] рассматривается напряженное состояние изотропной оболочки с упругим включением. С использованием двумерного интегрального преобразования Фурье получено разрешающее сингулярное интегродифференциальное уравнение. Проведено исследование влияния геометрических и физических параметров на значения коэффицентов интенсивности напряжения.

Гавелей С.П., Левчуком С. А., Ищенко О. А. [74] разработан метод решения задачи изгиба кольцевой пластины дискретно переменной толщины.

В работе [363] разработана методика оценки эффективной жесткости в случае асимметрии для пластин ступенчато-переменной толщины.

В статье Карпова В. В. Игнатьева О. В., Игнатьевой И. А. [138] методом Ритца решаются задачи о больших прогибах непологих оболочек ступенчато-переменной толщины. Применен метод продолжения по параметру.

Работа Лавриненко В. В. [190] посвящена расчету осесимметрично нагруженных круговых цилиндрических оболочек со ступенчато изменяющимся радиусом.

Собственные колебания пластин и цилиндрических оболочек ступенчато-переменной жесткости рассмотрены в работах [119, 306, 332, 345, 378], а некоторые исследования вопросов устойчивости приведены в [319, 330, 338, 339, 373].

Исследованию динамического поведения пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости посвящены работы [122,123].

Как видим, основные результаты исследований прочности пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости получены МКР, МКЭ, методами Ритца и Бубнова — Галеркина.

Общие вопросы построения разностных схем для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами изложены в монографиях [200, 268]. Построению разностных схем для эллиптических уравнений посвящена монография A.A. Самарского, В. Б. Андреева [267], где авторы излагают разностные схемы для задачи изгиба пластинки ступенчато-переменной жесткости.

Известно, что операторы линейных задач теории упругости положительно определенные. Исследование сходимости' методов Ритца и БубноваГалеркина в задачах с положительно определенными операторами приведено в монографии Михлина С. Г. [212].

По оболочкам переменной толщины исследования на основе функционала смешанного типа выполнены Кантором Б. Я. [137].

Из приведенного обзора видно, что методы решения линейных и нелинейных задач пологих оболочек на основе МГЭ развиты недостаточно и по расчету МГЭ линейных задач пологих оболочек выполнено очень незначительное число работпо исследованию с помощью МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек практически отсутствуют работы, выполненные отечественными исследователями, и имеется незначительное число работ, выполненных зарубежными учеными. Полученные МГЭ численные результаты относятся, в основном, к расчету круглых пластин и пологих сферических оболочек в линейной постановке. Для пологих оболочек двоякой кривизны известных нам опубликованных нелинейных решений, полученных на основе МГЭ, нет. Также отсутствуют исследования на основе МГЭ задач нелинейного деформирования пологих оболочек. По расчету пологих оболочек и пластин ступенчато-переменной жесткости, в основном, выполнены исследования в линейной постановке. Методы решения задач таких оболочек недостаточно разработаны. Нелинейное деформирование пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости почти не исследовано. Все вышеизложенное и определяет актуальность темы выполненных в диссертации исследований.

Диссертационная работа состоит из пяти глав.

В главе I выведены основные формулы дифференцирования в системе координат, связанной с точкой контура пластины, координатные оси которой направлены по нормали и касательной к контуру в этой точке (локальной системе координат). Приведены основные соотношения метода компенсирующих нагрузок для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. В локальной системе координат определены ядра потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины и определены предельные значения этих потенциалов на границе области. Для основных видов граничных условий приведены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Аналитически вычислены сингулярные интегралы от производных фундаментального решения. Интегралы с особенностями типа 1 /г определяются в смысле главных значений по Коши, а интегралы с особенностями типа 1 /г2 в смысле конечного значения по Ада-мару. Для непрямого МГЭ разработан способ вычисления из условия равновесия пластины интеграла с особенностью /г2. Показано, что если точка наблюдения расположена внутри области близко к контуру, то интеграл с устраненной особенностью меньше, чем на 1% отличается от конечного значения по Адамару.

В главе II рассматривается применение непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин сложной формы, температурного изгиба многосвязной пластины, изгиба ортотропной пластины. Приведен вывод фундаментального решения для бесконечной ортотропной пластины. Для основных видов граничных условий записаны интегральные уравнения непрямого МГЭ для ортотропной пластины. Приведены результаты исследования напряженно-деформированного состояния изотропных и ортотропных пластин сложной формы. Рассмотрена задача расчета непрямым МГЭ пластины сложной формы, подкрепленной по контуру через прокладку упругим ребром, закрепленным на точечных опорах. Разработан алгоритм решения этой задачи непрямым МГЭ. Представлены результаты расчета пластин, подкрепленных по контуру ребром, закрепленным на точечных опорах.

В главе III предложен итерационный процесс решения геометрически нелинейных задач пологих оболочек со сложным контуром при статическом нагружении, основанный на решении на итерациях непрямым МГЭ линейных задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Для основных видов граничных условий получены интегральные уравнения непрямого МГЭ. При решении нелинейных задач, применяется метод продолжения по параметру, в качестве которого выбиралась интенсивность распределенной нагрузки и прогиб в заданной точке оболочки. Предложен прием экстраполяции для выбора начального приближения. Приведено решение ряда задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек со сложным контуром при действии распределенных и локальных нагрузок. Рассмотрено применение разработанного алгоритма для решения линейных задач изгиба пологих оболочек. Разработаны алгоритмы решения геометрически нелинейных задач длинных пластин и пологих цилиндрических панелей. Предложен итерационный процесс решения задачи нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера. Приведены результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании.

В главе IV предлагается итерационный процесс решения задачи нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек со сложным контуром, основанный на решении на итерациях прямым МГЭ линейных задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Интегральное соотношение линейной задачи, выражающее теорему о взаимности работ, получено методом взвешенных невязок. Алгоритм допускает расчет пластин и пологих оболочек переменной толщины, с учетом физической и геометрической нели-нейностей. Получены интегральные уравнения для решения нелинейных задач. Рассмотрено применение предложенного итерационного процесса для расчета длинных пологих цилиндрических панелей. Приведено решение задач изгиба длинных гибких пологих цилиндрических панелей постоянной и переменной толщины. Рассмотрены вопросы оптимального выбора релаксационных параметров. Проведено сравнение с известными решениями.

В главе V разработаны способы аппроксимации перемещений для задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек кусочно-постоянной жесткости при использовании теории Кирхгофа. Решения задач выполняются методом Ритца со специальным представлением перемещений, описывающим разрывы в напряжениях и деформациях по линиям ступенчатого изменения жесткости. Рассмотрены способы построения приближенного решения при использовании функционалов Лагранжа и смешанного типа. На одномерной задаче показана эффективность предложенных способов построения приближенного решения. Предложен способ решения системы алгебраических уравнений с блочной матрицей ленточного вида, к которой сводится решение задачи, не обрабатывающий нулевые блоки. Рассмотрены задачи о больших прогибах прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек, состоящих из двух подобластей различной жесткости. Построены зависимости «прогибнагрузка». Дан анализ результатов.

Основные положения диссертации докладывались: на VII научной конференции по применению ЭВМ в механике деформируемого твердого тела (Ташкент, 1975 г.) — на XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г. Харьков, 1977) — на научном семинаре в Казанском физико-техническом институте КФАН СССР, руководитель профессор Х. М. Муштари. (1975,1977) — на Республиканской научно-технической конференции «Механика сплошных сред» (г. Набережные Челны, 1982 г.). на Всесоюзной школе молодых ученых «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань (1983 г., 1985 г., 1988 г.) — на итоговых конференциях Казанского инженерно-строительного института (1983 г.) — на III Всесоюзной конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Харьков, 1985 г.) — на Всесоюзной конференции «Нелинейные задачи расчета конструкций в условиях высоких температур» (Саратов. 1988) — на IV Всесоюзной конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Одесса. 1989 г.) — на VIII Всесоюзной школе — семинаре «Методы конечных и граничных элементов в строительной механике «(Ленинград. 1987 г.) — на итоговой научной конференции Казанского государственного университета. 1989 г.- на VI Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара. 1996 г.) — на XYII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань. 1995 г.) — на Всероссийском семинаре «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении» (Чебоксары, 1996 г.) — на XYIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов. 1997 г.) — на Международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление» (Самара. 1997) — на научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (1990;1998 гг.) — на семинаре по механике твердого деформируемого тела под руководством чл.-корр. АН СССР Э. И. Григолюка (Москва, 1987 г.);

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [11−17, 86 104, 154,155, 299, 300, 390,391].

Работы [11−17, 299, 300] выполнены совместно с Артюхиным Ю.П.- [154, 155, 103] совместно с Корнишиным М.С.- [102, 299, 300] совместно с Толкачевым В. М., Стахорским В.М.- [97−101] совместно с Малаховым В.Г.- [104] совместно с Петуховым Н.П.- [391] совместно с Карсункиным В.В.

Вклад соавторов заключается в следующем:

Артюхин Ю.П. — постановка линейных задач изгиба ортотропных пластин, изотропных пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрами, температурного изгиба многосвязанных пластин, обсуждение алгоритмов и результатов расчета;

Корнишин М.С. — постановка задач расчета пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости, обсуждение результатов;

Толкачев В.М. — постановка задачи и интегральные уравнения изгиба изотропных пластин, обсуждение результатов ;

Малахов В.Г. — совместная разработка части алгоритмов и программ расчета, обсуждение результатов;

Стахорский A.M. — реализация части алгоритмов на ЭВМ.

Петухов Н.П. — главы I и IV совместного учебного пособия.

Карсункин В.В. — тестирование программы и оформление заявки. Целью настоящей работы является развитие математических методов решения линейных и нелинейных задач пластин и пологих оболочек со сложным контуром, допускающих ступенчатое изменение жесткости с учетом различных конструктивных особенностей, находящихся под действием распределенных и локальных нагрузок при различных граничных условияхсоздание эффективных алгоритмов расчета и исследование деформирования ряда задач этого класса.

Научную новизну работы составляют следующие результаты: Разработаны алгоритмы решения МГЭ задач изгиба пластин сложной формы, ортотропных пластин и пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром.

Дано развитие методики определения предельных значений потенциалов для контура, состоящего из прямолинейных граничных элементов.

Предложен способ вычисления расходящегося интеграла с особенностью типа 1/г2 при 0 из уравнения равновесия пластины.

Получены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для ортотропных пластин, многосвязных пластин и пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром.

Представленны результаты решения задач изгиба пластин сложной формы, многосвязных пластин и пластин подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, часть из которых получена МГЭ впервые.

Предложен итерационный процесс решения МГЭ линейных задач изгиба пологих оболочек, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщины.

Предложены итерационные процессы решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на основе прямого и непрямого МГЭ.

Построены итерационные процессы решения задач изгиба длинных гибких пластин и пологих цилиндрических панелей на основе прямого и непрямого МГЭ.

Предложен итерационный процесс решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании на основе непрямого МГЭ.

Получены результаты исследования МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек.

Получены результаты исследования МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании.

Предложены способы построения приближенного решения методом Ритца для задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости, учитывающие разрывы в напржениях и деформациях на линиях ступенчатого изменения жесткости.

Проведено исследование нелинейного деформирования пластин и пологих ступенчато-переменной жесткости.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается:

— строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованным применением математических методов;

— аналитическим вычислением сингулярных интегралов и применением формул численного интегрирования, обеспечивающих высокую точность при формировании системы разрешающих уравнений;

— сходимостью приближенных решений, полученных МГЭ, при увеличении числа элементов на контуре;

— сходимостью приближенных решений, полученных методом Ритца и выполнением естественных граничных условий вариационного уравнения Лагранжаконтролем невязки решения системы нелинейных уравнений метода.

Ритца;

— многочисленными сравнениями с известными аналитическими и численными решениями, а также результатами экспериментальных исследований.

Практическая ценность. Разработанные итерационные процессы могут быть применены при решении широкого класса задач теории пластин и оболочек со сложным контуром, распространены на решения задач с учетом физической и геометрической нелинейностей. Предложенные аппроксимации приближенного решения методом Ритца могут быть использованы при решении задач статики и динамики пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости с учетом анизотропии, геометрической и физической нелинейностей и т. д. Разработанные алгоритмы и программы применялись для решения прикладных задач: определения напряженно-деформированного состояния изделия конструкционной оптики, расчета упругого элемента датчика давления, полки рамно-панельной конструкции. Программа МГЭ по расчету пластин, подкрепленных упругими ребрами, зарегистрирована в реестре программ для ЭВМ Рос АПО [391].

Диссертация состоит из введения пяти глав и списка литературы, содержащего 393 наименования. Изложена на 272 страницах машинописного текста, содержащего 28 таблиц и 88 рисунков.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Предложены итерационные процессы для решения на основе непрямого МГЭ задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек произвольной формы при действии распределенных и локальных нагрузок при различных способах закрепления.

2. Построен итерационный процесс для решения задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера, основанный на решении непрямым МГЭ задач изгиба и растяжения пластины.

3. Предложены итерационые процессы прямого и непрямого МГЭ для решения линейных задач пологих оболочек, основанные на применении фундаментальных задач изгиба и растяжения пластины.

4. Приведены основные соотношения МГЭ для задач изгиба и растяжения пластины. Для контура, составленного из прямолинейных граничных элементов разработана методика определения предельных значений основных потенциалов для задач изгиба и растяжения пластины, основаная на развитии результатов О. И. Панича по исследованию потенциалов полигармонического уравнения.

5. Проведено аналитическое вычисление интегралов с особенностями типа Коши и Адамара для задач изгиба и растяжения пластин. Для непрямого МГЭ предложен способ вычисления интеграла Адамара с особенностями типа 1¡-г2 при г —"0 из уравнения равновесия пластины. Такого типа особенность возникает в интегральном уравнении, определяющем поперечную силу на контуре пластины.

6. Получено фундаментальное решение для задачи изгиба ортотропной пластины. Выведены интегральные уравнения непрямого МГЭ для расчета ортотропной пластины.

7. Рассмотрено применение непрямого МГЭ к расчету пластин сложной формы, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, закрепленным на точечных опорах. Выведены интегральные уравнения для расчета подкрепленных по контуру пластин.

8. Разработаны алгоритмы решения задач изгиба пластин сложной формы, ортотропных пластин, пластин подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром. Прокладка рассматривается как мягкий слой, работающий на обжатие и сдвиг, которые в прокладке считаются постоянными.

9. Приведены результаты решения непрямым МГЭ задач изгиба пластин под действием распределенной нагрузки, многосвязных пластин под действием температурного поля, пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрами, ортотропных пластин.

10. Изложены разработанные алгоритмы решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек со сложным контуром, основанные на решении нелинейных задач непрямым МГЭ и методе продолжения по параметру. За ведущий параметр принят прогиб в заданной точке или поперечная нагрузка.

И. Проведено исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек с различной формой контура под действием распределенных и локальных нагрузок при граничных условиях шарнирного закрепления и жесткой заделки и их комбинациях. Построены зависимости «прогиб — нагрузка» .

12. Разработан алгоритм реализации итерационного процесса непрямого МГЭ для решения задач изгиба длинных гибких пластин и пологих цилиндрических панелей, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения длинных пластин. Проведено решение ряда задач.

13. Для линейных задач изгиба квадратных в плане пологих цилиндрических и сферических оболочек и задачи о больших прогибах четырехугольной пластины проведено численное исследование скорости сходимости итерационного процесса непрямого МГЭ в зависимости от выбора параметров релаксации.

14. Проведено исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера. Результаты исследования представлены в виде зависимостей «прогиб — нагрузка». Проведено сравнение решений для длинной и удлиненной пластины с отношением сторон равным трем.

15. Предложен итерационный процесс решения нелинейных задач пластин и пологих оболочек, основанный на решении прямым МГЭ задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщины. Интегральные уравнения получены методом взвешенных остатков.

16. Рассмотрено применение итерационного процесса на основе прямого МГЭ для решения линейных и нелинейных задач изгиба длинных пластин и пологих цилиндрических панелей постоянной и переменной толщины. Для линейных задач изгиба цилиндрических панелей постоянной толщины на основании численных экспериментов получены формулы для определения оптимальных значений параметров релаксации в зависимости от кривизны панели, при использовании которых итерационный процесс сходится за 6−10 итераций. Рассмотрены вопросы практической сходимости итерационного процесса для линейных и нелинейных задач.

17. Основная часть представленных в диссертации теоретических и численных результатов по расчету пластин и пологих оболочек МГЭ получена впервые.

18. Для пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости при применении теории, основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява, разработаны способы построения быстросходящегося приближенного решения для вариационного уравнения Лагранжа и вариационного уравнения смешанного типа, учитывающие разрывы в напряжениях и деформациях по линиям ступенчатого изменения жесткости.

19. Разработан способ решения системы линейных алгебраических уравнений с трехленточной блочной матрицей, к которой сводится расчет оболочки ступенчато-переменной жесткости при использовании уравнения Лагранжа, не обрабатывающий нулевые блоки.

20. Решены задачи нелинейного деформирования прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Построены зависимости «прогиб — нагрузка». Отмечается значительное влияние отношения жесткостей подобластей оболочки на критические нагрузки.

21. Предложенные итерационные процессы решения нелинейных задач на основе МГЭ не требуют больших затрат времени на подготовку исходных данных. Реализация итерационного процесса сводится к решению систем линейных уравнений с хорошо обусловленными матрицами. Это следствие сингулярности ядер интегральных уравнений. Этот факт отмечается, также, в работе [77].

22. Метод граничных элементов позволяет с высокой точностью определять напряженное состояние в окрестности локальных нагрузок, т. к. особенности в решениях описываются аналитически.

23. Предложенные итерационные процессы могут быть применены для решения физически нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек, а также задач с учетом физической и геометрической нелинейностей.

24. Исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости по предложенному алгоритму может быть проведено и для областей со сложной границей, если будут применены способы построения координатных функций для областей сложной формы.

25. Предложенный метод расчета пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости на основе вариационного уравнения Лагранжа внедрен в учебный процесс (написано учебное пособие) и применялся для расчета упругого элемента датчика давления, расчетная схема которого представляет ортотропную пластину ступенчато-переменной жесткости.

26. Разработанные алгоритмы МГЭ применялись при расчете по заказу предприятия изделий конструкционной оптики и полки рамно-панельной конструкции. Программа по расчету МГЭ пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрами, зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации и используются на кафедре строительных конструкций УлГТУ.

27. Проведенные многочисленные сравнения с известными теоретическими и экспериментальными результатами позволяют сделать заключение о высокой точности и эффективности предложенных в диссертации методов.