Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного упругого тела

Диссертация: Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного упругого тела
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В третьем разделе рассматривается применение асимптотического метода, развитого Л. И. Маневичем, для решения пространственных задач теории упругости трансверсально-изотропной среды, основанный на введении аффинного преобразования координат, компонент вектора перемещения, компонент тензоров напряжений и деформаций, переводящего трансверсально-изотропный материал в изоморфные модифицированные… Читать ещё >

Содержание

  • 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
    • 1. 1. Граничные условия в контактных смешанных задачах теории упругости
    • 1. 2. Плоские статические контактные задачи для изотропной полуплоскости
    • 1. 3. Плоские статические контактные задачи для анизотропного упругого тела
    • 1. 4. Пространственные статические контактные задачи теории упругости
    • 1. 5. Математические методы в контактных задачах теории упругости
      • 1. 5. 1. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости
      • 1. 5. 2. Метод парных интегральных уравнений в смешанных задачах теории упругости
    • 1. 6. Аффинные преобразования и метод малого параметра в плоской задаче теории упругости
      • 1. 6. 1. Постановка задачи в напряжениях
      • 1. 6. 2. Постановка плоской задачи теории упругости в перемещениях
  • 2. ИЗОМОРФНЫЕ МОДИФИЦИЕОВАННЫЕ’ЛРОСТРАНСТВА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
    • 2. 1. Модифицированные пространства в декартовой системе координат
      • 2. 1. 1. Ортотропный материал в изоморфных модифицированных пространствах
      • 2. 1. 2. Трансверсально-изотропный материал в изоморфных модифицированных пространствах
    • 2. 2. Трансверсально-изотропный материал в модифицированных пространствах цилиндрической системы координат
    • 2. 3. Анализ некоторых изоморфных модифицированных пространств трансверсально-изотропного материала в цилиндрической системе координат
  • 3. ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
    • 3. 1. Вывод приближённых уравнений пространственной теории упругости трансверсально-изотропной среды на основе асимптотического метода
    • 3. 2. Осесимметричная пространственная задача для трансверсально-изотропной среды
    • 3. 3. О структуре главных уравнений для высших приближений
    • 3. 4. Иллюстрация предложенного метода на примере решения задачи о действии сосредоточенной силы на границу трансверсальноизотропного полупространства
    • 3. 4. Л. Постановка задачи и граничные условия
      • 3. 4. 2. Решение задачи в нулевом приближении
      • 3. 4. 3. Решение задачи в первом приближении
      • 3. 4. 4. Решение задачи во втором приближении
      • 3. 4. 5. Построение приближённого решения и сопоставление его с точным решением задачи
  • 4. НЕКОТОРЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
    • 4. 1. Действие гладкого кругового штампа с плоским основанием на границу трансверсально-изотропного полупространства
      • 4. 1. 1. Постановка задачи и граничные условия
      • 4. 1. 2. Решение задачи в нулевом приближении
      • 4. 1. 3. Решение задачи в первом приближении
      • 4. 1. 4. Решение задачи во втором приближении
      • 4. 1. 5. Построение приближённого решения и сопоставление его с точным решением задачи
    • 4. 2. Контактная задача для параболического кругового штампа при отсутствии сил трения
      • 4. 2. 1. Постановка задачи и граничные условия
      • 4. 2. 2. Решение задачи в нулевом приближении
      • 4. 2. 3. Решение задачи в первом приближении
      • 4. 2. 4. Решение задачи во втором приближении
      • 4. 2. 5. Построение приближённого решения и сопоставление его с точным решением задачи. '

Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного упругого тела (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Современная техника предъявляет всё более жёсткие требования к точности, с которой должно быть определено напряжённо-деформированное состояние конструкций и сооружений. Большие возможности с этой точки зрения предоставляют интенсивно развивающиеся численные методы, предполагающие использование ЭВМ. Но с другой стороны, остаётся насущной и даже возрастает потребность в качественных методах, точных или приближённых решениях, которые позволяют выявить основные механизмы работы конструкций и выбрать наиболее эффективный алгоритм численного исследования. Естественным математическим аппаратом, позволяющим построить обоснованные приближённые уравнения и оценить области использования различных гипотез, является асимптотический анализ. Асимптотические методы получили весьма широкое развитие и применение в теории пластин и оболочек (прежде всего в работах А. Л. Гольденвейзера, И. И. Воровича, В. М. Александрова и др. [35−37, 6−15]). Асимптотическое интегрирование уравнений равновесия является одним из наиболее эффективных способов построения приближённых аналитических решений.

В современных конструкциях наряду с материалами, обычно при расчётах принимаемыми за однородные и изотропные, используются для изготовления деталей и анизотропные материалы. У них наблюдается резкое различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесинаобщеизвестно, что модуль упругости древесины при растяжении вдоль волокон значительно больше соответствующего модуля при растяжении поперёк волокон. Упругие постоянные древесины зависят от направления по отношению к древесным волокнам. Анизотропными (и притом неоднородными) являются синтетические материалы, применяемыми в авиастроении: дельта-древесина, авиа-фанера, текстолит и др. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы. Разными авторами отмечалась и исследовалась анизотропия железобетона.

Для того чтобы иметь возможность рассчитывать на прочность анизотропные детали, испытывающие упругие деформации, необходимо уметь определять напряжения и деформации в анизотропных телах теоретическим путём, т. е. решать задачи теории упругости анизотропного тела. В настоящее время теория упругости анизотропного тела весьма полно и всесторонне разработана (благодаря трудам главным образом учёных — Г. В. Колосова, Н. И. Мусхелишвили, Б. Г. Галёркина, П. Ф. Папковича, С. Г. Лехницкого, Г. Н. Савина и многих других [114−117, 86, 173, 130−135]). В этой области уже накопился довольно большой материал в виде ряда статей, опубликованных в различных журналах и сборниках и многих монографиях.

Непосредственно поводом для написания данной диссертации явилось осмысление идей, высказанных Н. М. Матченко в работах [96, 97].

Цель работы. Показать, что применение аффинных преобразований на основе асимптотических методов позволяют развить новые подходы к постановке, решению осесимметричных задач теории упругости трансверсально-изотропных упругих материалов.

Научная новизна работы. В диссертации рассмотрены различные варианты выбора компонент преобразующего тензора и получены несколько вариантов изоморфных модифицированных пространств, в которых с помощью асимптотического метода решаются осесимметричные задачи пространственной теории упругости трансверсально-изотропных сред:

1. Доказана теорема о множественности представления анизотропных материалов в изоморфных модифицированных пространствах.

2. Намечена классификация изоморфных модифицированных пространств.

3. Приводятся формулы для вычисления компонент преобразующего тензора.

4. Вводится новое представление модулей упругости в физическом пространстве в виде Е| = с1, • Е, (1 = 1,2,3, по не суммировать), позволяющие записать модули упругости в изоморфных модифицированных пространствах (Мп).

5. Установлена связь компонент преобразующего тензора с коэффициентами (1 = 1,2,3) для ортотропных, трансверсальноизотропных материалов в декартовой системе координат, а для трансверсально-изотропного — цилиндрической системе координат.

6. Проведён асимптотический анализ уравнений равновесия пространственной теории упругости в изоморфных модифицированных пространствах.

7. Благодаря введению представления модулей упругости в физическом пространстве и установлению связи компонент преобразующего тензора а.- с коэффициентами с^ (? = 1,2,3) в бесчисленном множестве изоморфных модифицированных пространств определены несколько вариантов (Мп) пространств. При асимптотическом анализе уравнений равновесия в данных (Мп) пространствах выделяется величина е, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов.

8. Показано, что способ выделения величины е в (Мп) пространствах имеет преимущество перед способом получения аналогичного параметра £м Л. И. Маневичем и его учениками [90, 91]. Преимущество заключается в расширении области применения асимптотического метода при решении осесимметричных. задач теории упругости для большинства трансверсально-изотропных материалов.

9. Рассмотрен вопрос о структуре уравнений высших приближений в изоморфных модифицированных пространствах.

10. Среди модифицированных пространств выделяется эквивалентное, в котором коэффициенты податливости в направлении исходной цилиндрической системы координат одинаковы и, например, равны единице {эталонное пространство).

Практическая ценность. Благодаря введению аффинных преобразований получены аналитические решения некоторых контактных задач теории упругости трансверсально-изотропных материалов асимптотическим методом. Расширена область применения асимптотического метода за счёт выделения в изоморфных модифицированных пространствах величины, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов. Полученные в нулевом приближении аналитические решения дают погрешность по сравнению с точным решением не более 6%.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением фундаментального математического аппарата механики деформируемого твёрдого тела, возможность получения из приведённых в диссертации уравнений пространственной теории упругости известных теоретических построений, сопоставления полученных решений с точными решениями, решения тестовых задач.

В первом разделе представлен анализ работ по одному из разделов механики твёрдого деформированного тела — теории контактных задач, позволяющий определить место и значение новых результатов, изложенных далее в диссертации. Раздел состоит из шести частей. В первой части приводится разнообразие способов приложения внешних нагрузок, создающих напряжённое состояние, к различным комбинациям которых приводится большинство контактных задач. Во второй и третьей частях излагается материал относящейся к плоским контактным задачам теории упругости, как для изотропной полуплоскости, так и для анизотропной среды. В четвёртой части приводятся обзоры работ посвященных пространственным статическим контактным задачам теории упругости, преимущественно, задач о давлении жёсткого штампа на упругое полупространство. В пятой части перечислены основные математические методы, используемые в контактных задачах теории упругости. Более подробно изложены асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости и метод парных интегральных уравнений. В шестой части даётся обзор литературных источников, в которых применяются аффинные преобразования и метод малого параметра при решении плоской задачи теории упругости. Эти работы разделены на два класса: а) постановка задачи в напряжениях с использованием функций напряженийб) постановка задачи в перемещениях. Из рассмотренных работ шестой части следует, что в них используются аффинные преобразования либо координат, либо координат и компонент вектора перемещения, причём преобразования вводятся в уже сформулированные в физическом пространстве уравнения совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений, либо в уравнения равновесия, записанное через компоненты вектора перемещения.

Во втором разделе исследуется возможность аффинного преобразования координат, перемещений, полей напряжений и деформаций для анизотропного материала, отнесённого как к декартовой системе координат, так и к цилиндрической системе. Вводится понятие о модифицированных пространствах. Доказывается теорема о множественности представлений одного и того же анизотропного материала в различных изоморфных модифицированных пространствах.

Подробно выписаны соотношения между обобщёнными напряжениями и деформациями для случаев произвольной анизотропии, ортотропии и трансверсальной изотропии в декартовой системе координат, а для трансверсальной изотропии — цилиндрической системе координат. Приводятся формулы для вычисления компонентов преобразующего тензора, а также вводится представление модулей упругости в физическом пространстве в виде Е, = <3, • Е (, где =1,2,3. Установлена связь компонентов преобразующего тензора а^ с коэффициентами (1|. Рассмотрены различные варианты выбора компонентов преобразующего тензора и получены шесть вариантов изоморфных модифицированных пространств. Особый интерес представляют варианты III — VI, так как при асимптотическом анализе уравнений равновесия пространственной теории упругости в перемещениях в данных (Мп) пространствах выделяется величина ?, которая для большинства трансверсально-изотропных материалов является малым параметром. На основе анализа данных об упругих характеристиках тридцати произвольно выбранных трансверсально-изотропных материалов, показано, что жёсткостная характеристика материала, которую предлагается использовать в качестве малого параметра при решении дифференциальных уравнений равновесия асимптотическим методом изменяется в диапазоне от 0.003 до 0.27. С учётом того, что е «1 в следующих разделах получены неотличимые от точного аналитические решения некоторых контактных задач в уже нулевом приближении. Среди модифицированных пространств выделяется эквивалентное (вариант I), в котором коэффициенты податливости в направлении исходной цилиндрической системы координат одинаковы и, например, равны единице {эталонное пространство). Перевод анизотропного материала в эталонное пространство как бы упаковывает его механические характеристики, позволяя сравнивать между собой различные материалы.

В третьем разделе рассматривается применение асимптотического метода, развитого Л. И. Маневичем, для решения пространственных задач теории упругости трансверсально-изотропной среды, основанный на введении аффинного преобразования координат, компонент вектора перемещения, компонент тензоров напряжений и деформаций, переводящего трансверсально-изотропный материал в изоморфные модифицированные пространства варианты III — VI. При этом естественным является использования разложения искомого решения в ряд по малому параметру г, зависящему от упругих характеристик среды. Компоненты вектора перемещений представляются в виде суперпозиции решений двух типов. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений равновесия первого типа по параметру? определяет интегралы, медленно изменяющиеся вдоль оси г по сравнению с интегралами дифференциальных уравнений равновесия второго типа. В связи с этим выделяются напряжённо-деформированное состояние (первого типа), относительно медленно изменяющееся вдоль оси х и напряжённо-деформированное состояние (второго типа), быстро изменяющееся вдоль оси ъ и локализующееся вблизи граничной поверхности — пограничный слой. Особое внимание уделено вопросу о структуре уравнений высших приближений. При этом вводятся дополнительные преобразования координат в направлении оси г.

00 = х- -^е" 1 -а^, где ?=1,2. Доказывается, что справедлива следующая.

111=0 теорема. Если коэффициенты а^ (1 = 1,2 т = 1,2,3,.) подбираются специальным образом, чтобы все независимые уравнения в последующих приближениях (т.е. уравнения относительно У,(П') в системах первого типа и относительно и^ в системах второго типа) совпадали с соответствующими уравнениями для предельных систем, а коэффициенты ац' 0 = 1,2) принимаются равными единице, так как уравнения нулевого приближения должны совпадать с предельными системами при Проведён более детальный асимптотический анализ для осесимметричной задачи трансверсально-изотропной среды. Определена связь между решениями первого и второго типов через граничные условия.

Интегрирование дифференциальных уравнений равновесия свелось к последовательному интегрированию уравнений для функций W,^, U^ при соответствующих граничных условий. При этом уравнения второго типа для каждого из приближений интегрируются после интегрирования соответствующих уравнений первого типа. Записаны соответствующие ряды для определения напряжений. В третьей части данного раздела предложенный метод иллюстрируется на примере решения задачи о действии сосредоточенной силы на границу трансверсально-изотропного полупространства. с учётом введённых аффинных преобразований определены граничные условия задачи. Решение задачи свелось к последовательному интегрированию уравнений равновесия в нулевом, первом, втором и третьем приближениях при соответствующих граничных условиях в изоморфных модифицированных пространствах вариантов iiiVI. Полученное решение задачи сопоставлено с точным решением и приведены графики безразмерных перемещений и напряжений. Результаты вычислений показывают, что уже в нулевом приближении для функции перемещения и погрешность по силовым параметрам в сравнении с точным решением для наихудшего значения малого параметра составила не более 6%. С учётом поправок двух приближений погрешность уменьшается до 2%. Величина погрешности для функции ш с учётом поправок трёх приближений составила 22%. К вопросу о сходимости рядов для функций перемещений со и и приведены разложения данных функций на нулевое, первое, второе и третье приближения. Анализируя результаты приведённых разложений можно судить, что возможно численно ряды для функций со и и сходятся, так как поправки следующих приближений в процентном отношении к нулевому решению значительно уменьшаются.

Четвёртый раздел состоит из двух частей. В первой части решается задача о действии гладкого штампа с плоским основанием на границу трансверсально-изотропного полупространства при отсутствии сил трения.

Во второй части рассматривается задача о вдавливании параболического осесимметричного штампа в полупространство при отсутствии сил трения. В первой задаче заранее известны границы области контакта. Основная трудность, которая возникает при применении асимптотического метода к решению второй задачи связана с необходимостью построения процесса, позволяющего определить на каждом этапе неизвестные границы контакта. С учётом введённых аффинных преобразований определены граничные условия каждой задачи. Решение задач свелось к последовательному интегрированию уравнений равновесия в нулевом, первом и втором приближениях при соответствующих граничных условиях в изоморфных модифицированных пространствах вариантов III — VI. Полученные решения задач сопоставлены с точными решениями и приведены графики безразмерных перемещений и напряжений. Для первой задачи приведены разложения осадки штампа С*0 на нулевое, первое и второе приближения при значении радиуса области контакта, а = 1. Анализируя результаты разложения осадки штампа можно судить, что возможно численно ряды для функции Со • сходятся, так как поправки следующих приближений в процентном отношении к нулевому решению значительно уменьшаются. Результаты вычислений для первой задачи показывают, что погрешность функции перемещения со для наихудшего значения малого параметра не более 1%.

Структура и объём диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка литературы. Работа содержит 162 страниц машинописного текста, включая: 26 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 173 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Анализ основных результатов, полученных в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Предложено аффинное преобразование координат, перемещений, напряжений и деформаций, т. е. вводятся изоморфные модифицированные пространства (Мп), а также представление модулей упругости в физическом пространстве.

2. Рассмотрены различные варианты выбора компонент преобразующего тензора и получены несколько вариантов изоморфных модифицированных пространств, в которых с помощью асимптотического метода решаются осесимметричные задачи пространственной теории упругости трансверсально-изотропных сред.

3. В полученных вариантах (Мп) пространств выделяется величина в, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов, что позволяет при решении дифференциальных уравнений равновесия теории упругости использовать асимптотический метод.

4. Показано, что способ выделения величины е в (Мп) пространствах имеет преимущество перед способом получения аналогичного параметра Л. И. Маневичем и его учениками [90, 91]. Преимущество заключается в расширении области применения асимптотического метода при решении осесимметричных задач теории упругости для большинства трансверсально-изотропных материалов.

5. Форма записи основных уравнений пространственной теории упругости в физическом и модифицированных пространствах совпадает за исключением значений механических характеристик,.

146 что значительно упростило определение обоснованных приближённых уравнений равновесия для трансверсально-изотропной среды.

6. На примере решения задач о действии сосредоточенной силы и вдавливании гладкого (круглого в плане), параболического штампов на трансверсально-изотропное полупространство продемонстрирована эффективность применения метода малого параметра в осесимметричной задаче теории упругости в некоторых изоморфных модифицированных пространствах. Показано, что для инженерных решений достаточно ограничиться нулевым приближением.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.М. Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство. — «Докл. АН СССР», 1939, 23, № 8.
  2. .Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. -«Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела», 1969, № 4.
  3. .Л., Александров А. Я. Осесимметричные задачи теории упругости. Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., «Наука», 1966, вып. 3.
  4. .Л., Арупонян Н. Х., Баблоян A.A. О симметричном давлении круглого штампа на упругое полупространство при наличии сцепления. ПММ, 1966, 30, вып. 1.
  5. А.Я., Соловьёв Ю. Н. Пространственные задачи теории упругости. М., «Наука», 1978.
  6. В.М. К решению некоторых контактных задач теории упругости. ПММ, 1963, 27, вып. 5.
  7. В.М. К решению одного типа двухмерных интегральных уравнений. ПММ, 1964, 28, вып. 3.
  8. В.М. Осесимметричная задача о действии кольцевого штампа на упругое полупространство. «Изв. АН СССР, Механика твёрдого тела», 1967, № 4.
  9. В.М. О приближённом решении одного типа интегральных уравнений. ПММ, 1962, 26, вып. 5.
  10. В.М. О приближённом решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики. ПММ, 1967, 31, вып. 6.
  11. В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости. ПММ, 1968, 32, вып. 4.
  12. В.М. О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления или трения. ПММ, 1970, 34, вып. 2.
  13. В.М., Белоконь A.B. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений, встречающихся при изучении смешанных задач математической физики для областей с цилиндрическими границами. ПММ, 1968, 32, вып. 3.
  14. В.М., Ворович И. И. Контактные задачи для упругого слоя малой толщины. ПММ, 1964, 28, вып. 2.
  15. В.М., Ворович И. И. О давлении штампа на упругий слой конечной толщины. ПММ, 1960, 24, вып.2.
  16. В.М., Бабешко В. А. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины. «Изв. АН СССР. Механика», 1965, № 2.
  17. В.М., Пожарский Д. А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Изд-во «Факториал», 1998. — 288с.
  18. А.Е., Панасюк В. В. Давление системы круговых штампов на упругое полупространство. «Докл. АН УССР», 1971, № 6.
  19. М.Н. Расчёт фундаментов разрезного типа. «Гидротехн. стр-во», 1941, № 6.
  20. В.А. Об одном эффективном методе решения некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики. ПММ, 1967, 31, вып. 1.
  21. В.А. Периодические уравнения свёртки и свойства их решений. «Докл. АН СССР», 1970,192, № 1.
  22. В.А. Интегральные уравнения свёртки первого рода на системе отрезков, возникающих в теории упругости и математической физике. ПММ, 1971, 35, вып. 1.
  23. A.A. Решение некоторых парных уравнений, встречающихся в задачах теории упругости. ПММ, 1967, 31, вып.4.
  24. П.А., Матченко О. Н. Некоторые задачи теории тонких ортотропных пластин в модифицированном пространстве. В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с. 50, / ТулГУ, Тула, 2000.
  25. А.И. Решение задачи давления системы жёстких профилей на прямолинейную границу упругой полуплоскости. -«Докл. АН СССР», 1940, 27, № 9.
  26. Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразование Фурье, Лапласа, Мелина.: Справочник. М.: «Наука», 1986.
  27. С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двухсвязных областей. Новосибирск, изд-во СО АН СССР, 1962.
  28. A.B. О местных деформациях при сжатии упругих тел. -«Сообщ. АН ГССР», 1942, 3, № 5.
  29. Н.М. Плоская контактная задача для упругого тела конечной ширины. «Изв. АН СССР. Механика», 1962, № 6.
  30. Н.М., Бородачёва Ф. Н. Вдавливание кольцевого штампа в упругое полупространство. «Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела», 1966, № 4.
  31. В.З., Леонтьев П. П. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Физматгиз, М., 1960.
  32. Н.И. Приближённые уравнения пространственной теории упругости для трансверсально-изотропной среды. В сб.: Решение некоторых физико-технических задач, Днепропетровск, 1972.
  33. Н.И. Применение асимптотического метода к исследованию напряжённо-деформированного состояния трансверсально-изотропных оснований. Кандидатская диссертация, Днепропетровск, 1975.
  34. Н.И., Коблик С. Г., Маневич Л. И. Осесимметричная контактная задача с учётом сцепления и скольжения. ПММ, 1979, 43, вып. 3.
  35. И.И., Срубщик Л. С. Асимптотический анализ общих уравнений в нелинейной теории упругости. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969.
  36. И.И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости, «Наука», М., 1974.
  37. И.И., Устинов Ю. А. О давлении штампа на слой конечной толщины. ПММ, 1959, 23, вып. 3.
  38. Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления. -ПММ, 1945, 9, вып. 5.
  39. Л.Д. Смешанные задачи теории упругости с силами трения для полуплоскости. «Докл. АН СССР», 1948, 39, № 3.
  40. Галин*Л.А. Контактные задачи теории упругости. М., Гостехиздат, 1953.
  41. Л.А. и др. Развитие теории контактных задач в СССР. М., «Наука», 1976.
  42. Ф.Д. Краевые задачи. М., Физматгиз, 1963.
  43. Н.И. Упругие напряжения вдоль основания плотин. -«Докл. АН СССР», 1942, 34, № 7.
  44. Н.И. Сопротивление перекатыванию цилиндрических тел. -ПММ, 1945,9, вып. 4.
  45. Н.И. Трение и износ при качении цилиндрических тел. -«Изв. АН СССР, Инженерный журнал», 1964, 9, вып. 4.
  46. Горбунов-Посадов М. И. Современное состояние научных основ фундаментостроения, «Наука», 1967.
  47. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т. А. Расчёт конструкций на упругом основании. М., Стройиздат, 1973.
  48. И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1962.
  49. Д.В. Давление жёсткого цилиндра на внутреннюю поверхность круговой цилиндрической полости в анизотропном теле. «Докл. АН СССР», 1954, № 3.
  50. Д.В. Смешанная задача теории упругости для ортотропного массива с круговым вырезом. «Прикл. мех.», 1957, 3, вып. 4.
  51. Д.В. Сжатие двух упругих анизотропных тел при учёте сил трения (плоская задача). «ДАН УССР», 1953, № 2.
  52. Д.В., Кизыма Я. М. Осесимметричная контактная задача для трансверсально-изотропного слоя, покоящегося на жёстком основании. «Изв. АН СССР. Механика», 1962, № 3.
  53. B.C., Моссаковский В. И. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругое полупространство. ПММ, 1960, 24, вып. 2.
  54. B.C., Грабко Г. К., Накашидзе Г. М. Контактная задача о круговом штампе для полупространства с учётом сил трения. -«Прикладная механика», 1971, 7, вып. 3.
  55. B.C. Некоторые контактные задачи и дробное дифференцирование. ПММ, 1959, 23, вып. 4.
  56. А.Н. Формула Герца и её опытная проверка. «Журн. русск. физ.-хим. о-ва, физ. отд.», 1906, 38, отд. 1, вып. 4.
  57. В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. «Наука», М., 1974.
  58. В.И., Яшин В. Ф. Некоторые пространственные задачи теории упругости. Гомель, изд. Бел. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1961.
  59. В.И., Гузеева Г. В. Об одной контактной задаче о жёстком круговом штампе для упругого полупространства. -«Учён. зап. БИИЖТа», 1958, № 8.
  60. О.В., Кудинов В. Н. Прикладные возможности вариационного алгоритма решения задач устойчивости тонких пологих оболочек. ТулГУ, Тула, Деп. в ВИНИТИ № 2210 В98,1998.-4с.
  61. О.В., Матченко О. Н. Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного тела. В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с. 65 66, / ТулГУ, Тула, 2000.
  62. О.В., Матченко О. Н. Метод малого параметра в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного тела. В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с. 33 34, / ТулГУ, Тула. 2001.
  63. О.В., Матченко О. Н. Аффинные преобразования в пространственной задаче теории упругости трансверсально-изотропной среды. В кн.: Изв. ТулГУ, Тула, 2000. с. 34 — 45.
  64. А.И. К контактным задачам теории упругости. ПММ, 1957, 21, вып. 3.
  65. А.И. Плоская задача типа Герца о сжатии цилиндрических тел. «Сообщ. АН ГССР», 1958, 21, № 1.
  66. Я.М., Грилицкий Д. В. К осесимметричной задаче о давлении плоского круглого штампа на упругое полупространство при наличии сцепления. «Прикл. мех.», 1964,10, вып. 3.
  67. Я.М. Давление кругового штампа на упругий слой при наличии в зоне контакта касательных усилий. «Прикладная механика», 1973, 9, вып. 8.
  68. Г. К. Об уравнениях, предложенных O.K. Фрелих. «Вестник инженеров и техников», 1948, № 2.
  69. П.И. Напряжённое состояние упругой среды, нагруженной бесконечно жёсткой полосой постоянной ширины. «Труды Ленингр. ин-таинж. пром. стр-ва», 1938, вып. 6.
  70. С.Г. Контактная задача для ортотропной полуплоскости при наличии в области контакта участков скольжения и сцепления. В сб.: Решение некоторых физико-технических задач, Днепропетровск, «Изд-во ДГУ», 1972.
  71. С.Г. Применение асимптотического метода к решению контактных задач с неизвестной заранее областью контакта. В сб.: Решение некоторых физико-технических задач, Днепропетровск, «Изд-во ДГУ», 1972.
  72. С.Г. Применение асимптотического метода к решению плоских задач теории упругости для ортотропной полосы при наличии зон трения и сцепления на участке контакта. Кандидатская диссертация, Днепропетровск, 1974.
  73. С.Г., Маневич Л. И. Контактная задача для ортотропной полосы при наличии в области контакта участков сцепления и скольжения. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости / ДГУ. Днепропетровск, 1976, вып. 20.
  74. Г. В. Плоская контактная задача теории упругости для заглубленных штампов. «Изв. вузов. Стр-во и архит.», 1962, № 3.
  75. .Г. Введение в теория бесселевых функций. «Наука», М., 1971.
  76. .Г., Черниголовская Е. И. Расчёт плит на упругом основании. Госстройиздат, М., 1962.
  77. В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., Физматгиз, 1963.
  78. O.A. Краевые задачи математической физики, -«Наука», М., 1973.
  79. М.Я. Некоторые задачи и приложения теории потенциала. -ПММ, 1940,4, вып. 5.
  80. М.Я. Решение одного интегрального уравнения теории ньютоновского потенциала. «Укр. мат. журн.», 1953, 5, № 1.
  81. М.Я. Метод инверсии в контактных задачах теории упругости. «Науч. зап. Ин-та машиновед, и автомат. АН УССР», 1953, 1.
  82. С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., Наука, 1977.-463с.
  83. А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., Гостехиздат, 1955.
  84. А.И. Теория упругости. М., «Наука», 1970.
  85. В.П. Анализ закона Гука. Лекции по анизотропной упругости. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского унив., 1992.
  86. Л.И., Павленко A.B., Коблик С. Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. «Вища шк. Головное изд-во», Киев, 1982.
  87. Л.И., Павленко A.B. К решению контактных задач теории упругости для ортотропной полосы с учётом сил трения. «Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела», 1974, № 6.
  88. Л.И., Павленко A.B., Шамровский А. Д. К решению плоской задачи теории упругости для ортотропной среды. В сб.: Вопросы прочности, надёжности и разрушение механических систем. Днепропетровск, изд. ДГУ, 1969.
  89. Л.И., Павленко A.B., Шамвровский А. Д. Приближённый метод решения контактных задач теории упругости для ортотропной полосы, подкреплённой рёбрами жёсткости. -«Гидроаэромеханика и теория упругости», 1971, вып. 13.
  90. Л.И., Воробьёва Н. И. О приближённых уравнениях осесимметричной задачи теории упругости для трансверсально-изотропного основания. «Прикладная механика», 1972, 8, вып. 10.
  91. М.Д. Некоторые пространственные контактные задачи теории упругости. В сб.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М., изд. НИИмаш, 1969.
  92. И.Н., Матченко Н. М., Матченко О. Н. О множественности модифицированных пространств в анизотропных средах В кн.: «Современные проблемы математики, механики, информатики», с. 97,/ТулГУ, Тула, 2000.
  93. И.Н., Матченко Н. М., Матченко О. Н. О множественности эквивалентных представлений анизотропных материалов В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с. 83, / ТулГУ, Тула, 2000.
  94. Ю.М. Перечень опубликованных в Советском Союзе работ по расчёту плит и балок на сжимаемом основании (обзор за 1917 1967г), НИИ оснований и подземных сооружений, 1967.
  95. .Л. Смешанная граничная задача теории упругости для плоскости с круговым отверстием. -ПММ, 1948, 12, вып. 4.
  96. С.Г. О напряжении в породе над угольном пластом. «Изв. АН СССР. ОТН», 1942, № 7 — 8.
  97. И.И. О качении упругих тел. Гидромеханика и теория упругости, 1968, № 8.
  98. В.И. Применение теории взаимности к определению суммарных сил и моментов в пространственных контактных задачах. ПММ, 1953, 17, вып. 4.
  99. В.И. Давление круглого штампа на упругое полупространство. «Науч. зап. Ин-та машиновед, и автомат. АН УССР», 1953, 2, вып. 1.
  100. В.И. Давление штампа, близкого в плане к круговому на упругой полупространство. ПММ, 1954, 18, вып. 6.
  101. В.И. Общее решение задачи об определении давления под подошвой круглого в плане штампа без учёта сил трения. «Науч. зап. Ин-та машиновед, и автомат. АН УССР», 1955, 2, вып. 1.
  102. В.И. Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий. ПММ, 1954, 18, вып. 2.
  103. В.И. Некоторые пространственные контактные задачи теории упругости. Докторская диссертация, М., 1955.
  104. В.И. О перекатывании упругих цилиндров. ПММ, 1959, 23, вып. 5.
  105. В.И. Контактные задачи с неизвестными и полунеизвестными границами. В сб.: XIII Международный конгресс по теоретической и прикладной механике, «Наука», М., 1972.
  106. В.И., Бискуп А. Г. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления. «Докл. АН СССР», 1972, 206, № 5.
  107. В.И., Качаловская Н. Е., Голикова С. С. Контактные задачи теории упругости. Киев.: Наук, думка, 1985.
  108. В.И., Онищенко В. И., Рвачёв B.JI. О применении функций Грина к решению смешанной задачи теории упругости для полупространства. «Прикл. мех.», 1964, 10, вып. 3.
  109. Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., «Наука», 1966.
  110. Н.И. Решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости. «Докл. АН СССР», 1935, 8, № 2.
  111. Н.И. Основные граничные задачи теории упругости для полуплоскости. «Сообщ. АН ГССР», 1941, 2, № 10.
  112. Н.И. К задаче равновесия жёсткого штампа на границе упругой полуплоскости при наличии трения. «Сообщ. АН ГССР», 1942,3, № 5.
  113. A.B. Применение асимптотического метода к решению плоских смешанных задач теории упругости для ортотропной среды. Кандидатская диссертация, Днепропетровск, 1971.
  114. Г. Я. Плоская контактная задача теории упругости с учётом сил сцепления и трения. -ПММ, 1966, 30, вып.З.
  115. Г. Я. Об одном способе решения осесимметричной контактной задачи теории упругости. ПММ, 1961,25, вып. 1.
  116. Г. Я. Об одном приближённом способе решения контактной задачи о кольцевом штампе. «Изв. АН АрмССР. Механика», 1967, 20, № 2.
  117. Г. Я. Осесимметричная контактная задача для упругого неоднородного полупространства при наличии сцепления. ПММ, 1973, 37, вып. 6.
  118. Г. Я., Ростовцев H.A. Контактные смешанные задачи теории упругости. Труды II Всесоюз. съезда по теорет. и прикл. мех., вып. 3. М., «Наука», 1966.
  119. Н.П. Фундаменты, Госстройиздат, 1934.
  120. B.JI. О давлении на упругое полупространство штампа заданной формы в плане. Тезисы докладов Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, М., 1960.
  121. Рвачёв В Л. Исследования учёных Украины в области контактных задач теории упругости. «Прикл. мех.», 1967, 3, вып. 10.
  122. В.JI. Пространственная контактная задача теории упругости и некоторые её приложения. Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физмат наук, М., 1960.
  123. H.A. Комплексные потенциалы в задаче о штампе круглом в плане, ПММ, 1957, 21, вып. 1.
  124. H.A. О некоторых случаях контактной задачи. «Укр. мат. журн.», 1954, 6, № 3.
  125. Г. Н. Давление абсолютно жёсткого штампа на упругую анизотропную среду. «Докл. АН УССР», 1939, № 6.
  126. Г. Н. Давление систем абсолютно жёстких штампов на упругую анизотропную полуплоскость. «Сообщ. АН ГССР», 1940, 1, № 10.
  127. Г. Н. О дополнительном давлении, передающемся по подошве абсолютно жёсткого штампа на упругое анизотропное основание, вызванное близлежащей нагрузкой. «Докл. АН УССР», 1940, № 7.
  128. Г. Н. О некоторых контактных задачах теории упругости. -«Труды Тбил. мат. ин-та АН ГССР», 1946, 14.
  129. Г. Н. Смешанная задача для анизотропной полуплоскости. -«Науч. зап. Львовск. ун-та», 1950, 5, вып. 2.
  130. Г. Н., Грилицкий Д. В. Сжатие двух упругих анизотропных тел. «ДАН УССР», 1951, № 2.
  131. A.B., Дараган В. И. Метод малого параметра в плоской задаче теории упругости анизотропного тела. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек/ КазГУ, Казань, 1978, № 8.
  132. В.А. О совместном действии на упругую полуплоскость клина и штампа. ПММ, 1966, 30, № 4.
  133. Л.И. плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., Наука, 1966.
  134. Я.С. Осесимметричная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий, «ДАН СССР», 1956, 110, № 4.
  135. Я.С. Контактная задача теории упругости для кругового в плане штампа при наличии сцепления, ПММ, 1956, 20, № 5.
  136. Я.С. Смешанная задача теории упругости для клина. -«Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», 1959, № 2.
  137. Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л., «Наука», 1968.
  138. В.И. Об одном неосесимметричной задаче для трансверсально-изотропного полупространства. «Прикладная механика», 1971, 7, вып. 3.
  139. В.И. Пространственная контактная задача для шероховатого штампа. «Прикладная механика», 1974, 10, вып. 7.
  140. C.B. О давлении жёсткого штампа на упругую полуплоскость при наличии участков сцепления и скольжения. -ПММ, 1945, 9, вып. 5.
  141. Филоненко-Бородич М. М. Некоторые приближённые теории упругого основания. «Уч. зап. МГУ», 1940, вып. 46.
  142. В.А. Основы механики грунтов, т.1, 1952, т.2, 1961, Госстройиздат, М.
  143. И.Н., Воронов Ф. Ф., Бакута С. А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов: Справочник. Киев: Наукова думка, 1982.
  144. А.И. О методе парных интегральных уравнений и парных рядов и его приложениях к задачам механики. ПММ, 1966, 30, вып.2.
  145. Цянь-Сюэ-Сэнь. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го. В сб.: Проблемы механики, 1959, вып. 2.
  146. С.А. Давление жёсткого штампа на упругое основание. -Собр. соч., 3. М. Л., Гостехиздат, 1950.
  147. Г. Н. Асимптотические методы в теории оболочек (сосредоточенные нагрузки). Труды VI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. М., «Наука», 1966.
  148. Ю.И. Сведение периодических задач математической физики к особым уравнениям с ядром Коши. «Докл. АН СССР», 1961, 140, № 1.
  149. Ю.И. Задачи математической физики, сводящиеся к задачам Римана. «Труды Тбил. мат. ин-та АН ГССР», 1962, 28.
  150. Д.И. Плоская задача теории упругости со смешанными предельными условиями. «Труды Сейсмол. ин-та АН СССР», 1938, № 86.
  151. Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости. Труды II Всесоюз. съезда по теорет. и приют, мех. М., «Наука», 1962.
  152. О.Я. Расчёт бесконечной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной сосредоточенной силой. В сб.: Свайные и естественные оснований, Госстройиздат, 1939, № 10.
  153. И.Я. Местные деформации при сжатии упругих круговых цилиндров, радиусы которых почти равны. «Докл. АН СССР», 1940, 29, № 3.
  154. И.Я. Контактная задача теория упругости. М., Гостехиздат, 1949.
  155. А. Асимптотические разложения. Физматгиз, М., 1962.
  156. W.T. Решение некоторых задач теории упругости асимптотическими методами. Приложение теории функций в механике сплошной среды, I. М., «Наука», 1965.
  157. M.L. (Садовский M.Jl.) Zweidimensionale Probleme der Elastizitatstheorie. ZAMM, 1928, 8, Bd 2.
  158. Spence D.A. An eigenvalue problem for elastic contact with finite friction. The University af Wisconsin Mathematics research center technical summary report, 1972.
  159. Spence D.A. The Jlerts contact problem with finite friction. В сб.: XIII Международный конгресс по теоретической и прикладной механике, «Наука», М., 1972.
  160. Srivastav R. Dual series relations II. Dual relations involving Dini series.- «Proc. Roy. Soc. Edinburgh», 1964, Ser. A, 66.
  161. Srivastav R. Dual series relations III. Dual relations involving series of Jacobi polynomials. «Proc. Roy. Soc. Edinburgh», 1964, Ser. A, 66, pt 3. г
  162. Tranter C.J. A note on dual equations with trigonometrical kernels. -«Proc. Edinburgh Math. Soc.», 1963,13, 262.
  163. Brunelle E.J. AIAA Journal, Vol. 23, Dec., 1985, pp. 1957−1961.
  164. Brunelle E.J. and Oyibo G.A. AIAA Journal, Vol. 21, Aug., 1983, pp. 1150−1156.
  165. Oyibo G.A. and Brunelle E.J. AIAA Journal, Vol. 23, Feb., 1985, pp. 296−300.
  166. Shield R. Proc. Cambridge Phil. Soc., 47,1951, pp. 401.
  167. Conway H. J. Appl. Mech., 21, 1954, pp. 42−44.
  168. С.Г. Анизотропные пластинки. М., Гостеориздат, 1957.- 248 с.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!