Достижимость минимального показателя роста групп с периодическими соотношениями

В работе исследуются функции роста бесконечных групп, их асимптотическое поведение, а также зависимость такого поведения от выбора системы порождающих группы. Приведём определение функции роста для групп, порождённых конечным числом элементов.

Длиной элемента х группы (2 относительно данной системы её порождающих в = {ах,., а^} называется минимальное число И, при котором в (? выполнено равенство х = дг. дгде д^ 6 Я, ?%? {—1,1}. Длину элемента х относительно данной системы порождающих 5 мы обозначаем через ^(ж). Если е — единица группы С, то ^(е) = 0.

Функцией роста ^с,^77-) группы б? относительно множества называется количество различных элементов х? (7, для которых (ж) ^ п.

Говорят, что группа (7 имеет полиномиальный рост относительно данной системы порождающих если можно указать такой многочлен Рб{п), что при любом п ^ 0 выполняется неравенство^, 5(71) ^ Рз{п)-Если для некоторой конечной системы порождающих 5 существует такой многочлен Р5(п), то аналогичный многочлен существует для любой конечной системы порождающих 5″ группы (2, причем минимальная степень возможных многочленов для любых двух систем порождающих 5 и 5' будет одна и та же. Таким образом, свойство группы С иметь полиномиальный рост так же, как и минимальная степень искомого полинома, не зависят от выбора системы, хотя сам многочлен Рз (п) может зависеть от выбора системы порождающих Я. Однозначно определённая минимальная степень искомого многочлена для данной группы О называется степенью полиномиального роста этой группы.

Говорят, что группа (7 имеет экспоненциальный рост относительно данного множества порождающих S, если существует такое действительное число es > 1 и натуральное число Ns, что для всех п > Ns выполнено неравенство.

FGjS (n) > cns.

Для данной системы порождающих S существует максимально возможное из таких чисел es, и оно совпадает с пределом lim (FG, s (n))1/n. (1).

71—>00.

Этот предел называется показателем экспоненциального роста группы G относительно множества порождающих S и обозначается через А (G, S). Существование предела (1) следует из того, что для функции роста при любых целых m, n ^ 0 выполнено неравенство FQ?(m-[-n) ^ Fg, s{™) • FG, s{n). Значение показателя роста А (G, S) может зависеть от выбора множества порождающих S. Точная нижняя грань множества показателей роста данной группы G относительно всех конечных множеств её порождающих называется минимальным показателем роста данной группы G и обозначается Л (G).

В 1981 году М. Громов в книге [18] поставил вопрос о существовании конечнопорождённой группы G экспоненциального роста, для которой точная нижняя грань всех показателей экспоненциального роста равна 1. Очевидно, в этом случае 1 не может быть показателем экспоненциального роста группы G ни при каком выборе конечного множества порождающих.

Группа, в которой минимальный показатель роста не реализуется ни на какой конечной системе порождающих, называется группой с недостижимым минимальным показателем роста. Если же минимальный показатель роста реализуется для некоторой системы порождающих, то говорят, что группа обладает достижимым минимальным показателем роста.

В той же работе Громов обратил внимание на то, что свободная группа Ffc данного ранга к имеет минимальный показатель экспоненциального роста 2к — 1, и этот показатель роста достигается на любой системе порождающих из к элементов.

Естественным образом возникает вопрос: какие, еиир группы имеют экспоненциальный рост, и при этом минимальный показатель роста достигается на некотором множестве порождающих?

По-видимому впервые в литературе этот вопрос был сформулирован в совместной статье П. де ля Арпа и Р. И. Григорчука [16].

В 1998 году А. Самбусетти построил первые примеры групп экспоненциального роста с недостижимым минимальным показателем роста, большим 1. Он доказал, что минимальный показатель роста свободного произведения любой нехопфовой группы (7, которая по определению изоморфна некоторой собственной факторгруппе, и нетривиальной группы Н не достижима. Если в качестве множителя С? взять известную нехопфову группу Баумслага-Солитэра 2,3) = (а, Ь | а2 = 6а36−1), а в качестве Н — бесконечную циклическую группу, то свободное произведение С * Н будет примером группы, заданной одним определяющим соотношением, минимальный показатель роста которой не достигается. К сожалению, для самих нехопфовых групп Баумслага-Солитэра вопрос о достижимости минимального показателя роста остаётся открытым.

В 2002 году Дж. Вилсон впервые построил пример группы экспоненциального роста, для которой, А © = 1. Более короткое доказательство этого интересного результата с использованием той же конструкции Вилсона, получил Л. Бартольди (6 страниц вместо 17 у Вилсона). Уже в 2002 году в интернете были доступны предварительные версии обеих работ с полными доказательствами, но статья Вилсона была опубликована в печати на год позже работы Бартольди (см. 26] и [13]).

Первые примеры групп, которые имеют достижимый минимальный показатель роста и не являются свободными группами, были указаны диссертантом в докладе на международной конференции по теории групп в г. Гаета (Италия) в 2003 году. Было доказано, что минимальный показатель экспоненциального роста достигается для свободных произведений циклической группы простого порядка р на бесконечную циклическую группу. Тезисы этого доклада были опубликованы в сбориике трудов этой конференции (см. [25]). В 2005 году в работе [9] было опубликовано полное доказательство более общего результата о достижимости минимального показателя экспоненциального роста свободных произведений Ър * циклической группы простого порядка р и свободной группы конечного ранга к > 1.

В работе [10] диссертантом была доказана достижимость минимального показателя роста групп (зь^,., вд^д ([в!,^]. [яд,^])71 = 1), где п ^ 2. Известно, что такими заданиями обладают фуксовы группы с одним эллиптическим элементом порядка п. В случае д = 1 были найдены точные значения минимальных показателей роста и доказано, что они достигаются на стандартном множестве порождающих {вх,^}.

В работе [17] А. Манн доказал достижимость минимального показателя роста для свободного произведения, а также его центральных расширений вида (а, Ь | а2 = Ь3, а2к = 1). Сюда, в частности, входят матричная группа ЗЬ (2, Ъ) и группа кос на трёх нитях. Минимальный показатель всех этих групп равен у/2 и достигается на множестве порождающих {а, 6}. Там же доказан аналогичный результат для группы и её центральных расширений вида (а, 6 | а2 — б4, а2к = 1). Их минимальные показатели роста равны и также достигаются на множестве {а, Ь}.

В той же статье [17] Манн заметил, что минимальный показатель роста прямого произведения двух групп А (С х Н) равен пшх (А (б?), Х (Н)): при этом он достигается в группе С х Н тогда и только тогда, когда он достигается в тех множителях, минимальный показатель роста которых равен тах (А (С?), А (//)).

В главе 2 доказаны усиления некоторых результатов работы [17]. А именно, для свободных произведений вида * Ъп = (а, Ь | а2 — Ъп — 1), где п есть степень простого числа, доказана достижимость минимального показателя экспоненциального роста на множестве порождающих {а, 6}. Аналогичный результат доказан для свободного произведения Жз * Zз. В качестве следствий получены аналогичные результаты для некоторых центральных расширений указанных групп, в частности, для групп (а, 6 | а2 = Ьп), которые при нечётных п являются фундаментальными группами торических узлов типа (2, п). Также были вычислены минимальные показатели роста описанных выше групп как величины, обратные минимальным действительным корням некоторых целочисленных многочленов. Эти результаты опубликованы в статье [11].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — академику РАН С. И. Адяну — за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор также признателен доктору физ.-мат.наук И. Г. Лысёнку за полезные обсуждения.

Предварительные сведения.

Дадим некоторые дополнительные определения и обозначения. Значком ^ мы обозначаем равенство по определению, а значком = — графическое равенство слов. Если х — действительное число, то, как обычно, через [ж] обозначается его целая часть, а через х — наименьшее целое число, большее х. Через йапк© обозначается ранг группы С, то есть минимально возможное количество элементов в её множестве порождающих. Нормальное замыкание множества V в группе 6? обозначается через Для подгруппы, порождённой множеством V в группе С? используется обозначение Орс (У) — также мы будем использовать обозначение (г>1, для обозначения подгруппы, порождённой в С? множеством {г>1,., г^}, при этом нижний индекс С будет опускаться, если он очевиден. Как обычно, через Ъп обозначается циклическая группа порядка п, а через — свободная группа конечного ранга к.

Сферической функцией роста /сДп) группы С? относительно её множества порождающих Б называется количество различных элементов х € (7, для которых 0е) — п.

Другие обозначения и определения используются согласно книге [7].

1. М. Бушер П. Де ля Арп. Свободные произведения с объединением и HNN-расширения равномерно экспоненциального роста. Математические заметки, 67(6):811−815, 2000.

2. Р. И. Григорчук. Функции роста, переписывающие системы и эйлерова характеристика. Математические заметки, 58(5), 1995.

3. В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. Наука, 1974.

4. Х.-Д.Колдевай, Х. Цишанг, Э.Фогт. Поверхности и разрывные группы. Наука, 1988.

5. Д. Коллинз Х.Цишанг. Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы. In Алгебра-7, volume 58 of Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, Фундаментальные направления., 5−190. ВИНИТИ, 1990.

6. Р. Линдон, П. Шупп. Комбинаторная теория групп. Мир, Москва, 1980.

7. А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций (том 1). Наука, 1967.

8. А. Л. Таламбуца. Достижимость показателя экспоненциального роста в свободных произведениях циклических групп. Математические заметки, 78(4):614−618, 2005.

9. A.JI. Таламбуца. Достижимость минимального показателя экспоненциального роста для некоторых фуксовых групп. Математические заметки, 88(1):152−156, 2010.

10. А. Л. Таламбуца. О достижимости минимального показателя роста свободных произведений циклических групп. Успехи Математических Наук, 66(1):179−180, 2011.

11. А. Г. Шухов. О зависимости показателя роста от длины определяющего соотношения. Математические заметки, 65(4):612—618, 1999.

12. Laurent Bartholdi. A Wilson group of non-uniformly exponential growth. Comptes Rendus Mathematique, 336(7):549 554, 2003.

13. Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. The University of Chicago Press, 2000.

14. Pierre de la Harpe. Uniform growth in groups of exponential growth. Geometriae Dedicata, 95(1):1−17, 2002.

15. Rostislav Grigorchuk and Pierre de la Harpe. On problems related to growth, entropy and spectrum in group theory. Journal of Dynamical and Control Systems, 3(l):51−89, 1997.

16. Avinoam Mann. The growth of free products. Journal of Algebra, 326(1):208−217, 2011.

17. M. Gromov (author), J. Lafontaine, P. Pansu (editors). Structures metriques pour les varieties riemanniennes, volume 1 of Textes Math. 1. Cedic/Fernand Nathan, Paris, 1981.

18. Norbert Peczynski, Gerhard Rosenberger, and Heiner Zieschang. Uber erzeugende ebener diskontinuierlicher gruppen. Inventiones Mathematicae, 29:161−180, 1975.

19. Gerhard Rosenberger. Anwendungen der nielsenschen kurzungsmethode in gruppen mit einer definierenden relation. Monatshefte fur Mathematik, 84:55−68, 1977.

20. Gerhard Rosenberger and R.N.Kalia. On the isomorphism problem for one-relator groups. Archiv der Mathematik, 27(l):484−488, 1976.

21. A. Sambusetti. Growth tightness of free and amalgamated products. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. (4), 235:477−488, 2002.

22. Andrea Sambusetti. Minimal growth of non-hopfian free products. C.R.Acad. Sei. Paris 329, pages 943−946, 1999.

23. Michael Stall. Some group presentations with rational growth. Препринт доступен по адресу http://www.faculty.jacobs-university.de/ mstoll/papers/ratgrow.dvi.

24. Alexey Talambutsa. Growth attainability for free products Zp * Z. In Abstracts of the International Conference on Group Theory in Gaeta (Italy), page 38, June 2003.

25. John S. Wilson. On exponential and uniformly exponential growth for groups. Invent.Math., 155(2):287−303, 2004.