Мультипликативные свойства аналитических функций, гладких вплоть до границы

I. Эта работа посвящена, в основном, неванлинновской факторизации классов функций, аналитических в открытом единичном круге D и гладких — в том или ином смысле ^ - вплоть до его границы ЭО. Различные способы факторизации (т.е., попросту говоря, разложения функции на «простейшие» множители) играли и продолжают играть важнейшую роль в комплексном анализе. Канонические произведения в теории целых функций, произведения Бляшке, внутренние и внешние функции стали неотъемлемой частью современного аналитического арсенала. И в наше время он пополняется новыми средствамиукажем, например, на развитие факторизационной техники в обширной серии работ М. М. Дкрбашяна [40], или на факторизацию целых функций, предложенную Рубелем [42], или на произведения Горовица Q433. Интерес к различным методам факторизации аналитических функций вызван самыми насущными вопросами комплексного анализа — и, прежде всего, необходимостью исследования свойств единственности и распределения значений, составляющих самую его суть. Факторизационный аппарат широко используется при исследовании идеалов в алгебрах аналитических функций, в задачах спектрального анализа и синтезаего векторные и операторные аналоги играют существенную роль в современной спектральной теории операторов.

Мы будем здесь заниматься едва ли не наиболее хорошо известной и распространенной факторизацией, а именно, неванлинновскойили как теперь принято говорить — внешне-внутренней. Разработанная Р. Неванлинной, Г. Сеге и В. И. Смирновым, эта факторизация была изу.

Такого рода функции мы будем иногда ради краткости называть гладкими аналитическими функциями, подразумевая гладкость граничных значений. чена, что называется, «вдоль и поперек» уже в 20-х — ЗОх годах, й, тем не менее, исследования последних лет принесли принципиально новые сведения, обнаружив феномен, который можно приблизительно описать так: внешне-внутренняя факторизация приспособлена не только к пространствам типа классов Харди, но и — неожиданным образом — к пространствам, состоящим из функций, гладких вплоть до границы.

Напомним некоторые определения и факты (подробности можно найти в'[44]| ,?45 ]).

2. Аналитическая в О ограниченная функция I называется внутренней, если 1мп | 1(Ъ£)1=/1 при почти всех Х^дЮ.

Приведем примеры внутренних функций. а) Пусть {"* } - последовательность точек множества к конечная или нет), удовлетворяющая условию.

0-ик|)<�оо. к.

Тогда произведение и II. — сходится в У 1 к некоторой внутренней функции, обращающейся в нуль в точках к и только в них. Функция вида Ъ о, где Ж, называется произведением Бляшке. б) Пусть — неотрицательная борелевская мера на окружности.

ЭЮ «сингулярная относительно лебеговой меры на ЭЮ. функция.

— внутренняя. Она не обращается в нуль в О. Ее называют сингулярной внутренней функцией (отвечающей мере ^).

Этими двумя примерами можно ограничиться, так как любая внутренняя функция I единственным образом представляется в виде.

I =СВБ, (I) где С&ЭЮ, 8 — произведение Бляшке, а в — сингулярная внутренняя функция.

Для дальнейшего важно заметить, что, как правило, функция (I) не обладает никакой гладкостью на границе круга О: если I равномерно непрерывна в О, то $ = 1, а функция В рациональна. в) Внешние функции. Пусть (80. Если к тому же то с гЬ можно связать функцию 1 В.

Эту функцию называют внешней (отвечающей функции М). Она регулярна в 0 «не обращается в нуль, и с г-и-о при почти всех? ^ с> Ю г) Класс N. Говорят, что функция |, регулярная в Ю, принадлежит классу N (классу Неванлинны), если $ир | Ц/ ||(ге)кв<�оо, о<�г<'I о.

Этот класс играет важнуд роль в анализе. Классы функций, аналитических в О, поставляемые гармоническим анализом, теорией операторов, теорией вероятностей, чаще всего содержатся в N .

Отправной точкой неванлинновской факторизационной теории служит следующая.

Теорема. Любое произведение вида (2) где С = соп, 1С 1=1, В — произведение Бляшке, функция вида (0), — вещественная сингулярная (не обязательно неотрицательная!) борелевская мера на дю, а 0\г ~ внешняя функция, принадлежит классу N — любая функция | класса N единственным образом представима в виде (2). Условимся записывать равенство (2) в виде где Х^сЪв^, с = сф.

Ценность неванлинновской факторизации состоит в том, что она позволяет дать полное описание как самого класса N, так и некоторых его важных подклассов с помощью «вещественных» параметров, определяющих множители 1| и е| (такими параметрами служат константа сф, мера =, определяющая множитель, последовательность {о6к и число Ш-, определяющие произведение Бляшке В и, наконец, функция 1Я|зю «К подклассам, которые мы имеем в виду, относятся, прежде всего, классы Харди и класс.

В.И.Смирнова О, (Напомним, что [44].

РсЫ ^ ?0 Р н — {#N^р (||(ге)1 ¿-е<°°, с<?<&trade-},.

0<ъ<1 о со оЖ, и -{¡-^ы: ¿-^р {?<, ю ц «.

ИЩ^Ыт (Щ||(ге Ет Ц+||(ъе ;

1^-1−0 -?0 Л 1^-0 р' р", я легко видеть, что Н с Н, если оо>р>р >0).

Класс Б можно описать и так: функция | класса N принадлежит Б тогда и только тогда, когда сингулярная мера /К|) неотрицательна.

Таким образом, для функций | класса Смирнова (и только для них) множитель (ас ним и 1|) становится «внутренним», а факторизация (2) «внешне-внутренней» .

Классы Харди с помощью факторизации (2) полностью характеризуются следующим образом:

3. Остановимся на некоторых моментах, связанных с формулой (2), особенно, существенных для нашей работы.

I. Условимся говорить, что внутренняя функция 12 делит внутреннюю функцию I, (или что Г1 делится на 12), если оо.

1(/1г?Н .

Из сказанного выше легко усмотреть, что если, а внутренняя функция I делит функцию I о, то 11 & В. Точо Р Р, но так же, если И, а I делит 1|, то Н.

Можно сказать, что функция 11р получена из функции | в результате «выделения ее нулей». В самом деле, не обращается в нуль в Ю, (так как уже ^ В | не имеет нулей в Ю), а «устранение множителя» означает (в некотором смысле) «выделение граничных нулей» функции |: внешний множитель е| во многих вопросах теории аппроксимации и в задачах описания идеалов и инвариантных подпространств оказывается «как бы обратимым». р

Итак, классы Б и Н инвариантны относительно «выделения нулей» .

П. Факторизационная теорема Неванлинны доставляет полную характеристику функций, заданных на окружности Ъ Ю и способных р быть модулями граничных значений функции класса N или Н. В самом деле, пусть К — неотрицательная функция, заданная на ЭЮ. Следующие утверждения равносильны: сО ^^ Ь (Э Ю) (|3) найдется ненулевая функция км такая, что н при п.в. К^дю.

3).

Равносильны и такие утверждения (при любом ре: (о, + ооЦ): Р ^^Ь (ЭО) — (р) найдется ненулевая функция | класса Н такая, что выполнено (3).

Включение кь (ЭЮ) влечет неравенство Ц (ю$к (1б<�оо.

Поэтому условие СО можно переписать так: ] к ?^9.

Еаким образом, из равносильности утверждений С<1) и (|3р) вытекает чрезвычайно важная для многих приложений теорема единственности: р ] 1=0. (4) дВ.

Ш. В теореме Неванлинны содержится также полное описание подмножеств круга Ю, способных быть множеством корней некоторой функции класса N. В самом деле, пусть — последовательность точек круга D. Следующие утверждения равносильны: (У) найдется функция класса N (или Н^), обоо ращающаяся в нуль в точках о6к — (б) 2L О" !0^!) < 00.

КМ.

IУ. Представление (2), которое влечет соотношенияе^|д)=е|"е^ и I, составляет аналитическую основу важных теорем, описывающих структуру идеалов в некоторых алгебрах аналитических функций (или инвариантных подпространств оператора сдвига в пространствах аналитических функций). Широко известным (но далеко не единственным) примером может служить классическая теорема Берлин-га об операторе ¡-f—в пространстве H .

4. Теперь мы можем сформулировать (пока еще очень приблизительно) четыре вопроса, которым, в основном, посвящена эта работа.

I. Какие еще классы X, содержащиеся в D, инвариантны относительно «выделения нулей» ?

П. Каковы свойства модулей 1|11дд) функций данного подкласса X класса D ?

Ш. На каких подмножествах круга D могут обращаться в нуль функции данного подкласса X класса D ?

1У. Какова структура замкнутых идеалов (если X — алгебра функций, Xе1 D) или инвариантных относительно умножения на Ъ замкнутых подпространств (если X — банахово пространство)?

Более подробное и конкретное обсуждение наших намерений будет дано ниже. Сейчас мы подчеркнем только, что класс X, которому адресованы вопросы I — 1У, будет, как правило, состоять из гладких (в том или ином смысле аналитических функций).

Перейдем к более подробному обзору результатов работы. В. П. Хавин в M ввел в употребление следующее.

Определение. Говорят, что множество X^D обладает (F)-свойством, если для любой функции | ^ X и для любой внутренней функции I, делящей 1|, <|ункция |1 принадлежит X • р

Как мы уже видели, классы ВиН, 0<�р4°°, обладар ют (р) -свойством. Наличие (Р) -свойства у класса Н объяс Э классу Н определяется лишь следом ее модуля на ЭЮ (точнее, включением.

Лэю? ь (АО) а деление на внутреннюю фикцию не меняет граничных значений модуля. Но вот уже то обстоятельство, что (Р) -свойством обладает диск-алгебра Сд (т.е. множество всех равномерно непрерывных в 0 функций класса N) менее тривиально — не говоря уже о еще более узких классах. Для диск-алгебры Сд.

Р)-свойство впервые установил, по-видимому, Рудин ЦбЦ (в связи с описанием замкнутых идеалов в Сд). Напомним, что в отличие от классов Х= V или X = Н «когда оба множителя 1|, всегда принадлежат X вместе с |, диск-алгебра «почти не содержит» внутренних функций (принадлежащие ей внутренние функции обязаны быть рациональными). Механизм (Р)-свойства в Сд тоньше, он объясняется некоторым специальным взаимодействием внутренних и внешних множителей, участвующих в факторизации (2) функций класса Сд .

Еще более тонким и неожиданным оказался результат Карлесона.

И, обнаружившего (Р) -свойство у класса — {Iе1 N: 2 ^ А.

Х+ир1 (в [зЦ дано полное описание «параметров» ,/К|), {оЦЛ и ||||()Ю, участвующих в факториза2 ции (2) для этого класса), Функции из «(аналитические функции, А с конечным интегралом Дирихле) обладают некоторой «граничной гладкостью^, и изучение взаимодействия сомножителей и 1| для оказалось довольно тонкой аналитической задачей. В работах М и С7~] было показано, что (Р)-свойством об.

— II и2 ?4 г О I I2 РСП) 112 1 ладают классы Ц. ?: Н • }? п) • Функции этих классов уже «по-настоящему» гладки вплоть до границы. Развивая прием, использованный в И иН, В. П. Хавии Й] доказал наличие (Г) -свойства у классов.

Р кЛ Р СП) р и сб иы, л сп-) сб в классах Д ив некоторых других близких классах С г) -свойство одновременно и другим способом обнаружил Ф. А. Шамоян Щ).

Упомянутый прием позволяет — в ряде случаев — избежать непосредственного анализа множителей и и состоит в рассмотрении теплицевых операторов Т: т, а М Г о&На.)^ р V и°° а- — 'ЯЛУ ?-1 дю.

Если оо.

Т.Х^Х, какова бы ни была функция Н, (5) а то класс X обладает (Р)-свойством: достаточно в качестве О, взять внутреннюю функцию I и заметить, что 11 | =, если.

I делит 1| (в силу формулы Коши). Свойство (5) класса X В. П. Хавин предложил называть (К) -свойством. В работах [б] «И «И «[41Д (р)-свойство выводилось из (К)-свойства соответствующего класса (то же относится, по существу, и к работе Е. М. Дднькина.

СзД, где рассматривалась несколько иная схема). Укажем еще на работу [ДО] Ш.-П.Кахана, где другим способом были получены некоторые аналогичные результаты.

После названных работ вполне естественной стала казаться следующая гипотеза: (р)-свойством должны обладать все «естественные» классы гладких аналитических функций.

Труднее всего оказалось, однако, доказать наличие (Р)-свой-ства как раз в наиболее «естественных» классах.

МСИ).

СА = {|-СД:| еСА}, .

Можно показать, что они заведомо не обладают (К)-свойством, и от непосредственного анализа множителей 1| и | для доказательства (Г) -свойства в этих классах уклониться, по-видимому, невозможно. Но такой анализ представляет известные трудности.

Первой работой, в которой (Р) -свойство классов функций с граничной гладкостью устанавливалось непосредственно, без апелляции к (К)-свойству, была (если не считать пионерской работы Л. Карлееона СзЦ) работа автора и С. А. Виноградова [49]. в ней было доказано, что (р)-свойством обладает пространство.

00 / оо, а пространство | е Н } «почти» обладает (Р)-свойством. Наличие (У) -свойства у классов Сл и Н ={|&euro-:Са' сп) оо А.

I? п) было доказано автором [51], ¡-5з] с помощью нового метода, который позволил детально исследовать характер убывания функции 111 вблизи множества 5рСС.

Со) и ?

1= В6 для гладкой вплоть до дЮ функции, аналитической в о .

В настоящей работе (гл.1) этот метод применяется к аналитическим функциям «переменной граничной гладкости» .

Основным результатом § I является следующая теорема. Теорема I. Пространство А^ (Ф) обладает (Т) -свойством при и > 0, I Ф I ^д)^ А^ (Э Ю), и любом модуле непрерывности СО .

ТЛ^ГА ! о (Ю пСЮ здесь 1ГЪ)-ГЪ)1 4.

С#Ф — внешняя в Ю функция, Д^ - класс Макенхаупта, т. е. должно выполняться |$| «СШемЫ 1Ф1.

I I для любой фуги 1с: д О.

Естественен вопрос, можно ли не только делить на внутреннюю функцию, оставаясь в рассматриваемом пространстве, но и умножать на нее. Если N, то |1 ^ N для любой I — если|еН, р оо то Н для любой Н — если 1еСд, |ХеСд, если 1/х^Сд .В данной работе найдено условие, накладываемое на внутреннюю функцию, позволяющую умножать на нее в пространствах А^ (Ф).

Теорема 2. Пусть Ф — внешняя в Ю функция, ^ произвольный модуль непрерывности, IФI |эю & А 4 (Э Ю), Iе1 А^ (Ф) I — внутренняя функция, |/т & Сл и кратность нулей функции $ в точках оС е: брес IП Ю не меньше И- «Н. Тогда.

1-Л>).

Теорема 2 доставляет еще один пример интересной закономерности состоящей, грубо говоря, в том, что если на внутреннюю функцию «можно делить», то на нее же «можно умножать» (несколько более слабый результат такого типа был доказан автором в [5IJ). При этом ограничения, касающиеся кратности нулей в точках множества Spec I П D, существенны, как показывает.

Теорема 3. Для любого модуля непрерывности и) можно указать.

О ^ г * функцию + е: А ~ П СА и произведение Бляшке В такие, ин, А что.

1/6.

Несущественно изменяя доказательство этой теоремы, при любом натуральном U можно построить такую | е Л^ и такое произведение Бляшке В, что 1фатность нулей функции / во всех точках множества Spec BHD равна ti, |/ В^, но | В Л^. Ограничения, касающиеся кратности нулей функции I в теореме 3, отпадают лишь в случае «невысоких гладкостей» (tV=0) или тогда, когда I — сингулярная внутренняя функция.

Несмотря на обилие примеров пространств аналитических функций, обладающих (F) -свойством, свойство это не универсально. Первым примером пространства, лишенного (Р)-свойства, оказалось пространство.

А, А то.

В.П.Гурарий, Затем последовали и другие примеры: пространnPí-W л Л Р ство L ||(n)l <�""} (при в Йо], а при ~~ в ЕЙ)" а также пример Дж.Андерсона.

M {Ie№°: lf (2)l -°((1-I2I)H)J. в§Згл.1 указаны новые примеры пространств, не обладающих (F) -свойством.

Теорема 4. Пусть последовательность чисел / {>) такова, что ' при всех л =1,2,. «где сл, ся положительные постоянные. Класс.

Н1 4 <00^ не обладает (Р) -свойством, если «Р/2 •.

П Граничные значения модуля гладкой аналитической функции. Предположим, что функция ^ класса ?) обладает некоторой граничной гладкостью (например,). Как это сказывается на ее модуле (точнее, на ¡-{¡-¡-^¡-р)? Конечно, должен быть суммируемым на ЪЮ (если ^ О)• Понятно, кроме того, что /<^^???/3*, если О <�°< < { • Вот, пожалуй, и все, что видно «невооруженным глазом». Но есть и более тонкие закономерности. В. П. Хавин и Ф. А. Шамоян [12] показали, что если 0(? (о, 1), не имеет корней в ?), а ^¿-¿-р ос, то? Д^. Этот результат точен ¡-^существует внешняя $, у которой ?<[?1, но ^ П1>и (как сообщается в [13″ 1, близкий результат содержался в одной неопубликованной работе Якобса). Впоследствии ВЛ. Хавиным в [13] эта теорема была обобщена на классы функций, у которых рсо, где со модуль непрерывности общего вида. Результаты работ ?12) и [13] указывали на то, что граничная гладкость внешней функции должна быть ЕДЕое меньше гладкости ее модуля на окружности ^ как бы ни понимать слово «гладкость». В работе [14] Дд. Бренная (в связи со своими исследованиями по теории аппроксимации) доказал справедливость этого предложения для функций.

Сд с ^^Р* ПРЙ О <�°< < 2, а в работе Тейлора и.

Вильямса [15] и Бруна и Ортеги [47] это утверждение использовалось (без доказательства) уже при любом со ссылкой на неопубликованный результат Карлесона и Якобсаего доказательство с тех пор так нигде и не появилось.

В работе [51] эффект «уполовинивания гладкости» получил новое освещение: там было найдено условие, необходимое и достаточное для того, чтобы внешняя функция ек, отвечающая неотрицательной функции [г-е Ц/роС, 0<Ж</1, принадлежала, А (1ек Однако условие это было записано в виде, плохо поддающемся обобщению на случай оС >

Во второй главе настоящей работы упомянутый результат статьи бД обобщается на всю шкалу Л (оС — не целое), а также на рин шкалу Нп и Д И, 2 — класс Зигмунда. В § I гл. П доказана Теорема 5. Пусть ке. ССдВ), к^0, сб — нецелое положительное число. Для того, чтобы, А, об — нецелое, необходимо и достаточно, чтобы.

1. существовала функция Р&С, такая, что ;

Ц п ос.

2. если 1(2)== МОХ К{Х)>Л-1), то.

ЙД ¿-едЮ 4/4 у s.

6) lit) ''i^i2 > w rKU л и постоянная С^ не зависит от %. Напомним, что, А, оС — нецелое, есть пространство функций + еС* «таких, что (Ю) об, А jf е Lip (ci-И), С — множество комплекснозначных функций F на 3D, для которых F е Llp0(D (d, — M) — z.

— класс Зигмунда на 3D], Ь^Ч^СОО):^" ^ 1Р (ЭЮ)} ,.

В §§ 2 и 3 доказаны, соответственно, теоремы § и 7 о принадлежноо Р И’Н сти е (г пространствам Н^, «I < р <, иД Ъ ,.

И. При этом ограниченность интеграла (6) постоянной, не зависящей от Ъ, при условии Н СХ, к, %), является единственным условием, которое выделяет модули функции мР АНН «7 подпространств /, , А? из модулей функции пространств С, Ь, С 2, а функции задаются так:

Н (Х, Ы=.

-%), Х = А, оС — нецелое, и ПН.

I (Мх|), Х=А 2. р р

Наличие функции ^ е: Ь (ЭР) при описании Н*. следует Р понимать так: если «/1<р<°°, то существует.

ЧЧ') = е ЬР (Э О), такая, что при интеграл в (6) ограниченесли существуют функции Р&и Ф^Ь такие, что при интеграл (6) ограничен постоянной, не зависящей от %, то Н^.

Ограниченность интеграла (6) оказывается вполне «рабочим» условием, из которого можно извлечь важную информацию о гладких аналитических функциях. Приведем следствия, собранные в теореме 8 § 4: пусть Цр|||А0>-<�". Тогда дю «* п.

Ре С =>е| е, А — (7) р<�оо н^ - (8) если / 0<�"", то.

Импликация (7) усиливает упоминаемую Тейлором и Вильямсом, Бруна и Ортегой «теорему Карлесона-Якобса», т.к. не требуется неотрицательности функции^. Ф. А. Шамоян [48] установил импликацию (8) для случая — соотношения (7) и (8)? -точны в естественном смысле.

Ш Глобальные и локальные свойства нулей гладких аналитических функций. Кэкоео строение замкнутых частей Е замкнутого круга Ю «на которых может обращаться в нуль отличная от тождественного нуля функция класса Л? Из неравенства Иенсена легко следует, что для этого необходимо условие.

-<=*> (9) я>

Оно было отмечено, фактически, Берлингом в 1939 г.- в работе [2] Л. Карлесона оно появилось вновь. Там же было показано, что если о (>0, а? с №, то условие (9) и достаточно для существования функции.

Л с 4'Хо)=£ Тейлор и Вильяме [15] и Б. И. Коренблюм [16] независимо друг от друга доказали, что из (9) следует существование функции еА с 4 (о)*Е при этом Тейлор и Вильяме ссылались на уже упоминавшейся результат Карлесона-Якобсона, первое известное нам доказательство которого дано в [58], [61]). Если, $ 40, где со — какой-нибудь модуль непрерывности, т. е. если | - ~ г, , то.

Ю) где Е = Г1(°) •.

Для весьма специальных модулей СО (произведений степеней итераций логарифма) Й. Штегбухнер (U 7]], ВО) показал, что из (10) следует существование с | (0)=Е. В § I гл. Ш мы доказываем следующую теорему.

Теорема 9. Пусть и) — модуль непрерывности, E^D , — внутренняя функция, Spec la Е. Если Е удовлетворяет условию (10), то найдется такая i^A^, что | (0)= Е, |1 — внешняя функция, |l~ е Д^.

Подчеркнем, что в этой теореме на модуль непрерывности не наложены никакие дополнительные ограничения. Метод доказательства теоремы 9 использует соображения, принципиально отличные от более или менее «явных» конструкций работ [2], [15) — [18].

До сих пор мы говорили об описании множества корней «в целом». Второй параграф гл. Ш посвящен локальным характеристикам корнейв нем предпринята попытка уточнить представления «о кратности граничного корня». К такому уточнению ведут два пути (впрочем, связанных друг с другом).

Во-первых, интенсивность корня функции Цв точке обе д D можно характеризовать с помощью мажоранты Н" СО, Л-* СО, 00) > удовлетворяющей неравенству и стремящейся к нулю при М — О.

Во-вторых, с любой функцией $ класса N можно связать и такую характеристику:

Здесь D (cU) = {?e:<5}, Ш.&^ЪОП DU, 8), [ol } - последовательность корней функции | в круге О .

Чем медленнее убывает при, тем выше «кратность» корня об функции | .

Для функций N, | ф 0 1 невозможна мажоранта Н, стремящаяся к нулю быстрее любой функции вида £00р это легко усмотреть из формулы (2). С другой стороны, мажоранта О о 00 веер (- ^ ^ ^ возможна даже для функций е: А (если содержит точечную нагрузку в точке об, так что величина М|(о6,5) отделена от нуля). Более содержателен вопрос о мажоранте и об оценках величины ||| (оС, §) для функций | с редкими коэффициентами Маклорена. В той части, которая касается мажоранты Н, он близок к задаче о предельной скорости убывания вдоль оси рядов Дирихле с редкими показателями (Л.Шварц, рС^], Хиршман и Дкенкинс [2С[| и др.).

В теореме 10 описаны мажоранты Н для ненулевых функций | пк вида К2)=Ца12, где к р

Ак. (12).

Это описание в известном смысле неулучшаемо, если р > 2 — если 1 < р-^2, то оно более точно, чем в работе [2(3•.

Теорема 10 относится к любым функциям с редкими коэффициентами (без каких-либо предположений о граничном поведении). Если.

00 такая функция принадлежит Н, то естественно ожидать, что величина N о (сИ, не может быть слишком большой. Дж.М.Андерсон в.

— 1 0 00 о.

21] показал, что если Н «¿—Ф 0 имеет адамаровские лакуны (т.е. =? «где > Ц > 4)» то меРа не может быть «слишком сосредоточенной»: пу ^ и < °°, об^ЭЮ.

Эту оценку Дж. Андерсон вывел из теоремы Хиршмана-Дкенкинса [20]. В п. 2.2 гл. Ш мы получаем новый результат такого типа. Он относится к функциям класса и Н, подчиненным условию (12) при нег>о котором р, причем мы оцениваем (а не только.

X (сЬ, 5))). В теореме II доказано, что для таких функций.

2-Р Р-1.

1 т 5 НиеЬ, 1))<°0 (13) о 00 и построен пример функции | е: Н, подчиненной условию (12) и такой, что левая часть неравенства (13) положительна (более того, положителен нижний предел, отвечающий первому и третьему слагаемому в выражении (II)).

В теореме 12 показано, что для таких «почти экстремальных» ! величина N^(06, Я) достаточно регулярно зависит от 6: если нижний предел в (13) положителен, то соответствующий верхний предел конечен.

В п. 2.3 гл. Ш мы возвращаемся к гладким аналитическим функциям. Здесь показано, что быстрое стремление к нулю коэффициентов функции препятствует малости мажоранты Н (см. выше). Так, одно из.

-¿-ОД утверждений теоремы 13 гласит: если I в при некотором б>0 и всех и.

I ^(«СЦ Гг), где С, С) > 0, А >, то (Хп ~ 0, П>, 0. Тривиальный пример (&0=1, =, (Х^=0, Ю2) показывает, что в этом утверждении неравенство АН нельзя заменить равенством А=. 1У Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах гладких аналитических функций. Первый результат посвященной этому вопросу, был получен Г. Е. Шиловым И, который описал примарные идеалы диск-алгебры. Полное описание замкнутых идеалов этой алгебры принадлежит У. РудинуСб]. В. П. Гурарий [22Ц исследовал идеалы в алгебре абсолютно сходящихся степенных рядов, Б. И. Коренблюм [23],[24] - в ал.

УХ' 2 гебрах Сд и Н^, , Ф. А. Шамоян [25] - [27] - в алгебрах.

1.Р.

А, сО — нецелое, г, 1 < р < 00, А^, где модуль непрерывности СО удовлетворяет условию X О с1 автор — в алгебрах Н^ и, А В^ (алгебре аналитических функций, входящих в пространство 0.В.Бесова). Все эти результаты так или иначе связаны с неванлинновской факторизацией, с (Т) -свойством или некоторыми их заменителямисамо понятие (р) -свойства возникло под влиянием исследований, посвященных идеалам в алгебрах гладких аналитических функций.

Несмотря на значительное разнообразие аналитических средств, которые использовались в перечисленных выше работах, результаты их — с формальной точки зрения — формулируются одинаково и приводят к «стандартному» описанию идеалов. Это означает следующее. Пусть алгебра X такова, что при некотором п+1 ^.

СА $ХССА.

Пусть, А — внутренняя функция, Е^.^Е^ - замкнутые подмножества круга Ю, причем Е³ Е, р. ,, ^Е^ ,.

Идеал {|€:Х:|Д ^С*, Л =0,, к=0,., п) к называется стандартным.

Результаты, о которых говорилось выше, о какой бы конкретной алгебре X ш ^ в них речь — объединяется следующей формулировкой: все замкнутые идеалы в X — стандартны.

В глЛУ мы устанавливаем стандартность всех замкнутых идеалов в каждой из алгебр шкалы Хпп С СО, • Эта шкала содержит все алгебры вида А^, где модуль непрерывности ш подчинен условию X 5 соф) г 1.

СО х об+г.

14).

В ней заключены, кроме того, алгебры, 0 <с04, , и алгебры, состоящие из функций «переменной гладкости». Класс ъ.

Хр^(о)Д) состоит по определению (которое обобщает определение «аналитического» класса 0.В.Бесова) из всевозможных функций | класса С к к для которых.

СМр. как) т вА и.

Здесь — модуль непрерывности, удовлетворяющий условию (14) и при некотором а>0 ЕеД^ (А^ - класс Макенхаупта — см. выше теорему I). При этом величины связаны друг с другом некоторыми неравенствами. Так, например, если со (1/) — X, 0<оС<1, ? ==^, то требуется, чтобы р> Уж — в этом случае X (сд, 4) сов.

1 г' X* падает с «аналитическим» классом 0. В. Бесова * *.

В теореме 14 доказана стандартность идеалов в алгебрах ^ (Цб) со.

Основные усилия (§§ 2−3) пришлось сосредоточить на докатг зательстве некоторых аппроксимационных утверждений в рамках изг вестной схемы Карлемана-Берлинга-Коренблюма. При этом в Лр^С00^) вводится специальная норма, эквивалентная исходной. Насколько нам известно, такая перенормировка — новая даже в случае аналитических классов 0.В.Бесова. Ей посвящен § I гл.1У.

Основные обозначения.

I С Я?

— комплексная плоскость.

— вещественная ось [?) — единичный круг: — верхняя полуплоскость Ц[ - натуральный ряд т.

П Пространства функций на <^11/ :

С", o.

1, Р>о:(1р гог -п.-,.

С": к%)-Ш = 0(со%-^)), и / А-^ о Со): V ^ / 7 е ^о) о.

С^ в правой части (I) о (о)(|?-?|)) (л) Iе Со) для любой дути 1с ЭЮ. I 1.

П Если 1с: ЭЮ — дуга или 1с: — отрезок, то для любого упомянутого в П пространства X через Х (1) обозначаем пространство функций на I, определяемое аналогично X.

Ш Классы аналитических в Ю функций Л — все аналитические в 0 функции.

N — класс Неванлинны р

Н, р > 0 — класс Харди.

Сд I | е: Л, | непрерывна в Ю Сп СА u) Сд, П Сд.

AnZ=CwZDCA.

A v п^о" то e4P = {i=I|(n)A^:Llf («)|P.

1У. Факторизация Неванлинны. $ - множество всех произведений Бляшке.

§ - множество всех сингулярных функций.

3 — множество всех внутренних функций.

— множество всех ограниченных внутренних функций Ь ч если, то В (0), spec B = Z6, если S^S «то Jl — мера из представления если Jli — сингулярная мера, то 5у? § определяется формулой (2) — если обе: D — счетное множество, то tt о если I = В 5 е 3, то spec I = sp€C В U sup>p Jls если то lilt.

3D если | e N, то |=e| • I| =e| • Cg ' B| ' Sj> - факторизация Неванлинны в D .

Для внешней функции в полуплоскости П применяем обозначение у :

У* Технические обозначения. дю^к? V I.

1-сг^щмш I х.

1*00= (?Ы^И^Л икоо, РгЦ-2-?)-£ ^(?^^-а-г)" .

У=0 4 7 4 I) означает I й-1 4 С I & I, С — абсолютная постоянная ах &: &-, и ё 4а, а х В: а 4 & Й к, а сИ,., сО об,., а) а).

Zp (I2) *" множество нулей на множестве И.

У1. Нумерация лемм и формул в каждой главе автономна.

1. Шилов Г. Е. О кольцах функции с равномерной сходимостью. -Укр.мат.журнал, I95I, 4, Д 4, 404−411.

2. Carleson L. Sets of uniqueness for function regular in the unit circle. — Atbta Math., 1952, 87, К 3−4, 325−345;

3. Carleson L. A representation formula for the Dirichlet integral. — Math.Z., I960, 73, N 2, 190−196.

4. Хавин Б. П, 0 факторизации аналитических функций, гладких вплоть до границы. — Зап.научн.сем, ЛОМИ, I97I, 22, 202−205.

5. Rudin W. The closed ideals in an algebra of analitic functions. — Canad.J.Math., 1957, 9, К 3, 426−434.

6. Коренблюм Б. И., Королевич B.C. Об аналитических фун1щиях, регулярных в круге и гладких на его границе, — Мат, заметки, 1970, 7, II 2, 165−172.

7. Коренблюм Б. И, Экстремальное соотношение для внешних функций, — Мат, заметки, I97I, 10, И I, 53−56,.

8. Шамоян Ф. А. Деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах функций, аналитических в круге. — Зап.научн.семин. ЛОМИ, I97I, 22, 206−208.

9. Гурарий В. П. О факторизации абсолютно сходящихся рядов Тейлора и интегралов Фурье. — Зап, научн, семин. ЛЙ/1И, 1972, 30, 15−32. р

10. Вербицкий Н. Э. О мультипликаторах в пространствах Л.. — Функц, анализ и его прилож., 1980, 14, й 3, 67−68. П. Anderson J.M. Algebras contained within Н*". — Зап.научн.семин. ЛШИ, 1978, 81, 235−236,.

11. Хавин В. П., Шамоян Ф. А. Аналитические функции с липшицевым модулем граничных значений. — Зап.научн.семин, ЛОМИ, 1970, 19, 237−239. — 216 ;

12. Хавин В. П. Обобщение теоремы Привалова-Зигмунда о модуле непрерывности сопряженной функции, — MsE. iffl Арм.ССР, Математика, I97I, 6, И 2−3- 252−258, И 4, 265−287.

13. Brennan J. Approximation in the mean by polynomials on non Garatheodory domains. — Ark.Mat., 1977, 15, N 1, 117−168.

14. Taylor Б.А., Williams D.L. Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc, — Mich.Math.J, 1971, 18, Ж 2, 129−139.

15. Коренблюм Б. И. О функциях голоморфных в круге, а гладких вплоть до его границы. — ДАН СССР, I97I, 200, И I, 24−27.

16. Stegbuchner J. lullstellen analytischen Punctionen und veralIgemeinerte Carleson-Mengen, I. — Sitznugsber. Oster, Akad. Wiss, Math-Nat, 1975, Abt.2, 183, N 8−10, 463−503.

17. Stegbuchner J.? -Invarianten bei verallgeraeinerten CarlesonMengen. — Monats hefte. Math., 1976, 81, H 3, 217−224;

18. Schv/artz L, Etudes des somraes d’exponentielles reelles. Pa ris, 1943.

19. Hirschmen I.I., Jeiikus J.A. On lacunary Dirichlet series. — Proc.Amer.Math.Soc, 1950, 1, II 4, 512−517.

20. Anderson J.M. Bounded analytic functions with Hadamard gaps.. — Mathematika, 1976, 23, ^ 2, 142−147.

21. Гурарий В. П. Спектральный синтез ограниченных функций на полуоси. — Функц. анализ и его прил., 1969, 3, В 4, 34−48. л" .

22. Коренблюм Б. И. Замкнутые идеала кольца /. — Функц.анализ. и его прилож., 1972, 6, Ш 3, 38−53.

23. Коренблюм Б. И. Инвариантные подпространства оператора сдвига во взвешенном гильбертовом пространстве. Мат. сборник, 1972, 89, Ji I, II0-I37.

24. Шамоян Ф. А. Построение одной специальной последовательности, и структура замкнутых идеалов в некоторых алгебрах аналитических функций. — Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1972,7,)s6, 440−470. — 217 ;

25. Шамоян Ф. А. Структура замкнутых идеалов в некоторых алгебрах функций, аналитических в круге и гладких вплоть до его границы. — ДАН СССР, 1975, 60, II 3, 133−136.

26. Шамоян Ф. А. Замкнутые идеалы в алгебрах аналитических функций, гладких вплоть до границы. — Изв. АН Арм.ССР, Математика, I98I, 16, J" 3, I73-I9I.

27. ТамразоЕ П. М. Контурные и телесные структуры свойства голоморфных функций комплексного переменного. — Успехи мат. наук, 1973, 28, II I, I3I-I6I.

28. Данькин Е. М. Оценки аналитических функций в жордановых областях. — Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1977, 73, 70−90.

29. MucKenhoupt В. Weighted norm ineisjualities for the Hardy maximal functions. — Trans. Amer, Math. Soc, 1972, 165, 207−226,.

30. Зигмунд A. Тригонометрические ряды, т.I. М., Мир, 1965.

31. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., Наука, 1977.

32. Голузин Г. М. Теоретическая теория функций комплексного переменного, М., Наука, 1966.

33. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., Мир, 1973.

34. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М., Наука, 1970.

35. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М, ГИТТЛ, 1956.

36. Дынькин Е. М. Конструктивная характеристика классов Л. Соболева и О. В. Бесова. Тр.мат.ин-та АН СССР, I98I, 155, 41−76.

37. Крейн Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М., Наука, 1978.

38. Дынькин Е. М. Гладкие функции на плоских множествах. ДАН СССР, 1979, 208, а I, 25−27. — 218 ;

39. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., Наука, 1966,.

40. Horowitz Factorization theorems for functions in the Bergman spaces. — Вгдке Math.J., 1977, 44, H 1, 201−213.

41. Привалов И. И. .?раничные свойства аналитических функций, М., 1950.

42. Hoffman К. Banach spaces of analytic functions. Prentice-Hall, Eugl.diffs. N.Z., 1962.

43. Kahanu J.-P. Best approximation, in — Bull.Amer.Math. Soc, 1974, 80, Ж 5, 788−804.

44. Bruna J., Ortega J. Closed finitely generated ideals in algebras of holomorphic functions and smooth tothe boundary in strictly pseudoGonvex domains. -Math.Ann., 1984,268,И2,137−157.

45. Шамоян Ф. А. Теплицевы операторы и деление на внутреннюю функцию, в некоторых пространствах аналитических функций, — ДАН Арм. ССР, 1983, 76, Л 3, I09-II3.

46. Виноградов А., Широков Н. А. Факторизация аналитических функций с производной из Н. — Зап.научн.семин.ломи, I97I, 22, 8−27.

47. Широков Н. А. Некоторые свойства примарных идеалов абсолютно сходящихся рядов Тейлора и интегралов Фурье, — Зап, научн. семин. ЛОШ, 1974, 32, I49-I6I.

48. Широков Н. А. Идеалы и факторизация в алгебрах аналитических — 219 -Ч^ункций, гладких вплоть до границы. — Труды ШАН, 1978, 130, 196−222.

49. Широков Н. А. Стандартные идеалы алгебры j-j^. — Функц. анализ и его прилож., 1979, 13, Л I, 86−87.

50. ShirokoT Ж.А. Division and multiplication Ъу inner fimction in spaces of analytic functions smooth up to the boundary. — Lect. Notes in Math., 1981, 864,413−440.

51. Широков Н. А. О модуле граничных значений аналитических функций класса A^j .- Зап.научн.семин.ЛОМИ, I98I, И З, 258−260.

52. Широков Н. А. Шожества нулей функций из Лео • - Зап.научн. семин. ЛОШ, 1982, 107, 178−188.

53. Широков Н. А. Деление на внутреннюю функцию не меняет класса гладкости. — ДАН СССР, 1983, 268, М 4, 821−823.

54. Широков Н. А. Несколько свойств слаболакунарных степенных рядов. — УМН, 1982, 37, И 2, 249−250.

55. Широков Н. А. Модули аналитических функций, гладких вплоть до границы. — Препринт ЛОМИ, 1982, Р-7−82, 43 стр.

56. Широков Н. А. Замкнутые идеалы алгебр типа Вр<, • Изв. АН СССР, серия матем., 1982, 46, Н 6, I3I6-I333.

57. Широков Н. А. Факторизация Неванлинны в некоторых классах аналитических функций. — Зап. научн, семин. ЛОМИ, 1983, 126, 205−207.

58. Широков Н. А. Свойства модулей аналитических функций, гладких вплоть до границы. — ЛМ СССР, 1983, 269, II 6, I320-I323.