Интегральные и дискретные модели процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем

1.1. Актуальность работы.

Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком A.A. Андроновым [1−3] в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Например, представления об автоколебаниях широко используются в моделях химических реакций [4], биологических систем [5, 6], механических конструкций [7].

Но наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

Синхронизация — универсальное явление, характерное для всех без исключения автоколебательных систем. В рамках классической теории различают вынужденную синхронизацию, то есть синхронизацию автоколебаний внешним сигналом, и взаимную синхронизацию, наблюдающуюся при взаимодействии двух автоколебательных систем. В обоих случаях проявляются одни и те же эффекты, связанные с двумя классическими механизмами синхронизации: захватом собственных частот (и соответственно фаз) колебаний или же подавлением одной из двух независимых частот.

Не так давно было обнаружено, что явление, подобное синхронизации, можно наблюдать в классе колебательных систем, не являющихся, строго говоря, автогенераторами. Речь идет о так называемых стохастических осцилляторах — нелинейных диссипативных системах, в которых колебания возникают под действием шума. Различают два типа стохастических осцилляторов: возбудимые осцилляторы и бистабильные осцилляторы. Для возбудимых систем характерна генерация импульсов в условиях, когда сигнал внешнего воздействия превышает некоторый пороговый уровень. В результате действия шума такая система, представляющая собой случайную последовательность импульсов, совершает стохастические колебания. Бистабильный стохастический осциллятор — это нелинейная система с двумя устойчивыми состояниями. Присутствие шума приводит к случайным переключениям состояний из одного состояния в другое.

Это — синхронное изменение клеточных ядер, синхронная генерация потенциалов действия нейтронами, различные формы коллективного поведения насекомых, животных (к примеру, «система хищник-жертва») и, даже, человеческих обществ. Данные объекты, как правило, не отделены от своего окружения, а, наоборот, взаимодействуют с другими объектами, то есть являются открытыми системами. И порой очень трудно охарактеризовать подобную систему как автоколебательную. Явление синхронизации может оказаться определяющим фактором в определении данных систем. Как правило, взаимодействие открытых систем с другими объектами очень слабое, едва заметное, но, тем не менее, оно приводит к качественному изменению состояния: объект подстраивает свой ритм, согласуя его с ритмами других объектов.

В радиофизике было введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, в том числе и синхронизация, определены способы их практического использования.

Одна из первых математических моделей автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков как осциллятор Ван дер Поля, описана в работе [8]. Б. Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем — систем томсоновского типа [9]. Для исследования периодических режимов томсоновских автоколебательных систем успешно применялись также методы возмущений Ляпунова-Пуанкаре [2, 10]. В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л. И. Мандельштама [11], Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова,.

Ю.Н. Митропольского [12,13] и других исследователей [14,15]. Были разработаны асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения Боголюбова—Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности.

Первый порядок метода усреднения и его разновидность — метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) — получили широкое распространение в инженерной практике [16]. На основе метода усреднения С. М. Рытовым [17], А. Н. Малаховым [18], Р. Л. Стратановичем [19] была построена теория флуктуаций в автоколебательных системах.

Асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы [20] и распределенных автоколебательных систем [21,22]. Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями [23, 24].

Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века и до настоящего времени, подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме — в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими физической ситуации граничными условиями. 7.

Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами [25, 26]. Численные методы можно использовать и для выполнения процедуры неявного формирования системы укороченных уравнений (см., например, [27−29]).

Вместе с тем среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов. В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с распределенным резонатором. В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой [30]. При надлежащем выборе ее физической размерности, т. е. переменных «вход—выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент—резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода [31]. Такие интегральные модели не получили заметного распространения в теории автоколебательных систем. По-видимому, это обусловлено с тем, что нелинейные уравнения движения, как дифференциальные, так и интегральные, не имеют точных аналитических решений, а приближенные и численные решения традиционно строятся для дифференциальных моделей. В связи с интегральными моделями можно лишь отметить публикации, в которых линейные флуктуационные интегральные уравнения используются при анализе фазовых шумов радиочастотных автогенераторов [32] и полупроводниковых инжекционных лазеров [33, 34].

Между тем, в статье [35] и диссертации [38] показано, что интегральные модели автоколебательных систем позволяют синтезировать дискретные во 8 времени автогенераторы — алгоритмы генерации дискретных сигналов. Такие автогенераторы (алгоритмы) можно использовать для обработки цифровых сигналов [36] и защиты информации от несанкционированного доступа [37].

Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора. Одна из них — это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая — усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».

Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными [39] и дискретно-распределенными параметрами [40], основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.

1.2. Цель работы.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке методики математического моделирования процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем с дискретными в пространстве нелинейностями на основе интегральных уравнений движения, преобразованиях интегральных моделей к форме дискретных во времени нелинейных рекурсивных фильтров и моделировании процессов синхронизации автоколебательных систем, функционирующих в дискретном времени.

1.3. Методы исследования.

Работа выполнена на основе методов теории нелинейных колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов.

Численные результаты получены на основе алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических вычислений. Научная новизна диссертационной работы заключается:

— в методе моделирования синхронизации автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на интегральных уравнениях движения систем;

— в распространении метода медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний на неавтономные автоколебательные системы, функционирующие в дискретном времени;

— в новых математических моделях синхронизированных автогенераторов с сосредоточенными и распределенными ЛС-цепями обратных связей;

— в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.

1.4. Практическая значимость работы.

Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и моделирования автоколебаний могут найти применение при решении задач проектирования радиочастотных генераторов, аналоговых и цифровых устройств обработки сигналов, прогнозирования процессов развития систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается:

— использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем;

— хорошей согласованностью приближенных аналитических результатов и результатов численного эксперимента;

— соответствием результатов проведенного анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

— соответствием основных результатов численного анализа и моделирования общим физическим закономерностям.

1.5. Положения, выносимые на защиту.

1. Метод анализа и численного моделирования процессов фазовой синхронизации дискретно-распределенных автоколебательных систем.

2. Интегральные модели синхронизированных автогенераторов с дискретными и распределенными 7? С-цепями обратной связи.

3. Результаты анализа частотных характеристик синхронизации автогенератора с .КС-линией обратной связи.

4. Способ проектирования ДВ-автогенераторов томсоновского типа и результаты анализа и моделирования процессов их синхронизации гармоническим сигналом.

5. Модель синхронизации системы «хищник—жертва» в дискретном времени.

1.6. Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на.

— VI, VII, IX Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2007 г.- г. Самара, 2008 г.- г. Челябинск, 2010 г);

— VIII Международной научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники и связи» (г. Иркутск, 2009 г.);

— XI региональной научной школе-семинар «Актуальные, проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2009 г.);

— IX международной школе-семинар «Хаотические автоколебания и. формирование структур» (г. Саратов, 2010 г.);

— II Международной научно-технической конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2010 г.).

1.7. Публикации.

По материалам диссертации опубликованы 11 работ, в том числе 4 статьи (из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 7 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.

1.8. Содержание работы.

Первая глава посвящена разработке методов анализа процессов синхронизации для интегральных моделей автоколебательных систем. В п. 1.1 проведена классификация интегральных уравнений, среди которых выделен тип, наиболее общий для большинства автогенераторов. В п. 1.2. исследован режим установившихся автоколебаний под внешним воздействием для интегральной модели автогенератора. Показано, как с помощью метода V медленно меняющихся амплитуд от интегральных уравнений движения можно перейти к уравнению для комплексной амплитуды установившихся автоколебаний. Составлены обобщенные уравнения АЧХ и ФЧХ синхронных колебаний.- В п. 1.3 проведено исследование областей устойчивости установившихся режимов синхронных колебаний. Для этого было введено малое возмущение комплексной амплитуды внешнего воздействия. Выведена системная функция линейного преобразования возмущений комплексной амплитуды сигнала синхронизации в возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний в матричной форме, из определителя которой были получены уравнения устойчивости, согласно критерию Рауса-Гурвица [41, 42].

Проверка методов анализа процессов синхронизации для интегральных моделей автоколебательных систем проведена в п. 1.4 на примере модели осциллятора Ван дер Поля. В п. 1.4.1 построены АЧХ и ФЧХ для интегральной модели Ван дер Поля, исследованы области устойчивости установившихся синхронных колебаний. В п. 1.4.2 проведено сравнение полученных результатов из п. 1.4.1 с результатами для дифференциальной модели Ван дер Поля.

В заключение первой главы проведены анализы РС-генераторов с сосредоточенными параметрами, в качестве активного элемента которых взят операционный усилитель с кубической передаточной характеристикой. На основе их интегральной модели построены АЧХ и ФЧХ синхронных установившихся колебаний, исследованы области устойчивости. В п. 1.5 рассмотрен Т^С-генератор с интегрирующей цепью обратной связи. Для оценки точности результатов проведено численное решение ИУД. Другой регенератор с дифференцирующей цепью обратной связи исследован в п. 1.6.

Во второй главе приведен результат анализа интегральных моделей ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами. Построены АЧХ и ФЧХ синхронных установившихся колебаний, исследованы области устойчивости. В качестве обратной связи для данных автогенераторов выбрана /?С-линия. Соответственно интегральное уравнение для данного типа автогенераторов составлено в п. 2.1. В п. 2.2 рассмотрен автогенератор с кубической передаточной характеристикой операционного V усилителя. Проведен численный эксперимент на основе интегральной модели пространственно-распределенной колебательной системы, на основе которого подтверждена точность предложенных нами методов исследования. Случаи для релейной и кусочно-линейной передаточных характеристик операционного усилителя рассмотрены соответственно в п. 2.2 и п. 2.3. В третьей главе предлагается вариант решения задачи проектирования ДВ-автогенератора, находящегося под действием внешнего сигнала, и исследуется процесс фазовой синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля. Теория нелинейных динамических ДВ-систем в настоящее время находится на начальном этапе своего развития, и одно из ее центральных мест занимают ДВ-автогенераторы. Практический интерес представляют методы проектирования (синтеза) нелинейных ДВ-систем, позволяющие.

13 воспроизводить в дискретном времени характеристики колебаний, наблюдаемых в аналоговой системе-прототипе. Один из таких методов, основанный на принципе инвариантности импульсной характеристики резонансной цепи аналоговой системы по отношению к дискретизации времени, был описан в статьях [35, 43]. Для решения задачи проектирования ДВ-автогенератора в п. 3.1.2 в качестве аналоговой модели-прототипа был взят осциллятор Ван дер Поля. Действуя в рамках метода импульсной инвариантности, было получено уравнение движения ДВ-автогенератора Ван дер Поля в рекурсивной форме. В п. 3.1.3 были получены АЧХ и ФЧХ стационарного режима синхронных колебаний, поддерживаемого внешним аддитивным воздействием дискретного гармонического сигнала.

Исходя из результатов, полученных в работе [45], для исследования процессов установления синхронных колебаний ДВ-осциллятора и их устойчивости проведено обобщение метода медленно меняющихся амплитуд (ММА) на осцилляторы, находящиеся под действием внешнего гармонического сигнала [44], на основании чего в п. 3.1.4 было получено укороченное уравнение, позволяющее исследовать переходные процессы в синхронизируемом ДВ-осцилляторе. В п. 3.1.5 с помощью укороченного уравнения было проведено исследование устойчивости установившегося режима синхронных колебаний. С помощью полученного укороченного уравнения в п. 3.1.6 было проведено моделирование автоколебаний в ДВ-осцилляторе Ван дер Поля, выделены области захвата и удержания в режиме синхронизации.

В п. 3.2 был синтезирован обобщенный ДВ-автогенератор томсоновского типа, рассмотрена фазовая синхронизация гармоническим сигналом. Был выделен эффект самосинхронизации как следствие взаимодействия основной гармоники и гармоники, возникшей в результате характерного для ДВ-автогенераторов эффекта подмены частот.

Заключительная четвертая глава расширяет методы синтеза и анализа ДВ-систем, рассмотренные в третьей главе, на биологические осцилляторы. В п. 4.1 дана краткая историческая справка развития популяционных моделей, проведена классификация дискретных моделей для разных случаев описания поведения биологических систем. Особое внимание в данной главе уделено рассмотрению модели биологической системы типа «хищник-жертва», для которой в п. 4.2 строится имитационная дискретная модель с запаздыванием, основанная на уравнениях движения в дискретном времени. На основе полученных уравнений движения проводится математический эксперимент с целью анализа синхронизации в дискретной системе «хищник-жертва». Выделяются области захвата и удержания, исследуются области биений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. Предложен оригинальный метод анализа и моделирования процессов фазовой синхронизации дискретно-распределенных автоколебательных систем. Метод основан на интегральных уравнениях движения и позволяет с единых позиций анализировать различные схемы АКС.

2. Разработана, алгоритмически и программно реализована схема численного эксперимента по исследованию частотных характеристик синхронизированных АКС.

3. Разработана интегральная модель синхронизированного генератора с ЯС-линией в цепи обратной связи. Методами численного анализа и численного эксперимента установлено, что данная АКС имеет частотные характеристики синхронизации автогенератора с мягкой неизохронностью.

4. Предложен новый способ использования принципа импульсной инвариантности для решения задачи проектирования ДВ-автогенераторов.

5. Метод медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний распространен на неавтономные нелинейные динамические системы в дискретном времени.

6. Исследованы частотные характеристики синхронизации ДВ-автогенераторов томсоновского типа. Показано, что подмена частот гармоник автоколебаний в дискретном времени является причиной эффекта самосинхронизации автогенераторов.

7. Предложена дискретная модель для исследования колебательных процессов в системе «хищник-жертва» с внешним периодическим воздействием.