Математическое моделирование обтекания профилей с отсосом и численное решение сингулярных интегральных уравнений в классе обобщенных функций

В настоящее время при решении многих прикладных задач механики, физики все большее применение находят сингулярные интегральные уравнения. Например, к решению таких уравнений могут быть сведены некоторые задачи аэродинамики, дифракции электромагнитных или акустических волн, задачи теории упругости и т. д.

Следует отметить, что при — аналитических исследованиях в приложениях уже давно некоторые задачи стали сводить к сингулярным интегральным уравнениям, т.к. для них в одномерном случае получена хорошая теоретическая база, которая довольно полно изложена в монографиях [30] Гахова Ф. Д. «Краевые задачи» — Москва, изд. Наука, 1977 г. и [48] Мусхвелишвили Н. И. «Сингулярные интегральные уравнения «- Москва, изд. Наука, 1968 г.

Для характеристических уравнений была построена теория получения всех решений в классе абсолютно интегрируемых функций. Этот класс наиболее естественен для прикладных задач. В монографии Гахова Ф. Д. указано, что при определенных условиях на коэффициенты сингулярного интегрального уравнения можно искать решения этих уравнений в классе функций с неинтегрируемой особенностью вида [х при х -" 0. Но отсутствие прикладных задач, приводящих к решениям такого типа, численных методов их нахождения, развитой теории обобщенных функций в применении к сингулярным интегральным уравнениям привело к тому, что такие решения не исследовались.

Если рассматривать тенденцию развития численных методов решения интегральных уравнений, то можно отметить следующее: наибольшее развитие численные методы получили для интегральных уравнений Фредгольма второго рода с «хорошими» ядрами. Для таких уравнений были построены численные методы: а) высокой точности, применимые к достаточно узким классам уравнений, когда искомое решение интерполируется специальными многочленами или частичными суммами рядов из собственных функций соответствующих операторовб) основанные на применении к интегралу квадратурных формул типа прямоугольников или аналогичных достаточно общих квадратурных формул с использованием одной сетки точек, по которым такие квадратуры строились.

При построении численных методов для сингулярных интегральных уравнений столкнулись со следующей проблемой. Сингулярный интегралэто интеграл, в обычном представлении расходящийся и понимается в некотором специальном смысле — в смысле главного значения по Коши. В силу этого математики посчитали, что к таким интегралам нельзя применять квадратурные формулы типа прямоугольников, и поэтому для сингулярных интегральных уравнений вначале начали развивать численные методы интерполяционного типа. Однако такие методы практически не удается распространить на двумерные сингулярные интегральные уравнения, которые естественным образом возникают в различных приложениях (в аэродинамике, электродинамике, теории упругости) при решении пространственных задач.

Но практические задачи не могут ждать пока будет, построена хорошая математическая теория их численного решения. Их надо решать тогда, когда этого требует жизнь. Поэтому в начале пятидесятых годов пошлого столетия в работах по аэродинамике, где сингулярные уравнения возникают при естественном моделировании обтекаемой поверхности вихревым слоем, с помощью эвристических соображений и численных экспериментов на ЭВМ С. М. Белоцерковским был создан метод дискретных вихрей численного решения соответствующих сингулярных интегральных уравнений на отрезке (обтекание тонкого профиля) и на прямоугольнике (обтекание крыла конечного размаха прямоугольной формы в плане).

Идея метода дискретных вихрей состоит в следующем. Непрерывный вихревой слой, моделирующий несущую поверхность и след за нею, заменяется системой дискретных вихрей. На несущей поверхности выбираются точки, называемые расчетными, в которых выполняется условие непротекания (сумма нормальных составляющих скоростей, индуцируемых вихрями, и набегающего потока равна нулю). Задача нахождения неизвестных циркуляций дискретных вихрей сводится к системе алгебраических уравнений. Решение задачи не единственно и может иметь особенности на кромках и изломах несущей поверхности. Нужный класс решения определяется физическим содержанием задачи и выделяется выбором взаимного расположения множества дискретных вихрей и расчетных точек. К тем кромкам, где решение должно быть неограниченным, ближайшими располагаются дискретные вихри, а к тем, где оно должно быть ограниченным — расчетные точки. Кроме того, суммы, которыми заменяются сингулярные интегралы в теории несущей поверхности, должны соответствовать главным значениям интегралов в смысле Коши. Для этого внутренние расчетные точки должны лежать посередине между вихрями на поверхности (или стремиться к этим положениям). Именно в таком виде впервые был сформулирован метод дискретных вихрей в 1955 г. в докторской диссертации С. М. Белоцерковского, после чего началась систематическая реализация его в аэродинамике [1,2,3,6,8].

Так как по существу метод дискретных вихрей использует вычисление сингулярного интеграла с помощью специальных квадратурных сумм типа прямоугольников, а при выборе класса решения не используется явное выделение особенности на кромках, то он начал подвергаться критике [50].

Строгое математическое обоснование метода дискретных вихрей было выполнено И. К. Лифановым в ряде работ [36−46], завершившихся защитой в 1981 г. докторской диссертации. После этого удалось перенести идеи метода дискретных вихрей в теорию упругости и электродинамику [4, 5, 7, 19−29]. Эти первые результаты бьши изложены в [6, 52].

Следует отметить, что уже в этих первых работах и в последующих проявилось взаимное влияние прикладных задач и математических исследований.

В последнее время в аэродинамике начали исследовать механизацию крыльев с использованием устройств отсоса внешнего потока. Было показано для тонкого профиля, что эта задача сводится к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке в классе функций, которые в точке отсоса имеют неинтегрируемую особенность. В некоторых частных случаях было дано численное решение таких задач с помощью метода дискретных вихрей. Однако каждый частный случай требовал особого подхода. При численном решении задачи с отсосом внешнего потока методом дискретных вихрей расчетные точки выбирают так, чтобы точка отсоса являлась одной из них, и при написании системы линейных алгебраических уравнений то уравнение, что соответствует точке отсоса, пропускается. Поэтому, например, при решении методом дискретных вихрей циркуляционной задачи для тонкого профиля получается система с п неизвестными и п-1 уравнениями. Затем из тех или иных физических соображений ищется дополнительное уравнение, чтобы получить разрешаемую однозначно систему п уравнений с п неизвестными [18], [35]. Это показывает, что для каждой новой задачи с отсосом (несколько новых точек отсоса внешнего потока) надо думать, как замкнуть полученную систему линейных алгебраических уравнений. Однако, в задачах обтекания телесного профиля до сих пор для некоторых случаев непонятно было как это сделать. Взяв несколько иную физическую трактовку задачи с отсосом [16], приходим к тому же самому сингулярному интегральному уравнению первого рода, но в правой части этого уравнения появляется дельта — функция с носителем, расположенным в точке отсоса. Оказалось, что наличие дельта — функции в правой части позволяет строить более удобные методы численного решения соответствующих задач аэродинамики. Действительно, в старом подходе к решению задач аэродинамики [15,52,35,53] каждая новая точка отсоса на профиле приводила к необходимости изменения системы линейных алгебраических уравнений. При новом же подходе можно построить вычислительный алгоритм решения этой задачи, в котором с.л.а.у. остается всегда неизменной и меняется только правая часть. Более того, доказательство сходимости численного решения к точному в этом случае тоже стало ближе к классическому доказательству при хороших правых частях этого интегрального уравнения. Именно таким доказательствам и посвящена представленная работа. Таким образом, актуальность выбранной темы не вызывает сомнений.

В настоящей работе предложен вариант метода дискретных вихрей численного решения сингулярного и гиперсингулярного интегральных уравнений первого рода на отрезке с ядром Коши и для уравнений с ядром Гильберта в случае, когда в правой части уравнения имеется дельта — функция. Далее предлагается краткий обзор данной работы по главам.

В первой главе приводится постановка и модели некоторых задач из аэродинамики, которые затем будут исследоваться в данной диссертации.

Рассматривается плоскопараллельное обтекание изолированного непротекаемого профиля установившимся потоком идеальной невязкой несжимаемой жидкости, скорость которого и0 =и0×1 + и0у]. Сам профиль является неподвижным. Под профилем понимаем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси 02 и направляющей кривой Ь в плоскости ОХУ (рис.1). Так как все параметры набегающего потока и возмущенного не зависят от координаты г, то в дальнейшем профиль изображается только кривой Ь в плоскости ОХУ. Если кривая Ь является простой разомкнутой (рис. 1а), то такой профиль называется тонким, а если кривая Ь является простой замкнутой кусочно — гладкой (рис. 16), то такой профиль называется телесным. Поскольку рассматривается стационарная задача, то следа за профилем нет, и возмущенное течение будет потенциальным везде вне профиля Ь.

Рис. 1 Разомкнутый (а) и замкнутый (б) (телесный) профили.

При моделировании профиля вихревым слоем задача сводится к решению следующего сингулярного интегрального уравнения где /(М0) = -и0пм<, у{м)~ интенсивность распределенного вихревого слоя в точке М е I и /(М0) гладкая функция, /(М0)е Н (а) на Ь.

Далее рассматриваются сингулярные интегральные уравнения каждого типа, к которым сводится уравнение (1).

Если Ь — гладкая разомкнутая кривая, заданная параметрически х = х (0, у = ХО, ' е [-1,1], то уравнение (1) может быть записано в виде х а) б) О где/(0еЯ (ог) на [-1,1], Н (а) на [-1,1]х[-1,1].

Это уравнение имеет решения трех типов: т= где |/(А/)й& = 0.

4) г")7><�о (5) где функция не имеет особенностей на Ь, соответствующие циркуляционному, бесциркуляционному и безударному обтеканию профиля I соответственно.

Если профиль Ь является телесным без острой кромки, т. е. кривая Ь является простой замкнутой гладкой, и параметр (изменяется на отрезке [0,2я], то уравнение (1) можно записать в виде.

4яо о.

Так как набегающий поток является потенциальным во всей плоскости, то для любого телесного профиля выполняется равенство.

6).

М)Л = 0.

7).

Для телесного профиля решение уравнений (1) определенно с точностью до константы, т. е. в этом уравнении константа является собственным решением.

Далее рассматривается задача с отсосом внешнего потока. Пусть в точке Мч (хч, уд) профиля Д хд = х (гд), уч = у (гд), г, е (о,/), происходит всасывание внешнего потока внутрь оболочки профиля (рис 2).

Устройство отсоса внешнего потока будем моделировать стоком интенсивности Поле скоростей ' Уч (м0), порождённое стоком интенсивности Q, имеет особенность в точке Мч и задаётся формулой.

1п.

8) б).

Рис 2. Стационарное обтекание разомкнутого гладкого профиля (а) и замкнутого профиля (б) с отсосом внешнего потока.

Традиционное условие непротекания на V даёт уравнение К{М0)пМп =-и0 {М0)пМауч (М0)пМа, М0<�ЕЬ, М0*МЧ, (9) где.

Так как из физики следует, что на 1+ поле скоростей должно иметь особенность типа стока, а на I" - оно является гладким, то можно получить, что решение уравнения (9) имеет вид п tq-t если L является разомкнутой кривой и 77, (/)е Н* на L, и.

2 к 2 если L является замкнутой кривой, где?72(0 е Н (а) на [о,/].

Если L является единичной окружностью, то решением уравнения (6), где в этом случае K (t0,t) = 0, должна быть функция, t"-t.

2л- 2 т. е. в смысле главного значения по Коши должно быть верно равенство по.

4л- ^ 2 2л 2, 4л Если теперь взять нетрадиционное условие непротекания, то есть на, то те же рассуждения приводят к уравнению.

К (Мо)"ма =-й0{М0)пМа-?-щ{мфМч)-?з (мй-мч М0 е Ь. (12).

Оно отличается от уравнения (9) тем, что оно написано для любой точки М0 е X, в частности, и для точки Мч, но теперь в правой части появилась 8 — функция (обобщённая функция). Поэтому теперь интегральный оператор в равенстве (12) надо понимать в смысле теории псевдодиференциальных операторов [55,56]. В частности, если Ь единичная окружность, то уравнение (12) приобретает вид {П0{ма) = 0) з).

Поэтому из теории псевдодифферециальных операторов без исследования поведения касательных скоростей на V сразу следует, что решением уравнения (13) будет функция.

14).

2л 2.

Вторая глава посвящена квадратурным формулам, которые имеют более физический смысл относительно тех же формул, рассмотренных в [6].

Классически в работах С. М. Белоцерковского [12] метод дискретных вихрей формулируется для циркуляционного обтекания в виде т р

— 1— = /(*<>)> / = 1, .л, где Г, — интенсивность / дискретного.

1=1) ~ вихря. Затем в работах И. К. Лифанова вместо Г, используется представление в виде /(*,)•/г. Поскольку в работах Белоцерковского Г (. это есть дискретный вихрь равный завихренности на отрезке 1×0>|., х0(], то возникает целесообразность исследования квадратурной формулы для сингулярного интеграла следующего вида:

— 1 X0j Х «=1 Х1 *»,.

В § 1 рассматривается сингулярный интеграл:

1М-1&Г <15) ' 'о по окружности Ь единичного радиуса с центром в начале координатр (г) — функция класса Н (а), удовлетворяет условию Гёльдера степени, а на Ь,.

0<а<1.

На Ь выбирается два множества узлов (см. рис. 3) Е={^ к=1, ., п) и к=1,., п}, таких, что к=1,., п, разбивают окружность (рис. 3) на п равных частей, а точка Аж является серединой дуги где полагаем п+1~*ь Выбранные таким образом множества Е и Ео называются каноническим разбиением окружности Ь. (рис. 3).

Теперь для сингулярного интеграла на окружности берется квадратурная формула:

Л 1 т~ J=l¦¦¦>"¦ (16).

— h~hj ,",.

В этом случае справедлива теорема:

Теорема 2.1. Пусть (р ($ удовлетворяет условию Н (а) на Ь. Тогда выполняется неравенство.

1п П | I 1 j = l,., n,.

В § 2 рассматривается сингулярный интеграл с ядром Гильберта.

2 т 0−0. = ctg—±-x (в) — функция с периодом 2ж.

Квадратурная формула, аналогичная квадратурной формуле (16), для сингулярного интеграла с ядром Гильберта имеет вид: п Q — Q вы*.

Sn{^j) = t. ctSJ4rL.

Доказывается теорема:

Теорема 2.2. Пусть функция ^>,(0) еЯ на отрезке [0,2л] и имеет период 2к. Пусть точки Е={вь к=1,., п} и Е0={ Ооь к=1,., п} выбраны на [0,2л] следующим образом: вк+1 -вк = ~ = h, к = 1,., п -1, + 2п = вплЛ, в0к =вк+н/2,к = 1,., п, т. е. точки tk=e'e" и tok=eie>ot, к=1,., п, образуют каноническое разбиение L. Тогда справедливо следующее неравенство: |I{0Oj) — (0Oj)| < о{па ln п), J = 1,., п.

В § 3 рассматривается сингулярный интеграл с ядром Коши:

19).

L 0 где L = [a, b на действительной оси, а функция.

y/(t)eH (a) ца [a, b]. v ~а) Ь~ч.

Пусть точки, а = /0,г&bdquo-+1 =6 разбивают отрезок [а, б] на и + 1 равных частей длины Л =, а точка г07 является серединой отрезка 1^,/,+,], j = 0,1,.,".

Точки множеств E={th к=1,., п} и Ео={Щ, j=0,., n} образуют каноническое разбиение отрезка [a, b с шагом h (см. рис 4).

00 toi to2 ton ,. to=a i — «» «¦ «- «» ¦ i b=tn+1 tj 12 tn.

Рис. 4. Каноническое разбиение отрезка [a, Z>]. Квадратурная сумма для интеграла l (t0) в точке t0J следующая: лУ-ЁтЛ" !^- (20).

1 к.

Доказывается теорема [32]: Теорема 2.4. Пусть.

0) 4−1^0j где величина) удовлетворяет неравенствам :

1))< оДа*) 0 Л, < 1, для всех точек /0, е [а + б, Ъ — б], где 8 >- 0;

2) ^)о ^ А2 < 1, для всех точек е [а, Ь]. о.

Далее рассматривается характеристическое уравнение.

0, «.М). 'л «.

21).

Известно, что решение индекса к =0,1,-1 этого уравнения задается формулой где у1 =1, у0 =у, =0,.

Я" t-a 1.

ЛЬ-^-аУ.

Теорема 2.5. Пусть р (/)еЯ' на [а, б] и множества Е и Е0 образуют каноническое разбиение этого отрезка. Тогда между решениями систем линейных алгебраических уравнений.

Я 1 'о*. .

1 'о/ h .

7=1,. п, 1 f°i / St-1- J =/У.

-" foy h л 'о*.

X.

— 1 r0j у =1,.я-1, j = 0,1,.", и решениями индекса к = 0,1,-1 уравнения (21) выполняется неравенство j 'о, т К ('У' в котором величина 6>") удовлетворяет неравенствам:

1)0я (г4)?оДад,)> Для всех точек е [а + д, Ь-б], где 6>- 0;

2)^6к V1 ^), ^ х 0, для всех точек (к е [а, б]. 1.

В главе 3 рассматриваются вычислительные схемы для сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода на отрезке в классе обобщенных функций в тех случаях, которые потребовались в аэродинамике.

Вначале рассматривается сингулярное интегральное уравнение тг ' V — V л х0-х где /(х0)может быть гельдеровской функцией степени, а т. е. /(х0)е Н (а) на [-1,1] или быть дельта — функцией.

Случай, когда /(х0)еЯ (а) был подробно рассмотрен [6], поэтому в данной работе рассматривается случай, когда в правой части стоит функция следующего вида.

Я*о) = /*.<(*о) = Я• ¿-(*оЯ), (-1,1), (23) где 8(х0 -д) = Нш 8Н (.х0 -д), й-м).

1 А' *0 6 И к д—, д + — 2 2.

0, к к.

— и).

24).

Далее рассматривается метод численного решения уравнения (22) для различных индексов к =0,1,-1- На отрезке [-1,1] задаются два множества точек Е = {хк, к = 0,1,., и} и Е0 = {х07= 0,1,., и} удовлетворяющих условиям: 2 к+1 -хк = к, к = 1,., я-1, к =—, п + 2.

0>+1 ~ Х0) | = К ] = ОД,., п -1, н х хоо ~ 2' ~~ ** + 2' п' х00+ = Н-д^, 1-х0л = к-д1Ь, О^р^д^, дгм <, р2 <+*>, где р! и р2 — заданные числа и точка д при любом п лежит в множестве Е0, д = *оу (см. [6-§ 1.3], там же указано, как эти множества построить).

Вначале рассмотрим решения индекса к =1. При моделировании тонкого разомкнутого профиля вихревым слоем в случае бесциркуляционного обтекания с отсосом внешнего потока, используя нетрадиционное условие непротекания, приходим к сингулярному интегральному уравнению (22), которое рассматриваем для решений класса индекса к =/, т. е. обращающиеся на обоих концах отрезка [-1,1] в бесконечность, а правая часть представляет собой дельта — функцию (см.(23)). Справедлива следующая.

Лемма 3.1. Пусть в правой части уравнения (22) стоит функция 1д. я (хо), х0,£&euro-(-1,1). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений.

2>"(дг*)-Л" о, (25) и значения функции л 1 У1″ ?2 Я у (х) = —(26) связаны соотношением.

И**) -гл** >1 * <х*) — *=* (2?) в котором величина вп (х^) удовлетворяет неравенствам:

1) для всех точек хк е [- + ё^-б^>щ + 6,1-д где д>0 сколь угодно мало, в"(хк)<�С8-^, А,>-0, (28).

2) для всех точек хк е [-1,1].

0п (х,).А<�СЛ 0, (29) где С&С — некоторые константы, не зависящие от п.

Чтобы показать, что функция у (х) в (26) является решением уравнения (22), сингулярный интеграл в нем рассмотрим как оператор в пространствах Н* (типа Соболевских с весом).

Напомним вначале понятие пространства Ь2р действительных функций, квадрат модуля которых интегрируем на [-1,1] с весом р = р{х), 1 т. е. таких функций /(*), х е [-1,1], что $р (х) — ¡-/(х)|2 <£с-< +а>, где р (х) >- 0 почти.

— 1 всюду на [-1,1]. Естественным образом вводится скалярное произведение функций в этом пространстве.

— I.

После этого пространство становится гильбертовым, и поэтому можно взять полную систему ортонормальных функций {Р"(х), п=0,1,.}, являющихся базисом в £2,/э т. е. хР (х)Рп{х)Рт{х)с1х = д, где б" =0,п¥-= т, и 8™ =1,/и, я = 0,1,., — символ Кронекера. Любая функция /(*) е Ь2р представляется рядом Фурье по системе этих функций, сходящимся по норме Ь2(Р: to = t Л")РП to, /to = J’p (x)/(x)pn {x)dx n=0 -1 lift =lp (x)f2(x)dx = fj/2(n)^+co. 2″ /1=0.

Теперь можно дать следующее определение пространства Н* (типа соболевского) с весом р, связанного с пространством Ьг.р.

Определение [16- § 4]. Пусть AeR — произвольное действительное число. Весовым пространством Нлр = Н1р ({Рп (х)}) на [-1,1] называется множество таких функций (или обобщенных функций дляЯ-чО) и (х), что функция оо п=0 й (п) = ]р{х)ы{х)рп {x)dx = Ш Рп to),.

— I принадлежит пространству L, 2tP, где п=тах{1,п}. Нормой функции и (х) в.

2 V—"о 2Я 2 пространстве Я* назовем число ||м||я = я |м (я)| .Скалярным произведением функций и (х) и v (x) из пространства Нхр назовем число u, v) = 2]" on u (n)v (n) .Относительно этого скалярного произведения пространство Н* становится гильбертовым.

Рассматривая интеграл в (22) как оператор в пространствах Я* и Н*г, где рх =, * и р2= Vl-x2, показывается, что функция (26) является VI-х2 единственным решением (22).

Отметим, что справедливо следующее замечание: Замечание 3.1. Если рассмотреть гладкий слабоизогнутый тонкий профиль, то нетрадиционное выполнение условия непротекания приводит к тому, что правая часть в уравнении (22) будет представлять сумму гёльдеровской и дельта — функции: f{x0)+fSq{x0), где /(х0)е12рг. В этом случае все решения у (х) индекса к= 1 в паре пространств (Я* -ЯД)Дк-½, даются формулой (ср. [36- (2.3.30)]) vM 1 уУь^Г-ЖК с 1 УГу q гх) =—1— I-±7== +—,——.

7 Г • «V1 — X -1 *-*о Wl-X2 n V1-X.

X € (—1,1), где функция х (х) удовлетворяет равенству j{x)dx = C.

При моделировании тонкого, разомкнутого профиля вихревым слоем в случае безударного обтекания с отсосом внешнего потока, используя нетрадиционное условие непротекания, приходим вновь к уравнению (22), которое рассматривается для решений индекса к =-1, при наличии в правой части функции fs, q (xo) в паре пространств Я*2 иЯ^ и показывается, что при этом должно выполняться условие разрешимости для индекса к =-1. у (х)-ш<�ь=о (зо).

— 1 л/ 1-х2 где /(х) — гельдеровская функция. Тогда из (30) следует, что Далее рассматривается уравнение.

1 f ZW^L = /(Xe) + / (Xe)f х0 е (-1,1), (31).

71 м Х0 -X.

Для численного решения уравнения (31) на основе идеи метода дискретных вихрей воспользуемся множествами Е = {хк, к = 1,. ., п} и Ео = {xoj.J — 0,1,., п}, построенными выше. Справедлива следующая.

Лемма 3.3. Пусть функция f (х) принадлежит классу Н (а) на [-1,1] (см. [6- § 1.1]), а функция fs, q (x) имеет вид (23). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений.

— пп +1?z2^ = /(*0j) + q¿-h (*0,-я), j = 0,1,.,", (32).

Л Л XUJ —Xk где yon — регуляризирующая переменная [6- § 5.1], и значения функции.

Кх).JEZ| я***. хе (1Л) (зз) связаны соотношением (27), в котором величина Qn (x?) удовлетворяет неравенствам (28) и (29).

Наконец, моделируя тонкий, разомкнутый профиль вихревым слоем в случае циркуляционного обтекания с отсосом внешнего потока, и используя нетрадиционное условие непротекания, рассмотрим уравнение (22) для решений индекса к =0 в паре пространств ЯД и ЯД, где.

1-х 1 + х.

Используя идеи метода дискретных вихрей и множества.

Е = {хк, к = ],. .,"/, Е0 = {х0и] = 0,1,., п}, построенные выше, аналогично леммам 3.1 и 3.3 с использованием теоремы 5.1.1 из [6- § 5.1] доказывается.

Лемма 3.5. Пусть в правой части уравнения (22) стоит функция/?, ч (хо), х0 е (-1,1). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений у = !,.,", (34).

Я *=1 j ~~ Хк и значение функции.

Я,)-1^1114−2-, .(.Ц), (35) я V1 -нл:х-ц связаны соотношением (27), в котором величина вп (Хк) удовлетворяет неравенствам (28) и (29).

Если интеграл в уравнении (22) рассматривать как оператор в паре пространств то доказывается, что уравнение.

1= (-1ДХ (36) я *~х х0 — X имеет единственное решение у (х), даваемое формулой (35).

При моделировании обтекания произвольного тонкого, разомкнутого профиля задача нахождения интенсивности вихревого слоя сводится к решению полного сингулярного интегрального уравнения первого рода вида:

I * + | д, о) х)кх)л = /(хо) + / (Хо)) х0 е (-1,1), (37) я м х0-х где функции /(х) и К (хо, х) принадлежат классу Н (а) на соответствующих множествах. Предполагается, что уравнение (37) имеет единственное решение в паре пространств, НД). Пусть теперь оператор (37) есть оператор из Н* в НхРг для решений индекса к =1.

Решение у (х) ищется в виде.

38).

Я л/-х2 х-я Я" л/1 — X.

Тогда для функции у/(х) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода y/(x)-^K{x, T) y/(j)dT = Л (х, с) + /Ц (х), xQ е (-1,1), ^ х-х0.

-, (39) л х-х0 «Vl-r2 (г —4Г> которое, в силу сделанного предположения, имеет единственное решение.

Аналогичные рассуждения сведения сингулярного интегрального уравнения к уравнению Фредгольма можно провести и для решений индексов к=-1, к=0. Только теперь при к=-1 условие разрешимости несколько усложняется для поиска числа Q.

Для численного решения уравнения (37) можно опять применить идеи метода дискретных вихрей и рассмотреть для нахождения решений индексов к = 1,-1,0 системы линейных алгебраических уравнений вида (25), (32) и (34) соответственно. Справедлива следующая.

Теорема 3.1. Пусть в уравнении (37) функция /(*") и ядро ?(х0,х)принадлежат классу Н (а) на [-1,1] и [-1,1]* [-1,1] соответственно, а функция fs, q (x0) имеет вид (23) и пусть уравнение (23) имеет единственное решение в паре пространств Я*, для соответствующихТогда решения систем линейных алгебраических уравнений? K (XqjъХк).ГяМ.н =KXq)) + ftA (Хо.), j = i,.,(40).

Я 1 Х0 j ~Хк *=1.

1 т^ГпМ-h + ?K (x0J, xk)-yn (xk)-h =/(x0j) + fsq (x0J), j = 1,., n, 71 *"1 X0j ~Xk 1.

5>.(**)-й"С, (41).

A-l и соответствующие решения индекса к =0,1,-1 уравнения (37) связаны соотношением (27), в котором величина вп (хк) удовлетворяет неравенствам (28) и (29).

Если в задаче обтекания профиля моделировать профиль слоем диполей, то задача нахождения интенсивности слоя диполей сводится к следующему гиперсингулярному интегральному уравнению í-i-^^Щт = f (xo), *0 €(-1,1), (43) которое эквивалентно уравнению.

1|1т,./(Хо),, о?(и)> (44) я* 1×0 -х при условии • (45).

Если в уравнении (43) справа стоит функция /д, ч (хо) (см.(37)), тогда уравнение (44) имеет своим решением функцию = ', х0 е (-1,1), (46) я V 1-х2 х-д а, следовательно, в силу равенства (45) уравнение (43) имеет своим решением функцию = -1п-,—, *0е (-1,1). (47).

Для численного нахождения решения (47) уравнения (43) в случае, когда в правой части стоит функция /д, ц (хо), опять воспользуемся идеей метода дискретных вихрей с использованием множества Е = {хк, к = 1,. ., п} и Е0 — {хор 3 — 0,1,., п}, построенных в § 1,гл. 3. Справедлива.

Теорема 3.2. Пусть в правой части уравнения (43) стоит функция /д.ч (хо)> е (-1,1). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений.

1 «я *=1.

1 1 оу Хк+ *0У Хк (*" — О, (49) где С не зависит от п.

В главе 4 рассматриваются схемы метода дискретных вихрей для сингулярных интегральных уравнений р ядром Гильберта первого рода в классе обобщенных функций и их обоснование.

В § 1 рассматривается сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта, которое мы получаем, моделируя телесный профиль вихревым слоем с отсосом внешнего потока, используя нетрадиционное условие непротекания.

50) где в правой части есть дельта — функция (#0)=^(3> ~я 9а, Ч е [0−2-г]. произвольное действительное число, а дельта — функция б{вй-д) с носителем в точке # определяется условиями:

-«>-{*. V* • <51>

00, в0=д.

В главе 1 показано, что уравнение (50), рассмотренное в обобщенных пространствах Нх, имеет решение только при выполнении условия:

2ло.

При выполнении условия (53) решение уравнения (50) даётся формулой 1 2* где — у{в1 В = С, в е [0−2я].

53).

54).

55).

Используя идеи метода дискретных вихрей, построим метод численного решения уравнения (50). Пусть отрезок [0−2л-] разбит двумя множествами точек? = {<9*,? = 1,2,.,"} и ?0 = {0, у' = 1,2,.,") таким образом,.

2ж чтобы 0ы-0к=И = п к = 1,2,.," — 0Л+1 =0, — 0оу =6"7± и? е£0, при этом д = 0ОЛ .

Теорема 4.1. Пусть в правой части уравнения (50) стоит сумма функций /(б>0)е н{а) и /¿-ч (<90), [0,2л-]. Тогда между решением системы линейных алгебраических уравнений ./ = 1,2.

2лп.

56) где.

О, }*}ч.

2 71.

57) и решением уравнения (50), задаваемым формулой (54) при условии (55), выполняется соотношение гп (0к)-г (9к)<�с^, 0<а<1. п.

В § 2 исследуется полное сингулярное интегральное уравнение, которое получается при моделировании обтекания произвольного телесного профиля вихревым слоем с отсосом внешнего потока с использованием нетрадиционного условия непротекания-. Задача нахождения интенсивности вихревого слоя сводится к решению сингулярного интегрального уравнения 2]к{в,, в) у (е)с1 В = Ж)+ Л. Д0о), в0, де [0,2л-]. (58).

Я о о.

Его решение ищется в виде де[ 0,2л].

2л 2.

Тогда для функции у/(в) уравнение (58) перейдет в уравнение.

9. €[0,24 в-д.

59).

60).

При этом условие разрешимости уравнения (58) в классе функций вида (59) получит вид.

2<г,.

61).

Для уравнения (58) предлагается следующий численный метод решения кЮЬ + ХФ",.К)А = Ж,)+ К- -?), 1 я- *=1.

Доказывается, что уп {вк)сходится в точках вк к точному решению.

Далее в § 3 рассматривается" уравнение с гиперсингулярным периодическим ядром. Если в задаче обтекания профиля моделировать профиль слоем диполей, то задача нахождения слоя диполей сводится к следующему гиперсингулярному интегральному уравнению г~~~в~в Л = №+&-во ^ [0,2л].

ОбШ2 —.

Уравнение (62) эквивалентно (в силу определения гиперсингулярного интеграла) уравнению.

1 2} Iе*.

2л $ 2.

00 в 8'{вуе = г (ео)+Л, Д^о), в0е[0,2л] тдев0 е [о, 2л-]. Решение уравнения (62)получаем в виде.

62).

63) гИ = -|1п л I яп ((<9−0&bdquo-)/2).

БШ.

0,12) л т{{в-д)!2) эш.

Ь/2) С, д * 0.

64).

Для численного решения уравнения (62) вновь рассматриваем два множества точек Е и Е0, полагая д = е Е0. Используя идеи метода дискретных вихрей, построим метод численного решения уравнения (62). Заменим (62) следующей системой линейных алгебраических уравнений я *=1 2 1 к=.

Систему (65) можно записать в виде системы (56) относительно функции.

2 л к=1 2.

66).

4=1.

Для однозначного нахождения ¿-п (в0к) служат равенства к=.

Разрешая систему (66) и используя квадратурные формулы для интеграла с ядром Гильберта, имеем:

Лпп] 0-<а< 1.

Выводы:

Итак, в работе получены следующие основные результаты:

1. Для сингулярного интеграла рассмотрены квадратурные формулы более отвечающие физической сущности метода дискретных вихрей и исследованы вопросы их сходимости.

2. Для сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке, являющихся математической моделью стационарного обтекания идеальной жидкостью тонкого профиля с отсосом внешнего потока, доказана сходимость приближённых решений к точным для всех индексов решения, получаемых по методу дискретных вихрей, когда в правой части стоит дельта — функция.

3. Для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта и соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения в классе периодических функций, являющихся математической моделью стационарного обтекания идеальной жидкостью телесного профиля с отсосом внешнего потока, доказана сходимость приближённых решений к точным, получаемых по методу дискретных вихрей, когда в правой части стоит дельта — функция.

Заключение

.

Итак, в работе получены следующие основные результаты:

1.Для сингулярного интеграла рассмотрены квадратурные формулы более отвечающие физической сущности метода дискретных вихрей и исследованы вопросы их сходимости.

2.Для сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке, являющихся математической моделью стационарного обтекания идеальной жидкостью тонкого профиля с отсосом внешнего потока, доказана сходимость приближённых решений к точным для всех индексов решения, получаемых по методу дискретных вихрей, когда в правой части стоит дельта — функция.

3.Для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта и соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения в классе периодических функций, являющихся математической моделью стационарного обтекания идеальной жидкостью телесного профиля с отсосом внешнего потока, доказана сходимость приближённых решений к точным, получаемых по методу дискретных вихрей, когда в правой части стоит дельта — функция.