Модели и методы анализа, интерполяции и распознавания автоматов

В классе дискретных детерминированных динамических систем конечные детерминированные автоматы образуют простейший, но достаточно исследованный подкласс. Развитые методы анализа, синтеза, распознавания и т. п. конечных детерминированных автоматов эффективно применяются в решении прикладных задач для реальных систем, автоматные модели которых явно задаются таблицами, матрицами, графами, логическими уравнениями и др. После введения Мак-Каллоком и Питтсом (1943 г.) основных положений, на которых строится понятие автомата, теория автоматов получила развитие в работах Дж. Неймана, С. Клини, М. Л. Минского, Дж. Маккарти, М. Арбиба, В. М. Глушкова, А. А. Летичевского, Ю. В. Капитоновой, В. Б. Кудрявцева, С. В. Алешина, А. С. Подколзина, М. И. Кратко, Н. Е. Кобринского, Б. А. Трахтенброта, Я. М. Бардзиня, В. Г. Лазарева, Е. И. Пийля, В. И. Варшавского, С. И. Баранова, М. А. Спивака, М. А. Айзермана и др. Результаты исследований, представленные в работах указанных авторов, составляют фундаментальную основу символьной теории автоматов, т. е. теории, в которой автоматы, как правило, не связаны с классическими числовыми структурами, что ограничивает применение в теории автоматов методов классической математики.

В связи с развитием областей приложения теории автоматов оказалось, что для реальных систем большой размерности задание автоматных моделей таблицами, матрицами, графами, логическими уравнениями практически не эффективно. Одним из путей расширения области приложения теории автоматов явились исследования В. А. Твердохлебова, в которых, начиная с 1995 г., рассматривается представление законов функционирования автоматов, заданных дискретными символьными функциями переходов и выходов, непрерывными (геометрическими кривыми линиями) и дискретными (последовательностями) структурами. Для этого автоматное отображение полагается множеством точек с числовыми координатами и законы функционирования представляются ломаными линиями, вершины которых расположены на аналитически заданных кривых. Этот подход к заданию автоматов, а также некоторые методы анализа, синтеза и распознавания автоматов по их геометрическим образам используются и развиваются в дальнейшем.

В данной работе рассматриваются задачи из общей проблемы распознавания конечных детерминированных автоматов по свойствам и признакам их функционирования, включая интерполяцию частично заданных законов функционирования автоматов и оценку сложности законов функционирования автоматов.

В диссертации поставлены и рещены следующие задачи.

Задача 1. Исследовать возможность методов интерполяции Ныотона, Лагранжа, Гаусса, Бесселя, Стирлинга и др. для законов функционирования автоматов, частично заданных геометрическими образами.

Разработать методы интерполяции частично заданных законов функционирования автоматов с новым выбором узлов интерполяции: узлов, определяемых автономными подавтоматами, и узлов, определяемых горизонтальными сечениями геометрических образов.

Задача 2. Разработать методы распознавания автоматов в семействах автоматов, заданных последовательностями вторых координат точек геометрических образов и геометрическими кривыми линиями, на которых размещены точки автоматных отображений.

Задача 3. Получить оценки сложности законов функционирования автоматов (и их реализаций) с использованием спектра рекуррентных описаний в случаях, когда законы функционирования заданы геометрическими образами, представленными:

— последовательностями вторых координат точек геометрических образов автоматов;

— последовательностями точек на аналитически заданных кривых, интерпретируемых как вершины геометрических образов;

— классом (4,2,2)-автоматов и его подклассами, определенными по свойствам Поста;

— конфигурациями стандартных областей, определяющих расположение геометрических образов.

Принципиальную важность задач интерполяции для математики показали выдающиеся математики, именами которых названы методы интерполяции: Ньютон, Лагранж, Гаусс, Стерлинг, Бессель и др. Актуальность интерполяции при распознавании автоматов связана с тем, что математические модели сложных систем не могут быть полными и точными и, как правило, в этих моделях определены только фрагменты процесса функционирования, а при решении задач управления сложными системами, задач технического диагностирования и др. требуется хотя бы грубая информация о процессах функционирования системы в целом.

Один из основных классов задач математической кибернетики составляют задачи распознавания поведения (наблюдаемого функционирования) искусственных и естественных систем. При этом распознаются системы по поведению или по функционированию (технические системы), распознаются свойства систем, состояний систем и т. д. Задачи из этого класса задач решали А. Тыоринг (тест Тьюринга), Э. Мур и А. Гилл (распознавание автоматов и состояний автоматов), С. В. Яблонский (логические способы контроля) и др. Решение задач управления необходимо использует решение задач распознавания состояния и положения объекта управления. Все эти задачи для случая дискретных детерминированных систем формулируется как задачи распознавания автомата в заданном семействе автоматов или задачи распознавания свойств и состояний автомата.

Фундаментальные понятия сложности — класс Р-проблем, разрешимых за полиномиальное время детерминированными машинами Тыоринга, и класс NP-проблем, разрешимых за полиномиальное время недетерминированными машинами Тыоринга, связаны с автоматами машинами Тьюринга). На ряду с общим «алгоритмическим» пониманием сложности в теории автоматов исследовались частные варианты показателей сложности: число состояний автомата, длины входных и выходных последовательностей, число компонент связности в структуре автомата, сложность структуры структурного автомата и др.

Проблема оценки сложности автоматов исследовалась многими авторами сразу же после введения автоматных моделей. Дж. Фон Нейман задачам оценки сложности автоматов посвятил ряд разделов своей работы «Теория самовоспроизводящихся автоматов»:

Роль высокой и очень высокой сложности (включая роль сложности и необходимость соответствующего теоретического обоснования и др);

Переоценка проблем сложных автоматов — проблемы иерархии и эволюции.

Получили распространение оценки сложности структурных автоматов по числу составляющих их элементов. Такие оценки существенно изменяются при изменениях элементной базы и метода синтеза. В диссертации оценка сложности автоматов рассматривалась на основе показателей, характеризующих (наблюдаемое) поведение абстрактного автомата, т. е. на основе показателей, зависящих только от законов функционирования. Эти показатели разработаны и систематизированы в спектр показателей в работе [81]. Спектр применяется к последовательностям и имеет иерархическую структуру показателей, где показатели каждого следующего уровня содержат новые данные о структуре последовательности: наименьший порядок рекуррентной формы, определяющей последовательностьчисло смен рекуррентных форм фиксированного порядка, при определении последовательностидлины подпоследовательностей, определяемых рекуррентными формами фиксированных порядков и т. д. В диссертации такой спектр показателей используется только как средство для оценки сложности законов функционирования автоматов в целом и для оценки конкретных процессов функционирования.

В первой главе приводятся понятия конечного детерминированного автомата, геометрического образа законов функционирования автомата, эквивалентное представление геометрического образа автомата последовательностью вторых координат его точек. Приводится структура спектра показателей рекуррентного описания последовательностей для оценки сложности структуры последовательностей, что в дальнейшем используется для оценки сложности законов функционирования автоматов.

В главе 2 содержатся два разработанных метода интерполяции частично определенных геометрических образов законов функционирования автоматов. В методе 1 используются узлы интерполяции, выделенные первыми проекциями вершин геометрического образа на основе известных конкретных вариантов функционирования автоматов. В методе 2 используются узлы интерполяции, вторые координаты которых получены сечениями геометрических образов прямыми линиями, параллельными оси абсцисс. Глава 2 также содержит результаты оценки точности интерполяции методами Ньютона и Лагранжа частично заданных законов функционирования автоматов, представляющих класс (4,2,2)-автоматов и его подклассы, класс линейных (8,2,2)-автоматов. Кроме этого рассмотрена интерполяция частично заданных законов функционирования автоматов, которые определены последовательностями вторых координат точек геометрических образов.

Оценка точности интерполяции проведена для начальных отрезков длины до 1 млн. знаков в приближенных представлениях величин л, е, ер = 1 + (т.н. золотое сечение), л/2, ½, 1п (2), 1п (10), = константа.

2 х= *.

Каталана с = £——константа Эйлера / = Нт (1+ — + - + .+— 1п (п))) и др. «=о (2гс +1) «->"> 2 3 п.

В главе 3 разработаны методы и алгоритмы распознавания автоматов. В первом методе предполагается, что вершины геометрических образов законов функционирования расположены на аналитически заданных геометрических кривых, что позволяет определять решение задач распознавания автоматов на основе решения уравнений и неравенств для аналитически заданных кривых. Во втором методе автоматы распознаются по последовательностям вторых координат точек их геометрических образов.

Проводится распознавание законов функционирования автоматов, заданных последовательностями (которые полагаются последовательностями вторых координат точек геометрических образов), на основе декомпозиции исходных (числовых) последовательностей в набор характеристических последовательностей и их последующего анализа.

В главе 4 на основе спектра динамических параметров П (см, [81]) осуществляется исследование свойств фундаментальных математических величин, заданных приближенно в виде последовательностей, и законов функционирования дискретных детерминированных динамических систем в форме геометрических образов. Ввиду того, что геометрический образ взаимно-однозначно определяется последовательностью вторых координат его точек, в главе свойства законов функционирования исследуются на основе анализа свойств числовых последовательностей. Рассматривается множество последовательностей длины от 80 до 10 млн. знаков, представленных в банке [92], определяющих приближения фундаментальных математических величин к, е, ер = 1 (т.н. золотое сечение), л/2,.

00 1 00 (— 1п (2), 1п (10), С (3) = Х—Г' константа Каталана с = —константа Эйлера х=х п=о (2п +1) у = Нт (1+—+ — +. +——1п (и))) и др. Для классификации и оценки сложности и-«®- 2 3 п последовательностей используется спектр динамических параметров, характеризующих сложность правил порождения последовательности. Для каждой последовательности строятся спектр и на основе совпадения по показателям построенных спектров множество разбивается на классы эквивалентных последовательностей. Например, с точки зрения используемого спектра динамических характеристик, наибольшую сложность среди указанных выше последовательностей на начальном отрезке длины 50 знаков имеют число е и константа Каталана С = ——г. При л=о (2и + 1) увеличении длины анализируемых начальных отрезков до 200 знаков сложнейшими оказались последовательности, задающие приближения чисел л/2 и 1п (10), при длине 1000 знаков — наибольшую сложность имеют е, [2 и.

00 1.

3) = на начальном отрезке 2000 знаков наибольшую сложность имеет последовательность, задающая приближение 1п (2), в то время как те, е, <р (т.н. золотое сечение), V2, V2,1п (10), ?(3), константа Каталана и константа Эйлера имеют одинаковую сложность при данной длине. С увеличением длины начальных отрезков последовательностей до 5000 знаков оказывается, что последовательности тс, е, ср (т.н. золотое сечение), -Jl, fi, ln (2), ?(3), константа Каталана и константа Эйлера имеют одинаковую сложность, а ln (10) оказывается самой сложной.

Проведенный в главе 4 анализ последовательностей вторых координат точек геометрических образов всех членов класса (4,2,2)-автоматов, т. е. автоматов, имеющих 4 состояния, 2 входных и 2 выходных сигнала, выявил следующие свойства. Класс (4,2,2)-автоматов, состоящий из 16 777 216 элементов, разбит на 4 подкласса по числу состояний у автомата после минимизации. В построенных подклассах для последовательностей вторых координат точек геометрических образов автоматов на основе использования спектра динамических параметров П вы числены следующие характеристики: — минимальное значение сложности в подклассе автоматов, имеющих i состояний после минимизации, к12 — максимальное значение сложности в подклассе и к — среднее значение сложности, в подклассе. Отмечено, что к имеет одинаковое значение для всех / е {l, 2,3,4}, к, а к'2 и к12 растут с увеличением i, причем -^-=15, т. е. в подклассе автоматов, имеющих после минимизации 4 состояния (все 4 состояния у таких автоматов различимы), максимальное значение сложности с точки зрения используемого спектра в 15 раз больше, чем в подклассе автоматов, имеющих после минимизации 1 состояние (все 4 состояния у таких автоматов эквивалентны). Среднее значение сложности к почти в 8 раз меньше, чем к.

Также в главе 4 приведены результаты по оценке сложности и классификации по сложности законов функционирования автоматов, заданных геометрическими кривыми, извлеченными из банка 2D, 3D-KpHBbix и фракталов, представленного в сети Интернет по адресу [93]. Для анализа выбраны 50 наиболее известных и распространенных геометрических кривых на плоскости: спираль Фибоначчи, лемниската Берну лли х2 + у2)2 =а2(х2-у2)), баллистическая кривая (y = -x + c-in^i—j), эвольвента t±) t2 круга (Parametrisation complexe: z = a (eil-te^ 2o = a + - J e'^" du) ,.

2 о логарифмическая спираль (Abscisse curviligne et equation intrinseque 2: 2 s = pV1 + k), спираль Архимеда (Absvcisse curvilgne: le s = a jVi + t2dt, 2п7г < 0 < 2(n+l)ж), астроида (+fi = lia*), спираль Галилео о.

Abscisse curviligne: ds = 7a2 + 2b (a + 2b)82 + b2e4de), брахистохрона (Equation x=a, y=-b fonctionnelle: J -?L minimal), кардиоида (Parametrisation complexe: x=0,y=0 vM z = + 2eu + e2lt)), улитка ПаСКаЛЯ ((x2 + y2 — eax)2 = a2(x2 + y2)), ЦИССОИДа t2.

• 2 x (x2 + y2) = ay2), кривая Корно (Parametrisation complexe: z = ajem du), кривая о.

Гаусса (У =-г='е 2гг2), корноида ((х2+у2)3+а2(Зх4−6×2у2−5у4) + 8а4у2−4а6=0) и аы 2л др. Проведенное исследование свойств 20-кривых включило:

— построение по кривым законов функционирования автоматов;

— построение спектров для последовательностей вторых координат точек геометрических образов построенных автоматов;

— разбиение множества геометрических образов на классы эквивалентности на основе совпадения показателей на уровнях ?20 — Дз спектра О.

По показателям нулевого уровня Г20 используемого спектра П эквивалентными по сложности оказались автоматы, законы функционирования которых задают: 1. спираль Фибоначчи- 2. двулистник геометрическая кривая, определенная уравнением (х2 + у2)2 = (ах + Ьу) х2, где а=1, Ь=0.5- 3. кривая Сакре. Класс эквивалентности на четвертом уровне Г2з спектра П составляют автоматы, заданные окружностью и астроидой.

1. Автоматы. М.: Мир. 1956. 404с.

2. Айерланд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.

3. Берже М. Геометрия. Т. 1, 2. —М.: Мир, 1984.

4. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. — М.: Мир, 1988.

5. Бухштаб A.A. Теория чисел.-М.:Просвещение, 1966.

6. Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. — М.: МЦНМО, 2000.

7. Айзерман М. А. и др. Логика. Автоматы. Алгоритмы. Физматгиз. —М. — 1963.-556с.

8. Апериодические автоматы. М.: Наука, 1974. 423с.

9. Брауер В.

Введение

в теорию конечных автоматов. Радио и связь, М., 1987.

10. Варшавский В. И. Коллективное поведение автоматов. М., 1975. 408 с.

11. Гилл А.

Введение

в теорию конечных автоматов. М.: Наука. 1966.

12. Гинзбург С. Математическая теория контекстно-свободных языков. М.:Мир, 1970 г.328с.

13. Глушков В. М. Абстрактная теория автоматов // Успехи мат. наук,-1961,Т. 16. Вып.5 (101). С.3−62.

14. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. —М.: Физматгиз. -1962. -476с.

15. Епифанов A.C. Интерпретация спектра характеристик дискретных систем при проектировании./Материалы 6-ой международной конф. Автоматизация проектирования дискретных систем". Т.1, Минск. 2007.

16. Епифанов A.C. Спектры динамических характеристик фундаментальных математических величин и 3-х классов автоматов. /Материалы международной конф. «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении».- Саратов. 2007.

17. Епифанов A.C. Интерполяция фазовых картин дискретных детерминированных систем. // «РАДЮЕЛЕКТРОНН1 I КОМП’ЮТЕРШ СИСТЕМИ», Харюв,№ 5,2008.

18. Епифанов A.C. Анализ фазовых картин дискретных динамических систем. Саратов: Изд-во «Научная книга», 2008. — 156 с. ISBN 978−59 758−0926−1.

19. Епифанов A.C. Классификация маршрутов по сложности управления движением на основе спектра параметров. / Научно-тех. журнал «Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте», № 4, Харьков, 2008, с. 7. ISSN 1681−4886.

20. Епифанов A.C. Классификация законов функционирования дискретных динамических систем на основе спектра параметров. / V Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами»: Сборник трудов.-T.l. Липецк, ЛГТУ, 2008.С. 17−23.

21. Епифанов A.C. Построение и анализ классов (Н, т, с1(Н))-автоматов. / V Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами»: Сборник трудов.-T.l. — Липецк, ЛГТУ, 2008.С.23−30.

22. Епифанов A.C. Использование интерполяции и экстраполяции для анализа законов функционирования сложных систем. Материалы второй международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем MLSD'2008». 2008. — С.232−235. ISBN 9785−91 450−019−8.

23. Епифанов A.C. Оценка сложности законов функционирования дискретных систем на основе спектра параметров. // Доклады академии военных наук. № 5(34). Сарат., 2008 C.50−55.ISSN 1728−2454.

24. Епифанов A.C. Анализ геометрических образов законов функционирования автоматов / Управление большими системами. Выпуск 24. М.: ИПУ РАН, 2009. С.81−98. ISSN 1819−2467.

25. Епифанов A.C. Анализ фазовых картин дискретных динамических систем с использованием спектра динамическихпараметров. // «РАДЮЕЛЕКТРОНШ I КОМП’ЮТЕРШ СИСТЕМИ», Харюв,№ 5,2009. С.111−116.ISSN 1814−4225.

26. Епифанов A.C. Анализ дискретных динамических систем, заданных в форме числовых структур.// «РАДЮЕЛЕКТРОНШ I КОМПТОТЕРН1 СИСТЕМИ», Харюв,№ 6,2009.С. 118−122. ISSN 1814−4225.

27. Епифанов A.C. Классификация функций алгебры логики по показателям спектра динамических параметров. Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Между нар. науч. конф. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009.С.88−91 ISBN 978−5-292−3 927−3.

28. Епифанов A.C. Построение и анализ математических моделей интегральных схем в геометрической форме. Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар.науч.конф. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009.С.91−95 ISBN 978−5-292−3 927−3.

29. Епифанов A.C. Синтез и анализ законов функционирования программируемых логических интегральных схем. Материалы третьей международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем MLSD'2009». 2009. — С.306−308. ISBN 9785−91 450−037−2.

30. Епифанов A.C. Автоматная интерпретация фрагментов последовательности ДНК. / Информационные технологии и системы (ИТиС'08):сборник трудов конференции. М.: ИППИ РАН, 2009. -463с. ISBN 978−5-901 158−11−1 С.318−323.

31. Епифанов A.C. Метод диагностирования интегральных схем на основе декомпозиции геометрических образов автоматов.// Доклады Академии Военных Наук. № 5(40), 2009. С.37−41. ISSN 1728−2454.

32. Епифанов A.C. Анализ операций совмещения геометрических образов законов функционирования автоматов. // «РАДЮЕЛЕКТРОНШ I КОМП’ЮТЕРШ СИСТЕМИ», Харюв,№ 5,2010.С.219−223. ISSN 18 144 225.

33. Епифанов A.C. Оценка сложности и классификация маршрутов по сложности на основе спектра параметров.// «РАДЮЕЛЕКТРОНН1 I КОМП’ЮТЕРШ СИСТЕМИ», Харюв,№ 7,2010.С.180−184. ISSN 18 144 225.

34. Епифанов A.C. Метод оценки сложности законов функционирования автоматов на основе дискретных riv-функций. Научно-тех. журнал «Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте», № 4(83), Харьков, 2010, с. 119−122. ISSN 1681−4886.

35. Епифанов A.C. Методы интерполяции законов функционирования автоматов. Материалы 7-й научно-технической Конференции «Мехатроника, автоматизация, управление «(МАУ-2010). Санкт-Петербург-2010. С. 167−170 ISBN 978−5-91 995;003−5.

36. Епифанов A.C. Анализ геометрических образов поведения автоматов. Материалы Дев’ятого М1жвуз1вского науково-практичного семшару «КОМБ1НАТОРН1 КОНФИГУРАЦИИ ТА IX ЗАСТОСУВАННЯ», 16−17 апреля 20Юг., Кировоград. С.56−60. ISBN 978−966−8876−19−6.

37. Епифанов A.C. Автоматная интерпретация целочисленных последовательностей. // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер. Математика, Механика, Информатика. 2010. — Т. 10, вып.4.С.58−64.

38. Епифанов A.C. Синтез и анализ (Н, т, с1(Н))-автоматов. Материалы Седьмой Международной конференции «Автоматизация проектирования дискретных систем», 16−17 ноября 2010 г., Минск. -Минск: ОИПИ HAH Беларуси, 2010. 386с. С.113−120. ISBN 978−9 856 744−63−4.

39. Иванов H.H., Михайлов Г. И., Руднев В. В., Таль A.A. Конечные автоматы: эквивалентность и поведение. Наука, М., 1984, с. 192.

40. Каллман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. Мир, М., 1971.

41. Кобринский Н. Е., Трахтенброт Б. А.

Введение

в теорию конечных автоматов. Физматгиз. -М. —1962. -405с.

42. Конечные автоматы: эквивалентность и поведение. М.: Наука, 1984. 192с.

43. Кудрявцев В. Б., Алёшин C.B., Подколзин A.C.

Введение

в теорию автоматов. -М.: Наука. -1985. -320с.

44. Лазарев В. Г., Пийль Е. И. Синтез управляющих автоматов. Энергия. -М.-1970.-400с.

45. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

46. Мелихов А. Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. М.: Наука, 1971.410с.

47. Минский М. Л Вычисления и автоматы. Перев. с англ. Овсиевича Б. Л. и Розенблюма Л. Я. -ML: Мир. -1971. -366с.

48. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент/ Н. Н. Моисеев,-М. :Наука, 1979.-224с.

49. Мур Э. Умозрительные эксперименты с последовательными машинами / Автоматы. Сб. статей под ред. К. Шеннона и Д. Маккарти, ИИЛ, М., 1956, с. 179−213.

50. Отказоустойчивые информационно-управляющие системы на программируемой логике./Под ред. Харченко B.C., Скляра В. В. -Национальный аэрокосмический университет «ХАИ», Научно-производственное предприятие «Радий», 2008, 380с.

51. Поспелов Д. А. Логико-лингвистические модели в системах управления. М.:Энергоиздат, 1981, с. 232.

52. Проблемы математической логики. Сложность алгоритмов и классы вычислимых функций. М.: Мир. 1970.

53. Рвачев В. Л. Об аналитическом описании некоторых геометрических объектов. ДАН СССР, Т. 153, № 4, 1963. с.765−767.

54. Резчиков А. Ф., Твердохлебов В. А. Техническое диагностирование мехатронных систем / // Мехатроника, автоматизация, управление. -2003. № 2. — С. 2−6.

55. Савелов A.A. Плоские кривые. Москва Ижевск, 2002. 294с.

56. Смирнов А. К., Твердохлебов В. А. Управление жизиенными циклами сложных систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 110с.

57. Сперанский Д. В. Эксперименты с линейными и билинейными конечными автоматами. Изд-во Сарат. ун-та, 2004. 144с.

58. Сперанский Д. В. Лекции по теории экспериментов с автоматами.М.:-ИНТУИТ, 2010 г.

59. Твердохлебов В. А. Методы интерполяции в техническом диагностировании // Проблемы управления. № 2, 2007. С.28−34.

60. Твердохлебов В. А. Геометрические образы законов функционирования автоматов Саратов: Изд-во «Научная книга», 2008. — 183 с. ISBN 9785−9758−0924−7.

61. Твердохлебов В. А. Техническое диагностирование в геометрической интерпретации задач, моделей и методов / Материалы Международной конференции «Автоматизация проектирования дискретных систем», т. 1, Минск, 1995, с. 97.

62. Твердохлебов В. А. Дискретное пространство для образов поведения конечных автоматов / Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Изд-во Сарат. ун-та, вып. 5, 2003, с. 163−174.

63. Твердохлебов В. А. Геометрические образы конечных детерминированных автоматов / Известия саратовского университета (Новая серия) том 5, вып.1, 2005,141−153.

64. Тверд охлебов В. А., Пономаренко А. В. Классификация конечных автоматов по свойствам функций переходов и выходов // Проблемы точной механики и управления: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2004. С. 16−25.

65. Трахтенброт Б. А., Барздинь Я. М. Конечные автоматы (поведение и синтез). Наука. -М. -1970. -400с.

66. Хиббард Т. Н. Точные верхние границы длин минимальных экспериментов, определяющих заключительное состояние, для двух классов последовательностных машин. Кибернитический сборник (новая серия). 1966, вып. 2. С. 7−23.

67. Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.

Введение

в теорию автоматов, языков и вычислений. Перев. с англ. Васылык О. И., Саит-Аметова М., Ставровского А. Б. Изд. дом «Вильяме», М.-СПб-Киев, 2002, с. 528.

68. Яблонский C.B.

Введение

в дискретную математику. Наука, М., 1988.90. http://www.ncbi. nlm.nih.gov/protein/29 683 7271 ?report=genpept91.www.fl-live.ru92.www.oeis.org93 .www.mathcurve.com.