Применение метода усреднения к построению асимптотики решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений

К линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами приводят многие практические задачи, например, физики и техники. Хорошо известно, что решения таких уравнений удается получить лишь в очень редких случаях. Поэтому при исследовании такого рода задач приходится использовать либо какие-то результаты качественного характера, либо прибегать к методам приближенного интегрирования. Среди ученых, внесших значительный вклад в изучение качественного характера поведения решений как линейных, так и нелинейных систем, в первую очередь, следует отметить заслуги A.M. Ляпунова (см. [52]). Введенное им понятие устойчивости движения явилось основополагающим для развития теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. Не следует также забывать и о теории характеристических показателей Ляпунова (см. [44]), оказавшей также весьма плодотворное влияние на дальнейшее развитие математики. Существенный вклад A.M. Ляпунов внес и в изучение линейных систем с периодическими коэффициентами. Его теория зон устойчивости легла в основу изучения поведения решений линейных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами (см., например, [47]). Вообще, после работ A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре довольно много внимания уделялось системам линейных дифференциальных уравнений с периодическим коэффициентами. В этой связи отметим лишь работу [72], в которой нашли свое отражение многие методы исследования линейных уравнений с периодическим коэффициентами.

Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений особое место занимают асимптотические методы. В основе этих методов лежит идея о возможности разложения искомого решения в формальный ряд по степеням малого параметра. Несмотря на то, что такие ряды обычно являются расходящимися, решение, получаемое обрывом формальных рядов на п-ом члене, оказывается весьма удовлетворительным в практических расчетах. Основы асимптотических методов заложили Ж. Фурье, Ж. Лиу-вилль, Ж. Штурм. Большой вклад в развитие асимптотического представления решений дифференциальных уравнений был сделан А. Пуанкаре. Дальнейшему развитию в этой области способствовали работы В. А. Стеклова, Г. Биркгофа, Л. Шлезингера, В.И. Тржи-цинского и др. Существенные результаты получили такие исследователи, как В. Вазов [37] и Л. Чезари [67]. Среди дифференциальных уравнений, довольно часто встречающихся на практике, следует отметить уравнения с медленно меняющимися коэффициентами, к которым, в частности, относятся уравнения с малым параметром при старших производных (сингулярно возмущенные уравнения). В этом направлении укажем на работы С.Ф. Фе-щенко и Н. И. Шкиля (см. [65, 68]). Подобным уравнениям посвящены многие работы А. Н. Тихонова и А. Б. Васильевой, а также их учеников.

Особую роль в развитии асимптотических приемов сыграли работы Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. В частности, ими были разработаны методы для приближенного интегрирования нелинейного уравнения где 0 < е <С 1. Приближенные формулы, получаемые с помощью методики Крылова-Боголюбова, не содержат так называемых секулярных членов, в результате чего удается провести исследование колебательного процесса на достаточно большом отрезке времени t. Основываясь на работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, И. З. Штокало [69, 70] разработал метод, позволяющий исследовать устойчивость линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. Г. И. Бирюк [34] распространила результаты И. З. Штокало на случай нелинейных дифференциальных уравнений.

Другое направление в развитии асимптотических методов было связано с возможностью получения асимптотических формул для решений некоторого класса линейных систем в окрестности точки t — +00. Основополагающие работы здесь принадлежат Н. Jle-винсону [26, 49]. Он показал, что при определенных предположениях относительно функций Xi (t) {г = 1,., т) (условия дихотомии), фундаментальная матрица X (t) системы.

0.0.1) где Л (t) = diag (Aj.(?),., Am (?)) — диагональная матрица, a R (t) 6 Li[t0,oo), допускает следующее асимптотическое представление при t +00: t.

X (t) = (7 + о (1)) expj JA (s)dsj. t*.

Системы типа (0.0.1), следуя И. М. Рапопорту [58] называют L-диагональными. Результаты Левинсона были сразу же использованы И. М. Рапопортом в спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов. Рапопорт ввел также некоторые подстановки, приводящие отдельные типы уравнений к виду (0.0.1). Идея метода приведения к L-диагональной форме в отдельных случаях применялась уже О. Перроном [27] и Л. Чезари [12]. М. А. Наймарк [54] применил теоремы об асимптотике решений систем дифференциальных уравнений для исследования индекса дефекта симметрических дифференциальных операторов на полуоси. Более общие результаты этого типа были получены в работах М. В. Федорюка [63] и А. Девинаца [17, 18].

Возможность представления фундаментальной матрицы X (t) системы.

0.0.2) в виде f.

X{t) = P (t)(l + o (lj} expj J A (s)ds}, t -«¦ +00 r стала основной тематикой целого ряда статей В. А. Харриса и Д. А. Латса (см., [21, 22, 23]). Задача здесь заключалась в построении матрицы P (t) такой, что замена х = P (t)y приводила бы систему (0.0.2) к виду (0.0.1). Существенная роль здесь отводится так называемому Q-преобразованию x=(l + Q{t))y, где Q (t) = о (1) при t —} 00 и diagQ (t) = 0. Такая замена в некоторых случаях позволяет улучшить исходную систему в том смысле, что к преобразованной системе уже может быть применена теорема Левинсона. ВА. Харрис и Д. А. Латс рассмотрели различные ситуации, в которых удается подходящим образом выбрать матрицу Q (t). Метод, развитый Харрисом и Латсом, в дальнейшем использовался многими авторами для исследования задачи об асимптотическом интегрировании линейных систем ОДУв этой связи отметим, например, работу [5]. В статье [6] круг задач, связанных с асимптотическим интегрированием систем вида (0.0.1), где R (t)? Lp[to, oo) и р € [1,2], рассматривается с позиций общей теории динамических систем. Задаче асимптотического интегрирования линейных систем с помощью теоремы Левинсона посвящена монография [19]. В ней собран довольно обширный материал по этой тематике. том, что именно Рапопортом предложено называть системы вида (0.0.1) — системами в L-диагоналы-гой форме, указывает Чезари [67]. i = А<*>*•.

Особенную сложность процесс приведения к L-диагональной форме приобретает в тех случаях, когда исходная система содержит осциллирующие величины. В этом отношении особенное значение имеет класс систем с колебательно убывающими коэффициентами. К такого рода системам приводит достаточно широкий круг прикладных задач. Некоторые возможные подходы к изучению систем с колебательно убывающими коэффициентами были предложены Ю. А. Самохиным и В. Н. Фоминым (см. [60, 61]), а также Дж. С. Кас-селем [И]. Впервые на возможность использования замен типа тех, которые использовал И. З. Штокало для исследования систем с малым параметром, применительно к системам с колебательно убывающими коэффициентами указали В. Щ. Бурд и В. А. Каракулин [36]. Предложенный ими подход позволил довольно простым путем получить асимптотические формулы, например, для решений уравнения где А, а — вещественные числа и 0 < а < 1. В методике, предложенной В. Ш. Вурдом и В. А. Каракулиным, предполагается, что существует лишь одна убывающая составляющая, т. е. функция e (t) —>• 0 при t +оо, играющая роль малого параметра е в методе Штокало. Дальнейшие исследования в этой области показали, что для систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами такая ситуация, в общем-то не является типичной. Достаточно рассмотреть, например, систему где А0 — постоянная матрица размера т х т, элементами матрицы B{t) размера т х р являются тригонометрические многочлены, матрица R (t) размера т х т принадлежит классу Li[to, оо), а матрица V{t) размера р х т стремится к 0 при t —> +оо.

Еще один этап в развитии теории линейных систем с переменными коэффициентами связан с введением понятия дихотомии решений линейной системы. Исследованию дихотомии решений линейных систем посвящено множество работ. Достаточно подробный список литературы на русском языке по этой тематике можно найти, например, в книге [53]. Среди прочих работ в этой области, особый интерес для нас представляют исследования В. А. Коппеля (см. [15]). В частности, из них следует, что теорема Левинсона есть простое следствие того факта, что обыкновенная дихотомия решений линейной системы является грубой по отношению к возмущениям класса Li[t0,oo). Результаты, полученные Коппе-лем, позволили построить разностный аналог теоремы Левинсона [4], а также получить аналогичные утверждения для случая, когда динамические системы рассматриваются на произвольных замкнутых подмножествах множества R (см. [8]).

Исторически сложилось так, что разностным уравнениям уделялось значительно меньше внимания, нежели дифференциальным уравнениям. В последнее время в связи с появлением целого ряда задач, в которых дискретные системы оказываются более адекватными математическими моделями, ситуация стала меняться. Оказалось, что многие результаты, полученные для дифференциальных уравнений могут быть с небольшими изменениями перенесены и на разностный случай. Но даже тогда, когда это действительно было возможно, разностные уравнения во многих аспектах все равно оказывались более сложным объектом для изучения. Асимптотические приемы исследования применительно к разностным уравнениями стали использоваться уже в конце XIX — начале XX века в работах А. Пуанкаре и О. Перрона. Затем довольно продолжительное время в этой области наблюдалось затишье, пока соответствующие задачи не привлекли внимания целого ряда ученых. Здесь следует отметить работы М. А. Евграфова [45], А. О. Гельфонда и И.М. Ку-бенской [39], Коффмана [13] и др. Попытки сформулировать разностный аналог теоремы dx.

It.

A0 + B{t)V{t) + R{t)^x,.

Левинсона восходят к работам И. М. Рапопорта. Его идеи получили свое продолжение в работах П. И. Коваля (см., например, [48]). Справедливости ради заметим, что работы Рапопорта и Коваля долгое время оставались малоизвестными за пределами Советского Союза. Дальнейшее продвижение в этой области связано с результатами, полученными Коппелем для линейных дифференциальных уравнений. Первыми, кто заметил, что соответствующие рассуждения могут быть перенесены и на разностный случай, стали Бензаид и Латс [4]. Именно ими был сформулирован и доказан дискретный аналог теоремы Левинсона. Естественно, что для разностных уравнений возникает та же задача, что и для дифференциальных. С помощью каких преобразований и какие системы могут быть приведены к тому виду, который бы позволил воспользоваться дискретным вариантом теоремы Левинсона? Наиболее очевидное решение этой задачи состоит в том, чтобы попытаться распространить соответствующие результаты, полученные для дифференциальных уравнений, и на случай разностных. В этом направлении мы вновь отметим работу [4], где развивается соответствующий разностный аналог (^-преобразования, а также работу [20]. Среди разностных уравнений также можно выделить класс систем с колебательно убывающими коэффициентами. Как оказывается, для упрощения таких систем целесообразно использовать идеи метода усреднения.

Цель диссертационной работы.

Эта диссертация посвящена развитию идей метода усреднения применительно к задаче построения асимптотики решений линейных систем дифференциальных и разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами.

Актуальность работы.

Хорошо известно, что для произвольной линейной системы с переменными коэффициентами крайне редко удается отыскать ее решения в явном виде. По этой причине асимптотические методы интегрирования линейных систем представляют особенный интерес. Для того, чтобы получить довольно полную информацию о характере поведения решений системы при t —> +оо, нам достаточно определить главные члены асимптотического разложения решений, составляющих фундаментальную систему. Для многих практических задач получение подобной информации и составляет основную цель исследования. Естественно, что нельзя указать универсального метода, который решал бы такую задачу. Поэтому вполне очевидно то положение дел, при котором все многообразие линейных систем разбивается на классы, и для каждого из таких классов разрабатываются свои асимптотические приемы. Одним из таких классов является класс систем, имеющих //-диагональный вид, а соответствующий асимптотический прием интегрирования утверждается теоремой Левинсона. Во многих работах авторы выделяют классы систем, которые с помощью подходящих преобразований могут быть приведены к L-диагональной форме (Рапопорт, Перрон, Чезари, Харрис и Латс). Особенную трудность существующие методы приведения к L-диагональному виду приобретают в случае, когда исходная система содержит осциллирующие величины. В этом отношение оказывается целесообразным рассмотреть класс линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами и разработать вариант метода усреднения в том его виде, в котором он использовался в работах И. З. Штокало, для упрощения подобных систем. Напомним, что И. З. Штокало занимался вопросом об устойчивости нулевого решения следующей линейной системы: где 0 < г <С 1, Ао — постоянная квадратная матрица порядка т, все собственные значения которой вещественныAi (t), (I = 1,., к) — квадратные матрицы порядка т, принадлежащие классу ЕF (t, e) — матрица, элементами которой являются функции, почти периодичные по t равномерно относительно е G [0, его] и непрерывные по е в интервале [О, £о] равномерно относительно t G R.

В последнее время в связи с развитием вычислительной техники разностные уравнения приобрели особенную популярность. Несмотря на то, что разностный аналог теоремы Левинсона, в сущности, был получен уже Рапопортом [58], его результаты были неизвестны не только западным ученым, но и в советских научных кругах о них мало кто знал. И, как это нередко случается в математике, похожие результаты были заново получены (правда, с использованием уже других рассуждений) через три десятилетия в работе [4]. Эти результаты, в свою очередь, приобрели значительную известность в связи с возможностью получения асимптотических формул для решений довольно широкого класса линейных систем разностных уравнений. В этой связи распространение результатов, полученных для дифференциальных уравнений, на дискретный случай представляется автору этой диссертационной работы весьма своевременной задачей.

Первая глава носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 излагается один из основных результатов в теории асимптотического интегрирования линейных дифференциальных уравнений — теорема Левинсона. Следующий раздел посвящен краткому знакомству с результатами, полученными Коппелем, которые впоследствии были использованы Бен-заидом и Латсом для построения разностного аналога теоремы Левинсона. В разделе 1.3 рассматриваются некоторые простейшие способы приведения линейных систем дифференциальных уравнений к L-диагональному виду. Наконец, последний раздел этой главы посвящен оценке члена о (1) в асимптотических формулах, которые получаются с помощью теоремы Левинсона. Соответствующие результаты используются для построения асимптотики фундаментальной матрицы системы где {Aj} — постоянные матрицы, Ak ф 0, 0 < «о < «1 <. < а-к < 1, > !¦ Материал, который излагается в этом разделе, необходим для понимания формул, с которыми мы встретимся в третьей и четвертой главах.

Во второй главе разрабатывается, собственно, методика усреднения для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами. В первом разделе этой главы коротко рассказывается о методе усреднения Крылова-Боголюбова, а также излагается метод Штокало исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. В разделе 2.2 формулируется и доказывается основной результат этой главы — теорема об усреднении линейных систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами, которые могут быть представлены в следующем виде:

Краткое содержание диссертации п г=1 l.

Здесь Ао, A^^i^t), R (t) — квадратные матрицы размера тхт, V (t), vn (t) — скалярные функции, а также.

1) Ао — постоянная матрица с вещественными собственными значениями;

2) vi (t) 0, V2(t) —>• 0,. ., vn (t) 0 при t -" оо;

3) eLi[t0,oo);

4) Произведение v^tyvi^t). Vik+1(t) 6 Li[t0,oo) для любого набора 1 < ц < i2 < ¦ ¦ ¦< ife+i < Щ.

5) Матрицы принадлежат классу Е;

6) Матрица R (t) 6 Zqfo, оо).

В разделе 2.3 обосновывается законность использования теоремы об усреднении в случае периодичности осциллирующей составляющей, т. е. в том случае, когда матрицы Aii. i,(t) являются периодическими с одним и тем же периодом Т > 0. В разделе 2.4 формулируются некоторые утверждения вспомогательного плана, которые оказываются полезными при практическом использовании методики усреднения.

Третья и четвертая главы целиком посвящены асимптотическому интегрированию конкретных систем с помощью метода, изложенного в главе 2. Примеры, которые рассматриваются в этих главах, имеют в основном физический смысл. В главе 3 изучаются несколько представителей так называемого класса адиабатических осцилляторов. Основная задача здесь состоит в том, чтобы показать, что схожие по виду уравнения («стремящиеся» при t Ч- +оо к гармоническому осциллятору) демонстрируют совершенно различное асимптотическое поведение решений при t —" -f-oo. В разделе 4.1 исследуется одномерное уравнение Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом при нулевой энергии. Эта задача исследовались в работе [46] в предположении, что осциллирующая составляющая потенциала, функция Р (х), является гладкой периодической функцией с нулевым средним значением. Метод исследования в [46] довольно сложен и основывается на представлении асимптотической формулы с помощью решений уравнения Хилла, содержащих большой параметр, и на дальнейшем исследовании зависимости этих решений от параметра. Используемый нами метод позволяет более просто построить асимптотику решений этого уравнения и нуждается в менее ограничительных предположениях относительно функции Р (х). В разделе 4.2 изучается система с двумя степенями свободы, представляющая собой систему двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью. Уже первое и второе приближения позволяют обнаружить довольно богатую асимптотическую картину поведения решений этой системы при t —" +оо.

В пятой главе предпринимается попытка построить разностный вариант методики усреднения. В первом разделе пятой главы приводится разностный аналог теоремы Левинсона, а во-втором — излагается соответствующий разностный вариант теоремы об усреднении. В разделе 5.3 эта методика демонстрируется на примере построения асимптотики решений одного разностного уравнения второго порядка с колебательно убывающими коэффициентами. Наконец, в разделе 5.4 изучаются два специальных уравнения из класса дискретных адиабатических осцилляторов. Для построения асимптотики решений одного из этих уравнений требуется знакомство с некоторой дополнительной информацией, которая приводится в Приложении А.

В Приложении, А собраны основополагающие факты из теории временных шкал (time-scales), необходимые для формулировки варианта метода усреднения применительно к уравнениям, заданным на временных шкалах, близких по своему устройству при t —> +оо к «классическим» случаям Т = R (обыкновенные дифференциальные уравнения) и Т = Z (разностные уравнения).

Основные результаты, полученные в работе.

1. Предложен общий вид усредняющего преобразования для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами.

2. Продемонстрирована эффективность соответствующих преобразований на примере задачи асимптотического интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

3. Получены результаты об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений из класса адиабатических осцилляторов. В частности, показано, что в пространстве параметров исходного уравнения на границе области устойчивости решений может возникать зона параметрического резонанса (неустойчивости решений).

4. Построена асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом специального вида при нулевой энергии.

5. Изучено асимптотическое поведение решений системы двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью при t —> +оо.

6. Результаты, полученные для дифференциальных уравнений, перенесены на разностный случай. Дискретный вариант методики усреднения проиллюстрирован на примере построения асимптотики решений некоторых разностных уравнений второго порядка.

Благодарности.

Автор выражает огромную признательность своему первому научному руководителю, профессору Бурду Владимиру Шепселевичу, благодаря которому это исследование не только успешно продвигалось вперед, но и вообще оказалось возможным. С не меньшим удовольствием автор благодарит своего второго научного руководителя, доцента Глызина Сергея Дмитриевича, за полезное обсуждение полученных результатов, а также за помощь морального и материального плана, столь необходимую в любом виде деятельности. Разумеется, автор не может обойти вниманием людей, поддержка и понимание со стороны которых сыграли немаловажную роль в осуществлении подобного исследования, а именно, своих родителей, Нестерова Николая Константиновича и Нестерову Елену Павловну.

Заключение

.

В данной работе предложен общий вид усредняющего преобразования, с помощью которого удается упростить исходную систему линейных дифференциальных или разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Преобразованная система не содержит осциллирующих коэффициентов, и в этом смысле она проще для изучения.

Эффективность подобного рода упрощений продемонстрирована на примере задачи о построении асимптотики решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений при tу +оо. С помощью описанной методики построена асимптотика решений некоторых дифференциальных уравнений, имеющих физический смысл. Для уравнений из класса адиабатических осцилляторов получено несколько интересных результатов. Заметим попутно, что, как это следует из примера, рассмотренного в § 3.2, усредняющие замены оказываются полезными даже в тех случаях, когда теорема 2.2.1 не может быть применена. В задаче об одномерном уравнении Шредингера использование усредняющих замен позволяет более просто получить асимптотические результаты, чем это сделано, скажем, в работе [46]. А в задаче о связанных линейных осцилляторах усредняющие преобразования дают возможность обнаружить довольно богатую асимптотическую картину поведения решений при tУ +оо.

Для изучения разностных уравнений часто удается приспособить соответствующие результаты, полученные для дифференциальных уравнений. Методика усреднения в этом плане не является исключениям, и может быть перенесена на дискретный случай с небольшими изменениями. Правда, следует заметить, что процесс построения усредненной системы в случае с разностными уравнениями оказывается более трудоемким, нежели в случае с дифференциальными уравнениями. Тем не менее усредняющие замены все равно позволяют существенно упростить процесс построения асимптотики решений.

Разумеется, в этой работе мы рассмотрели лишь некоторые специальные примеры. В этой связи возникает задача о выделении как можно более широкого класса линейных систем с осциллирующими коэффициентами, которые с помощью подходящих замен могут быть представлены в виде системы с колебательно убывающими коэффициентами. Другая задача, которая также представляет значительный интерес, заключается в следующем: в какой степени идеи метода усреднения могут быть использованы для анализа нелинейных систем с исчезающей на бесконечности правой частью, например, для систем вида = Y1 Fili2(t, x) vh{t)vh (t) +. i=1 l.

1<11<.<�гд.<�п.

Здесь v, а вектор-функции Fv4'" tlx) предполагаются достаточно гладкими. Скалярные функции Vi (t),., vn (t) стремятся к нулю при t +оо. Собственно, задача заключается в том, чтобы выяснить какую информацию мы можем получить об указанной выше системе, анализируя усредненную систему, и, соответственно, какие условия должны быть дополнительно наложены на функции vx (t),., vn (t).