Экономическая пространственно-трехмерная модель для расчета гидродинамических процессов в морских заливах замкнутого типа

В данной работе изучается циркуляция вод и ее влияние на экологию неглубоких водоемов квазизамкнутого типа, имеющих почти сплошную береговую линию и соединенных с другими водными бассейнами проливами, размеры которых в поперечном сечении малы по сравнению с непроницаемой береговой границей. Малость размеров пролива в данном случае понимается в том смысле, что для данных водоемов влияние взаимодействия с открытым морем на жидкой границе без существенной потери точности описания процессов гидродинамики может быть учтено заданием граничных условий в виде потоков осредненных по вертикали.

Актуальность работы. Основными факторами, определяющими движение водной среды в рассматриваемых водоемах, являются процессы переноса вдоль траекторий потоков, диффузия, адаптация полей течений. Естественная вентиляция и самоочищение вод квазизамкнутого водоема практически полностью зависят от системы внутренних течений и его водообмена с морем. Основными внешними факторами, определяющими характер циркуляции водной среды в квазизамкнутых водоемах, являются:

1. течение вблизи пролива — постоянно действующий фактор,.

2. направление, сила и продолжительность действия ветраэпизодический фактор.

Моделирование данных явлений — важнейший инструмент решения задач прогнозирования последствий антропогенного воздействия. Например, большую важность представляет решение задачи оценки возможных последствий строительства дамб, причалов, мостов и более крупных гидротехнических сооружений, таких как порт, для экологической ситуации, анализ возможного влияния планируемых и уже существующих сооружений на экологическую ситуацию. Это важно, например, для Геленджикской бухты, так как ухудшение экологической ситуации в бухте, которая является достаточно напряженной и не может быть признана вполне благополучной, может явиться причиной потери регионом статуса курортного и, в результате, оказать неблагоприятное влияние на экономику и инфраструктуру региона. Помимо этого, сама по себе задача построения эффективного современного алгоритма, позволяющего производить моделирование циркуляции в сжатые по времени сроки, и реализованного в виде вычислительной программы для ЭВМ представляется весьма актуальной.

Несомненно, что количество существующих в настоящее время моделей велико. Однако большая их часть нацелена на решение достаточно узких вопросов моделирования, например моделирование течений в пограничном слое, или же описывают крупномасштабные процессы циркуляции мирового океана. При этом очевидна важность получения эффективной и современной модели «промежуточного» уровня, которая могла бы описывать основные процессы эволюции водной среды в небольших водных бассейнах.

Цель работы. Основной целью данного исследования является построение эффективной модели для водоемов квазизамкнутого типа, которая не только позволила бы с достаточной точностью производить расчет и анализ картины течений в этих водоемах в зависимости от внешних факторов (времени года, силы и направления ветра, характера течения в проливе), но также могла бы явиться бы инструментом исследования последствий антропогенного воздействия на них.

В практических применениях часто оказывается важной простота и прозрачность модели, которая естественным образом ведет к доступности в использовании вычислительного алгоритма и быстроте получения результатов моделирования. Кроме того, результаты моделирования, полученные при помощи данной модели, могут явиться основой для уточнений при помощи более сложных и громоздких моделей.

Таким образом, ставится цель получить эффективную, простую, физически прозрачную, доступную для реализации и легкую в применении, а также «быструю» модель циркуляции жидкости по сравнению с известными.

Научная новизна. Подход, используемый в настоящей работе, основан на моделировании течений в квазизамкнутых водоемах (например, бухтах) при помощи эффективной и экономичной численной модели. Последняя базируется на современных методах расщепления [1], [2] и методах решения сеточных уравнений [3].

Для описания течения жидкости предложена математическая модель квазизамкнутого водоема в виде следующей системы уравнений в частных производных.

Эи ди Эи Эи д + и—h V— + w—lv = —— + — dt дх dy dz дх dz dv dv dv dv s.

-+ U-+ V—h W—h 111 = —— +dt 5x dy dz dy dz du 8z. dv dz j! дм d и M дкг dy' 2 5,2 о v d v.

8k2 dy2.

E, =— I fudz +—I [vdz.

Эи dv <3w «— + — + — = 0, дх dy dz к которой присоединяются соответствующие граничные условия.

Выбор математической модели (краевой задача для системы уравнений с частными производными), используемой в настоящей работе для анализа течений, продиктован требованиями максимально возможного упрощения системы уравнений в частных производных с целью построения наиболее эффективного и экономичного вычислительного алгоритма, позволяющего получать результаты «на лету», а также соображениями «физичности» используемой системы переменных, что позволяет сделать максимально легкой и прозрачной интерпретацию полученных результатов не только специалистам, хорошо владеющим математическим аппаратом гидродинамики, но и исследователям в прикладных областях. В частности, данный подход значительно облегчает процедуру сравнения результатов моделирования с данными натурных измерений.

Предложен способ адаптации данной модели для случаев, когда стратификация жидкости играет существенную роль в происходящих процессах водообмена, который состоит в переходе от исходной модели к двухслойной или многослойной модели. При этом жидкость делится на слои, внутри которых плотность может считаться постоянной, и каждый из таких слоев описывается при помощи основной модели. На границах слоев в этом случае ставятся граничные условия, согласующие полевые переменные, описывающие циркуляцию жидкости в слоях.

На основе построенной конечно-разностной схемы разработан алгоритм для расчетов на ЭВМ. Данный алгоритм реализован в виде пакета программ, включающего в себя как средства решения численных уравнений, так и вспомогательные программы автоматического ввода-вывода информации, созданные при помощи современных средств программирования.

Получены результаты моделирования циркуляции вод для квазизамкнутых водоемов на примере Геленджикской бухты для типичных существующих в действительности сил и направлений ветров и течений на входе в бухту.

Проведен анализ результатов моделирования и сравнение с наблюдаемой в действительности, реальной, картиной течений, на основании чего подобраны численные параметры модели, соответствующие ситуации, а также выбраны адекватные граничные условия.

Проведено моделирование и анализ возможных последствий строительства гидротехнических сооружений в курортной зоне.

Проведено сравнение результатов вычислений при помощи предложенной модели и принстонской модели циркуляции (Princeton Ocean.

Model) [4]. Установлено соответствие результатов моделирования при помощи предложенной модели и модели Princeton Ocean Model.

Практическая значимость. Практическая значимость модели заключается в следующем. Предложенная модель является простой, что отражается в ее быстроте, понятности получаемых с ее помощью результатов, легкости сравнения результатов моделирования с данными натурных измерений.

Получена модель, работа которой апробирована сравнением с известной существующей моделью Princeton Ocean Model.

Модель реализована в виде программы для ЭВМ, включающей в себя как средства ввода первичной информации, средства построения сетки, так и наглядные средства отображения результатов моделирования. Данная программа, будучи основанной на предложенной модели, отличается быстротой и эффективностью получения расчетов, что предоставляет значительные удобства практического использования.

Получены результаты моделирования циркуляции для Геленджикской бухты, на основании которых дан ряд рекомендации, касающихся возможности строительства в бухте гидротехнических сооружений.

Основные результаты работы, выносимые на защиту. Построена трехмерная модель гидродинамики для замкнутых водоемов, являющаяся более экономичной и эффективной по сравнению с известными.

Разработан эффективный и экономичный численный алгоритм реализации модели, базирующийся на схеме расщепления по физическим процессам, использующий для решения разностных уравнений современные численные схемы, а для решения уравнения свободной поверхности жидкости — предложенный в работе вариант попеременно-треугольного методаэффективность и экономичность алгоритма подтвердилась в вычислительном эксперименте (как показано в работе, разработанный алгоритм предъявляет значительно меньшие требования к вычислительным ресурсам, чем существующие при не худшей точности, на примере сравнения с алгоритмом Princeton Ocean Model).

Создан набор программных средств для моделирования циркуляции водной среды в мелководных водоемах, который может иметь широкое практическое применение благодаря эффективности предложенной модели, умеренным требованиям к вычислительным ресурсам, а также средствам ввода первичной информации и отображения результатов.

При помощи разработанного набора программ проведен вычислительный эксперимент, на основании данных которого получены картины основных типов циркуляции водной среды для Геленджикской бухты, качественно совпадающие с реально существующими.

Проанализирован вопрос о влиянии существующих, а также планируемых гидротехнических сооружений на характер циркуляции в бухте.

Публикации по теме диссертации. Результаты работы обсуждались в семи научных публикациях:

• Сухинов А. И., Цирулик Д. В., Гончарова М. В. Пространственно-трехмерные модели гидродинамики Таганрогского залива и Геленджикской бухты.- Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Мат. моделир. и системные исследования в экологии. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001, № 2(20).

• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Пространственно-трехмерная модель циркуляции и ее применение для прогноза состояния Геленджикской бухты, — Тр. Воронежской весенней мат. шк. «Совр. методы в теории краев, задач «Понтрягинские чтения — XII», Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001.

• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Пространственно-трехмерная модель циркуляции вод в Геленджикской бухте и ее применение для прогноза экологического состояния. — Изв. вузов. Сев.-кав. регион. Естеств. науки, 2001. Спецвыпуск. Мат. моделиров. и вычисл. эксперимент в механике и физике. 2001.

• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Моделирование циркуляции вод и экологическое состояние Геленджикской бухты. — Тр. Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды., г. Ростов-на-Дону 2528 сен. 2001 г.

• Сухинов А. И., Цирулик Д. В., Кирильчик С. В. Экономичная 3D модель гидродинамики для Геленджикской бухты.- Совр. пробл. мех. спл. среды. Тр. VIII Межд. Конф., г. Ростов-на-Дону 14−18 окт. 2002/ Ростов-на Дону: Изд-во «Новая книга», 2002.

• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Моделирование циркуляции вод в Геленджикской бухте.- Известия ТРТУ. Спецвыпуск «Материалы XLVII научно-технической конференции», Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, № 1(24).

• Сухинов А. И., Цирулик Д. В., Цирулик В. Г. Численные эксперименты с моделями «Princeton Ocean Model» и экономичной 3D моделью для Геленджикской бухты.- XI Международная научная конференция, поев. 50-летию ТГПИ «Мат. модели физичеких процессов», г. Таганрог, ТГПИ, 29−30 июня, 2005.

Структура работы. Структура данной работы состоит из шести разделов (четыре главы, введение и заключение) и организована следующим образом.

В главе I «Модели задач гидродинамики», которая является вводной, представлены основные уравнения динамики жидкости, существующие двух-и трехмерные модели динамики жидкости, рассмотрены варианты граничных условий. В ней также затронуты вопросы построения конечно-разностных уравнений, методов их решения, а также вопросы эффективности, точности, сходимости и устойчивости. В главе I также представлено описание наблюдаемой в Геленджикской бухте картины течений.

В главе II поставлена задача динамики трехмерной несжимаемой жидкости для описания циркуляции в водоемах замкнутого типа (система уравнений в частных производных), даны варианты возможных граничных условий. В этой главе строится и исследуется конечно-разностная модель для предложенной системы уравнений. Произведен выбор методов решения конечно-разностных уравнений расщепленной схемы, а также дискретизация граничных условий. Для решения наиболее громоздкого уравненияуравнения описывающего поведение свободной поверхности — предложена разновидность попеременно-треугольного метода, являющегося, как видно из параграфа 1.4, наиболее эффективным по сравнению с другими существующими методами. На этой основе построен вычислительный алгоритм. Затронуты вопросы устойчивости и сходимости численного алгоритма. В данной главе также предложен простой подход к адаптации разностной схемы для использования при организации расчетов при помощи предложенного алгоритма циркуляции жидкости в стратифицированных водоемах, который основан на использовании двухслойной или многослойной модели.

Заключение

.

Несмотря на то, что в настоящее время построено большое количество трехмерных математических моделей, описывающих процессы гидротермодинамики водоемов, подавляющее большинство из них рассчитано на описание отдельных модельных задач (таких как задачи обтекания, пограничного слоя и т. п.) или же предназначены для описания крупномасштабной циркуляции мирового океана. Другими словами, данные модели либо описывают частные и достаточно тонкие явления, происходящие в жидкости, либо описывают движение мирового океана и включают в себя большое количество полевых переменных (скорости течений, концентрации примесей, солей, термодинамические величины), вследствие чего требуют мощных вычислительных средств и поэтому пригодны для реализации лишь на наиболее мощных и современных вычислительных средствах.

Трехмерная модель, предложенная в настоящей работе, построена на основе подхода, базирующегося на максимально возможном упрощении исходных уравнений движения и оптимального выбора методов их численной реализации. Данная математическая модель, описывающая движение несжимаемой водной среды с постоянной плотностью, годится для описания движения жидкости для водоемов с небольшими глубинами. Описывающая модель система уравнений в частных производных записана в переменных скорость-положение свободной поверхности, что дает возможность построить весьма экономичное и эффективное средство расчета картин течений жидкости, позволившее на примере Геленджикской бухты получить картины циркуляции, качественно совпадающие с реально существующими. Для подтверждения соответствия результатов моделирования, полученных при помощи предлагаемой модели, произведено сравнение полученных картин циркуляции с результатами моделирования при помощи модели Princeton Ocean Model.

Эффективность и экономичность конечного продукта — набора программ обусловлена следующими факторами. Переход к переменным скорость-положение свободной поверхности дал возможность не только попутно разрешить задачу слежения за перемещениями верхней границы трехмерной области, но и стал основой для построения оптимального численного алгоритма. Использование современной схемы расщепления по физическим процессам при построении разностной модели дает возможность широкого маневра в выборе методов решения полученных разностных уравнений. Таким образом, для разностных уравнений, реализующих модель, применены эффективные способы численной реализации, основанные на современных методах решения сеточных уравнений. Характерные черты данных схем — достаточный запас устойчивости при выборе шагов по временной и пространственным координатам и простота реализации. Наибольших вычислительных затрат требует решение уравнения свободной поверхности. Для этого в работе используется предложенный вариант попеременно-треугольного метода для решения уравнения свободной поверхности, который дает значительный выигрыш по сравнению с другими известными методами решения сеточных уравнений.

Один из принципов использованного в работе подхода — максимальное упрощение уравнений движения с целью построения экономичного вычислительного алгоритма — выражается в том, что из системы уравнений удалено уравнение состояния. Поэтому, на первый взгляд, круг процессов, описываемых данной моделью существенно ограничен. Однако, в работе показано, что данное ограничение, в случаях, когда есть возможность выделить в жидкости слои с постоянной плотностью, снимается. Процессы циркуляции такой жидкость могут быть описаны моделью, являющейся совокупностью моделей с постоянными плотностями для каждого слоя, связанных поставленными граничными условиями — двухслойная или многослойная модель.

В результате использования построенной модели для расчета течений в Геленджикской бухте получены количественные характеристики (значения величин скоростей течений) приближенные к реальным, а также верные качественные характеристики (картины течений, выделение зон на основании особенностей циркуляции жидкости), что подтверждается данными натурных наблюдений.

Исходя из результатов моделирования, для течений в Геленджикской бухте сделаны следующие выводы. Течения в верхнем слое в районах пляжей, при типах циркуляции благоприятствующих выносу загрязнений из бухты (циркуляция второго типа), как правило, ориентированы вдоль берега, поэтому любые гидротехнические сооружения ориентированные перпендикулярно береговой линии будут препятствовать вдольбереговому течению и способствовать развитию неблагоприятной в экологическом плане ситуации. Наиболее сильные и устойчивые течения наблюдаются в зоне пролива, так как входящие в бухту потоки рассеиваются. Наиболее вентилируемой областью бухты являются участки в районе пролива. В северо-восточной и юго-западной зонах, удаленных от пролива, следует ожидать возникновение невентилируемых зон с неблагоприятными экологическими условиями, особенно в летний период при маловетренной погоде. В летний период (маловетренная погода) вентиляция бухты происходит медленно, время полной вентиляции может достигать 1 недели, поэтому в курортный сезон складывается неблагоприятная экологическая обстановка, которая может отягощаться заносом сточных вод городской канализации в бухту. Отметим, что данные выводы, а также результаты моделирования (картины течений) качественно согласуются с реально наблюдаемой картиной течений, описанной в [95, 96]. Предсказано также для юго-восточной части бухты возможность появления антициклонического круговорота, центр которого будет совершать колебательные движения.

Данные результаты получены при помощи набора программ, в полной мере реализующего весь ход вычислительного эксперимента. В виде программ на языках высокого уровня (С++, фортран) реализованы все стадии процесса моделирования: создание трехмерной сетки, соответствующей выбранному водоему, задание численных параметров модели, граничных условий на твердых и жидких границах, расчет значений величин компонент скорости жидкости и положения свободной поверхности, сохранение и вывод результатов моделирования.

Таким образом, основными результатами работы, являются следующие:

1. построена трехмерная модель гидродинамики для замкнутых водоемов, являющаяся более экономичной и эффективной по сравнению с известными;

2. разработан эффективный и экономичный численный алгоритм реализации модели, базирующийся на схеме расщепления по физическим процессам и на предложенном варианте попеременно-треугольного метода для решения уравнения свободной поверхности жидкостиэффективность и экономичность алгоритма подтвердилась в вычислительном эксперименте (как показано в работе, разработанный алгоритм предъявляет значительно меньшие требования к вычислительным ресурсам, чем существующие при не худшей точности, на примере сравнения с алгоритмом Princeton Ocean Model);

3. создан универсальный комплекс программных средств для моделирования циркуляции водной среды в мелководных водоемах, который может иметь широкое практическое применение благодаря умеренным требованиям к вычислительным ресурсам, эффективности и использования переменных скорость-положение свободной поверхности;